Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет будівництва і архітектури

УДК 539.3

05.23.17 - Будівельна механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Реалізація криволінійних скінченноелементних моделей на основі векторної апроксимації функції форми в задачах теорії оболонок

Костіна Олена Володимирівна

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Гоцуляк Євген Олександрович, Науково-дослідний інститут будівельної механіки КНУБА, завідувач відділу стійкості конструкцій.

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор Рассказов Олександр Олегович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки

- кандидат технічних наук, с.н.с. Карпиловський Віктор Семенович, Український інститут дослідження навколишнього середовища та ресурсів, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, відділ механіки композиційних середовищ

Захист відбудеться 17 жовтня 2003 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03037, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31.

Автореферат розісланий 15 вересня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради к.т.н., с.н.с. Кобієв В.Г.

Анотації

Костіна О.В. Реалізація криволінійних скінченноелементних моделей на основі векторної апроксимації функції форми в задачах теорії оболонок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - будівельна механіка. - Киівський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України, Київ, 2003.

Реалізовано нову схему методу скінченних елементів, особливість якої полягає у векторному представленні функції переміщень. Використана поліноміальна апроксимація шуканої вектор-функції у вигляді векторного ряду Маклорена. Апроксимуючий поліном містить жорстке зміщення і жорсткий поворот скінченного елемента довільної криволінійної форми, завдяки чому, задовольняючи умові жорстких зміщень, в багатьох задачах про деформування оболонок покращує збіжність розв'язків.

Запропоновано аналітичний спосіб тестування матриць жорсткості, який має певні переваги у порівнянні із загально прийнятим чисельним способом тестування.

Збіжність запропонованої схеми методу скінченних елементів перевірено шляхом розв'язання ряду тестових задач.

Досліджено напужено-деформований стан реальних складних оболонкових конструкцій: складеної оболонки спіральної камери гідротурбіни і несучої оболонки конвертора великої ємності.

Ключові слова: тонкостінна оболонка, напружено-деформований стан, метод скінченних елементів, криволінійний скінченний елемент, матриця жорсткості, векторна апроксимація, збіжність.

Костина Е.В. Реализация криволинейных конечноэлементных моделей на основе векторной аппроксимации функции формы в задачах теории оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - строительная механика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры Министерства образования и науки Украины, Киев, 2003.

Реализована новая схема метода конечных элементов, особенность которой заключается в векторном представлении функции перемещений, благодаря чему решается проблема жестких смещений. Используется полиномиальная аппроксимация искомой вектор-функции в виде векторного ряда Маклорена. После проектирования выражения вектор-функции на векторы локального базиса получены функции, аппроксимирующие скалярные перемещения в области конечного элемента. Необходимо отметить, что аппроксимирующий полином явно содержит вектор жестких смещений и поэтому, удовлетворяя условию жестких смещений, во многих задачах о деформировании оболочек улучшает сходимость решений. Вывод матрицы жесткости с использованием векторной аппроксимации перемещений оказался значительно проще в сравнении со случаем скалярной аппроксимации. При этом самое главное, конечно, достижение лучшей сходимости при решении задач теории оболочек. Векторная схема метода конечных элементов реализована в программном комплексе для случая четырехугольной регулярной конечноэлементной сетки.

Предложен аналитический способ тестирования матриц жесткости, который имеет определенные преимущества в сравнении с общепринятым численным способом тестирования. Поскольку тестирование конечноэлементных схем выполняется, как правило, после их программной реализации, это связано с большимим трудозатратами, предшествующими процедуре положительной оценки схемы. Аналитический подход позволяет дать интегральную оценку ошибки аппроксимации на стадии разработки схемы. Благодаря такой жесткой норме оценки удается получить более правильную величину ошибки по сравнению с численным тестированием.

Сходимость схемы проверяется путем решения ряда тестовых задач. Среди них задачи о деформировании разомкнутого кольца под действием сосредоточенной силы, напряженно-деформированное состояние свободной цилиндрической оболочки под действием системы двух диаметрально противоположно направленных сил, деформирование цилиндрической панели под действием собственного веса, деформирование круглой пластины с круглым отверстием в центре под действием равномерно распределенного давления, деформирование тороидальной оболочки под действием внутреннего давления, жесткое смещение свободной тороидальной оболочки при заданном в одной точке перемещении. Результаты расчета сравниваются с известными численными данными и аналитическими решениями. Сравнительный анализ результатов свидетельствует о высокой скорости сходимости численных решений описанного метода: при одинаковой густоте сетки результаты точнее в сравнении с решениями традиционного МКЭ и МКС. А последняя задача наиболее ярко продемонстрировала полное отсутствие ошибки аппроксимации функции жестких смещений в предложенной схеме метода конечных элементов.

Исследовано напряженно-деформированное состояние реальных сложных оболочечных конструкций: составной оболочки спиральной камеры гидротурбины под действием внутреннего гидростатического давления и несущей оболочки конвертора большой емкости под действием ферростатического давления и собственного веса конструкции при различных углах наклона корпуса.

Ключевые слова: тонкостенная оболочка, напряженно-деформированное состояние, метод конечных элементов, криволинейный конечный элемент, матрица жесткости, векторная аппроксимация, сходимость.

Kostina O.V. The curvilinear finite element models realization with vector approximation of function form in the problems of the theory of shells. - Manuscript.

The thesis for competition of scientific degree of the Candidate of Technical Sciences by speciality 05.23.17 - Structural Mechanics. - Kyiv National University of Civil Building and Architecture Department of Education and science of Ukraine, Kyiv, 2003.

The scheme of finite element method, peculiarity of which consists in vectorial statement function of displacements is offered. The displacements of a finite element are noted as a vector function in appearance MacLourin vector row, which contains a rigid displacement and rigid turn of a finite element of the arbitrary curvilinear form. Thus, the most principal, certainly, reaching of the best convergence in the problems of the theory of shells.

Analytical method of stiffness matrix testing, which has definite advantages in comparison with generally used numerical testing, is offered.

The convergence of the offered scheme of a finite element method is checked up by means of a solution by a set of test examples.

Deform proceses of real complex shell structures: composite shell spiral chamber of hydro-turbine and carrier shell of big capasity converter are investigated.

Key words: thin shell, the stress-strained state, finite element method, curvilinear finite element, stiffness matrix, vector approximation, convergence.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Розвиток сучасної техніки супроводжується створенням оптимальних та економічних конструкцій, що складаються з різноманітних оболонкових елементів. У зв'язку з цим підвищуються вимоги до надійності і зростає значення правильної оцінки напружено-деформованого стану (НДС) конструкцій, що проектуються. Ускладнення умов експлуатації, необхідність максимального використання ресурсів міцності, прагнення до економії матеріалу роблять актуальною на цей час побудову уточнених моделей і методів розрахунку оболонок.

Проведений аналіз літературних джерел виявив, що при різноманітті постановок і результатів дослідження деформування оболонкових систем із застосуванням методу скінченних елементів найменш поширеним є використання криволінійного скінченного елемента. Ні один із численних підходів до побудови оболонкового криволінійного скінченного елемента не привів до позитивного результату, тобто, не вдалося отримати матрицю жорсткості, яка б властивостями не поступалася матриці жорсткості плоского скінченного елемента, відносно точності апроксимації, збіжності розв'язку. Таким чином, проблема побудови матриці жорсткості криволінійного скінченного елемента і шляхи її розв'язання залишаються вельми актуальними сьогодні.

Дану роботу присвячено викладенню нової схеми методу скінченних елементів стосовно дискретизації співвідношень теорії тонких оболонок у загальній криволінійній системі координат. Схема базується на векторному представленні функції переміщень рядом Маклорена, коефіцієнтами якого є значення шуканої вектор-функції та її похідних у центрі скінченного елемента.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у відповідності з тематикою і загальним планом досліджень кафедри будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) і Науково-дослідного інституту будівельної механіки КНУБА, зокрема з держбюджетними темами 2 ДБ-96 "Розробка теорії, методів математичного та чисельного аналізу забезпечення надійності та довговічності споруд і обладнання в будівництві" (№ держ.реєстрації 0196U016051), 1 ДБ-2001 "Розробка теорії діагностичного аналізу збуджуваних сейсмічним впливом віброударних процесів в складних комбінованих системах" (№ держ.реєстрації 0199U002034), 2 ДБ-2002 "Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів деформування, механізмів руйнування та втрати стійкості просторових конструкцій" (№ держ.реєстрації 0102U000928). Автор приймав безпосередню участь у виконанні цих науково-дослідних робіт як співвиконавець.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в розробці ефективної методики для розв'язання задач теорії тонких оболонок довільної форми та програмного забезпечення для чисельної реалізації запропонованої схеми методу скінченних елементів, а також у розв'язанні важливих для інженерної практики задач про визначення НДС оболонкових конструкцій.

Досягнення зазначеної мети здійснюється шляхом послідовного виконання наступних взаємопов'язаних задач:

вивчення проблеми використання криволінійного скінченного елемента;

побудова розрахункових співвідношень методу скінченних елементів з векторною апроксимацією функції форми;

реалізація методу і алгоритму шляхом створення розвиненого програмного забезпечення;

розв'язання тестових задач, які доводять вірогідність результатів та ефективність реалізації;

аналіз особливостей процесів деформування реальних складних конструкцій.

Об'єктом дослідження є напружено-деформований стан оболонкових конструкцій.

Предметом дослідження є запропонований криволінійний скінченний елемент, який застосовується для розв'язання задач про напружено-деформований стан тонких оболонок довільної форми.

Методи дослідження. Для дослідження напружено-деформованого стану оболонкових конструкцій у роботі застосований метод скінченних елементів з використанням нової схеми апроксимації розрахункових функцій. Для тестування матриць жорсткості, побудованих на основі запропонованої схеми використано аналогічний методу Рітца аналітичний підхід, у якому повна потенціальна енергія відомого поля деформацій визначається шляхом її інтегрування в області кожного скінченного елемента, і підсумовування по всій області оболонки.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

розроблено ефективну методику дослідження тонких оболонок довільної форми, яка дозволяє з високою мірою точності описувати їх загальний напружено-деформований стан;

реалізована нова скінченноелементна схема в криволінійній системі координат, яка поєднує в собі переваги в питаннях збіжності і алгоритмізації процесу побудови розв'язуючої системи рівнянь;

з використанням векторної апроксимації виведено матрицю жорсткості криволінійного скінченного елемента, яка має властивості, аналогічні властивостям матриці жорсткості плоского скінченного елемента відносно точності апроксимації і збіжності розв'язку.

запропонований аналітичний спосіб тестування скінченноелементної апроксимації, який дозволяє дати інтегральну оцінку помилки на стадії розробки матриці жорсткості.

Практичне значення одержаних результатів полягає у створенні орієнтованого на персональні ЕОМ програмного комплексу, що дозволяє проводити чисельні дослідження напружено-деформованого стану складних оболонкових конструкцій. Розроблений підхід і програмне забезпечення впроваджені у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури при виконанні робіт за держбюджетною тематикою. Запропонована схема методу скінченних елементів може бути включена до існуючих програмних комплексів, що дозволить підвищити якість розрахунків при проектуванні оболонкових конструкцій.

Особистий внесок здобувача в розробку наукових результатів полягає в наступному: проведено огляд літературних джерел з питань сучасного стану проблеми розробки криволінійних скінченних елементів, виведені розрахункові співвідношення схеми методу скінченних елементів у векторному поданні, запропонований аналітичний спосіб тестування матриць жорсткості для криволінійних скінченних елементів, проведено чисельне дослідження збіжності методу на низці тестових задач та досліджені особливості напружено-деформованого стану реальних конструкцій: оболонок складної форми.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на 57 - 59-й, 61 - 63-й науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури; на Міжнародному конгрессі "Пространственные конструкции в новом строительстве и при реконструкции зданий и сооружений" 22-26 червня 1998 року у Москві, на Міжнародному симпозиумі, присвяченому проблемам тонкостінних просторових систем 4-5 липня 2001 року у Тбілісі.

Публікації. Основний зміст дисертації і результати наукових досліджень опубліковані в 11 наукових працях [1-11], п'ять статей [1-5] опубліковано в провідних наукових журналах та інших фахових виданнях, інші праці [6-10] - публікації матеріалів міжнародних конгресів, симпозиумів, 1 статтю [11] депоновано.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, одного додатку. Загальний зміст дисертації становить 132 сторінки, у тому числі основний текст дисертації на 110 стор., 22 рисунки, 13 таблиць, список використаних джерел із 194 найменувань на 22 стор. 1 сторінка додатку.

Основний зміст роботи

У вступі дисертаційної роботи обгрунтовано актуальність теми, наукова новизна і практична цінність, визначені мета і задачі досліджень, та впровадження результатів, наведена загальна характеристика роботи.

У першому розділі на підставі огляду літературних джерел надано оцінку стану досліджень за темою дисертації та поставлено задачу дослідження. Проведено огляд наукових праць у галузі чисельних методів, які найбільш широко застосовуються для розрахунку тонких оболонок.

Аналітичні та чисельні методи дослідження оболонок обертання, а також пологих оболонок отримали розвиток у роботах М.П. Абовського, І.Я. Аміро, В.А. Баженова, Д.В. Вайнберга, П.М. Варвака, А.Т. Василенка, А.С. Вольміра, В.В. Гайдайчука, О.І. Голованова, О.В. Гондляха, О.С. Городецького, Є.О. Гоцуляка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, В.І. Гуляєва, О.І. Гуляра, М.І. Длугача, В.О. Заруцького, Б.Я. Кантора, В.М. Кислоокого, М.В. Колкунова, П.П. Лізунова, В.В. Новожилова, П.М. Огибалова, В.Г. Піскунова, В.О. Постнова, О.О. Рассказова Л.О. Розіна, О.С. Сахарова, С.П. Тимошенка, М.О. Шульги, Дж. Аргіріса, Р. Галлагера, O. Зенкевича та інших учених.

Розглянуто проблему застосування криволінійного скінченного елемента. Перерахована велика кількість скінченноелементнтних схем, які найчастіше використовуються сьогодні. Обговорюються переваги і недоліки скінченних елементів з точки зору їх збіжності. Особливу увагу приділено роботам, які присвячені питанням урахування жорстких зміщень. Розділ закінчується обгрунтуванням необхідності проведення досліджень за зазначеною темою і вибору методів досліджень.

У другому розділі викладені основні співвідношення теорії тонких оболонок, описані загальні положення запропонованої схеми методу скінченних елементів, виведено матрицю жорсткості криволінійного скінченного елемента, запропонований аналітичний спосіб тестування розробленої схеми.

У центрі чотирикутного скінченного елемента розмістимо криволінійну систему координат , вибрану так, щоб контури скінченного елемента співпадали з координатними лініями Тоді розміри скінченного елемента в напрямку координатних ліній становитимуть і , а площа - . Поверхня скінченного елемента описується в декартовій системі координат функціями

. (1)

Розрахункові співвідношення теорії тонких оболонок у криволінійних неортогональних координатах прийняті згідно монографії Черниха К.Ф. (Линейная теория оболочек. Часть 2. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1964. - 395 c.).

Переміщення точок елемента оболонки описуються вектор-функцією

(2)

Деформації серединної поверхні елемента визначаються диференціальними залежностями:

, (3)

де - відповідно, коваріантні компоненти тензора тангенціальних деформацій, вектора кутів повороту і тензора згинальних деформацій.

Контраваріантні компоненти тангенціальних і згинаючих зусиль виражаються через деформації згідно закону Гука:

,

, (4)

де Е, h, - відповідно модуль пружності, товщина і коефіцієнт Пуассона).

Потенціальна енергія деформації елемента визначається за формулою

. (5)

Для виводу матриці жорсткості скінченного елемента вектор-функцію переміщень (2) апроксимовано рядом Маклорена

(6)

коефіцієнтами якого є значення компонент вектор-функції переміщень та її коваріантних похідних, які визначені в центрі скінченного елемента. Після підставлення виразу (6) у формули (3), одержані апроксимуючі залежності для деформацій:

(7)

Обмежуючись, як це часто роблять для оболонок, наступним набором коефіцієнтів апроксимуючого ряду, представимо їх у векторному вигляді:

(8)

Матричні залежності деформацій від функцій переміщень та їх коваріантних похідних мають вигляд:

, , (9)

де , (10)

, Ї матриці, які пов'язують параметри поля переміщень, що припускається з полем деформацій.

Введемо вектор вузлових переміщень

(11)

де символами "+" і "-" позначені величини +0,5 і -0,5 координат .

Пряма та зворотня залежності вектора вузлових переміщень і вектора коефіцієнтів апроксимуючого ряду визначаються матрицею :

, (12)

Частина матриці P, що відповідає будь-якому з вузлів скінченного елемента, має вигляд:

(13)

Тут

- коефіцієнти перетворення компонент геометричного вектора при переносі його з центру в вузол скінченного елемента.

Потенціальну енергію елемента через знаходжувані вузлові переміщення запишемо у вигляді функціоналу Лагранжа:

(14)

де ,

- матриці пружних сталих матеріалу оболонки і коефіцієнтів перетворення тензорних компонент, - вектор вузлових навантажень; - вектор реакцій, який визначається через вузлові компоненти:

.

З умови стаціонарності функціонала повної потенціальної енергії, тобто

,

знаходимо вектор реакцій:

.

Тут

,

де і - матриці тангенціальної та згинальної жорсткостей скінченного елемента, які в свою чергу мають вигляд:

,

. (15)

Виведення матриці жорсткості з використанням векторної апроксимації виявилось значно простішим у порівнянні з випадком скалярної апроксимації. При цьому найголовнішим є, звичайно, досягнення кращої збіжності при розв'язанні задач теорії оболонок.

Запропоновано аналітичний спосіб тестування матриць жорскості методу скінченних елементів. Відома функція розв'язку задачі деформування оболонки і її похідні задаються в центрі скінченного елемента, а в решті його області розв'язок апроксимується згідно прийнятої функції форми. Далі, шляхом інтегрування в області кожного скінченного елемента, і підсумовування по всій області оболонки визначається її повна потенціальна енергія. Після варіювання функціоналу за незалежними параметрами, які визначають розв'язок задачі, отримуємо їх наближені значення, які порівнюємо з точними. Цей підхід використано для тестування матриць жорсткості, побудованих на основі векторної і невекторної апроксимації функцій переміщень, у задачі С.П. Тимошенка про деформування нерозтяжної кругової циліндричної оболонки під дією двох діаметрально протилежно спрямованих сил.

Переміщення оболонки апроксимуються наступними виразами

. (16)

При векторній схемі записуємо вирази потенціальної енергії оболонки довжиною 2l і потенціалу зовнішніх сил на радіальних переміщеннях точок їх прикладання, тобто точок та , .

Користуючись принципом віртуальних переміщень, знаходимо коефіцієнти ряду розкладання

. (17)

Далі, враховуючи значення коефіцієнта, отриманого С.П. Тимошенком

,

і наступний вираз для прогину

,

оцінюємо помилку в обчисленні прогину, яка не залежить від відношення R/h і при m=16 становить 8.

Ту ж саму задачу було розглянуто при невекторній апроксимації функцій переміщень оболонки:

(18)

З виразу внутрішньої потенціальної енергії та виразу потенціалу зовнішніх сил отримуємо коефіцієнт ряду розкладання

 (19)

При m можемо знехтувати малими членами у виразі (19) і визначити помилку обчислень. Наприклад, при m=100 і помилка становить майже 100% і тільки при m=4000 і отримуємо помилку 16,5%.

Недоліком традиційної чисельної оцінки методу скінченних елементів є те, що в даній задачі оцінюється тільки прогин під діючою силою і не приділяється уваги поведінці функції в усій області оболонки. Аналітичний підхід дозволяє дати інтегральну оцінку помилки апроксимації. Завдяки такій жорсткій нормі оцінки отримується правильніша величина помилки у порівнянні з чисельним тестуванням.

У третьому розділі виконане чисельне дослідження збіжності запропонованого методу шляхом розв'язання шести тестових задач. Серед них задачі про деформування розімкнутого кільця під дією зосередженої сили, деформування тороїдної оболонки під дією внутрішнього тиску (рис. 3) і вільне зміщення тороїдної оболонки при заданому в одній точці переміщенні (рис. 4).

У першій задачі розглядається кільце з радіусом R = 0,2 м і перерізом 0,01 ґ--0,01 м. Модуль пружності E = 0,1 МПа, коефіцієнт Пуассона = 0. Один кінець кільця жорстко затиснений, до вільного кінця прикладена зосереджена сила P=10-5 Н. За характеристику густоти сітки прийнято кут розхилу , що приходиться на один елемент при рівномірному розбитті кільця.

В таблиці 1 наведені значення прогину в точці прикладання сили, які отримані запропонованим методом із різними кутами розхилу скінченного елемента і, для порівняння, результати, що отримані за традиційним методом скінченних елементів, моментною схемою скінченних елементів і методом скінченних різниць.

Аналіз результатів виявив, що розв'язок на основі традиційного варіанта МСЕ при сітці з = 2/45 відрізняється від точного приблизно в 5 разів, застосування криволінійного елемента МССЕ забезпечує точність 4% при = /9. Оскільки в запропонованому методі вдалося повністю виключити можливість похибки апроксимації функції переміщень, розв'язок задачі дає задовільну точність уже на малій сітці.

Досліджується збіжність розв'язку задачі про напружено-деформований стан тороїдної оболонки при осесиметричному навантаженні. Для цієї задачі характерна та особливість, що при дії на тороїдну оболонку внутрішнього тиску з'являється суттєве жорстке переміщення перерізу тора. Розв'язання цієї задачі за методами, що не враховують цього зміщення, приводить до великої похибки в результатах розрахунку.

Параметри оболонки наступні: r = 0,1м, R = 0,5м, товщина h = 0,002м, мо-дуль пружності E = 2,1 МПа, коефіцієнт Пуассона = 0,3, величина внутріш-нього тиску Р = 100 Па.

Для оцінки вірогідності результатів розрахунок тороїдної оболонки з такими саме параметрами виконано також за допомогою програмного комплексу ЛІРА, в якому використовується плоский скінченний елемент. Була проаналізована збіжність розв'язків при згущенні сітки по малому і великому колу тороїдної оболонки. Величини зусиль і , отримані в результаті розв'язання задачі обома методами, порівнювались з аналітичним розв'язком. Порівняння виявило певні переваги запропонованої схеми. Вже на малій сітці (n = 4) спостерігається краща збіжність у напрямку твірної оболонки. Величини зусиль і із використанням криволінійного скінченного елемента отримуються майже рівними аналітичним значенням. Помилка ж обчислень за ПК ЛІРА набагато більша. На щільній сітці (n = 16) помилка обчислень за ПК ЛІРА перевищує помилку векторної схеми МСЕ у 1,5 рази, а помилка обчислень - у 6 разів. Далі було проаналізовано збіжність по напрямній оболонки. Тут, на малій сітці ( =/4), середня відносна помилка обчислення переміщень w становить 13% у векторній схемі і 62% у ПК ЛІРА. Помилка обчислень зусиль за ПК ЛІРА перевищує помилку векторної схеми у 3 рази, а помилка у - у 27 разів.

Розглянута тестова задача жорсткого переміщення вільної тороїдної оболонки в екваторіальній площині при завданні кінематичного зміщення однієї точки оболонки. Розраховувалась оболонка з параметрами, які були прийняті у попередній задачі.

Останньою була тестова задача жорсткого переміщення вільної тороїдної оболонки в екваторіальній площині при завданні кінематичного зміщення однієї точки оболонки. Розглядалася тороїдна оболонка, геометричні параметри якої наступні : r = 0,1 м, R = 0,5 м, товщина h = 0,002 м, модуль пружності E = 2,1 МПа, коефіцієнт Пуассона = 0,3.

При заданому в одному з вузлів одиничному переміщенні були отримані практично одиничні з точністю до четвертого знаку, переміщення в решті вузлів фрагмента, що розраховувався.

Порівняльний аналіз результатів з відомими чисельними даними свідчить про високу швидкість збіжності числових розв'язків описаного методу: при однаковій густоті сітки результати точніші в порівнянні із розв'язками традиційного МКЕ і МКС. А останній приклад яскраво продемонстрував повну відсутність похибки апроксимації функції жорстких зміщень у запропонованій модифікації методу скінченних елементів.

Четвертий розділ присвячений чисельному дослідженню напружено-деформованого стану оболонок складної форми: складеної оболонки спіральної камери гідротурбіни і несучої оболонки конвертора великої ємності.

Матеріал оболонки спіральної камери гідротурбіни - сталь з модулем пружності E = 2,0581011 Па і коефіцієнтом Пуассона = 0,3. Товщина оболонки h = 2,5 см.

Розрахункова сітка на фрагменті у напрямку параметра має 8 поділок, у напрямку - 252 поділки (14 поділок на секції). Порядок матриці коефіцієнтів розв'язуючих рівнянь при сітці 8Ч252 склав 12096. Унаслідок виконаних розрахунків знайдено функції переміщень в усіх точках сіткової області. З їх використанням підраховано значення деформацій, мембранних і перерізуючих зусиль, згинаючих моментів.

На рис. 5,а наведені епюри розподілу внутрішніх зусиль , на рис. 5,б - внутрішніх згинаючих моментів для перерізів, що знаходяться на стику 1-ої і 2-ої секцій та посередині 2-ої секції. Для порівняння на цих рисунках представлені епюри зусиль і моментів в гладкій тороїдній оболонці із затиснутим вирізом (пунктирна крива) і в складеній тороїдній оболонці, що набрана зі скошених циліндричних секцій (штри-хова крива), що отримані за методом криволінійних сіток.

Параметри цих оболонок представлені в методичних вказівках по застосуванню комплекса програм МЕКРИС-2.

Аналіз отриманих результатів виявив задовільне узгод-ження з результатами авторів методу криволінійних сіток.

Виконано чисельне дослідження корпусу конвертора як просторової системи, що складена з набору тонкостінних оболонок змінної геометрії, ребер і масивних кронштейнів. Були розглянуті навантаження оболонки власною вагою та феростатичним тиском при різних кутах нахилу корпусу конвертора. На рис. 6 наведений графік залежності максимальних значень зусиль , , , від кута нахилу корпусу конвертора , з якого видно, що зусилля зростають при переході корпусу з вертикального у похиле і горизонтальне положення. Найбільших значень зусилля набувають у горизонтальному положенні.

У похилому й горизонтальному положеннях найбільші значення прогинів і зусиль, як і у вертикальному положенні, реалізуються в зонах верхніх частин кронштейнів. Слід зазначити значне збільшення згинаючих моментів на горловині. Однак, завдяки підвищеній жорсткості оболонки в цій області, напруження, що викликані моментами і , невеликі.

Взагалі, у результаті розрахунку отримані невеликі напруження, максимальні значення яких (46мПа) приблизно у чотири рази менші за допустимі. Але це недостатнє навантаження має пояснення: оскільки конвертор працює у високому температурному режимі і є відповідальною конструкцією, він повинен мати великий запас міцності для того, щоб забезпечити високу надійність (запобігти появі великих деформацій, які б зашкодили цільності футерівки).

Основні висновки

жорсткість деформований оболонка гідротурбіна

Реалізовано нову схему методу скінченних елементів у векторному поданні. Запропонована схема розвинута стосовно теорії тонких оболонок довільної форми.

З використанням векторної апроксимації виведено матрицю жорсткості криволінійного скінченного елемента, яка за властивостями аналогічна матриці жорсткості плоского скінченного елемента.

Вперше запропонований аналітичний спосіб тестування матриць жорсткості скінченних елементів, який дозволяє дати інтегральну оцінку помилки апроксимації на стадії розробки схеми і отримати правильнішу величину помилки у порівнянні з чисельним тестуванням.

На низці тестових прикладів проведені чисельні дослідження збіжності схеми МСЕ. Аналіз отриманих результатів виявив їх достатню точність вже на малій сітці, покращення збіжності у порівнянні з чисельними результатами інших авторів.

Створено комплекс обчислювальних програм, який реалізує схему МСЕ, що запропонована, для розрахунку задач про деформування тонких оболонок довільної форми. Розроблені алгоритми поєднують простоту завдання і контролю вихідної інформації з повною автоматизацією усіх етапів розв'язку задачі, включаючи обробку і видачу результатів.

Розроблену методику використано при дослідженні напружено-деформованого стану реальних об'єктів: оболонок складної форми. Розрахунки мають практичну спрямованість, дозволяють виявляти особливості розподілення полів переміщень і напружень і призначати найбільш раціональні параметри елементів, що сполучаються.

Публікації

1. Гоцуляк Е.А., Костина Е.В. Исследование сходимости метода конечных элементов в векторной аппроксимации // Сопротивление материалов и теория сооружений. К.: КГТУСА, 1997. - Вып. 63. - С. 38-47.

2. Гоцуляк Є.О., Костіна О.В. Про особливості застосування методу скінченних елементів до розрахунку оболонок загального типу // Доповіді НАН України, 1998. - №11 - С. 72-75.

3. Аранчій Н.Є., Костіна О.В. Реалізація методу скінченних елементів з урахуванням векторної апроксимації функції форми // Опір матеріалів та теорія споруд. К.: КНУБА, 2000. - Вип. 68. - С. 3-15.

4. Костіна О.В., Аранчій Н.Є. Аналітичний спосіб тестування матриць жорсткості методу скінченних елементів // Опір матеріалів та теорія споруд. К.: КНУБА, 2001. - Вип. 69. - С. 80-85.

5. Гоцуляк Є.О., Костіна О.В. Аналіз напружено-деформованого стану несучої оболонки конвертора великої ємності // Опір матеріалів і теорія споруд. Київ: КНУБА, 2002. - Вип.71. - С. 61-72.

6. Гоцуляк Є.О., Костіна О.В. Скінченно-елементна дискретизація векторних співвідношень теорії оболонок // Доповіді 57-ї науково-практичної конф. Київськ. держ. техн. ун-ту буд. і арх. - К.: КДТУБА, 1996. - С. 12-13.

7. Гоцуляк Є.О., Костіна О.В. Збіжність методу скінченних елементів при векторній апроксимації функції форми // Доповіді 58-ї науково-практичної конференції Київського державного технічного університету будівництва і архітектури. - К.: КДТУБА, 1997. - C. 16-17.

8. Gotsulyak E.A., Kostina E.V. Vector relations finite element digitization of the theory of thin shells of arbitrary form. // Proceedings of International Congress on Spatial Structures ICSS-98. - Moscow (Russia), 1998. - Vol. I. - P.252-259.

9. Гоцуляк Е.А., Костина Е.В. Конечноэлементная дискретизация векторных соотнощений теории тонких оболочек произвольной формы // Тезисы докладов Международного конгресса МКПК-98. - Москва, Россия, 1998. - Том III. - С. 59.

10. Гоцуляк Е.А., Аранчий Н.Е., Костина Е.В. Криволинейный конечный элемент в теории тонких оболочек произвольной конфигурации // Сборник трудов Международного симпозиума по проблемам тонкостенных пространственных систем. - Грузия, Тбилиси, 4-5 июля, 2001. - С. 58-64.

11. Гоцуляк Е.А., Костина Е.В. Конечно-элементная дискретизация векторных соотношений теории оболочек в криволинейной системе координат. - Киев: Киев. Гос. техн.ун-т стр-ва и архитектуры. (Рукопись деп. в ГНТБ Украины 23.10.96г., №1994-Ук 96), 1996. - 11 с.

Размещено на Allbest.ru

...