Тольяттинский государственный университет

Тольятти 2005

УДК 624.041.2

ББК 38.112

Р 24

© Тольяттинский государственный университет, 2005.

1. Основные понятия, определения и классификация ферм

Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными. Фермы по существу имеют такое же назначение, как и балки сплошного сечения, но применяются для перекрытия значительных пролетов.

Расстояние между осями опор фермы называется пролетом. Стержни, расположенные по внешнему контуру фермы, называются поясными и образуют пояса. Стержни, соединяющие пояса, образуют решетку фермы и называются: вертикальные - стойками, наклонные - раскосами. Расстояние между соседними узлами любого пояса фермы называется панелью.

Классификация ферм производится по 5 следующим признакам:

по типу опирания различают:

а) фермы, закрепленные у обоих концов: 1) балочные; 2) арочные;

б) фермы, закрепленные у одного конца - консольные;

в) балочно-консольные фермы;

по характеру очертания различают:

а) фермы с параллельными поясами;

б) фермы ломаным или полигональным расположением пояса;

по назначению различают:

а) стропильные фермы;

б) крановые фермы;

в) мостовые фермы;

г) башенные фермы;

по типу решетки различают:

а) фермы с треугольной решеткой;

б) фермы с раскосной решеткой;

в) фермы с полураскосной решеткой;

г) фермы с ромбической решеткой;

д) двухрешетчатые фермы;

е) многорешетчатые фермы;

по уровню езды различают:

а) фермы с ездой понизу;

б) фермы с ездой поверху;

в) фермы с ездой посередине.

Также разделяют фермы на пространственные и плоские. Плоские фермы - это фермы, у которых оси всех стержней расположены в одной плоскости, а пространственные фермы - это фермы, оси стержней которых не лежат в одной плоскости. Фермы, образованные из шарнирного треугольника путем последовательного присоединения узлов с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой, называются простейшими фермами.

2. Определение опорных реакций и внутренних усилий в стержнях ферм

Фермы - это системы, работающие преимущественно на сжатие (растяжение). Поэтому из внутренних усилий в фермах определяются только продольные усилия. А остальные усилия (М,Q) настолько малы, что ими можно пренебречь. В первую очередь определяются опорные реакции. Для определения опорных реакций ферм используются уравнения статики. Т.е. составляются три уравнения равновесия для всей фермы в целом:

 МА= 0, МВ= 0, Х= 0.

Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части ферм и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях (метод сечений).

Выделение частей или узлов фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах определялись наиболее просто.

Различают следующие способы определения внутренних усилий в стержнях ферм: 1) способ моментной точки; 2) способ вырезания узлов; 3) способ проекций.

Способ моментной точки (СМТ). СМТ применяется в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, направления осей которых не пересекаются в одной точке.

Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой. Такие точки будут являться моментными точками для соответствующих стержней.

Моментной точкой О1 для стержня N1 будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N2 и N3, попавших в сечение (точка О2 для стержня N2 будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N1 и N3, О3 для стержня N3 будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N1 и N2).

Составляя и решая последовательно уравнения моментов всех внешних и внутренних сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих моментных точек, получим усилия в рассеченных стержнях N1, N2, N3.

? М О1 = 0, VА?(в+в) + N1? r1 - Р?в = 0,

? М О2 = 0, -VА? а + N2? r2 + Р?(а+в)= 0,

? М О3 = 0, VА? в - N3? r3 = 0,

СМТ удобно пользоваться при расчете ферм, когда можно провести разрез, пересекающий, кроме данного стержня (усилие в котором определяется), любое число стержне, сходящихся в одной общей точке, не лежащей на направлении оси данного стержня.

СМТ удобен также и в случаях, когда разрез пересекает более трех стержней, не сходящихся в одной точке, если усилия во всех стержнях кроме трех, уже известны.

СМТ применим для расчета таких ферм, в которых возможно провести разрезы, пересекающие любое число стержней более трех, если при этом каждый добавочный стержень пересекается дважды.

Способ вырезания узлов(СВУ). СВУ применяется при рассмотрении равновесия вырезанных узлов. Определение усилий СВУ начинается с вырезания узла, в котором сходятся не более 2-х стержней. При этом условие статического равновесия составляется в виде проекций всех сил и усилий на оси. Х = 0, = 0

? Y = 0, VА + N1? sin ? = 0,

? Х = 0, N2 + N1? cos ? = 0,

Также можно определить внутренние усилия в стержнях ферм СВУ, вырезая узел, в котором сходится более двух стержней. При этом все усилия в узле кроме двух должны быть уже известны.

Способ проекций (СП). СП применяется при рассмотрении равновесия части фермы, как и в СМТ, когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу (т.е. когда для стержня невозможно найти моментную точку). Для стержня N2 невозможно найти моментную точку (точка находится в бесконечности), так как два параллельных стержня 1 и 3 не пересекаются. Поэтому в этом случае составляется условие равновесия отсеченной части фермы в виде суммы проекций всех сил и усилий, действующих на отсеченную часть, на ось, перпендикулярную к параллельным стержням. В данном случае на ось Y.

S--U = 0,

VА - Р1 - Р1 + N2 sin ? = 0

Каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

- Способом вырезания узлов можно рассчитать всю ферму целиком;

- При расчете ферм СМТ и СП, каждое усилие определяется из уравнения с одним неизвестным, в которое входят только внешняя нагрузка и одно определяемое усилие. Поэтому в случае неправильного определения других усилий, они не повлияют на величину искомого усилия.

Также при этом не происходит нарастания погрешности

(за счет предыдущих округлений);

Недостатки:

- СМТ и СП невозможно рассчитать всю ферму целиком;

- При вычислениях СВУ используются значения предыдущих усилий, которые могут быть определены неправильно, поэтому возможно нарастание погрешности или возникновения ошибки.

3. Признаки нулевых и ненулевых стержней

Кроме трех способов определения внутренних усилий в стержнях ферм, также используются признаки нулевых и ненулевых стержней для быстрого определения усилий.

4. Графический способ определения внутренних усилий в стержнях простейших ферм. Построения диаграммы Максвелла-Кремоны

Графический расчет состоит в применении графического условия равновесия сил, сходящихся в одной точке, в данном случае узле фермы. А также в построении для каждого узла замкнутого силового многоугольника. При известных направлениях сил, сходящихся в узле, графически определяются два неизвестных усилия, для каждого узла.

Совмещенная диаграмма, содержащая замкнутые силовые многоугольники для всех узлов фермы получила название диаграмма Максвелла-Кремоны.

При построении диаграммы условимся обходить внешний контур фермы и вырезанные узлы по часовой стрелке, т.е. в положительном направлении.

Условимся внешние поля фермы обозначать цифрами, а внутренние - буквами.

Внутренние поля образуются внутри, решеткой фермы. Внешние поля образуются по внешнему контуру фермы, от одной силы до другой силы.

Построение диаграммы М-К заключается в последовательном вырезании узлов фермы и построении для них замкнутых силовых многоугольников, совмещенных на одном чертеже, в котором каждое усилие встречается один раз, т.е. не повторяется. При этом необходимо соблюдать такую последовательность вырезания узлов, при которой в каждом следующем узле неизвестные усилия были бы не более чем в 2-х стержнях. Поэтому вырезание надо начинать с узла, в котором сходятся два стержня. Узлы обходим, начиная с известных сил, оставшиеся два неизвестных усилия в узле определяются точкой пересечения двух направлений этих усилий.

Каждому полю фермы на силовом многоугольнике соответствует точка. Длины соответствующих отрезков, измеренные на диаграмме в масштабе сил, дадут абсолютные численные значения величин усилий в соответствующих стержнях.

Для определения знака соответствующего усилия на схеме фермы обходим каждый узел по часовой стрелке и устанавливаем название усилий в стержнях ферм. Мысленно переносится направление усилия с диаграммы на ферму в соответствующий узел (узел который обходится). Если оно направлено в узел, то усилие является сжимающим и имеет знак минус. Если направлено из узла, то усилие является растягивающим и имеет знак плюс.

Для более точного получения результатов графический расчет, т.е. построение диаграммы Максвелла-Кремоны, выполняется на миллиметровке.

5. Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий стержней ферм

Передача нагрузки на ферму производится в узлах (случай узловой передачи нагрузки), поэтому построение линий влияния в ферме аналогично построению линий влияния в балках. Т.е. при статическом построении линий влияния необходимо вывести функциональные зависимости внутреннего усилия от местоположения подвижного единичного груза Р=1, при этом предполагается, что груз устанавливается последовательно в узлах нижнего или верхнего пояса фермы (в зависимости от уровня еды).

В зависимости от способа получения такой функциональной зависимости, различают следующие приемы построения линий линия внутренних усилий в стержнях ферм:

способ вырезания узлов - когда аналитическое выражение получается из условия статического равновесия вырезанного узла;

способ моментной точки - когда аналитическое выражение получается из условия статического равновесия отсеченной части фермы, составленного в виде уравнения моментов относительно моментной точки;

способ проекций - когда аналитическое выражение получается из условия статического равновесия отсеченной части фермы, составленного в виде уравнения проекций на ось.

Определяются опорные реакции и внутренние усилия в стержнях ферм по линиям влияния аналогично определению усилий по линиям влияния в балках.

ферма стержень опорный

Vi = Pi · yi (V) Ni = Pi · yi (N)

Порядок расчет статически определимой фермы.

1. Вычертить в масштабе заданную схему фермы.

2. Загрузить ферму в узлах от заданной нагрузки.

3. Определить аналитически усилия во всех стержнях фермы (рационально).

Составить таблицу значений.

4. Определить графически усилия во всех стержнях фермы.

Составить таблицу (Диаграмма Максвелла-Кремоны).

5. Построить линии влияния опорных реакций и внутренних усилий в элементах указанного сечения.

6. По линиям влияния определить опорные реакции и усилия в стержнях указанного сечения. Сравнить результаты с аналитическим расчетом

Вопросы для самоконтроля

Дать определение статически определимой фермы.

Дать определения основным понятиям: пролет фермы, пояс фермы, стойка, панель, раскос, решетка.

Классификация ферм по 5 признакам (с примерами).

Способы определения усилий в стержнях ферм (аналитические). Их достоинства и недостатки.

Графический способ определения усилий в стержнях ферм. Алгоритм построения диаграммы Максвелла-Кремоны.

Способы построения линий влияния усилий в стержнях ферм.

Определение усилий в стержнях ферм по линиям влияния.

Пример расчета статически определимой фермы.

Аналитический расчет.

1. Определяем опорные реакции:

? Х = 0, H1 = 0

? М1 = 0, P1?3+ P2?6+ P3?9+ P4?12+ P5?15 - V12?18 = 0, V12 =10(т)

? М12 = 0, V1?18 - P5?3 - P4?6 - P3?9 - P2?12 - P1?15 = 0, V1 =10(т)

? Y = 0, V1 + V12 - P5 - P4 - P3 - P2 - P1 = 0, 0 = 0

2. Определяем аналитически усилия в каждом стержне.

Все расчеты сведем в таблицу.

cos ? = l13 / l12 = 0,707 sin ? = l23 / l12 = 0,707

cos ? = l4К / l24 = 0,316 sin ? = l2К / l24 = 0,949

sin ? = l67 / l56 = 0,587

(способ вырезания узлов)

? Y = 0, V1 + N12? sin ? = 0,

N12 = - V1 / sin ?

N12 = - 10 / 0,707 = -14,14 (т)

(способ вырезания узлов)

Размещено на http://www.allbest.ru/

? Х = 0, N13 + N12? cos ? = 0,

N13 = - N12? cos ?

N13 = 14,142? 0,707 = 10 (т)

(по признакам)

N35 = N13 , N35 = 10 (т),

N23 = Р1 , N23 = 3 (т)

(способ моментной точки)

? М О24 = 0,

V1? 6 + N24? r24 - Р1? 3 = 0,

N24 = (Р1? 3 - V1? 6)/ r24 ,

r24 = sin ?? l45 = 3,795(м)

N24 = (3? 3 - 10? 6)/ 3,795 =

=-13,44(т)

(способ моментной точки)

? М О25 = 0,

-V1? а + N25? r25 + Р1?(а+3)= 0,

N25 = (V1? а -Р1?(а+3))/ r25 ,

а = 6(м), r25 = cos ?? (а + 6)= 8,485(м)

N25 = (10? 6 - 3? 9)/ 8,485 = 3,889(т)

(по признакам)

N46 = N24, N46 = -13,44 (т),

N23 = 0

(способ моментной точки)

? М О57 = 0,

V1? 9 - Р1? 6 - Р2? 3 - N24? 5 = 0,

N57 = (V1? 9 - Р1? 6 - Р2? 3)/ 5 ,

N57= (10? 9 - 3? 6 - 5? 3)/ 5 =

=11,4(т)

(способ моментной точки)

? М О56 = 0,

Р1?(3+а) - V1?а - Р2?(6+а) - N56? r56 = 0,

r56 = sin ?? (а+6) = 10,29(м)

N56 =(Р1?(3+а) - V1?а + Р2?(6+а))/ r56

N56 =(3?9- 10?6 +5?12)/10,29 =2,624(т)

(по признакам)

N79 = N57, N79 = 11,4 (т),

N67 = Р3, N67 = 4 (т)

Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, от усилия в симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии.

Диаграмма Максвелла-Кремоны

Порядок построения диаграммы Максвелла-Кремоны.

Вычерчиваем ферму в масштабе, прикладывая внешние силы, реакции опор

Обозначаем внешние поля цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и внутренние поля буквами а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к. При этом будем обходить ферму по часовой стрелке.

Аналитическим способом определяем реакции: V1 = 10(т), V12 = 10(т)

В принятом масштабе сил (1см =1т), обходя ферму по часовой стрелке, строим из заданных (Р1, Р2, Р3, Р4, Р5) и реактивных (V1,V12)сил замкнутый силовой многоугольник (силовую линию) 1-2-3-4-5-6-7-1

Для нахождения точки а из точки 1 проводим прямую параллельную стержню а1, а через точку 7 прямую - параллельную стержню а7. Точка пересечения прямых а1 и а7 - точка а.

Далее через полученную точку а проводим прямую параллельную стержню аб, а через точку 6 - прямую параллельную стержню б6. На пересечении прямых аб и б6 получим точку б.

Далее через полученную точку б проводим прямую параллельную стержню бв, а через точку 1 - прямую параллельную стержню в1. На пересечении прямых бв и в1 получим точку в.

Далее через полученную точку в проводим прямую параллельную стержню вг, а через точку 1 - прямую параллельную стержню г1. На пересечении прямых вг и г1 получим точку г (точки в и г совпали).

Далее через полученную точку г проводим прямую параллельную стержню гд, а через точку 5 - прямую параллельную стержню д5. На пересечении прямых гд и д5 получим точку д.

Далее через полученную точку д проводим прямую параллельную стержню де, а через точку 4 - прямую параллельную стержню е4. На пересечении прямых де и е4 получим точку е.

Далее через полученную точку е проводим прямую параллельную стержню еж, а через точку 1 - прямую параллельную стержню ж1. На пересечении прямых еж и ж1 получим точку ж.

Далее через полученную точку ж проводим прямую параллельную стержню жз, а через точку 1 - прямую параллельную стержню з1. На пересечении прямых жз и з1 получим точку з (точки ж и з совпали).

Далее через полученную точку з проводим прямую параллельную стержню зи, а через точку 3 - прямую параллельную стержню и3. На пересечении прямых зи и и3 получим точку и.

Далее через полученную точку и проводим прямую параллельную стержню ик, а через точку 1 - прямую параллельную стержню к1. На пересечении прямых ик и к1 получим точку к (прямая параллельная стержню к2 также должна пройти через точку к).

Измеряем длину отрезка а1 на диаграмме в масштабе сил. Полученная длина будет являться величиной усилия в стержне а1. Длина отрезка а7 - величина усилия в стержне а7, длина отрезка аб - величина усилия в стержне аб и т.д. На диаграмме точки в и г совпали, значит длина отрезка вг равна 0, а следовательно усилие в стержне вг равно 0 (аналогично усилие в стержне жз равно 0).

На схеме фермы обходим по часовой стрелке узел в котором сходятся стержни а1 и а7, устанавливая при этом название каждого из стержней. Получаем 1а (так как по часовой стрелке сначала идет поле 1, а потом поле а). Таким образом, движение на диаграмме должно идти от точки 1 к точке а, мысленно переносим это направление на схему фермы в заданный узел. Получается, что усилие направленно в узел, а следовательно оно сжимающее и имеет знак минус. Для стержня - а7 (сначала поле а, потом поле 7). Таким образом, движение на диаграмме должно идти от точки а к точке 7, мысленно переносим это направление на схему фермы в заданный узел. Получается, что усилие направленно из узла и следовательно оно растягивающее и имеет знак плюс.

Таким образом, обходя каждый узел фермы по часовой стрелке, определяем знаки усилий во всех стержнях фермы.

Полученные результаты графического расчета также сведем в таблицу.

Построение линий влияния.

Линия влияния V1.

? М 12 = 0, -Р?(l - х) + V1? l = 0, V1 = Р?(l - х)/ l = (l - х)/ l

Так как зависимость линейная, то достаточно двух точек:

х = 0 > V1 = 1,х = l > V1 = 0

Итак под узлом 1, на левой опорной вертикали, откладываем 1 (Р находится в узле 1), а под узлом 12, на правой опорной вертикали - нуль (Р находится в узле 12). Полученные точки соединяем прямой линией.

Полученное очертание является линией влияния опорной реакции V1

Линия влияния V12.

? М 1 = 0, Р? х - V12? l = 0, V1 = Р? х / l = х / l

Так как зависимость линейная, то достаточно двух точек:

х = 0 > V12 = 0,х = l > V12 = 1

Итак под узлом 1, на левой опорной вертикали, откладываем нуль (Р находится в узле 1), а под узлом 12, на правой опорной вертикали -1 (Р находится в узле 12). Полученные точки соединяем прямой линией.

Полученное очертание является линией влияния опорной реакции V12

Линии влияния усилий N68, N69, N79 (способ моментной точки)

Так как ферма с ездой понизу, следовательно подвижный единичный груз будем перемещать по нижнему поясу фермы.

а) Р находится левее сечения (Р в узлах 1, 3, 5, 7). Рассматриваем равновесие правой отсеченной части фермы.

линия влияния N68

? М О68 = 0, -V12? 6 - N68? r68 = 0, N68 = - V12? 6/ r68,

r68 = r24 = 3,795(м)

N68 = - V12? 6/ 3,795 = -1,581 V12

линия влияния N69

? М О69 = 0, V12? 6 + N69? r69 = 0, N69 = - V12? 6/ r69 ,

r69 = r56 = 10,29(м)

N69 = - V12? 6/ 10,29 = - 0,583 V12

линия влияния N79

? М О79 = 0, -V12? 9 + N79? r79 = 0, N79 = V12? 9/ r79 , r79 = 5(м)

N79 = V12? 9/ 5 = 1,8 V12

б) Р находится правее сечения (Р в узлах 9,11,12). Рассматриваем равновесие левой отсеченной части фермы.

1) линия влияния N68

? М О68 = 0, V1? 12 + N68? r68 = 0, N68 = - V1? 12/ r68,

r68 = r24 = 3,795(м)

N68 = - V1? 12/ 3,795 = -3,162 V1

линия влияния N69

? М О69 = 0, V1? 24 - N69? r69 = 0, N69 = V1? 24/ r69,

r69 = r56 = 10,29(м)

N69 = V1? 24/ 10,29 = 2,332 V1

линия влияния N79

? М О79 = 0, V1? 9 - N79? r79 = 0, N79 = V1? 9/ r79 , r79 = 5(м)

N79 = V1? 9/ 5 = 1,8 V1

в) Построение линии влияния N68:

1) строим линию N68 = -3,162 V1 также как линию влияния V1, только все ее значения умножены на коэффициент -3,162 (перевернута вниз). На эту линию сносим узлы 9,11,12 - получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N68 = -1,581 V12 также как линию влияния V12, только все ее значения умножены на коэффициент -1,581 (перевернута вниз). На эту линию сносим узлы 1, 3, 5, 7 - получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины двух линий соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N68

г) Построение линии влияния N69:

1) строим линию N69 = 2,332V1 также как линию влияния V1, только все ее значения умножены на коэффициент 2,332 . На эту линию сносим узлы 9,11,12 - получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N69 = - 0,583V12 также как линию влияния V12, только все ее значения умножены на коэффициент - 0,583 (перевернута вниз). На эту линию сносим узлы 1, 3, 5, 7 - получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины двух линий соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N69

д) Построение линии влияния N79:

1) строим линию N79 = 1,8V1 также как линию влияния V1, только все ее значения умножены на коэффициент 1,8 . На эту линию сносим узлы 9,11,12 - получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N79 = 1,8V12 также как линию влияния V12, только все ее значения умножены на коэффициент 1,8. На эту линию сносим узлы 1,3,5,7 - получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины двух линий соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N79

Определение опорных реакций и усилий в стержнях фермы по линиям влияния.

V1 = P1? 0,833 + P2? 0,667+ P3? 0,5+ P4? 0,333+ P5? 0,167 =

= 3? 0,833 + 5? 0,667+ 4? 0,5+ 5? 0,333+ 3? 0,167 = 10 (т)

V12 = P1? 0,167 + P2? 0,333+ P3? 0,5+ P4? 0,667 + P5? 0,833 =

= 3? 0,167 + 5? 0,333+ 4? 0,5+ 5? 0,667 + 3? 0,833 = 10 (т)

N68 = -P1? 0,264 - P2? 0,527 - P3? 0,791- P4? 1,054- P5? 0,527 =

= -3? 0,264 - 5? 0,527 - 4? 0,791- 5? 1,054- 3? 0,527 = -13,442 (т)

N69 = -P1? 0,097 - P2? 0,194 - P3? 0,292+ P4? 0,777+ P5? 0,389 =

= -3? 0,097 - 5? 0,194 - 4? 0,292+ 5? 0,777+ 3? 0,389 = 2,623 (т)

N79 = P1? 0,3 + P2? 0,6 + P3? 0,9+ P4? 0,6+ P5? 0,3 =

= 3? 0,3 + 5? 0,6 + 4? 0,9+ 5? 0,6+ 3? 0,3 = 11,4 (т)

Построение линий влияния.

Определение опорных реакций и внутренних усилий по линиям влияния

Размещено на Allbest.ru