Основы биометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«Харьковский политехнический институт»

Конспект лекций по курсу

«БИОМЕТРИЯ»

для студентов специальности 7.092901

«Промышленная биотехнология»

ХАРЬКОВ 2006

ББК 28.05

О 39

УДК 577.352

Рецензенты , д-р техн. наук, проф. НТУ «ХПИ»

, д-р ? наук, проф.

Клещев М.Ф., Горбунов Л.В. Конспект лекций по курсу «биометрия для студентов специальности 7.092901 «Промышленная биотехнология». - Харьков: НТУ «ХПИ», 200_. - 167 с. - На русском языке.

Конспект лекций включает принципы постановки биологического эксперимента и методы статистической обработки экспериментальных данных.

Предназначено для студентов специальности 7.092901 "Промышленная биотехнология» и может быть полезно для всех студентов, как дневного, так и заочного обучения при выполнении курсовых и дипломных работ, а также для аспирантов и инженеров-исследователей, научных работников.

Конспект лекцій містить принципи постановки біологічного експерименту та методи статистичної обробки експериментальних даних.

Призначено для студентів спеціальності 7.092901 "Промислова біотехнологія» при виконанні курсових та дипломних робіт, а також для аспірантів, інженерів-дослідників, наукових робітників.

Ил. ?? Табл. ? Библиогр. 18 назв.

Клещев М.Ф., Горбунов Л.В., 200_ г.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный технический университет

«Харьковский политехнический институт»

RELEASE - 10 октября

Конспект лекций по курсу

«БИОМЕТРИЯ»

для студентов специальности 7.092901

«Промышленная биотехнология»

Утверждено

Редакционно-издательским

Советом университета

Протокол № ? от ??.??.200__г.

Харьков НТУ «ХПИ» 200__

Содержание

Вступление

Лекция 1. Теоретическое исследование

Лекция 2. Экспериментальные исследования

Лекция 3. Проведение поисковых опытов

Лекция 4. Планирование эксперимента

Лекция 5. Определение необходимого объема выборки

Лекция 6. Проведение эксперимента

Лекция 7. Обработка экспериментальных данных

Лекция 8. Построение математических моделей

Приложение

Список условных обозначений

Литература

Вступление

Предметом учебной дисциплины «Биометрия» являются принципы постановки биологического эксперимента и статистическая обработка экспериментальных данных. Рассматриваются особенности количественного и качественного анализа с учетом общей оценки ошибок опытов. Излагаются методы планирования сложных экспериментов. Особое внимание обращено на оценку достоверности параметров, распределение случайных величин и проверку статистических гипотез. Представлена структурная схема, отражающая поэтапный процесс проведения моделирования эксперимента, от постановки задачи на исследования до математического обобщения полученного результата. Представлены формулы получения достоверного научного результата при минимальном количестве измерений. На примерах показано, что повышение эффективности исследовательской работы связано с моделированием проведения эксперимента основанном на минимизации затрат времени и средств. биометрия выборка эксперимент

Под проведением комплексного исследования понимается весь объем мероприятий от постановки задачи до получения математической модели изучаемых явлений. Несмотря на кажущуюся простоту такого определения, дать целостное и последовательное изложение этого вопроса нелегко. Это совсем не означает, что материала по предмету нет, наоборот, его слишком много, но он распределен малыми дозами в огромном числе монографий и статей. В данных рекомендациях сделана попытка, собрать воедино то, что должно помочь начинающему исследователю "войти в работу", понять структуру исследования и узнать о неустранимых трудностях. Особенно ценным является проходящее красной нитью через всю работу положение о необходимости такой постановки экспериментов, какого бы вопроса они ни касались, которая обеспечила бы максимально объективную и статистически достоверную оценку их результатов. Это положение должно войти "в плоть и кровь" всех экспериментаторов в области биотехнологии и отвечало бы его проблемам.

Математический анализ результатов эксперимента, позволяющий установить их статистическую достоверность, которому в данной работе уделено достаточное внимание, окажется, безусловно, весьма полезным как при планировании подобных исследований научными сотрудниками, так и при анализе их результатов. Его краткое изложение помещено в приложении. Ограниченный объем руководства побудил авторов в отдельных случаях, когда можно дать рекомендации в отношении общедоступной литературы и таблиц, не проводить развернутого изложения некоторых методов.

Курс «Биометрия» состоит из 4 разделов:

Методическими основами курса являются лекции, в которых излагаются основные положения каждого раздела, практические занятия и самостоятельная работа студентов, которая является основным способом усвоения материала в свободное от аудиторных занятий время.

Для самостоятельной работы выделяется больше половины общего объема времени, предназначенного для изучения данной дисциплины. Самостоятельная работа проводится по всем темам, которые входят в дисциплину, как по тем, по которым читаются лекции, так и по тем, для которых делается только план изучения и ссылки на литературу. В процессе самостоятельной работы студент учится самостоятельно приобретать знания, которые затем используются в ходе практических занятий, при подготовке к выполнению контрольных работ и к зачету.

На дисциплину выделяется 54 учебных часа. Из них аудиторные занятия занимают 15 часов, в том числе лекции - 15 часов. На самостоятельную работу студентов выделяется 39 часов.

Настоящее пособие подготовлено на основе работ [1-18] таким образом, чтобы максимально облегчить студентам специальности 7.092901 «Промышленная биотехнология» усвоение курса «биометрия». В каждой лекции выделяются основные вопросы, излагаются основные положения, приведены вопросы для самоконтроля.

Настоящее руководство, хотя и рассчитано на студентов, предполагает все же, что читатель имеет первичное представление о методах статистической обработки экспериментальных данных, по крайней мере, в пределах общих разделов одного из наиболее доступных пособий [3-7, 11, 13-15, 17, 18]. Для желающих более глубоко изучить вопросы, затронутые в данной работе, приведен список отечественной и переведенной на русский язык зарубежной литературы.

Обобщение большого числа экспериментов позволило в общих чертах создать структурную схему проведения эксперимента и обработки его данных, хотя, естественно, она не может претендовать на полноту отражения всего многообразия, встречающегося на практике. Ниже с той или иной полнотой рассмотрены и обсуждены отдельные составляющие этой схемы.

Лекция 1. Теоретическое исследование

План лекции

1. Планирование эксперимента

2. Постановка цели исследования

3. Формулировка рабочей гипотезы

4. Составление методики исследования

1.1 Планирование эксперимента

Биометрия - раздел биологии, содержанием которой является планирование наблюдений и статистическая обработка их результатов. Математическая статистика и теория вероятности - разделы математики, теоретические фундаментальные науки, рассматривающие массовые явления безотносительно к специфике составляющих их элементов. Основное отличие биометрии от математической статистики и теории вероятности заключено в умении планирования биологического эксперимента с целью получения достоверного результата при минимальных затратах времени и материальных средств.

Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос, насколько эффективно он используется. Джон Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного действия, в отдельных случаях, может быть оценен величиной около 2% [1]. Для того, чтобы повысить эффективность исследований, требуется нечто совершенно новое. Одним из возможных путей является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента. Планирование эксперимента - это процедура выбора числа условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. Это и есть необходимое требование к объекту исследования [2].

Применение планирования эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности его труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством метода является его универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследования, интересующих современного человека.

Эксперимент может быть мыслимым, модельным или физическим. В отличие от мыслимого (виртуального) эксперимента он может непосредственно проводиться на объекте или на его модели. Модель обычно отличается от объекта масштабом, а иногда природой. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Можно получить новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект.

Многие биологические исследования, традиционным образом, проводятся эмпирическим способом, то есть посредством последовательного перебора возможных вариантов. Проведение эксперимента без должного его планирования приводит исследование к крайности - “ползучему эмпиризму”. Такой подход требует большого количества проведения опытов и как следствие - значимых потерь времени и материальных средств. Кроме того, решение проблемных задач не всегда осуществимо стандартными методами. Применение моделирования, в качестве инструмента познания, повышает эффективность данного процесса посредством перехода к полуэмпирическим поискам. Эффективный процесс исследования, как и обучения, включает в себя модель как элемент теоретической части работы и эксперимент - практической. Моделирование не может и не должно быть альтернативой проведения эксперимента, а является его необходимым дополнением. Построение модели без ее последовательной экспериментальной проверки приводит к другой крайности в исследовании - “слепому академизму”.

Планирование эксперимента еще совсем молодая область. Она бурно развивается и вызывает все больший интерес у исследователей. Интерес вполне понятен: перспектива сократить число опытов, найти оптимум, получить количественные оценки влияния факторов и определить ошибки - крайне привлекательна. Но, когда экспериментатор делает попытку познакомиться с планированием эксперимента, он часто сталкивается с серьезными трудностями. Больше того, иногда он просто не верно применяет методы планирования или выбирает не самый оптимальный для данной ситуации путь исследования, или допускает еще какие-нибудь досадные ошибки. При этом снижается эффективность его работы и появляется опасность дискредитации важного и полезного направления.

Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей (например, кинетических), выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав-свойство - вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении - планирование эксперимента.

Поиск оптимальных условий является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле) условия его реализации. Этим задачам и посвящена данная работа.

Повышение эффективности процедуры исследования заключается в расширении диапазона применяемых методов от его теоретической части до экспериментальной. Раскрытие диапазона исследования обеспечивает высокую эффективность данного процесса только при условии баланса теоретической и практической его части. В противном случае исследование будет сводиться к одной из его крайностей. Хотя рекомендаций, позволяющих проводить подобного рода обобщения, достаточное количество [1-5, 12, 15], алгоритмов связывающих в единую цепь, процесс от планирования эксперимента до построения аналитической модели, в доступной нам литературе пока ещё нет. В данной работе сделана попытка собрать воедино все то, что может помочь начинающему исследователю понять структуру исследования и реализовать максимально обобщенный результат.

Научное исследование - это изучение закономерностей развития явлений объективного мира и их объяснение [4]. Исследование может быть теоретическим или экспериментальным. Теоретические исследования обладают свойствами всеобщности. Правильность и надежность зависит от правильности предпосылок, допущений и логического развития. Изучаемые явления настолько многообразны и сложны, что часто трудно, а порой и невозможно получить точное теоретическое решение, поэтому результаты расчета становятся ненадежными.

Опытное решение - основа экспериментального исследования; оно всегда конкретно и точно, но вместе с тем не имеет характера всеобщности и в некоторых случаях громоздко и трудоемко. Исследование, состоящее из экспериментальной и теоретической частей, называется комплексным.

До начала любого исследования желательно провести его планирование. В научно-исследовательской работе рациональная схема исследования (план), естественно, должна составляться таким образом, что бы при минимальной затрате времени и средств получать максимум информации об интересующем нас объекте. Именно в этом смысле можно говорить, что научные методы планирования исследования дают возможность экспрессного достижения поставленной цели исследования, сокращая затраты времени как на собственно эксперимент, так и на статистическую обработку результатов (см. приложение).

Поскольку исследование начинается с создания модели проведения эксперимента, то естественен и приоритет ее построения над практической частью работы. Построение и совершенствование модели осуществляется ступенчато, начиная с формулировки рабочей гипотезы и ее проверки в ходе проведения экспериментальной работы и заканчивая обобщением полученных результатов до уровня математического абстрагирования (таблица 1).

Первым этапом построения модели является установление возможности решения задачи посредством построения рабочей гипотезы, при условии её нерешённости к настоящему времени. Проведение моделирования исследования позволяет установить не только возможность решения данной задачи, но и определить условия, обеспечивающие минимальные затраты для разрешения поставленной проблемы. Наиболее простой формой модели эксперимента является план его выполнения. Для этого необходимо определить целевую функцию, численно отражающую поставленную цель исследования и параметры, определяющие развитие изучаемого явления.

Таблица 1. Структурная схема построения модели эксперимента

№	Этапы выполнения	Способ выполнения	Результат
1	Постановка цели	Литературный поиск	Нерешенность проблемы
		Рабочая гипотеза	Возможность решения
2	Определение параметров	Составление целевой функции	План выполнения
3	Выбор методов	Измерения	Абсолютная, относительная величина
		Вычисления	Кач- количественный статистический анализ
4	Решение задачи	Схема опыта	Таблица
		Поисковый опыт	Оптимизация 1-3 этапов
		Основной эксперимент	Графическая зависимость
5	Анализ и обобщение результатов	Описание, прогноз	Регрессионное уравнение
		Поиск причинно-следственной связи	Аналитическое уравнение

Таким образом, в начале любого исследования необходимо определить цель, наметить рабочую гипотезу, составить методику исследований.

1.2 Постановка цели исследования

Задача в определении цели исследования заключается в выявлении решения, которое, по сравнению с другими, обеспечивает более высокую эффективность. Для этого необходимо располагать каким-то количественным показателем или критерием эффективности. Этот критерий выбирается так, чтобы он наилучшим образом отражал целевую направленность исследований.

Выбирая решение, мы стремимся обратить этот критерий в максимум (или в минимум). Например, если целью криоконсервации является получение высокой сохранности замороженно-оттаянных биообъектов, то естественным критерием эффективности в этом случае будет средняя ожидаемая выживаемость ("средняя", а не просто "выживаемость", поскольку фактическая выживаемость может колебаться в зависимости от случайных обстоятельств), и этот критерий желательно обратить в максимум.

Методы планирования, и в первую очередь статистические методы планирования, существенно отличаются от методов статистической обработки результатов наблюдений, где количественному анализу отводится пассивная роль обработки данных, полученных при случайном сочетании условий. В противоположность этому математический аппарат методов планирования экспериментов играет активную роль, определяя и даже, можно сказать, диктуя исследователю жесткую схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов. Тем не менее, это совершенно не означает, что при применении методов планирования эксперимента знание и опыт самого экспериментатора не играют существенной роли. Наоборот, неточно сформулированная задача или неверно выбранные отправные данные, “пройдя” весь путь математического аппарата планирования эксперимента и анализа полученных результатов, в ходе которого исключается возможность внесения корректив и поправок, приводят хотя и к быстрому, но неполноценному решению.

До тех пор пока биолог-экспериментатор не определит цель исследований абсолютно точно, природа будет отвечать уклончиво, как дельфийский оракул.

1.3 Формулировка рабочей гипотезы

Тщательно изучив все материалы, относящиеся к цели и предмету исследования, разрабатывают его рабочую гипотезу.

Рабочая гипотеза - научное предположение о развитии явлений и их объяснений; это предположение не доказано, но в той или иной степени вероятно.

Как минимум, рабочая гипотеза устанавливает факторы (причины, основные условия, движущие силы), обуславливающие развитие явления. В общем виде, это можно представить таким образом:

С (а _j,в_j, d_j ) (1),

где: С - целевая функция, числено отражающая поставленную цель исследования, а_j, в_j, d_j - параметры, определяющие развитие изучаемого явления, а_j - поддающиеся изменениям в ходе эксперимента, в_j - неподдающиеся изменениям в ходе эксперимента, d_j - неопределяемые в ходе эксперимента изменения.

Целевая функция определяет факторы, обуславливающие развитие изучаемого явления. При разработке целевой функции устанавливают независимые переменные (аргументы а_j, b_j), определяющие изменение зависимой переменной (функции С). В опытах измеряют характеризующие как факторы (аргументы а_j, b_j), так и показатели развития явления (целевую функцию С) [5].

Это весьма важная исходная часть методики; при неправильном определении факторов исследование может быть безрезультатным, так как пойдет не в том направлении, по которому развивается явление, и поэтому приведет к ложным выводам.

1.4 Составление методики исследования

Следующим этапом моделирования исследования является выбор методов измерения и обработки полученных результатов. При всем разнообразии методов исследовательской работы задача моделирования эксперимента сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах.

Методика исследования - это совокупность способов, приемов исследования. Она отвечает на вопрос: как и какими способами, проводить исследования, направленные на установление причинно-следственных связей между целевой функцией и параметрами, определяющими его величину? Методика, которая относится ко всему исследованию и представляет стержневые способы и приемы, проходящие через все исследования, является общей.

При разработке методики следует стремиться получить в опытах данные, которые не только устанавливают закономерности развития явлений, но и помогают найти объяснение этих закономерностей, их причины, физическую основу явления. Чем полнее, тщательнее и продуманнее составлена методика исследования, тем легче и скорее выполнить исследование. Ясность, точность и достаточно подробное (но краткое) изложение особенно важны в тех случаях, когда в исследовании принимает участие группа работников.

Правильная методика - залог успеха исследования. Не методичность исследования или неверная методика приводят к ошибкам, в результате чего накапливаются груды "сырого" материала, из которых никаких полноценных выводов сделать нельзя.

Вопросы для самоконтроля.

1. В чем состоит предмет и задачи курса «биометрия»?

2. На основе, каких наук изучается курс «биометрия» и в чем заключено его основное отличие?

3. Какой смысл вкладывается в понятие планирование эксперимента?

4. Перечислите приоритеты проведения теоретического и экспериментального исследования.

5. Как осуществляется повышение эффективности процедуры исследования?

6. Какое иследование называется комплексным?

7. Перечислите этапы построения модели эксперимента.

8. Какова основная цель исследования?

9. Для чего необходима рабочая гипотиза?

10. Как составляется методика исследования?

Лекция 2. Экспериментальные исследования

План лекции

1. Задача научного исследования

2. Установление ошибки измерений

3. Определение ошибки опытов

2.1 Задача научного исследования

От наблюдения к обобщению и от обобщения к проверке на практике - таков общий путь исследования. Эти три ступени обязательны для законченного исследования. Задача научного исследования состоит в том, чтобы установить закономерности развития явлений между величиной целевой функции ф(1) и определяющих ее параметров а_j, в_j. При определении закономерности мы ищем постоянное и необходимое отношение, связь между явлениями, лежащую в основе их развития.

Наблюдение применяют для предварительной проверки общей правильности рабочей гипотезы, т.е. для установления направленностей развития явлений. Эксперимент - видоизменение условий развития явлений а_j в желательном направлении, чтобы получить ясные закономерности. Выведенные закономерности оказываются неясными и даже неверными в случае, если полученные значения лежат в пределах возможной ошибки опыта.

2.2 Установление ошибки измерений

Метод вариационной статистики возник как метод борьбы с ошибками, поскольку все измерения, как бы тщательно они не были выполнены, дают неточное, а лишь приближенное значение [6]. Ошибкой измерения называется разность между результатом измерения Х_i и истинным значением Х, измеряемой величины (Х_i-Х).

Ошибка обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому основной задачей математической обработки результатов эксперимента и есть оценка наиболее вероятного значения определяемой величины, а также установление соответствующей ошибки и вероятности ее появления.

Ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Исключение грубых ошибок.

Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерений или в результате небрежности экспериментатора. Они резко отличаются по величине от остальных значений, на чем и основаны некоторые критерии их исключения из рассмотрения. При обнаружении грубой ошибки результат следует отбросить, а само измерение, если это возможно, повторить.

При вычислении среднего арифметического следует отбрасывать резко отклоняющиеся величины (промахи), используя для этого ряд критериев, основанных на нормальном распределении, допускающем появление сколько угодно больших по величине ошибок, хотя вероятность появления их исчезающе мала.

Для малой выборки, когда количество измерений меньше 30, принято использовать данный критерий:

(2),

где: x_i -текущее значение выборки, x_i и x_n крайние значения ряда построенного по возрастанию: x₁ x₂ x₃ … x_i x_n.

Наиболее вероятными значениями грубых ошибок являются эти крайние члены ряда, следовательно именно их необходимо проверить на значимость разницы x₂-x₁ и x_n-x_n-1 ф(2). Полученное значение сравниваем с табличным (таблица 2). Если,то результат является промахом с уровнем вероятности Р95%.

Таблица 2. Численные значения - критерия от количества измерений - n.

n	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,94	0,76	0,64	0,56	0,51	0,47	0,44	0,41

Исключение систематических ошибок

Систематические ошибки могут зависеть от точности приборов, реактивов, применяемых методов или от индивидуальных особенностей экспериментатора. Обнаружение их требует таких специальных исследований, как измерение одной и той же величины разными методами или нескольких эталонов с помощью одного и того же прибора и т.д. К началу математической обработки систематические ошибки должны быть обнаружены и сведены путем соответствующих поправок до ничтожно малых величин.

Исключение случайных ошибок

Случайные ошибки могут быть следствием влияния большого количества разнообразных факторов на результат измерений, в том числе и биологической изменчивости. Эти ошибки не могут быть учтены и устранены путем введения каких-либо поправок, так как они не определены по величине и знаку. Однако с помощью методов теории вероятности можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины.

Учет влияния случайных ошибок основан на знании законов их распределения, причем чаще всего принимается закон распределения Гаусса. Совокупность всех ошибок измерений называют ошибкой опыта.

2.3 Определение ошибки опытов

В соответствии с методами определения ошибок все способы измерения можно разбить на два класса: измерения прямые, когда исконную величину измеряют непосредственно, и измерения косвенные или опосредованные, когда исконная величина является функцией измеряемых величин [3]. Так как измерения косвенные зависят от ряда прямых, то при прочих равных условиях всегда выгоднее тот способ, при котором будет меньше прямых измерений, а значит и меньше сумма ошибок. Вычисление относительной предельной (наибольшей, случайной ошибки) ошибки опыта оцениваются на основании следующих правил:

а) ошибка суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных ошибок слагаемых; практически берут или наибольшую относительную ошибку, или среднюю арифметическую;

б) ошибка произведения и частного от деления равна сумме относительных ошибок сомножителей или соответственно делимого и частного;

в) ошибка n-й степени какого-либо основания (величины) в N раз больше относительной ошибки основания.

Вычисления можно проводить как угодно точно, но результат вычисления не может быть точнее тех данных, на которых оно основано. Установление общей ошибки эксперимента возможно при проведении и анализе поисковых опытов.

Вопросы для самоконтроля.

1. Определите основную задачу научного исследования?

2. В чем состоит принципиальное отличие наблюдения от эксперимента?

3. Перечислите основные ошибки измерения и особенности их появления.

4. Назовите способы устранения грубых, систематических и случайных ошибок измерения.

5. Какие измерения считаются прямыми, а какие косвенными?

6. Как устанавливается общая ошибка опыта?

Лекция 3. Проведение поисковых опытов

План лекции

Статистический анализ

Вычисление среднего арифметического

Установление среднего квадратического отклонения

Нахождение доверительного интервала

3.1 Статистический анализ

Целью поисковых опытов может быть проверка отдельных частей разработанной методики и приспособленности приборов тем измерениям, которые определила методика. Поисковые опыты необходимо ставить для того, чтобы найти основание для расчета количества опытов.

Классические работы Р. Фишера открыли новую страницу в истории биометрии. Они показали, что планирование эксперимента и обработка результатов - это две тесно связанные между собой задачи статистического анализа.

Статистический анализ, в свою очередь, подразделяется на количественный и качественный, в зависимости от законов, описывающих изучаемый признак [7]. Здесь и далее в левой части страницы будет изложен материал количественного статистического анализа, в правой - качественного. На полной странице будет представлена информация, общая для обоих методов.

Статистический анализ:

Количественный	Качественный
основанный на нормальном законе распределения признаков и имеющий количественную градацию	основанный на биноминальном распределении признаков и не имеющих количественных градаций (метод альтернативного варьирования).

Задачей статистического анализа является оценка наиболее вероятного значения определяемой величины среднего арифметического М (вероятности W), а также определение соответствующей ошибки средней m и вероятность ее появления Р.

3.2 Вычисление среднего арифметического

Величина средней арифметической является центром распределения, вокруг которого группируются текущие значения изучаемого признака.

Из нормального закона распределения ошибок явствует, что наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое М из полученных результатов. Оно определяется как сумма всех измерений, деленная на их количество n: (3), где: Хi - варианта (текущее значение изучаемого параметра), n - количество вариантов (объем выборки), i - индекс текущей переменной.	Вероятностью W какого-либо события называют в математике отношение числа случаев, при которых это событие произошло n0, к общему числу наблюдений n: (3а).

Средние величины не являются универсальными характеристиками варьирующих объектов. При одинаковых средних величинах признаки могут отличаться по величине и характеру варьирования. Поэтому наряду со средней для характеристики варьирующих признаков используют и показатели вариации. Одним из таких показателей является среднее квадратическое отклонение.

3.3 Установление среднего квадратического отклонения

Для оценки изменчивости вариационного ряда введена единица изменчивости всех вариант - стандартное отклонение , которую вычисляют следующим образом:

(4),

(4а).

Характерной особенностью как оценки изменчивости является то, что она не может быть постоянной величиной, ее рассчитывают непосредственно для каждого вариационного ряда. Преимущество данной величины перед другими показателями вариации состоит в том, что она распадается на составные компоненты, позволяя тем самым оценивать влияние различных факторов на величину учитываемого признака, а также служит критерием равноточности измерений.

Определение величины коэффициента вариации С_v

При изучении биологических систем часто возникает необходимость сравнить изменчивость разных биологических показателей, выраженных в несопоставимых величинах. С этой целью используют коэффициент вариации, который представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах.

(5).

Этот показатель можно использовать для оценки биологических процессов, исходя из того, что более стабильная система с меньшим коэффициентом вариации более важна для организма и, кроме того, требует меньшее количество измерений для получения достоверных результатов. Принято считать степень вариабельности низкий, если С_V<10%, средний, если С_V>10%, но меньше 25% и высокий, если С_V>25%.

Вычисление средней квадратической ошибки среднего арифметического.

При многократных повторениях величина среднего арифметического будет меняться, что также характеризуется изменчивостью, которая подчиняется закону нормального (а также биноминального) распределения. Следовательно, эту изменчивость можно измерять своей единицей, а именно - средней квадратической ошибкой среднего арифметического, которая рассчитывается по формуле:

(6).

Статистические ошибки характеризуют варьирование выборочных показателей вокруг своих генеральных параметров. Они обладают теми же свойствами, что и среднее квадратическое отклонение. Чем сильнее варьирует признак, тем больше при прочих равных условиях будет ошибка выборочных показателей и наоборот. Зная величину ошибки репрезинтативности - m можно построить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится генеральный параметр.

3.4 Нахождение доверительного интервала

Доверительным интервалом называется величина, откладываемая по обе стороны выборочной средней М и ограничивающая возможные пределы колебаний этой средней вокруг генеральной средней Х.

=t_pm (7),

где: t_p - критерий Стьюдента (находится по таблице) (см. приложение, табл. 2). Значение коэффициента р зависит от объема выборки n и доверительной вероятности Р. Для Р=0,95 и n>30 t=2. С доверительным интервалом тесно связана доверительная вероятность.

Выбор доверительной вероятности

Доверительная вероятность или надежность Р - это вероятность того, что истинное значение средней генеральной совокупности X попадает в интервал М-t_pm<х<М+t_pm.

Как правило, минимально допустимая доверительная вероятность, рекомендуемая при определении доверительных интервалов в биологических исследованиях, равна 95% (Р=0,95 или р=1-0,95=0,05), а доверительный интервал оценивается в 5 процентов выборочной средней М:

(8),

где: р - уровень значимости оценок.

Другими словами доверительная вероятность обратно пропорциональна уровню значимости оценок измерений, которая в свою очередь равна ее относительной погрешности. Величина вероятной ошибки не должна превышать величины заданной надежности для проведения данного исследования.

Выбор величины доверительной вероятности является отправной точкой планирования эксперимента. Установив в ходе поискового опыта основные статистические величины изучаемых явлений, как то среднеарифметическую, среднеквадратическое отклонение и др., можно приступать к планированию эксперимента.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какова цель проведения поисковых опытов?

2. В чем заключено различие качественного и количественного статистического анализа?

3. Как производится вычисление величин среднего арифметического значения при проведении качественного и количественного анализов?

4. Как производится вычисление значений среднего квадратического отклонения при проведении качественного и количественного анализов?

5. Что характеризует показатель коэффициента вариации выборки.

6. Какую функцию отражает величина средней квадратической ошибки среднего арифметического?

7. Как устанавливается доверительный интервал?

8. Из каких соображений выставляется доверительная вероятность?

Лекция 4. Планирование эксперимента

План лекции

1 Установление заданной надежности

2 Определение количества значимых цифр

3 Определение доверительного интервала с учетом случайных и систематических погрешностей

4 Определение необходимого объема выборки

4.1 Установление заданной надежности

При всем разнообразии методов исследовательской работы задача планирования сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах. Планирование эксперимента основывается на установленной надежности - Р, которая обеспечивается за счет увеличения количества измерений и уменьшения погрешностей приборов. В некотором смысле эта задача является обратной той, которая решается при статистической обработке результатов поискового эксперимента.

Применяя статистический анализ к решению практических задач, исследователь имеет дело с измерениями биологических объектов. Обычно измерения проводят с точностью до десятых, сотых или тысячных долей единицы. Более точные измерения проводят реже. Как показывает опыт, нет необходимости в точности измерений, когда эта точность практически не нужна. Данное положение относится и к измеряемым объектам, и к вычислениям, обобщающим статистические характеристики. Точность измерений и их последующих вычислений определяется установленной степенью надежности предполагаемых результатов.

Значения заданных надежностей т.е. вероятностей реализаций данных событий - Р представлены в таблице 3.

Таблица 3. Требуемые уровни надежности, связанные с проведением конкретного рода исследования.

Вероятность заданного уровня Рi	P1	P2	P3	P4
Величина вероятности	0,68	0,95	0,99	0,999
Уровень вероятности	низкий	средний	повышенный	высокий
Уровень значимости оценок - р	0,32	0,05	0,01	0,001

P₁ - вероятность приемлемая для поисковых опытов;

P₂ - для биологических исследований;

P_3,4 - для исследований, связанных со здоровьем человека.

Чтобы избежать грубых ошибок в работе и получить сопоставимые результаты, необходимо неукоснительно соблюдать признанные правила записей и округления приближенных чисел.

4.2 Определение количества значимых цифр

Определение количества значимых цифр, то есть установление минимального порядка оперируемых чисел, обеспечивающего заданный уровень надежности, представлено в таблице 4.

Таблица 4. Количество значимых цифр, соответствующих заданному уровню вероятности.

Вероятность заданного уровня - Pi	P1	P2	P3	P4
Количество значимых цифр - К	2	3	4	5

Последний знак значимого числа считается сомнительным и округление возможно только до этого знака. Установленный уровень надежности накладывает условия на общую величину погрешности эксперимента, которая не должна превышать требуемый уровень значимости. Величина погрешности эксперимента обусловлена величинами погрешностей проведенных опытов, которые в свою очередь складываются из ошибок отдельных измерений.

Для установления предельно допустимой величины погрешности эксперимента необходимо определить его общий доверительный интервал и, оценив необходимое количество измерений, которое нужно произвести, понизить погрешность до требуемого уровня значимости.

4.3 Определение доверительного интервала с учетом случайных и систематических погрешностей

а) доверительный интервал для случайных погрешностей определяется из следующей формулы:

= t_рm (9).

б) доверительный интервал для систематических погрешностей состоит из отдельных - погрешностей приборов и методов.

Погрешность средства измерения, используемого в нормальных условиях для конкретного прибора, устанавливается посредством данной формулы:

(10),

где: h - класс точности приборов, Х_b - показание верхней границы прибора, Х_n - показание нижней границы прибора.

В случае если Х_n=0, а Х_b= 100, то = h, то есть класс точности прибора соответствует систематической погрешности в процентах. Для косвенных измерений общая доверительная вероятность будет состоять из ряда частных:

(11),

где: k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0.95 [9, 10].

В случае если отношение величин систематической погрешности к случайной , то не исключенными систематическими погрешностями, по сравнению со случайными, пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата равна случайной погрешности =_. Если же , то случайной погрешностью, по сравнению с систематическими, пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата равна систематической погрешности =.

При проведении измерений предпочтительно регистрировать не только полученные абсолютные значения исследуемых параметров а_i, но и в отдельных случаях переводить их в относительные величины. Относительные показатели дают возможность сопоставлять измеренные величины, имеющие различные размерности, как это показано в нижеприведенных формулах, и переходить к относительной системе координат. Например, подобным образом осуществлена оценка влияния индивидуальных свойств деконсервированных ооцитов и эмбрионов млекопитающих на уровень их сохранности и установлен верхний порог данного показателя [8].

Элементарная логика и практический опыт показывают, что не разумно стремиться к неоправданно большому числу испытаний, если убедительный результат можно получить при минимально допустимом объеме выборки.

Установленная надежность накладывает условия на общую величину погрешности эксперимента, которая не должна превышать требуемый уровень значимости. Общая величина погрешности эксперимента состоит из погрешностей, возникающих при проведении отдельных опытов, которые складываются из ошибок отдельных измерений. Для установления предельно допустимой величины погрешности эксперимента необходимо определить его общий доверительный интервал и, оценив необходимое количество измерений, понизить величину погрешности до требуемого уровня значимости. Выбор величины доверительной вероятности является отправной точкой планирования эксперимента. Установив в ходе поискового опыта основные статистические величины изучаемых явлений, такие как среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение, можно приступать к планированию эксперимента.

Вопросы для самоконтроля.

Какие факторы влияют на выбор уровня надежности?

От чего зависит количество значимых цифр в числе с которым производятся требуемые операции?

Как определить доверительный интервал для случайных и систематических погрешностей?

Какие существуют особенности соотношения довирительных интервалов для случайных и систематических погрешностей?

Из каких составляющих состоит общая величина погрешности эксперимента?

Лекция 5. Определение необходимого объема выборки

План лекции:

1 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки.

2 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок

3 Формулы приближенной оценки статистических показателей

5.1 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки

При всем разнообразии методов исследовательской работы задача планирования эксперимента сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах. Планирование эксперимента основывается на установленной надежности, которая обеспечивается за счет увеличения количества измерений и уменьшения их погрешностей. Представленные в литературе формулы оценки оптимального числа измерений имеют значительные численные расхождения [6, 7, 11]. Очевидно, что данные расхождения объясняются допущениями, вводимыми авторами в ходе вывода конечных формул. Количественная взаимосвязь представленных параметров выражена в предлагаемых формулах.

Оптимальная схема исследования основана на проведении минимального количества измерений при обязательном условии получения достоверного результата. Необходимая численность выборки - n, отвечающая точности получения среднего результата, зависит от величины ошибки выборочной средней и выводится из формулы вычисления средней квадратической ошибки среднего арифметического т формулы (6) [1, 2, 3].

(6а),

где - среднее квадратическое отклонение, откуда домножив и разделив данное выражение, приведенное в скобках, на среднюю величину - М и критерий Стьюдента - t, произвели замену второго сомножителя на р^-1, и третьего сомножителя на коэффициент вариации - С_v.

(12).

Для уровня надёжности Р=0,95 и величины критерия Стьюдента t=2, соответствующего достоверной выборке (n30), значение формулы упрощается:

n=0.16 (12а).

Значения численности выборки, основанной на нормальном законе распределения признаков и имеющей количественную градацию в зависимости от коэффициента вариации при уровне надёжности Р=0,95, представлены в таблице 5.

Таблица 5. Значение минимального объема выборки n в зависимости от коэффициента вариации для количественного анализа при P=0,95

Cv,%	5	10	15	20	25	30	40	50	100
n	4	16	32	64	100	144	256	400	1600

Пример. В случае если величина среднеквадратического отклонения исследуемого нами признака равна пяти (=5), а среднее арифметическое двадцати (М=20), коэффициент вариации для данной выборки составляет двадцать пять процентов (С_v=(5/20)100=25%). Тогда минимальное количество измерений, обеспечивающее достоверный результат с уровнем надежности 0,95, равно сто (n=0.1625² =100). Относительная погрешность измерения соответствует поставленному критерию надежности.

При альтернативной группировке данных, основанных на биномиальном распределении признаков и не имеющих количественных градаций, когда численность выборочных групп выражается в долях единицы, планируемый объем наблюдений определяется следующим образом:

(12б),

где W-вероятность, величина, определяемая как отношение числа случаев N₀, при которых это событие произошло, к общему числу наблюдений N:

, и [3, 7], тогда:

(12в).

Для выборки, основанной на биномиальном законе распределения признаков и не имеющей количественной градации, при уровне надёжности 0.95, оптимальное количество измерений представлено в таблице 6.

Таблица 6. Значение минимального объема выборки n в зависимости от средней вероятности W, для качественного анализа при Р=0.95.

W (%)	99	95	90	85	80	75	70	60
n	16	89	178	285	400	533	686	1067

Пример. В случае если вероятность изучаемого нами признака составляет восемьдесят пять процентов (W=85%), то величина среднеквадратического отклонения для данной выборки составит около тридцати шести измеряемых единиц (=35,7). Таким образом, необходимо провести не менее двухсот восьмидесяти пяти измерений, чтобы получить достоверный результат с заданным уровнем надёжности (n=1600(15/85)=285).

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующее заключение: для уменьшения ошибки выборочной средней в К раз нужно увеличить объем выборки в К² раз. Если величина количества измерений, обеспечивающего требуемую достоверность значения, настолько велика, что её невозможно реализовать на практике, то в отдельных случаях следует планировать опыт, основываясь на оценке достоверности различия средних значений контроля и эксперимента.

5.2 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок

Минимальное количество измерений, обеспечивающих достоверный результат, зависит от выбора метода проведения статистического анализа и от способа проверки полученного результата. Если полученный результат планируется сравнивать с данными, полученными в контроле при выполнении данного эксперимента, то необходимое количество измерений (n) в каждой выборке можно определить из следующей формулы ф(17):

, ,

,

, , n= 2 (t С_V /)² (13),

где: С_V - коэффициент вариации выборки, - относительный показатель расхождения средних величин сравниваемых выборок, t - критерий Стьюдента 1,00 1,66 1,98 2,63 для уровней надежности Р0,68 0,90 0,95 0,99 при допустимых величинах погрешности вычисления р0,32 0,10 0,05 0,01, соответственно. Данная формула ф(13) позволяет установить минимальное количество измерений по каждой из сравниваемых выборок.

Значимая вариация биологических параметров (С_V10%) приводит к необходимости проведения большого количества повторов измерений (n) с целью получения достоверного результата (рис. 1). Если для количественного метода статистического анализа, как правило, достаточно малой выборки (n30 для С_V1015%), то для качественного (метод альтернативного варьирования) количество повторов необходимо значимо больше (n100 для С_V35300%, при вероятности полученного результата М90(10)50%, соответственно) (рис. 2).



Рис. 1. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от соотношения показателей коэффициента вариации (С_V) и относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок () при различных допустимых величинах погрешности вычисления (р).

Рис. 2. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок () при различной вероятности реализуемого события (М) (метод альтернативного варьирования при уровне надежности 0,95).

При общепринятом в биологии уровне надежности (Р0,95), когда допустимая величина погрешности вычисления не должна превышать пять процентов (р=5%) формулы упрощаются:

...