Напружено-деформований стан стальних оболонок від’ємної гаусової кривизни

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Розвиток сучасних галузей народного господарства таких, як цивільне, промислове і транспортне будівництво та ін., потребує розробки ефективних методів розрахунку напружено-деформованого стану тонкостінних конструкцій оболонкового типу (димові труби, телевізійні вежі, опори мостів, трубопроводи, градирні і інші баштові споруди), які мають широке розповсюдження. Складність розв'язання таких задач зумовлена різновидом як зовнішніх навантажень, так і самих конструкцій.

Існують різні способи спрощення обчислень компонент напруженого стану пологих оболонок. Один з них полягає в тому, що замість локально розподілених навантажень обирають зосереджену силу. Необхідно відзначити, що це не завжди виправдано, навіть тоді, коли в реальних умовах оболонки взаємодіють з іншими конструкціями по площадках малих розмірів. Внаслідок сингулярності напруженого стану оболонки в околі точки прикладання зосередженої сили, доводиться враховувати розміри площадки і характер розподілу зовнішнього навантаження. Це можна зробити за допомогою фундаментальних розв'язків диференціальних рівнянь оболонок.

Тому однією з основних задач механіки оболонок є знаходження фундаментальних розв'язків їх рівнянь при дії зосередженого навантаження, бо знайдені розв'язки дозволяють розраховувати оболонки на дію локалізованих навантажень, а також надають можливість розв'язувати різні задачі контактної взаємодії, зокрема між бетонним ядром та обоймою в сталебетонних конструкціях.

Чисельні методи, які в останній час отримали великий розвиток, при розв'язанні цієї важливої інженерної задачі виявляються малоефективними. Тому аналітичні методи продовжують відігравати тут головну роль.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є дослідження напружено-деформованого стану стальних оболонок нульової і від'ємної гаусової кривизни на локальну дію.

Задача дослідження полягає у розробці ефективного методу розрахунку, проведенні аналітичних та чисельних досліджень напружено-деформованого стану будівельних конструкцій у вигляді оболонок від'ємної та нульової гаусової кривизни під дією локального навантаження.

Об'єкт дослідження - конструкції стальних оболонок нульової і від'ємної гаусової кривизни.

Предмет дослідження - напружено-деформований стан оболонок нульової і від'ємної гаусової кривизни під дією локального навантаження.

Методи дослідження. В роботі були використані такі методи: метод двомірного перетворення Фур'є для розв'язання рівнянь моментної технічної теорії оболонок; метод інтегральних перетворювань для знаходження невласних інтегралів; асимптотичний метод та чисельний метод розв'язання задач контактної взаємодії оболонки та опори; чисельний метод визначення розподілу силових факторів в конструкціях.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Запропонований метод, який дозволяє описати напружений стан, що виникає при локальних діях на оболонки від'ємної та нульової гаусової кривизни.

2. Удосконалені вирази для компонент внутрішніх напружень у оболонках нульової або від'ємної гаусової кривизни під дією зосереджених нормальної або дотичної сил.

3. Надані прості асимптотичні формули для прогину, тангенціальних зусиль та згинальних моментів. Ці формули дали можливість аналітично розв'язати задачі контактної взаємодії вищеперелічених конструкцій.

4. Запропонований чисельний метод розрахунку напружено-деформованого стану конструкцій у вигляді трубопроводу або резервуару у формі однопорожнинного гіперболоїда (або циліндра ) та опори.

Вірогідність результатів забезпечується відповідністю отриманих результатів із вже відомими, які були знайдені за допомогою інших методів, строгістю застосованого математичного апарату.

Практичне значення одержаних результатів. Використання отриманих фундаментальних розв'язків пологих оболонок надало можливість розробки методів розрахунку взаємодії тонкостінних стальних оболонок нульової та від'ємної гаусових кривизн із іншими конструкціями, зокрема сталебетонними, де необхідно розкрити контакт між обоймою і бетонним ядром. Отримані формули відрізняються більш простим та зручним для інженерних розрахунків виглядом на відміну від уже існуючих.

Також подані асимптотичні формули поведінки фундаментальних розв'язків в малому околі точки, до якої прикладена зосереджена сила.

Розроблений алгоритм і створене на його базі програмне забезпечення дозволили чисельно розв'язати задачі контакту стальної оболонки від'ємної або нульової гаусової кривизни із різного типу опорами, в тому числі при наявності пружного шару поміж оболонкою та опорною будовою.

Результати дисертаційної роботи впроваджені в розрахунково-конструкторську практику кафедри “Металеві та дерев'яні конструкції” Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури.

1. Огляд літератури, обґрунтування вибору даної теми досліджень

Дослідження поведінки оболонок від'ємної гаусової кривизни почалися набагато пізніше, ніж сфери та циліндра. Це пояснюється складним виглядом диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами. О.Л. Гольденвейзер довів, що ця задача може бути розкладена на складові, які описувалися більш простими диференціальними рівняннями.

Характер особливостей напруженого стану оболонок довільної кривизни вивчали також В.В. Новожилов і К.Ф. Чорних. Вони довели, що область збурення лежить в околі точки прикладання зосередженої сили. Зважаючи на те, що ця область має малі розміри, напружений стан оболонки можна описати диференціальними рівняннями із сталими коефіцієнтами. Якщо зовнішня локальна сила достатньо віддалена від границь оболонки, то при дослідженні напруженого стану тонкостінного тіла можна знехтувати крайовими умовами.

Фундаментальний підхід потрібен при розв'язанні задач контактної взаємодії, де фундаментальні розв'язки використовуються як ядра інтегральних рівнянь.

Існували різні методи побудови фундаментальних розв'язків. У цьому розділі проведено аналіз цих методів, показані їх переваги та недоліки. Обґрунтовано вибір методу інтегральних перетворювань.

2. Знаходження фундаментальних розв'язків напружено-деформованого стану оболонки від'ємної гаусової кривизни

Вирази для силових факторів (за допомогою символу Кронекера ) через невласні інтеграли під дією нормальної сили Р мають вигляд:

для прогину оболонки:

;

для тангенціальних зусиль:

;

для згинальних моментів:

;

де:

,

.

Під дією дотичної сили:

;

де , b, D- сталі, які залежать від фізичних параметрів оболонки,

,

де - кривизна оболонки (); R1, R2 -радіуси головних кривизн оболонки (R1 R2), - коефіцієнт Пуассона, Е - модуль пружності матеріалу оболонки.

Для зручності обчислювань система координат XOY співпадає з лініями головних кривизн.

За допомогою методу, запропонованого Ватсоном, знайдені вирази для компонентів напруженого стану оболонки нульової та від'ємної гаусових кривизн під дією зосередженої нормальної та дотичної сил. Суть цього методу полягає в тому, що до невласних інтегралів застосовується перетворення Меліна та обчислюється отриманий інтеграл. Потім за допомогою обернення перетворення Меліна та теорії лишків одержуємо вирази для прогину, тангенціальних зусиль та згинальних моментів у вигляді степеневих рядів.

На підставі отриманих невласних інтегралів можна одержати відносно прості асимптотичні формули для обчислення прогинів w, тангенціальних зусиль t1, t2 та згинальних моментів m1, m2 в околі точки, до якої прикладене зосереджене навантаження.

Необхідно відзначити, що прогин в точці прикладання сили має нескінченне значення. Виділивши для зручності сингулярну складову:

,

отримаємо характер поведінки прогину в залежності при віддаленні від точки прикладання зосередженого навантаження. Позначимо:

,

Характерно, що тангенціальні зусилля t1, t2 при =-1 у точці прикладання нормального зосередженого навантаження мають різні знаки, тоді, як при =0 їх знаки збігаються. Параметр кривизн , коли тангенціальне зусилля t2 дорівнює нулю, можна отримати із рівняння:

.

Це приблизно дає - 0,1981.

Характер спадання тангенціального зусилля t1 вздовж ліній головних кривизн:

,.

Згинальні моменти m1, m2 в точці прикладання навантаження вздовж осей координат OX та OY мають особливість порядку lnx або lny відповідно. При віддаленні від точки прикладання значення m1, m2 швидко спадають.

Тангенціальні зусилля під дією дотичної сили мають особливість порядку х-1. Згинальні моменти особливостей не мають, тому як .

3. Типи задач контактної взаємодії стальної оболонки з конструкціями опор, в яких необхідно було визначити контактний тиск р(y) та довжину зони контакту 2l в залежності від зовнішньої сили P, яка притискає оболонку до опори

Взаємодія проходить за допомогою нормальних контактних зусиль, дотичними зусиллями нехтуємо.

Для першого типу задач умову сумісності переміщень оболонки та півплощини вздовж лінії контакту можна записати у вигляді:

,

де - невідома стала зближення тіл, що контактують.

Так як зона контакту передбачається малою, то в якості фундаментального розв'язку w1(y) використовуємо розв'язок для півплощини:

,

тут E 1, 1, h1- коефіцієнт Пуассона, модуль Юнга, товщина півплощини, p() - контактний тиск.

Використовуючи асимптотичну формулу для прогину стальної оболонки:

,

отримаємо:

, ,

Умова рівноваги опори під дією зовнішньої сили:

.

Розв'язавши інтегральне рівняння, ми отримали формулу для визначення контактного тиску:

де:

.

Використовуючи рівняння, залежність між довжиною зони контакту та величиною сили Р описується формулою:

.

.

При прикладанні однакового навантаження до оболонок. контактний тиск менше для оболонок з кривизною = -1 порівняно з циліндричними оболонками.

Якщо між оболонкою та опорою є пружний шар, то умову сумісності переміщень можна записати у вигляді:

,

де - переміщення серединної поверхні пружного шару. Тоді інтегральне рівняння має вигляд

,

де:

,

Е3, h3-фізичні сталі пружного шару.

Тоді для контактного тиску та зовнішньої сили отримаємо наступні вирази:

,

.

Аналізуючи результат обчислень величини контактного навантаження, можна зробити такий висновок: при наявності пружного шару контактний тиск на одиницю довжини зони контакту зменшується порівняно з випадком, коли оболонка безпосередньо контактує з опорою. Контактне навантаження обернено - пропорційно модулю пружності прокладки.

В третьому типі задач розглянемо дію кожної опори окремо. Цей випадок описується таким рівнянням:

.

Прогин оболонки береться вздовж осі ОХ. Використовуючи метод розв'язання попередньої задачі, отримаємо для контактного тиску:



для зовнішньої сили Р:

.

У третьому розділі також подані графіки для другого та третього типу задач при різних значеннях параметрів оболонки, опори та пружного шару.

4. Чисельний метод розв'язання задач, які були розглянуті у третьому розділі

Різниця між аналітичним та чисельним методами полягає у тому, що замість асимптотичної формули для прогину оболонки береться фундаментальний розв'язок Ф(t), отриманий у другому розділі у вигляді степеневого ряду. Кількість членів суми обумовлюється можливостями ПЕОМ.

Враховуючи, що контактний тиск є парною функцією, тобто , можна розглядати тільки інтервал . Тоді рівняння буде мати вигляд:

Розбиваючи інтервал (0,1) на n рівних частин, на кожній з яких функції ,, будемо вважати зберігаючими постійне значення ,, відповідно (). Для цього значення змінної y, будемо брати в вузлових точках , а змінну в серединах цих інтервалів . Тоді, для контактного тиску отримаємо такий вираз:

,,.

Інтегральне рівняння перетворюється у систему n+1 лінійних алгебраїчних рівнянь відносно n невідомих невідомої С1.

.

Інтеграли обчислюються аналітично методом інтегрування частинами.

.

У випадку, коли sm:

Перша частина програми обчислює коефіцієнти . Далі за допомогою методу Гауса розв'язується система рівнянь.

Після знаходження невідомих , було побудовано графік функції , яка є наближеним розв'язком рівняння.

Результатом роботи програми є графічне зображення розподілу контактного тиску та знаходження довжини лінії контакту в залежності від зовнішньої сили, яка прикладена, і параметрів моделі. Проведені тестові розрахунки, на підставі яких зроблено аналіз залежності довжини зони контакту від гаусової кривизни оболонки, радіусів і фізичних сталих її та опори, кількості членів ряду для прогину.

Далі розглядається конструкція у вигляді однопорожнинного гіперболоїда обертання довжиною l (або циліндра). Ця конструкція стискається двома опорами, навантаженими силами P по двох дугах довжиною 2r. Розглядається контактний тиск, який виникає під дією опори в перерізі х=х1.

Вирази для компонентів напруженого стану мають вигляд:

;;

;;

де: ,,- сталі, які залежать від фізичних параметрів оболонки.

Інтенсивність навантаження представимо у вигляді:

,

де д(х-х1) - дельта - функція,

,,

де знайдені чисельним методом за допомогою першої програми.

За допомогою двомірного розкладання в ряд Фур'є отримаємо:

,

,

,

,

де - переміщення серединної поверхні.

Використовуючи рівняння моментної технічної теорії оболонок під дією нормальної сили:

,

,

,

і, знайшовши частині похідні функцій, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних ,. Після розв'язання цієї системи було знайдено вирази для прогину, тангенціальних зусиль та згинальних моментів у вигляді подвійних степеневих рядів. Для обчислення значень компонент напруженого стану в залежності від точки прикладання сили до оболонки створена програма.

При зростанні s коефіцієнти розкладання швидко спадають. Тому, при чисельному обчисленні можна обмежитись 5 членами кожного ряду. Результати подані у графічному вигляді.

Висновки

Розв'язані диференціальні рівняння моментної технічної теорії, якими описується напружено-деформований стан вищеперелічених конструкцій. Отримані вирази для прогину, тангенціальних зусиль та згинальних моментів відповідають вже існуючим, проте, на відміну від них, мають більш простий вигляд.

Проведено аналіз компонент напруженого стану оболонок від'ємної та нульової гаусових кривизн вздовж ліній головних кривизн під дією зосереджених зовнішніх навантажень.

Надані асимптотичні формули компонент напруженого стану для малого околу точки прикладання нормальної і дотичної зосереджених сил. Дано графічне зображення компонент напруженого стану.

Аналітично розв'язані три типи задач взаємодії трубопроводу або резервуару та опори на базі отриманих асимптотичних формул. Результати обчислень показують, що для циліндричної оболонки контактний тиск більше, ніж для оболонок відємної гаусової кривизни.

Порівнюючи результати обчислень двох задач взаємодії, можна відзначити, що істотне значення грає лінія головної кривизни, вздовж якої відбувається взаємодія оболонки та опори. Так, при контакті вздовж лінії найменшої кривизни (зокрема утворюючої циліндра) контактний тиск на одиницю довжини більше в порівнянні з взаємодією тіл вздовж лінії найбільшої кривизни.

При прокладанні пружного шару між оболонкою та опорою контактний тиск на опору зменшується.

Контактний тиск також залежить і від модуля пружності та товщини шару, тобто, чим більше товщина або модуль пружності, тем менше навантаження.

Запропоновано чисельний метод розрахунку розподілу контактного тиску та довжини зони контакту, а також компонентів напружено - деформованого стану розглянутих конструкцій в залежності від зовнішньої сили та точки її прикладання.

гаусовий будівельний згинальний деформований

Література

1. Б.В. Нерубайло, В.П. Ольшанский, М.Е. Резуненко. Об одной форме фундаментального решения уравнений оболочек отрицательной гауссовой кривизны// Известия Академии Наук. Механика твердого тела. .-№4. - Москва, 1997-С.144-149.

2. М.Е. Главчева (М.Е. Резуненко), М.И. Главчев. Автоматизированная система расчета контактной нагрузки// Применение вычислительных систем. - Вестник Харьк. гос. политехн. университета, вып.2. -№21. -Харьков, 1997. -С.15-17.

3. М.Е. Балака (М.Е. Резуненко). Взаимодействие оболочки отрицательной гауссовой кривизны с полуплоскостью при наличии упругого слоя между ними. // Механика. Машиностроение.- Вестник Харьк. гос. политехн. университета, вып.7, часть 2. -Харьков, 1997. -С.3-5.

4. М.Е. Главчева (М.Е. Резуненко), В.П. Ольшанский. Контактная задача взаимодействия оболочки отрицательной гауссовой кривизны с упругой полуплоскостью// R-функции в задачах математической физики и прикладной геометрии.- Сборник научных трудов. ХИПБ.--Харьков. -1996. -С.49-53.

5. М.Е. Балака (М.Е. Резуненко), В.П. Ольшанский. Численное решение задачи контактного взаимодействия оболочки и ложемента. // Труды международной научно-технической конференции (Microcad ' 97). - Харьков. -1997. -С.137-140.

Размещено на Allbest.ru

...