Адаптовані скінченно-елементні моделі розв’язання задач будівельної механіки плосконапружених кородуючих пластин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Відкрите акціонерне товариство український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М. Шимановського

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

05.23.17 - Будівельна механіка

Адаптовані скінченно-елементні моделі розв'язання задач будівельної механіки плосконапружених кородуючих пластин

Науменко Наталія Юріївна

Київ 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному вищому навчальному закладі “Український державний хіміко-технологічний університет” Міністерства освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент Зеленцов Дмитро Гегемонович Державний вищий навчальний заклад “Український державний хіміко-технологічний університет”, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Піскунов Вадим Георгійович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства;

кандидат технічних наук Матченко Тарас Ілларіонович, Відкрите акціонерне товариство Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М.Шимановського, головний інженер проекту відділу об'єктів атомного енергобудівництва.

Захист відбудеться « 10 » квітня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.857.01 у Відкритому акціонерному товаристві Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М.Шимановського за адресою: 02660, м. Київ, проспект Визволителів, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Відкритого акціонерного товариства Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М.Шимановського за адресою: 02660, м. Київ, проспект Визволителів, 1.

Автореферат розісланий « 04 » березня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К 26.857.01, д.т.н., с.н.с. О.І. Голоднов

1. Загальна характеристика роботи

конструкція кородуюча пластина будівельний

Актуальність теми. В хімічній, металургійній, нафтопереробній та гірничій промисловості в процесі експлуатації обладнання та металоконструкцій підлягають впливу не тільки механічних навантажень, але й різноманітних хімічно активних середовищ, які бувають агресивними щодо конструкційних матеріалів. Експлуатаційні навантаження призводять до виникнення значних напружень та деформацій в елементах і прискорюють їх корозійне зношення.

Сумісний вплив таких факторів викликає суттєве зменшення несучої здатності та термінів експлуатації конструкцій. Як основна мета розв'язання проблеми корозії розглядається можливість продовження термінів експлуатації металевих конструкцій до їх морального зносу, яка до цього часу повністю не розв'язана. Для забезпечення надійної та безпечної експлуатації, а також встановлення термінів ремонтних і профілактичних робіт, виникає необхідність врахування умов експлуатації конструкцій вже на стадії проектування.

Оптимальне проектування конструкцій, що підлягають впливам силових навантажень і агресивних середовищ, неможливе без застосування сучасних методів розрахунку, заснованих на використанні методу скінченних елементів (МСЕ). Оскільки експериментальні дослідження таких процесів тривають довгий час, застосування методів розрахунку, що моделюють сумісну дію силового навантаження та агресивного середовища, при проектуванні конструкцій дозволять забезпечити їх надійну експлуатацію протягом заданого терміну. Дослідження щодо розробки нових ефективних методик визначення НДС, довговічності та оптимальних параметрів плосконапружених конструкцій, які експлуатуються в агресивних середовищах, актуальні і практично корисні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною держбюджетної теми НДР 47030299 «Математичне моделювання корозійних процесів в навантажених багатоелементних конструкціях» (№ 0103U001455), яка виконувалась в 2002-2004 рр. в Українському державному хіміко-технологічному університеті.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є адаптація скінченно-елементних моделей розв'язання задач напружено-деформованого стану, довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій, які експлуатуються в умовах рівномірної корозії.

Для реалізації поставленої мети вирішувались наступні задачі:

- обґрунтувати прийняту математичну модель корозійного зносу плосконапружених конструкцій;

- на основі прийнятої моделі корозійного зносу розробити модифіковані математичні моделі корозійних процесів в плосконапружених пластинах з урахуванням зміни товщини при нерівномірному полі напружень по області поверхні та визначити аналітичні залежності, які дозволяють оцінити довговічність в залежності від параметрів агресивного середовища;

- розробити нові ефективні розрахункові алгоритми розв'язання задач НДС та довговічності конструкцій, що враховують особливості експлуатації в агресивних середовищах;

- розробити модифіковані СЕ змінної товщини шляхом підвищення порядку апроксимації функції товщини плосконапруженої пластини;

- розробити нові ефективні чисельні алгоритми розв'язання задач оптимізації за умов обмежень за часом, які засновані на адаптації методу ковзного допуску;

- базуючись на результатах здійснених досліджень виконати розв'язок нових задач НДС, довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій з урахуванням впливу агресивного середовища.

Об'єкт дослідження - довговічність плосконапружених конструкцій, що експлуатуються в умовах сумісної дії силового навантаження і впливу агресивного середовища.

Предмет дослідження - математичні моделі корозійного зносу, методи та алгоритми розрахунку НДС, довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій.

Методи дослідження. В основу розрахунку НДС конструкції покладені МСЕ; чисельні методи для розв'язання системи диференціальних рівнянь, а також методи нелінійного математичного програмування (ковзного допуску, деформованого багатогранника), алгоритмізації та програмування.

Наукова новизна одержаних результатів:

- розроблені і реалізовані нові математичні моделі, які описують процес корозійного руйнування в елементах конструкцій при сумісній дії силового навантаження і агресивного середовища;

- вперше розроблені алгоритми реалізації адаптованих скінченно-елементних моделей з використанням аналітичних залежностей, а також програмне забезпечення для розрахунку довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій при сумісній дії силового навантаження і агресивного середовища;

- на основі отриманих моделей створений модифікований чотирьохкутній СЕ змінної товщини та розроблений алгоритм розрахунку довговічності з його використанням, доведена перевага використання запропонованих СЕ змінної товщини у порівнянні зі стандартними СЕ;

- удосконалений метод пошуку оптимального проектування опорних кородуючих конструкцій, який адаптований для розв'язання таких задач;

- на основі виконаних розв'язків задач оптимального проектування кородуючих плосконапружених конструкцій доведена перевага запропонованого методу оптимізації у порівнянні з іншими відомими методами.

Достовірність основних положень та результатів дисертації доведена:

- математичним обґрунтуванням розроблених обчислювальних алгоритмів і процедур;

- порівняннями з відомими розв'язками аналогічних задач, виконаних іншими авторами;

- порівняннями з розв'язками, отриманими за допомогою інших методів.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені математичні моделі корозійного зносу дозволяють підвищити точність розрахунку довговічності та виконати оптимальне проектування плосконапружених металевих конструкцій для хімічної промисловості. Це дозволяє забезпечити надійну експлуатацію конструкцій протягом заданого терміну, а також обґрунтовано встановити терміни ремонтних і профілактичних робіт.

Методика розрахунку несучої здатності, довговічності на оптимального проектування кородуючих конструкцій впроваджена в АТ „Укртатнафта” при ремонті обладнання установки каталітичного риформування бензину Л - 35 - 11 / 300.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертаційній роботі результати досліджень отримані здобувачем самостійно. Особистий внесок здобувача складає:

- розробка математичної моделі деформування кородуючої плосконапруженої пластини та побудова узагальненої моделі корозійного зносу;

- отримання аналітичних залежностей для коефіцієнтів матриці жорсткості модифікованого СЕ при розв'язання задач МСЕ;

- розв'язок нових задач розрахунку НДС, довговічності та оптимального проектування елементів конструкцій, які взаємодіють з агресивним середовищем, виконання чисельних експериментів та аналіз отриманих результатів;

- створення програмних модулів для розрахунку НДС та довговічності пластин з урахуванням корозійного зносу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: І, ІІ, ІІІ Міжнародній науково-технічній конференції студентів та аспірантів “Хімія та сучасні технології” (м. Дніпропетровськ, 2003, 2005, 2007); ХІІ науковій конференції вчених України, Росії, Білорусі “Прикладные задачи математики и механики” (м. Севастополь, 2003); міжвузівському науковому семінарі “Математичне моделювання та оптимізація складних механічних систем”

(м. Дніпропетровськ, УДХТУ, 2005, 2007); Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (м. Дніпропетровськ, 2005.); міжвузівському науковому семінарі „Проблеми управління та інформатики” (м. Дніпропетровськ, ДДТУЗТ, 2005); Міждержавній науково-методичній конференції “Проблеми математичного моделювання” (м. Дніпродзержинськ, 2005), V Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених та студентів “Научные разработки молодежи на современном этапе” (м. Київ, 2006); колоквіумі “Расчет и проектирование пространственных большепролетных конструкций” (м. Скадовськ, 2007).

Публікації. Результати виконаних у дисертаційній роботі досліджень опубліковані у 12 роботах: 4 статті у наукових фахових виданнях, 7 публікацій у збірках праць конференцій та свідоцтво про реєстрацію авторського права.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списка використаних літературних джерел (108 найменувань) та додатків. Загальний обсяг роботи становить 187 сторінок, в тому числі 159 сторінки основного тексту, 25 таблиць, 44 рисунки, 11 сторінок списка використаних літературних джерел, 17 сторінок додатків.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність теми, визначені необхідність адаптації скінченно-елементних моделей розрахунку довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій з урахуванням впливу агресивного середовища, мета, основні задачі дослідження, вказаний зв'язок роботи з науковими програмами, наведені дані про наукову новизну, практичне значення та впровадження результатів, апробацію, публікації, структуру і обсяг дисертації.

В першому розділі здійснено огляд літературних джерел за тематикою досліджень. Окреслено сучасний стан проблеми врахування корозійних процесів при дослідженнях роботи металевих навантажених конструкцій. Показано, що значний внесок у розвиток цього напрямку зробили Ф.Ф. Ажогін, Г.В. Акімов, Ю.І. Арчаков, В.А. Баженов, М.В. Банічук, Б. Віттакер,

В.М. Гордєєв, Є.В. Горохов, В.І. Гуляєв, Е.М. Гутман, А.С. Дехтяр, В.М. Долінський,

Д.Г. Зеленцов, І.А. Колесник, В.П. Корольов, В.П. Малков, В.І. Моссаковський, І.Г. Овчінніков, В.В. Петров, Ю.М. Почтман, В.Д. Райзер, О.С. Сахаров, Л.Я. Цикерман, Ю.М. Шевченко та інші.

Розглянуті алгоритми та методи розрахунку довговічності, НДС і оптимального проектування кородуючих конструкцій. Показані недоліки існуючих моделей, методик розрахунку та обґрунтована необхідність здійснення досліджень в області адаптації скінченно-елементних моделей при розв'язанні таких задач будівельної механіки.

Другий розділ присвячений узагальненню структури системи обробки інформації про роботу досліджуваного об'єкта та надання інформації про НДС, довговічність та оптимальні параметри конструкцій. Запропонована укрупнена схема системи, на якій наведені існуючі елементи та нові, доповнені з урахуванням особливостей експлуатації і процесів, які відбуваються в них (рис. 1).

Система містить в собі наступні складові:

1) формування початкових даних. Блоки А, В, С надають інформацію про умови роботи конструкції та властивості конструкційних матеріалів з урахуванням умов експлуатації об'єкта, а саме наявності агресивного за відношенням до матеріалу середовища (необхідно доповнити дані блоком D, який містить інформацію про параметри корозії);

Рис. 1 Схема структури системи обробки інформації

2) обробка початкової інформації про роботу досліджуваного об'єкта. Традиційно включає блоки І -VI, але з урахуванням D необхідне введення нових складових VII - ІX, які ураховують зміни з часом. Доповнення цими блоками робить необхідною адаптацію ІІІ - V до внесених змін;

3) інформація про стан конструкції надається у вигляді E та F. Внесені зміни до системи обробки дають змогу отримувати принципово нову інформацію про довговічність конструкції (G) та оптимальні параметри об'єкта (H).

Зазначені зміни в системі обробки інформації сприяли розробці структури математичної моделі деформування плосконапруженої пластини (рис. 2). На основі аналізу інформації про роботу досліджуваного об'єкта виникає необхідність адаптації моделі впливу агресивного середовища до умов експлуатації конструкції. Побудова цієї моделі передбачає доповнення існуючої моделі трьома новими складовими.

Для опису впливу агресивного середовища існує велика кількість моделей, які були отримані різними авторами в результаті проведення експериментів для конкретних видів агресивних середовищ. В роботі пропонується зведення відомих моделей до узагальненої моделі корозійного зносу у вигляді:

Рис. 2 Структура математичної моделі деформування плосконапруженої пластини

, (1)

де - глибина корозійного ураження; - швидкість корозійного процесу при відсутності напруження (хімічна складова корозійного процесу); - еквівалентне напруження; - деяка функція (енергетична складова).

Запропоновано дві узагальнені моделі корозійного зносу. Розроблено методику визначення коефіцієнтів зазначених моделей для виконання дослідження. Здійснено оцінювання адекватності запропонованих моделей (табл. 1).

Таблиця 1 Оцінювання адекватності запропонованих моделей

Модель корозійного зносу	, років
, МПа-1	(2)	3,2422	2,5313	2,0835
, МПа-1	(3)	3,2646 (0,0069)	2,54796 (0,00658)	2,0968 (0,00638)
МПа-1, МПа-2	(4)	3,2303 (-0,00367)	2,5222 (-0,00359)	2,0762 (-0,0035)

Аналіз результатів, наведених в табл. 1, підтверджує припущення, що запропоновані узагальнені моделі адекватно описують корозійний процес в кородуючій конструкції.

У табл. 2 наведені результати перевірки узагальненої моделі (3) на стійкість за вхідними даними.

Таблиця 2 Результати перевірки узагальненої моделі (3) на стійкість за вхідними даними

, МПа-1	, см/рік
	0,09	0,095	0,1	0,105	0,11
0,000270	2,9161	2,7626	2,6245	2,4995	2,3859
0,000285	2,8842	2,7324	2,5958	2,4722	2,3598
0,000300	2,8531	2,7030	2,5678	2,4455	2,3344
0,000315	2,8228	2,6742	2,5405	2,4195	2,3096
0,000330	2,7932	2,6462	2,5139	2,3941	2,2853

Таким чином, математичні моделі вигляду (3)-(4) можна вважати задовільним приближенням загальновідомих моделей корозійного зносу. Їх перевага визначається зручністю при вирішенні конкретних практичних задач, в тому числі і при отриманні аналітичних залежностей.

Здійснений аналіз проблемних аспектів розв'язання задачі довговічності плосконапружених пластин. При розв'язанні задач оптимального проектування конструкцій виникла необхідність урахування впливу напружень на швидкість процесу деформування, що обумовлює появу зворотного зв'язку в моделях розрахунку та визначає головну відмінність задач такого класу.

Дослідження системи здійснюється за допомогою математичного опису системи.

Рис. 3 Двоконтурна система зі зворотнім зв'язком

Використання у якості моделі (3)-(4), які враховують залежність корозійного ураження від напруження, та доповнення системи новими елементами згідно з рис.1 та рис. 2 спонукало запропонувати двоконтурну систему зі зворотним зв'язком (рис. 3).

При розв'язанні оптимізаційної задачі внутрішній контур, який містить в собі модулі {А} та{В}, являє собою процедуру визначення функцій обмежень. Результат розв'язання задачі в цілому залежить від точності розрахунку функцій обмежень. В роботі запропоновано визначити джерела похибки, які виникають при застосуванні МСЕ, методів розв'язання систем алгебраїчних та диференціальних рівнянь, встановити характер взаємодії похибок та способи їх усунення.

Зазначена модель розв'язання оптимізаційної задачі повинна задовольняти наступним критеріям: надійність, достовірність, стійкість за вхідними даними, ефективність. Існуючі методики не дозволяють виконати усі вимоги, які висунуті до моделі. Для забезпечення вимог запропоновані такі заходи: 1) напіваналітичний алгоритм розв'язання задачі Коші для системи диференційних рівнянь; 2) модифікований МСЕ, а саме застосування СЕ змінної товщини.

В третьому розділі корозійний процес в конструкції моделюється через розв'язання задачі Коші для системи диференціальних рівнянь, які описують зміну геометричних характеристик. Так, для моделі корозійного зносу (3) вона може бути надана у вигляді:

; ,

де - матриця змінних товщин елементів конструкції розмірності ; - деяке еквівалентне напруження; k - коефіцієнт впливу напруження; N - кількість елементів в скінченно-елементній моделі конструкції; n - кількість параметрів, які визначають геометричні розміри елемента.

Розв'язуючи систему (4) чисельно, можна визначити геометричні характеристики кожного СЕ в довільний момент часу:

, (6)

s - номер кроку за часом.

При розв'язанні системи (5) напруження розраховуються в вузлових точках з урахуванням змін за час у відомих співвідношеннях МСЕ:

, (7)

де , , - відповідно вектори напруження, деформацій і вузлових переміщень i-го СЕ в даний момент часу; - вектор вузлових переміщень конструкції; - матриця пружності i-го СЕ; - відповідно матриці диференціювання, індексів та жорсткості конструкції; - вектор вузлових навантажень. Елементи матриці жорсткості визначаються на кожному кроці чисельного розв'язку.

Приймаємо, що конструкція виходить з ладу, коли напруження в одному з елементів досягають своїх граничних значень:

. (8)

Довговічність конструкції може бути визначена за формулою

, (9)

де визначається за значенням функції напружень на (s-2)-м, (s-1)-м і s-м кроку.

Таким чином, визначення довговічності зводиться до чисельного розв'язання задачі Коші для системи (5) сумісно з задачею МСЕ (7). Цикл розрахунків повторюється до моменту вичерпання несучої здатності конструкції, яка визначається умовою (8). Для забезпечення необхідної точності розв'язку крок за часом необхідно приймати досить малим, причому в кожному вузлі часової сітки розв'язується задача МСЕ, тобто число звернень для процедури може сягати декількох сотень, а то й тисяч. Виникає проблема накопичення похибки розрахунків при розв'язанні системи рівнянь ітераційними методами.

В процесі проведення автором чисельних експериментів зроблено висновок, що однокрокові методи розв'язання задачі Коші для системи диференціальних рівнянь (5) нестійкі за вхідними даними, ненадійні, неефективні та в деяких випадках не гарантують отримання достовірного результату.

В роботі здійснені дослідження похибки чисельного розв'язку задачі довговічності.

Рис. 4 Залежність похибки традиційних алгоритмів від кількості звернень

до процедури МСЕ Залежність похибки традиційних алгоритмів від кількості звернень до процедури МСЕ наведено на рис. 4. Висока похибка розрахунків при малих значеннях пояснюється похибкою розв'язку задачі Коші для системи (4), при великих - накопиченням похибки при розв'язанні задачі МСЕ, в першу чергу - при чисельному розв'язанні системи алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Показано, що похибка традиційних алгоритмів обмежена знизу, а збільшення числа звернень до МСЕ не призводить до уточнення розв'язку задачі.

Запропонований новий алгоритм розв'язання задачі довговічності, який базується на застосуванні аналітичних залежностей.

Застосування виразу (9) для визначення довговічності конструкції обумовлює застосування рівномірної сітки та часу , як параметра інтегрування. Запропоновано використовувати в якості такого параметра напруження . Тоді у виразі (6) вибирається в залежності від :

, (10)

де - номер ітерації, - номер провідного елемента, за яким виконується розрахунок задачі.

При розв'язанні задачі довговічності плосконапружених конструкцій виникає проблема вибору провідного елемента. Під дією агресивного середовища відбувається збільшення напружень в СЕ, та вибір провідного елемента в будь-який момент часу обумовлений максимальним напруженням в елемента. У зв'язку з цим, в процесі розв'язання задачі передбачена зміна провідного елементу. З урахуванням (10) та номера провідного елемента отримано аналітичну формулу визначення довговічності конструкції у вигляді:

 (11)

При розрахунку довговічності провідного елементу похибка чисельного методу відсутня, товщина цього елементу визначається за формулою

(12)

Товщина інших СЕ визначається за формулою (6).

Довговічність конструкції визначається за формулою:

(13)

Таким чином, в роботі зазначені переваги застосування напіваналітичного алгоритму: раціональний вибір кроку за часом у відповідності зі зміною напружень в СЕ; виключення необхідності уточнення розв'язку задачі довговічності; можливість зміни провідного елемента в процесі розв'язання; підвищення надійності та ефективності алгоритму.

Використання запропонованого алгоритму дозволяє застосовувати величину кроку за часом значно більшу, ніж в відомих методах, що призводить зо зменшення звертань до процедури МСЕ без втрати точності розв'язку. Це сприяє скороченню часу розв'язання задачі довговічності та зменшенню похибки розрахунків.

В четвертому розділі запропоновано підвищити ефективність розрахункового алгоритму завдяки застосуванню СЕ змінної товщини. В відомих роботах для моделювання корозійних процесів використовувались СЕ постійної товщини, які забезпечували лише нульовий порядок апроксимації товщини по області конструкції: напруження в i-му елементі розраховуються в центрі тяжіння СЕ і приймаються постійними в його межах, товщина СЕ також вважається постійною. З часом це призводить до розриву геометричних характеристик конструкції на межах елементів (рис. 5 а), що суперечить природі процесу та негативно впливає на адекватність моделі.

Запропоновані СЕ плосконапруженої пластини з товщиною, яка є функцією координат. Така функція передбачає другий порядок апроксимації функції товщини, що забезпечує нерозривність геометричних характеристик в вузлах елементів конструкції (рис. 5 б).

а) б)

Рис. 5 Апроксимація функції товщини на межах СЕ постійної (а) та змінної (б) товщини

Розглянутий чотирикутний СЕ для плоскої задачі, який у результаті впливу корозійного середовища прийняв форму, яка наведена на рис. 6. Припускаючи відомими напруження в вузлах СЕ, прийнятий полілінійний закон зміни товщини по області елемента у вигляді:

.



Рис. 6 Чотирикутний СЕ плоскої задачі під впливом корозійного середовища

Матрицю жорсткості модифікованого СЕ побудовано з використанням аналітичних виразів для змінних геометричних характеристик (14). Для прямокутного СЕ змінної товщини коефіцієнти матриці жорсткості отримано у явному вигляді. Особливості нового СЕ змінної товщини полягають у тому, що його розроблено для розв'язання задач, в яких необхідно врахування умов експлуатації. Коефіцієнти матриці одержано у вигляді:

Для обґрунтування достовірності побудованого СЕ та запропонованого напіваналітичного алгоритму сформульована та розв'язана задача довговічності статично невизначеної пластини, що експлуатується в агресивному середовищі. В табл. 3 наведено результати розрахунків для пошуку еталонного розв'язку поставленої задачі довговічності кородуючої плосконапруженої пластини (рис. 7). Асимптотично точний розв'язок відшукувався шляхом послідовного збільшення кількості СЕ при одночасному зменшенні кроку за часом при чисельному розв'язанні задачі Коші для системи (5). При цьому використовувався чотирикутний СЕ змінної товщини.

Таблиця 3 Результати розрахунків для пошуку еталонного розв'язку поставленої задачі довговічності кородуючої плосконапруженої пластини

Кількість СЕ	Метод Ейлера	Напіваналітичний метод
	= 0,1 = 59	= 0,05 = 119	= 0,025 = 238	= 20	= 25	= 50
32	5,801	5,768	5,713	5,722	5,720	5,714
128	5,711	5,704	5,672	5,678	5,675	5,671
512	5,693	5,683	5,668	5,675	5,669	5,666

Як видно з результатів розрахунків, спостерігаються незначні відхилення між отриманими результатами для різної кількості СЕ та . Так, в якості еталонного розв'язку прийнято значення довговічності конструкції 5,668 років.

Рис. 7 Скінченно-елементна модель кородуючої пластини

В табл. 4 наведені дані про довговічність пластини, що одержані для скінченно-елементних моделей з різними типами СЕ. Для розрахунку використовувалися 32 СЕ змінної товщини. Отримані результати порівнювались з отриманим еталонним розв'язком. Аналітичний розв'язок за форм. (13) отримано в припущенні, що не відбувається істотних змін зусиль в СЕ, і може використовуватися для приблизних інженерних розрахунків.

Таблиця 4 Результати розрахунків для скінченно-елементних моделей з різними типами СЕ

Вид розв'язання	, років	, %
Аналітичний Скінчений чотирикутний елемент змінної товщини Скінчений чотирикутний елемент постійної товщини Скінчений трикутний елемент постійної товщини	5,847 5,713 6,178 6,334	3,15 0,79 8,86 11,75

Таким чином, при досить рідкій СЕ-сітці розв'язок, отриманий при використанні модифікованого СЕ, дає найменшу похибку у порівнянні з еталонним. На рис. 8 наведена зміна напружень по області пластини для моделювання процесу корозії з використанням різних СЕ.

а)б)

Рис. 8 Зміна напружень по області пластини при моделюванні процесу корозії з використанням СЕ змінної (а) та постійної (б) товщини

Результати показують, що застосування модифікованого СЕ змінної товщини дозволяє не тільки зменшити кількість СЕ, але й підвищити точність розв'язку задачі довговічності.

Здійснено оцінювання межі застосування аналітичної формули довговічності пластини для наближених розрахунків. Для статично визначеної пластини отримано розв'язки задачі довговічності чисельно та з використанням аналітичної формули. Для отримання вибірки значень похибки аналітичної формули при розрахунках застосовувалися варіації товщини пластини в заданих межах.

Рис. 9 Розподіл похибки аналітичної формули

Показано, що похибка аналітичної формули (11) розподілена за нормальним законом (рис. 9), що дає можливість встановити, з якою ймовірністю похибка розв'язку задачі довговічності за аналітичною формулою не перевищує допустимої величини.

П'ятий розділ присвячений розробці та чисельній реалізації алгоритмів оптимального проектування кородуючої конструкцій, які базуються на використанні запропонованих СЕ змінної товщини. Сформульовано низку постановок задач оптимального проектування плосконапружених пластин у вигляді задач нелінійного математичного програмування за критерієм мінімуму об'єму в початковий момент часу при заданому терміну експлуатації:

(16)

Як особливість задач оптимізації кородуючих конструкцій розглядається необхідність розв'язання задачі довговічності за допомогою МСЕ на кожному кроку пошуку, що призводить до значних розрахункових витрат. Частково ця проблема може бути вирішена за допомогою запропонованих розрахункових алгоритмів, а також за рахунок раціонального вибору методу розв'язання задачі математичного програмування.

Запропоновано адаптований алгоритм методу ковзного допуску. Так, умовний екстремум цільової функції відшукується як в допустимій області простору рішень (рис. 10), так і за його межами, на деякій відстані від межі, яка скорочується в процесі пошуку.

Рис. 10 Пошук умовного екстремуму цільової функції

При розв'язанні оптимізаційних задач використовується обмеження у вигляді:

(17)

де - додатково визначений функціонал, який представляє собою відносну похибку розрахунку довговічності:

, (18)

 - значення критерію ковзного допуску - спадна функція числа ітерацій:

, (19)

де: - кількість звернень до процедури МСЕ; - початкове значення похибки; - номер ітерації; - задана довговічність.

В якості внутрішнього методу розрахунку оптимізаційної задачі використано метод деформованого багатокутника.

На початковому етапі розв'язання задачі немає необхідності в точному розрахунку функції обмежень, тому кількість звернень до процедури МСЕ невелика.

За мірою наближення до екстремуму відбувається зменшення допустимої похибки. Така стратегія дозволяє у декілька разів скоротити розрахункові витрати, особливо на початковому етапі розрахункової процедури.

Запропоновано постановку І задачі параметричної оптимізації, в якості варійованих параметрів обрано товщини груп СЕ. В постановці ІІ - задача оптимізації форми конструкції - варійованими параметрами прийнято координати деяких вузлів по контуру конструкції.

В табл. 5 надано розрахунки для визначення оптимальної форми пластини. За результатами отриманих розрахунків на рис. 11 зображено оптимальну форму пластини.

Таблиця 5 Оптимальні розміри пластини

, років	Варійовані параметри	, см3
0	0,49	166,49	48,46	33,69	8190
2	-11,44	163,68	43,73	29,89	8942
4	-22,73	166,58	42,90	15,86	10940

Рис. 11 Оптимальна форма пластини

За результатами розрахунків оптимізаційних задач можливо припустити, що на оптимальну форму впливають граничні умови та величина навантаження, а корозія викликає зміну товщини конструкції. Розв'язано задачу змішаної оптимізації (постановка ІІІ), при який визначається оптимальна форма конструкції, а потім розраховується товщина по області ( табл. 6).

Таблиця 6 Оптимальні розміри та товщина пластини

, років						, см3	, см2
0	1,111	1,51	153,28	40,99	36,95	7506	6756
2	1,267	2,27	154,13	41,47	36,53	8608	6794
4	1,404	0,79	154,33	42,20	36,62	9553	6804

Застосування нових скінченно-елементних моделей кородуючих плосконапружених пластин з використанням СЕ змінної товщини по області конструкції та нових розрахункових алгоритмів при розв'язанні задачі довговічності та оптимізації дозволяють дослідити поведінку конструкції в умовах агресивного середовища, надати інформацію про деформування елементів з плином часу, а також більш коректно визначити оптимальні параметри в порівнянні з відомими моделями.

Висновки

1. На основі аналізу існуючих моделей агресивних середовищ обґрунтовані узагальнені моделі корозійного зносу, які враховують вплив механічних напружень на швидкість процесу корозії. Доведено, що ці моделі задовільно співпадають з багатьма загальновідомими моделями корозійного зносу. Перевагою запропонованих узагальнених моделей можна вважати зручність при вирішенні практичних задач. Здійснені дослідження моделей на адекватність та стійкість за вхідними даними.

2. На основі прийнятої моделі корозійного зносу розроблені модифіковані математичні моделі корозійних процесів в плосконапружених пластинах з урахуванням зміни товщини при нерівномірному полі напружень. Одержана аналітична формула, що встанолює залежність між параметрами агресивного середовища, геометричними розмірами пластини, початковим рівнем напруження та терміном експлуатації. Запропонована формула дозволила визначити довговічність статично визначеної кородуючої пластини. Здійснено дослідження похибки традиційних алгоритмів розрахунку, які базуються на чисельних методах. Встановлені джерела похибки, їх кількісні характеристики, характер їх взаємодії та запропоновані засоби щодо усунення або мінімізації впливу похибки.

3. Розроблений ефективний напіваналітичний алгоритм розв'язання задачі Коші для систем диференційних рівнянь, які описують корозійний процес, при розрахунку НДС та довговічності конструкцій. Алгоритм базується на використанні одержаної аналітичної формули. Здійснені дослідження збіжності та ефективності напіваналітичного алгоритму у порівнянні з відомими чисельними. Доведено, що використання напіваналітичного алгоритму дозволило без втрати точності суттєво зменшити кількість ітерацій при розв'язанні задачі Коші.

4. Розроблені модифіковані СЕ змінної товщини для плосконапруженої пластини шляхом підвищення порядку апроксимації функції товщини. Розв'язана низка нових задач НДС та довговічності плосконапружених пластин. Досліджений вплив рівня навантаження та параметрів корозійного зносу на НДС і довговічність конструкції. Встановлено, що застосування відомих СЕ постійної товщини в залежності від їх типу викликає похибку розв'язку до 10% в бік збільшення довговічності.

5. Розроблені моделі задач оптимізації плосконапруженої кородуючої пластини за умов обмежень за часом і ефективні чисельні алгоритми реалізації цих моделей. Запропонований алгоритм розв'язання задачі оптимізації, заснований на сумісному використанні методу ковзного допуску з методом деформованого багатокутника, методом штрафних функцій. Досліджені оптимальні розв'язки в задачах проектування плосконапружених конструкцій. Розв'язані задачі параметричної оптимізації та оптимізації форми.

6. Базуючись на результатах здійснених досліджень одержані розв'язки нових, в тому числі і прикладних, задач розрахунку довговічності та оптимізації плосконапружених кородуючих конструкцій. Результати розрахунків використані при ремонті обладнання установки каталітичного риформування бензину Л - 35 - 11 / 300 на АТ „Укртатнафта”. Це дозволило визначити терміни ремонтно-монтажних робіт, підвищити надійність та довговічність обладнання, що експлуатується, та попередити його аварійний вихід з ладу.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Использование метода скользящего допуска при решении задач оптимального проектирования конструкций с учетом воздействия агрессивных сред // Вопросы химии и химической технологии. - 2003. - № 3. - С. 158 - 162.

2. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Математическое моделирование коррозионных процессов в континуальных конструкциях с использованием адаптированных конечных элементов // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. Вип. 5 (34). - Дніпропетровськ, 2004. - С. 80 - 88.

3. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Использование конечно-элементных моделей в задачах оптимизации корродирующих континуальных конструкций // Математичне моделювання. Вип. 2 (12). - Дніпродзержинськ, 2004. -- С. 61 - 66.

4. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Адаптация метода скользящего допуска к задачам оптимизации корродирующих конструкций // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. Вип. 2 (37). - Дніпропетровськ, 2005. - С. 48 - 56

5. Свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір. Збірка комп'ютерних програм “Пакет прикладних програм розрахунку кородуючих плосконапружених пластин методом скінченних елементів” // Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю.- 10.01.2005. - №11910.

6. Науменко Н.Ю. Использование конечных элементов переменной жесткости в задачах оптимизации тонкостенных конструкций, подверженных коррозионному износу // Тези доповідей І міжнародної науково-техннічної конференції “Хімія і сучасні технології”. - Дніпропетровськ, 2003. - С. 228 - 229.

7. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Использование конечных элементов переменной жесткости для расчета корродирующих тонкостенных конструкций // Материалы ІІ научной конференции “Прикладные задачи математики и механики”. - Севастополь, 2003. - С. 32 - 36.

8. Науменко Н.Ю. Структурная оптимизация корродирующих плосконапряженных конструкций с использованием конечно-элементных моделей // Матеріали міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”. - Дніпропетровськ, 2005. - С. 79.

9. Науменко Н.Ю. Математическая модель деформирования корродирующего элемента // Тези доповідей ІІ міжнародної науково-технічної конференції “Хімія і сучасні технології”. - Дніпропетровськ, 2005. - С. 256.

10. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю.Модели и методы решения задач весовой оптимизации корродирующих конструкций // Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конференції “Проблеми математичного моделювання”. - Дніпродзержинськ, 2005. - С. 63 - 64.

11. Радуль О.А., Науменко Н.Ю. Полуаналитический метод решения систем дифференциальных уравнений в задачах оптимизации корродирующих стержневых конструкций // Тези доповідей ІІІ міжнародної науково-технічної конференції “Хімія і сучасні технології”. - Дніпропетровськ, 2007. - С. 228.

12. Науменко Н.Ю. Полуаналитический алгоритм решения задачи долговечности корродирующих плосконапряженных пластин // Тезисы докладов коллоквиума “Расчет и проектирование пространственных большепролетных конструкций”. - Скадовск, 2007. - С. 106 - 107.

Анотація

Науменко Н.Ю. Адаптовані скінченно-елементні моделі розв'язання задач будівельної механіки плосконапружених кородуючих пластин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - будівельна механіка. Відкрите акціонерне товариство Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій ім. В.М. Шимановського, Київ, 2008.

Дисертація присвячена розробці нових математичних моделей аналізу довговічності та оптимального проектування плосконапружених конструкцій, які в процесі експлуатації підлягають дії не тільки навантажень, але й впливу різноманітних агресивних середовищ. Запропоновано узагальнену структуру системи обробки інформації з урахуванням особливостей експлуатації конструкцій. Розроблений модифікований чотирикутний скінченний елемент змінної товщини для розрахунку та оптимізації конструкцій з урахуванням впливу агресивних середовищ, застосування якого дозволяє підвищити точність розв'язків при одночасному зниженні обсягу розрахунків.

Розроблені алгоритми та методи розрахунку кородуючих опорних елементів плосконапружених пластин, які на стадії проектування враховують експлуатаційні характеристики. Це дозволяє передбачити безперервну роботу конструкцій і призначити терміни виконання профілактичних і ремонтних робіт. За допомогою розробленого програмного забезпечення виконаніі чисельні експерименти та детальний аналіз отриманих результатів. Встановлено, що запропоновані математичні моделі та алгоритми ефективні для розрахунку та оптимального проектування конструкцій, які експлуатуються в агресивних середовищах.

Ключові слова: плосконапружена пластина, напружено-деформований стан, корозійний знос, довговічність, оптимальне проектування, нелінійне математичне програмування, метод ковзного допуску.

Аннотация

Науменко Н.Ю. Адаптированные конечно-элементные модели решения задач строительной механики плосконапряженных корродирующих пластин. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - строительная механика. Открытое акционерное общество Украинский научно-исследовательский и проектный институт им. В.Н. Шимановского, Киев, 2008.

Диссертация посвящена разработке новых математических моделей анализа долговечности и оптимального проектирования плосконапряженных конструкций, которые в процессе эксплуатации подвержены воздействиям не только нагрузок, но и влиянию различных агрессивных сред. Предложена обобщенная структура системы обработки информации с учетом особенностей эксплуатации конструкций.

На основании анализа существующих моделей, описывающих процесс коррозии в различных конструкционных элементах, предложена обобщенная модель коррозионного износа металлических элементов конструкции, учитывающая влияние механических напряжений на скорость протекания коррозии. Проведены исследования модели на адекватность и устойчивость по входным данным.

Получена аналитическая формула, которая устанавливает связь между параметрами агрессивной среды, геометрическими размерами пластины, начальним напряжением и временем экплуатации. Предложенная формула позволила определить долговечность статически определимой корродирующей пластины. Проведены исследования традиционных алгоритмов расчетов, которые базируются на численных методах. Установлены источники погрешностей, характер их взаимодействия и предложенны способы их устранения или минимизации.

В работе предложен и обоснован эффективный алгоритм расчета НДС и долговечности конструкции, основанный на поланалитическом решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, описывающих коррозионный процесс. Алгоритм базируется на использовании аналитической формулы, полученной автором. Проведены иследования сходимости и эффективности полуаналитического алгоритма по сравнению с известными численными. Доказано, что использование полуаналитического алгоритма позволило без потери точности существенно уменьшить вычислительные затраты при решении поставленной задачи.

На основе предложенных математических моделей, которые основываются на аппроксимации переменной толщины элемента полилинейной функцией, получены решения задачи долговечности для плосконапряженной корродирующей пластины в постановке, предполагающей непрерывность функции толщины по области конструкции. Для их реализации разработан модифицированный четырехугольный конечный элемент переменной толщины; его применение позволило повысить точность решений при одновременном уменьшении объема вычислений.

Предложены модели задач весовой оптимизации плосконапряженной корродирующей конструкции при ограничениях по времени. Предложен эффективный алгоритм решения задачи оптимизации, основанный на совместном использовании метода скользящего допуска с методом деформируемого многогранника, метода конечных элементов, метода штрафных функций.

При помощи разработанного программного обеспечения проведены численные эксперименты и выполнен детальный анализ полученных результатов. Установлено, что предложенные математические модели и алгоритмы эффективны для расчета и оптимального проектирования конструкций, эксплуатирующихся в агрессивных средах, в том числе элементов креплений внутренних контактных устройств аппаратов нефтехимической промышленности.

Ключевые слова: плосконапряженная пластина, напряженно-деформированное состояние, коррозионный износ, долговечность, оптимальное проектирование, нелинейное математическое программирование, метод скользящего допуска.

Annotation

Naumenko N.Yu. Adaptation of models of support-elements of decision of tasks of structural mechanics of plane-stressed plates. - Manuscript.

Thesis for a candidate of technical science degree by speciality 05.23.17 - structural mechanics. - Open Joint-Stock Company V. Shimanovsky Ukrainian Research and Design Institute of Steel Construction, Kyiv, 2008.

Dissertation is devoted to the development of new mathematical models for durability analysis and optimal designing of plane-stressed constructions subjected to the influence of both loads and various corrosive media. Generalized structure for data processing system with due account of peculiarities of construction operation has been proposed. For the first time a modified quadrangular finite element of variable thickness has been developed to design and optimize corroding constructions. This allows to raise the accuracy of solutions with simultaneous decrease in design body.

Algorithms and design methods of corroding support elements in plane-stressed plates have also been developed. These algorithms and design methods take account of operating characteristics at the design stage allowing to predict the terms of construction's continuous operation and to determine preventive repairs of column plant equipment. With the help of developed software numerous experiments were carried out and the results obtained were analyzed in detail. It was found that proposed mathematical models and algorithms are effective to design and optimize supporting structures operating in corrosive media.

Key words: plane-stressed plate, corrosive wear, strained stressed state, durability, optimal design, nonlinear mathematical programming, sliding tolerance method.

Размещено на Allbest.ru

...