Технология построения эпюр в строительной механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

момент равен (3+5)Ч4=60. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 5 равна М₅=74-24=50. Этот момент растягивает верхние волокна. В пределах характерного участка 4-5 эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью вверх. Результат проведенного расчета на участке 4-5 ( без уточнения поведения эпюры на этом участке) - на рис.51,а. На рис.51,б показан процесс построения эпюры Q на участке 4-5. На участке 4-5 на эпюре Q происходит изменение знака, что указывает на наличие экстремума на эпюре М. На рис.51,в приведены полные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой задачи.

Построение эпюры продольных сил начнем, вырезав узел 2 с эпюры Q. На рис. 52,а показан узел 2 с приложенными к его стержням положительно направленными искомыми продольными силами N_2-1 и N_2-4, известными и направленными в соответствии со знаками поперечными силами левее и ниже этого узла. Из уравнений равновесия получены величины и знаки искомых продольных сил. Далее вырезаем узел 3. При этом обратим внимание на тот факт, что на участке 3-4 в сечении 3 отсутствует продольная нагрузка, что указывает со всей очевидностью на отсутствие на этом участке продольной силы. На рис.52,б рассматривается узел 4 с приложенной искомой продольной силой N_4-5, известной сжимающей продольной силой N_2-4=3, направленной «к узлу», поперечными силами левее, правее и выше этого узла. Из уравнения равновесия получены величина искомой продольной силы. На рис.52,в можно ознакомиться с эпюрой продольных сил для рассмотренного примера.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение эпюр внутренних усилий в трехшарнирных рамах.

Что понимается под определением «трехшарнирная рама»?

Трехшарнирная рама - один из видов т.н. трехшарнирных стержневых систем, среди которых - уже упомянутые трехшарнирные рамы, трехшарнирные арки и фермы. Далее расчету будут подвергнуты два типа подобных рам: трехшарнирная рама «классического» очертания с опорами на одном уровне или сводящиеся к этому типу, а также трехшарнирная рама «с затяжкой».

Размещено на http://www.allbest.ru/

Какова последовательность расчета классической рамы, изображенной на рис.53?

Начнем со структурного анализа новой конструкции. Она представляет собой три жестких диска- АС, СВ и «землю»- объединенные между собой тремя шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой. Подобная конструкция геометрически неизменяема.

Пусть трехшарнирная рама находится под действием произвольной системы сил q(x). Расстояние между опорами А и В принято называть пролетом рамы L, H - это высота рамы или же ее «подъем», V_A и V_B - ee вертикальные реакции, а H_A и H_B - реакции горизонтальные или «распор». Соединительный шарнир С называют «ключевым» или «ключом».

Приступим к определению опорных реакций. В первую очередь запишем выражение для УM_А=0 - «сумма моментов всех внешних и внутренних сил относительно шарнира А равна 0». Так как линии действия горизонтальных и левой вертикальной реакций проходят через точку А их моменты относительно нее равны 0. Поэтому из этого уравнения однозначно определяется правая вертикальная опорная реакция. Из аналогичного уравнения относительно точки В получим величину и направление левой вертикальной реакции. Для определения левой горизонтальной реакции применим такой расчетный прием: запишем выражение для суммы моментов всех внешних и внутренних сил (включая известную уже левую вертикальную реакцию), приложенных к левой, относительно ключевого шарнира С, части рамы, и приравняем ее 0. Аналогично поступим при определении правой горизонтальной реакции. Схема определения опорных реакций в классической трехшарнирной раме приведена ниже.

Размещено на http://www.allbest.ru/

После определения опорных реакций строятся эпюры внутренних усилий.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 9.

Знак «+» указывает на правильность первоначального выбора направления опорной реакции V_B. Определим опорную реакцию V_A.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При записи «моментных» уравнений, типа приведенных только что выше, следует руководствоваться таким соображением: моменты, вращающие в разные стороны, должны иметь разные знаки. Что и было использовано при определении вертикальных реакций для данной трехшарнирной рамы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Переходим к определению левой горизонтальной реакции. Для этого «рассечем» раму по соединительному шарниру С и рассмотрим равновесие ее левой части (рис.54,а). При определении правой горизонтальной реакции рассмотрим равновесие правой относительно ключевого шарнира С части рамы (рис.54,б).

Знак «минус» указывает на необходимость изменения направления полученной реакции, что и сделано на рис.54,а.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Далее, пронумеруем границы характерных участков, а по направлению опорных стержней рамы приложим найденные опорные реакции.

Следует запомнить, что отправными точками для построения эпюры М могут служить лишь те сечения, для которых одновременно известны величины и моментов и поперечных сил. Таким образом, «стартовать» по нашему желанию мы можем с точек А, В и 3. Наметим последовательность построения эпюры изгибающих моментов для данной рамы. Сначала рассмотрим участок 3-2, затем участок В-2, «вырежем» узел 2 и получим момент левее узла 2. После чего изменим «движение» по раме и последовательно рассмотрим участки А-1 и 1-С.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Участок 3-2 - это аналог второго частного случая (стр.21), растянутые волокна - верхние (рис.55,а). Участок В-2 - аналог первого частного случая (стр.18) - растянутые волокна справа от нейтральной оси (рис.55,б), а правая вертикальная реакция не влияет на изменение момента на этом участке. На рис.55,в показан вырезанный узел 2, результирующий момент М₂^ЛЕВ=16+6=22. Для равновесия узла он должен быть направлен против часовой стрелки, т.е. растягивать верхние волокна. Участок А-1 - аналог первого частного случая (стр.18), растянутые волокна - справа от нейтральной оси (рис.55,г), а левая вертикальная реакция в расчете не участвует.

Для перехода на горизонтальный участок 1-С, т.е. для вычисления момента правее узла 1, вырежем и уравновесим этот узел. Искомый момент М₁^ПРАВ=4 и растягивает нижние волокна, что видно из рис.55,д. Перейдем на участок 1-С, установив мысленно жесткую заделку левее шарнира С. При расчете этого участка необходимо учесть влияние левой вертикальной реакции и разместить ее в точке 1. Используя принцип независимости действия сил, вычислим изгибающий момент левее точки С. Он, как и ожидалось, равен 0 (рис.55,е). Для выяснения характера криволинейной эпюры моментов на участке 1-2, предварительно построим здесь эпюру поперечных сил Q (рис.56).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из анализа рис.56 становится очевидным наличие экстремума на участке с криволинейным очертанием эпюры М ( 1-2) в сечении, где происходит изменение знака поперечной силы. На рис.57 показаны полные эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q в рассчитываемой раме, а на рис.58 - алгоритм построения эпюры продольных сил N.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вырежем последовательно с эпюры Q узлы 1 и 2.

Каковы особенности расчета трехшарнирной рамы с затяжкой ?

Рассмотрим это на конкретной задаче.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 10.

Особенностью такой конструкции является наличие только одной из горизонтальных опор ( в отличие от классической трехшарнирной рамы) и появление нового конструктивного элемента - «затяжки» 3-4. Обозначим все характерные сечения рамы, а также покажем положительные направления опорных реакций (что полностью является нашим произволом). Вертикальные реакции определяем аналогично классической раме, т.е.:

Размещено на http://www.allbest.ru/

На заданной схеме (рис.59) зафиксируем полученный результат. Знак «плюс» у найденной реакции подтверждает правильность наших предположений относительно ее направления. Теперь определим левую вертикальную реакцию:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знак «минус» указывает на необходимость поменять первоначальное направление искомой реакции на противоположное (что фиксируем на заданной схеме). Горизонтальную реакцию H_A получим следующим образом:

Меняем направление горизонтальной реакции на противоположное (см.рис.59). Для определения усилия в затяжке (работающей при отсутствии на ней поперечной нагрузки только на «растяжение-сжатие»), т.е. продольной силы, разделим раму на две части, проведя сечение 1-1 через ключевой шарнир С. Этим самым мы переводим усилие X в затяжке из разряда внутреннего в разряд внешнего. Для сохранения структурной неизменяемости вводим специальное устройство, называемое «муфтой». Зададим положительное направление усилия

X «от узла». Затем запишем уравнение, аналогичное примененному в случае с классической рамой, для определения одной из горизонтальных реакций:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знак «минус» указывает на то, что усилие в затяжке сжимающее, т.е. отрицательное. Выбор правого моментного уравнения обусловлен простотой определения усилия X. Приступим к построению эпюры М и по направлению опорных стержней рамы приложим найденные опорные реакции, а в точках 3 и 4 - найденные усилия в затяжке (рис.60).

. Наметим последовательность построения эпюры изгибающих моментов для данной рамы. Сначала рассмотрим участок 4-2, затем участок 5-2, «вырежем» узел 2 и получим момент левее узла 2. После чего изменим «движение» по раме и последовательно рассмотрим участки 3-1 и А-1, затем вырежем узел 1 и получим момент правее узла 1. Заметим, что на участке В-2 эпюра моментов отсутствует.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Участок 5-2 - это аналог второго частного случая (стр.21), растянутые волокна - верхние (рис.61,а). Участок 4-2 - аналог первого частного случая (стр.18) - растянутые волокна слева от нейтральной оси (рис.61,б). На рис.61,в показан вырезанный узел 2, результирующий момент М₂^ЛЕВ=7+10=17. Для равновесия узла он должен быть направлен против часовой стрелки, т.е. растягивать верхние волокна.

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим участок 3-1 и вычислим изгибающий момент выше точки 1. Независимое действие сосредоточенной силы 2,33 соответствует частному случаю 1 (стр.18), приводя к растяжению правых волокон. Отложим ординату 7 правее нейтральной оси (рис.60,г). Воздействие равномерно-распределенной нагрузки на участок 3-1 приводит к возникновению изгибающего момента, растягивающего левые волокна (по третьему частному случаю) и равного М=qЧL²/2=2Ч3²/2=9. Суммарное воздействие этих двух факторов приводит к растяжению левых волокон, а вызванный ими изгибающий момент равен 2.. В пределах характерного участка 3-1 эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью вправо. Для выяснения характера криволинейной эпюры моментов на участке 3-1, предварительно построим здесь эпюру поперечных сил Q (рис.61,а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим участок 1-A и вычислим изгибающий момент ниже узла 1. Независимое действие сосредоточенной силы 12 соответствует частному случаю 1 (стр.18), приводя к растяжению правых волокон. Отложим ординату 36 правее нейтральной оси (рис.61,в). Воздействие равномерно-распределенной нагрузки на участок 1-А приводит к возникновению изгибающего момента, растягивающего левые волокна (по третьему частному случаю) и равного М=qЧL²/2=2Ч3²/2=9. Суммарное воздействие этих двух факторов приводит к растяжению правых волокон, а вызванный ими изгибающий момент равен 27. В пределах характерного участка 1-А эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью вправо. Для

выяснения характера криволинейной эпюры моментов на участке 1-А, предварительно построим здесь эпюру поперечных сил Q (рис.61,г). Вид построенной эпюры поперечных сил на этом участке указывает на отсутствие точки перегиба. На рис.61,д показана эпюра изгибающих моментов для данной рамы. Обратим внимание на «перелом» эпюры моментов под действием сосредоточенной силы в шарнире С. На рис.62,а показана эпюра поперечных сил, построенная по эпюре М. Отметим скачок поперечной силы в ключевом шарнире на величину сосредоточенной силы Р=6. На рис.62,б и в - последовательность построения эпюры продольных сил N. Сама эпюра продольных сил - на рис.62,г. В связи с отсутствием продольной нагрузки на участках 3-1 и 4-2 соответствующие продольные силы автоматически равны 0. Продольная сила в затяжке равна по величине и знаку усилию X.

Построение эпюр внутренних усилий в многопролетных статически определимых балках.

Что понимается под определением «многопролетная балка»?

Многопролетная балка - один из видов т.н. многопролетных стержневых систем, среди которых - уже упомянутые многопролетные статически определимые балки, неразрезные балки, многопролетные рамы, арки и фермы. Далее ограничимся рассмотрением только многопролетных статически определимых балок.

Это - геометрически неизменяемая стержневая система, представляющая собой совокупность простых балок, соединенных между собой идеальными промежуточными шарнирами, некоторые разновидности которой представлены на рис. 63. Для структурной неизменяемости подобных конструкций и их статической определимости число соединительных шарниров должно определяться таким соотношением:

Ш = С₀ - 3,

где С₀ - число опорных стержней многопролетной балки.

Из этого следует, что при крайних шарнирных опорах число промежуточных шарниров должно быть равно числу промежуточных опор.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кроме того при формировании многопролетных балок следует помнить, что:

- в каждом пролете не должно быть более двух шарниров;

- пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без оных;

- пролеты с одним шарниром могут следовать друг за другом только при условии, что один из последующих будет бесшарнирным.

Большим преимуществом шарнирно-консольных балок, как и прочих статически определимых систем, является то, что при действии теплового поля и осадки опор в них не возникают внутренние усилия.

Для лучшего понимания взаимодействия отдельных частей многопролетной шарнирно-консольной балки ее заменяют условной «поэтажной схемой», позволяющей представить одноуровневую конструкцию, каковой является рассматриваемая балка, в виде многоэтажной. В таких балках на стадии формирования поэтажных схем определяют основной или основные этажи, на которые опираются второстепенные балки (второй и прочие этажи), геометрическая неизменяемость которых обеспечивается за счет их опирания на основные балки. На рис.64 показаны варианты балок, которые могут служить в качестве «первого» этажа, при этом в скобках показаны их возможные модификации, которые также в некоторых случаях могут быть приняты за основной этаж.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для выявления поэтажной схемы следует произвести несколько стандартных действий, что мы и рассмотрим на примере многопролетной балки, изображенной на рис.65,а. Обозначим характерные сечения балки. На первом шаге «рассечем» ее по соединительным шарнирам В и Д (рис.65,б). На втором шаге определим первый (основной) этаж - это балка АВ (сравнить с рис.64,а). Элемент многопролетной балки ВД не может существовать самостоятельно без чьей-либо помощи, являясь геометрически изменяемым, так же как и элемент ДЕ.

Представим соединительный шарнир В в качестве внешней шарнирно-неподвижной опоры в поэтажной схеме на рис.65,в., наделив ее аналогичными кинематическими характеристиками, т.е. отсутствием перемещений по горизонтали и вертикали. В результате балка ВД оказывается прикрепленной к «земле» шарнирно-неподвижной опорой и стержнем, линия действия которого не проходит через ось опоры. Аналогично рассматривается крепление элемента ДЕ - третьего этажа - ко второму этажу ВД.

На рис.66 показаны поэтажные схемы для многопролетных балок, приведенных на рис.63.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализируя полученные поэтажные схемы, можно придти к одному естественному умозаключению: нагрузка, действующая на основную часть балки, не может быть передана на вышележащие этажи, в то время как нагрузка с верхних этажей вполне очевидно передается на нижележащий этаж, служащий опорой для второстепенного. Этот факт обуславливает и последовательность расчета многопролетных балок: расчет начинают с наивысшего этажа, переходя последовательно все ниже и ниже, передавая при этом в качестве дополнительной нагрузки вниз сосредоточенную силу, равную по величине и противоположную по направлению опорной реакции в «стыковом» шарнире. После всего этого нетрудно заметить, что основная идея расчета сложной составной системы сводится к расчету совокупности простых однопролетных балок, определение реакций в которых и построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил не должно представлять большого труда.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для многопролетной балки, изображенной на рис. 65а, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Используем для этого уже образованную поэтажную схему (рис.65,в). Расчет начнем с третьего этажа, т.е. с элемента ДЕ.

Размещено на Allbest.ru