Вплив геометричних вимог на процеси дискретного моделювання криволінійних об’єктів будівництва

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУУКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Вплив геометричних вимог на процеси дискретного моделювання криволінійних об'єктів будівництва

05.01.01. -

“Прикладна геометрія, інженерна графіка”

Самостян Віктор Русланович

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Луцькому національному технічному університеті

Науковий керівник:

- доктор технічних наук, професор,

Пустюльга Сергій Іванович,

декан машинобудівного факультету,

Луцький національний технічний університет

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор,

Ковальов Сергій Миколайович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки,

Київський національний університет будівництва і архітектури (м. Київ)

- кандидат технічних наук, доцент,

Аушева Наталія Миколаївна,

доцент кафедри автоматизації проектування енергетичних процесів і систем,

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут» (м. Київ),

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Подальший розвиток виробництва й удосконалення технологічних процесів ставлять перед наукою нові задачі по створеннюадекватних моделей об'єктів та явищ для їх ефективного аналізу, розрахунку, оптимізації і прогнозування. При проектуванні сучасних криволінійних об'єктів будівництва, архітектури, машинобудування важливе місце займає етап геометричного моделювання, коли на стадії ескізу визначаються основні параметри їх геометричної форми. При цьому якість розроблюваних моделей прямо залежить від можливостей ефективного управління їх геометрією, корегування як моделей в цілому, так і їх окремих частин, швидкого аналізу та порівняльної оцінки отриманих результатів.

Сучасний стан проектування криволінійних об'єктів будівництва потребує врахування якомога більшої кількості вихідних даних та вимог для забезпечення відповідної точності моделі. При геометричному моделюванні у якості вихідних даних, як правило, виступають геометричні характеристики і умови, найчастіше представлені в числовій формі (координати або значення параметрів), масиви яких можуть бути досить великими. У цих умовах методи глобального неперервного моделювання, коли відшукується єдине рішення, виявляються неефективними, тому що, як правило, вимагають використання достатньо складних математичних алгоритмів, не можуть забезпечити необхідну адекватність моделей і запобігти явищу осциляції. Зазначених недоліків позбавлені методи дискретного геометричного моделювання. Отже, актуальним є подальший розвиток та удосконалення відомих методів дискретного геометричного моделювання.

Серед найбільш ефективних, на наш погляд, методів дискретного формування геометричних образів довільного числа вимірів слід виділити статико-геометричний метод проф. С.М. Ковальова та метод моделювання тих же об'єктів за допомогою математичного апарату числових послідовностей. Кожен із названих методів має свої переваги та недоліки стосовно розв'язання конкретних практичних задач. Тому їх дослідження, збагачення новими ефективними алгоритмами, вивчення можливостей їх компіляції, а на цій основі розширення множини вихідних даних при розв'язанні конкретних практичних задач є актуальним.

У вище названих методах врахування вихідних даних може проводитись за допомогою, як правило, двох підходів: або прямим введенням їх в математичну модель, яка може бути виразом, системою лінійних або нелінійних рівнянь, або ітераційним шляхом, у якому вихідні дані виражаються через параметри моделі, які в свою чергу уточнюються в процесі ітерацій до досягнення необхідної точності. Разом із тим існує ряд практичних задач, вихідні умови для розв'язання яких неможливо враховувати при реалізації двох вище названих підходів. Тому актуальним є розробка третього підходу, пов'язаного із аналізом моделей, побудовою графіків залежностей певних вихідних даних від геометричних параметрів формування тих чи інших дискретних образів.

В процесі дискретного геометричного моделювання розрізняють врахування двох типів вимог, це, так звані, метричні та дискретні аналоги диференціальних характеристик модельованих об'єктів. Однак, оскільки при дискретному геометричному моделюванні будь-яка диференціальна характеристика визначається через метричні параметри, актуальним є дослідження їх впливу, як окремо, так і в комплексі, на процеси дискретного моделювання. При цьому з одного боку можна збагатити відомі методи дискретного геометричного моделювання новими алгоритмами, удосконалити їх моделюючі можливості, а з іншого - розширити коло практичних задач та оптимізувати створювані для їх реалізації моделі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження виконано на кафедрі інженерної та комп'ютерної графіки Луцького національного технічного університету згідно державної бюджетної теми “Новітні комп'ютерні технології в інженерному проектуванні та освітній діяльності”.

Мета і задачі досліджень. Метою даної роботи є розробка способів дискретного геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь з врахуванням комплексів метричних та дискретних аналогів диференціальних вимог на основі синтезу статико-геометричного методу та методу дискретного моделювання об'єктів числовими послідовностями.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

1. Провести аналіз відомих методів дискретного моделювання щодо врахування комплексів метричних та дискретних аналогів диференціальних характеристик у вигляді вихідних умов до створюваної моделі.

2. Провести параметричну оцінку можливості врахування комплексів вихідних вимог при дискретному геометричному моделюванні одно- та двовимірних образів та розробити синтезовані підходи щодо їх врахування.

3. Розробити ефективні алгоритми дискретного геометричного моделювання у двовимірному просторі зрівноважених одновимірних образів на рівномірній та нерівномірній сітках з врахуванням заданих довжин ділянок супровідної ламаної, заданої площі між модельованим образом і осями системи координат, визначених кутових характеристик між елементами їх супровідних ламаних, функціонального розподілу кривини вздовж образу та ін.

4. Розробити алгоритм дискретного моделювання просторових кривих з рівновагою у вузлах із заданими функціями кривини та скруту.

5. Узагальнити підходи щодо моделювання дискретно визначених двовимірних об'єктів за рахунок поєднання переваг статико-геометричного методу та числових послідовностей.

6. На основі математичного апарату числових послідовностей розробити алгоритми формування зрівноважених дискретних моделей поверхонь зі забезпеченням виконання крайових умов та інших вихідних даних.

7. Розробити алгоритми дискретного моделювання зрівноваженихдвовимірних образів із заданим підповерхневим об'ємом, заданою площею відсіку поверхні та іншими вихідними умовами.

8. Реалізувати розроблені алгоритми та підходи в єдиному програмному продукті дискретного моделювання одно- та двовимірних образів із врахуванням комплексу метричних та дискретних аналогів диференціальних вимог.

9. Впровадити результати досліджень та розроблені алгоритми дискретного моделювання в практику проектування автомобільних доріг на складних рельєфах, проектування збірних оболонок окреслених по поверхнях двоякої кривини та у навчальний процес.

Об'єктом досліджень є процеси формування зрівноважених дискретних моделей одно- та двовимірних образів з комплексним врахуванням метричних та дискретних аналогів диференціальних вимог.

Предметом досліджень є математичне забезпечення алгоритмів формування кривих ліній та поверхонь із комплексним врахуванням вихідних вимог та аналіз їх впливу на процеси дискретного моделювання.

Методи досліджень. У роботі при розробці геометричних моделей використовувались методи дискретного геометричного моделювання, елементи аналітичної, диференціальної та прикладної геометрії, комп'ютерного моделювання в середовищі MathCAD та математичного програмування.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукову новизну роботи складають такі результати:

- удосконалено статико-геометричний метод моделювання кривих ліній і поверхонь та метод моделювання тих же об'єктів математичним апаратом числових послідовностей за рахунок розробки нових алгоритмів;

- вперше при дискретному геометричному моделюванні кривих ліній із заданою функцією зміни кривини наведено обмеження на значення функції кривини, які виникають в процесі моделювання;

- вперше розроблено алгоритм побудови зрівноважених дискретних моделей просторових кривих із заданими функціями кривини та скруту у вузлах формованої моделі;

- вперше при дискретному геометричному моделюванні зрівноважених двовимірних образів математичним апаратом числових послідовностей розроблено алгоритми, які дозволяють забезпечити виконання комбінаційкрайових умов та інших вихідних вимог до моделі;

- запропоновано новий підхід щодо врахування вихідних умов до дискретного моделювання геометричних образів за рахунок побудови та аналізу функціональних графіків різної розмірності між залежними параметрами у моделях.

Практичне значення отриманих результатів визначається суттєвим підвищенням ефективності автоматизованого проектування технічних об'єктів, наприклад, проектуванняпросторових моделей ділянок автомобільних доріг на складних рельєфах та збірних оболонок окреслених по поверхнях двоякої кривини, алгоритмічною базою яких є розроблені дискретні геометричні моделі. Результати дисертаційної роботи прийнято до впровадження у державне підприємство “Український державний інститут з проектування об'єктів дорожнього господарства УКРДІПРОДОР” (м. Луцьк), ЗАТ “Луцький домобудівельний комбінат” (м. Луцьк) та навчальний процес Луцького національного технічного університету.

Особистий внесок здобувача. Напрямок досліджень був сформований науковим керівником. Дисертантом самостійно розв'язані всі наведені у роботі задачі, розроблено алгоритми та відповідне програмне забезпечення для отримання числових результатів. У роботах, що опубліковані у співавторстві, автору належать математична та алгоритмічна реалізація процесу моделювання кривих ліній та поверхонь, участь співавторів полягала у обробці, аналізі та узагальненні результатів комп'ютерної реалізації геометричних моделей.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційного дослідження доповідались на: ІІ Міжнародній україно-російській науково-практичній конференції ”Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків 2007 р.), Міжнародній науково-практичній конференції “Теоретичні і експериментальні дослідження в технологіях сучасного матеріалознавства та машинобудування” (м. Луцьк 2007 р.), ІV-VIІ Кримських науково-практичних конференціях “Геометрическое и компьютерное моделирование: энергосбережение, экология, дизайн” (м. Сімферополь 2007-2010 рр.), Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Луцьк 2008 р.), VII Міжнародній науково-практичній конференції “Геометрическое моделирование и компьютерный дизайн” (м. Одеса 2010 р.), Міжнародній науково-технічній конференції “Науково-прикладні аспекти автомобільної галузі” (м. Луцьк 2010 р.), XXII-XXIV науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Луцького національного технічного університету (2007-2009 рр.), на наукових семінарах кафедри прикладної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури під керівництвом проф. О.Л. Підгорного і проф. С.М. Ковальова (КНУБА, м. Київ 2009-2010 рр.), на наукових семінарах кафедри інженерної та комп'ютерної графіки Луцького національного технічного університету (2007-2010 рр.). дискретний моделювання диференціальний двовимірний

Публікації. За темою дисертації опубліковано 17 наукових праць, з них 3 одноосібно, 16 у фахових виданнях, затверджених ВАК України і отримано один патент на корисну модель.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел із 146 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 182 сторінки, з них 166 сторінок основної частини, що містять 71 рисунок і 9 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень, показано наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено відомості про апробацію та публікації результатів досліджень.

Перший розділ присвячений аналізу існуючих методів дискретного геометричного моделювання. Серед робіт присвячених дискретному геометричному моделюванню слід виділити роботи вчених: В.М. Верещаги, С.М. Грибова, Г.Г. Власюк, С.М. Ковальова, В.Г. Лі, А.В. Найдиша, В.М. Найдиша, Є.В. Пугачова, С.І. Пустюльги та їх учнів.

Кожен із вище названих вчених в тій чи іншій мірі застосовували сучасні методи дискретної математики для розробки геометричних алгоритмів моделювання або формоутворення об'єктів техніки, будівництва, архітектури, тощо. Результати їх роботи достатньо ефективно використовуються в практиці реального проектування. Однак, безпосередньо до дискретного геометричного моделювання слід віднести ті практичні задачі, де вихідні дані, математичні алгоритми, наочне представлення етапів моделювання, результати розв'язання подаються у дискретному вигляді.

Відповідно до поставленої мети роботи стосовно формування зрівноважених дискретних структур за заданими вихідними вимогами серед відомих методів дискретного геометричного моделювання слід виділити статико-геометричний метод проф. С.М. Ковальова та його “похідна” - моделювання дискретних образів різної розмірності з рівновагою у вузлах математичним апаратом числових послідовностей.



В основу статико-геометричного методу покладена статична інтерпретація методу скінченних різниць. Основна суть статико-геометричного методу моделювання полягає у наступному: будь-яка дискретна система, що складається з вузлів та прямолінійних зв'язків між ними може бути представлена, як зрівноважена система сил, де внутрішні зусилля у в'язях , що пропорційні довжинам в'язей, зрівноважуються зовнішнім зусиллям у вузлі (рис. 1). Узагальнене рівняння рівноваги для знаходження координат вузла дискретної моделі має вигляд:

(1)

де - коефіцієнти лінійних різницевих операторів; - узагальнююча координата; - формоутворююче навантаження у вузлі моделі.

Варіювання функції розподілу зовнішнього формоутворюючого навантаження між вузлами дозволяє формувати зрівноважені дискретні моделі різної розмірності з врахуванням практично необмеженої кількості вихідних даних та вимог.

Враховуючи значну ефективність статико-геометричного методу при створенні дискретних моделей він, на наш погляд, має декілька суттєвих недоліків. Перший недолік пов'язаний із потребою складання та розв'язання громіздких систем лінійних рівнянь в процесі створення моделі. Другий - випливає із форми отримання результуючої інформації, як множини дискретних значень, за якими неможливо у загальному випадку відслідкувати геометричні характеристики об'єкта, що моделюється. Вказані недоліки можуть бути дещо усунені при застосуванні у якості моделюючого апарату, для дискретного формування зрівноважених образів, числових послідовностей. В дисертаційному дослідженні проф. С.І. Пустюльги був показаний взаємозв'язок між статико-геометричним методом формоутворення зрівноважених дискретних структур та утворенням останніх числовими послідовностями. Систему рівнянь числових послідовностей для формування зрівноважених образів довільної розмірності можна представити у вигляді:

. (2)

Проведений у роботі аналіз методів дискретного геометричного моделювання показав, що вміле поєднання переваг їх математичних апаратів дає додаткові можливості для розширення бази вихідних умов та даних при створенні дискретних геометричних моделей. Крім того таке поєднання дозволяє проаналізувати вплив заданих вихідних вимог на процеси дискретного моделювання.

Для обґрунтованого використання методів дискретного геометричного моделювання, підходів до формування математичних алгоритмів, організаціїмоделі відповідно заданих вихідних умов було проведено їх параметричний аналіз. Він дозволяє прогнозувати результати розв'язання конкретних практичних задач. В роботі було проведено параметричний аналіз можливостей врахування різного роду вихідних умов та даних при формуванні одно- та двовимірних образів на рівномірній та нерівномірній сітках. Наприклад, параметричний аналіз можливостей комплексного врахування вихідних умов та даних при дискретному геометричному моделюванні кривих ліній пропонується проводити з використанням виразу:

,(3)

де - кількість вільних параметрів функції зовнішнього формоутворюючого навантаження; - кількість внутрішніх вузлів моделі; - кількість фіксованих внутрішніх вузлів; - кількість заданих дискретних аналогів дотичних у вузлах; - кількість заданих дискретних аналогів дотичних в ланках; - кількість заданих значень дискретних аналогів кривин у вузлах; - кількість заданих довжин ланок відповідної супровідної ламаної; - кількість параметрів для задання площі області, що обмежена моделлю кривої та однією із осей системи координат.

Врахування комплексу вихідних умов при формуванні одно- та двовимірних образів дозволяє розширити моделюючі можливості статико-геометричного методу та математичного апарату числових послідовностей, а вміле поєднання переваг обох методів розширює коло практичних задач з реалізації дискретних геометричних моделей.

У другому розділі завдяки поєднанню переваг вище названих методів було запропоновано ряд алгоритмів до створення дискретно представлених одновимірних образів як на рівномірній, так і нерівномірній сітках. На базі математичного апарату числових послідовностей розроблено алгоритми формування зрівноважених дискретних моделей кривих із врахуванням у комплексі вихідних умов таких метричних характеристик як заданої довжини ділянки супровідної ламаної, а також визначеної площі області, що обмежена моделлю кривої та однією із осей системи координат.

При розв'язанні задач дискретного моделювання кривих ліній на площині певні вихідні вимоги до створюваної моделі можна найефективніше формалізувати через кутові характеристики елементів супровідної ламаної. Тому в роботі розроблено алгоритм формування ДПК із врахуванням визначених кутів між її окремими геометричними елементами.

Для цього запропоновано і доведено наступне твердження: сума кутів нахилу дискретних аналогів дотичних у вузлах до відповідних ланок формованої статико-геометричним методом ДПК дорівнює куту суміжності, утвореному дискретними аналогами дотичних у граничних вузлах (крайових умовах).

Дане твердження встановлює обмеження щодо вибору можливих значень кутів суміжності у вихідних умовах при формуванні дискретних моделей кривих. Враховуючи неможливість однозначного прямого введення заданих кутів суміжності між елементами супровідної ламаної в математичну модель статико-геометричного методу, в основу створення алгоритму формування моделі було покладено ітераційний процес. Значення функції зовнішнього формоутворюючого навантаження, вираженого через кути нахилу дискретних аналогів дотичних у вузлах до ланок та інші геометричні параметри ДПК на рівномірній сітці з одиничним кроком, у процесі ітераційпідраховувались за наступним виразом (рис. 2):

(4)

Вплив заданих окремих кутів суміжності на геометричні характеристики формованих дискретних моделей можна відслідкувати згідно проведеного параметричного аналізу, за кількістю зв'язаних параметрів функції зовнішнього формоутворюючого навантаження. При цьому швидкість зміни значень кута суміжності можна трактувати як функцію зміни дискретного аналога кривини формованої моделі.

Дискретний аналог кривини у вузлах формованої моделі можна подати у вигляді: . Оскільки даний вираз неможливо прямо ввести в систему скінченно-різницевих рівнянь рівноваги статико-геометричного методу, то було знайдено взаємозв'язок між управляючими параметрами формоутворюючогонавантаження у вузлах і значеннями функціїкривини. Наприклад, складова функції формоутворюючого навантаження у вузлах моделі при заданих значеннях набуде вигляду (рис. 3):

Алгоритм формування ДПК із заданою функцією розподілу кривини базується на постійному уточненні складових функції зовнішнього формоутворюючого навантаження до досягнення необхідної точності обчислень. На рис. 4 зображено наочне представлення ітераційного процесу створення дискретної моделі кривоїза запропонованим алгоритмом. Однак, у процесі формування ДПК на заданих крайових умовах при довільних значеннях функції зміни кривини у вузлах, виникають проблеми пов'язані з геометричним змістом створюваних дискретних моделей. Тому на значення функції зміни кривини потрібно накласти певні обмеження. Якщо у виразі замінити , і виконати ряд перетворень отримаємо

, (5)

де . Аналізуючи (5) отримаємо .

Дискретна модель кривої, формована за заданих крайових умов, може мати геометричний зміст тільки при і .

Запропонований алгоритм формування дискретних моделей плоских кривих із заданою функцією зміни кривини у вузлахліг в основу побудови дискретних моделей просторових кривих із врахуванням заданих значень функцій кривини та скруту. Дискретний аналог кривини для трійки суміжних точок ламаної у вузлі можна подати у вигляді: . Дискретний аналог скруту можна представити виразом: , де - кут, який наближено характеризує скрут у чотирьох нескінченно близьких вузлах.

Для розв'язання такої задачі необхідно функцію зовнішнього формоутворюючого навантаження у вузлах моделі виразити через дискретні параметри кривини і скруту. Наприклад, складова множини складових ,, зовнішнього формоутворюючого навантаження у вузлах виражається через дискретні аналоги функцій кривини і скруту та інші геометричні параметри наступним чином:

,(6)

Ітераційний процес, графічна інтерпретація якого подана на рис. 5, базується на постійному уточненні складових функціїзовнішнього формоутворюючого навантаження. Вплив заданих функції зміни кривини та скруту на геометрію формованих моделей зрівноважених просторових образів відслідковувався за допомогою параметричного представленнясформованої моделі системами числових послідовностей.

Третій розділ присвячено розробці алгоритмів для формування дискретних зрівноважених двовимірних образів із забезпеченням виконання крайових умов та інших вихідних вимог до моделей (множина заданих точок, наявність дискретних аналогів дотичних площин у вузлах та клітинах, тощо) за допомогою математичних апаратів числових послідовностей та статико-геометричного методу зі взаємним контролем отримуваних результатів.

Відповідно до цього у роботі узагальнено підходи щодо збільшення кількості вільних параметрів у виразах подвійних числових послідовностей для врахування якомога більшої кількості вихідних умов та даних. Наявність таких вільних параметрів у виразах подвійних числових послідовностей забезпечується з одного боку за рахунок вибору спеціальних видів арифметичних прогресій, що задають одновимірні числові послідовності, які виступають у ролі початкових або крайових умов, а з іншого боку - за рахунок ускладнення виду функції зовнішнього формоутворюючого навантаження, яке враховується у виразах числових послідовностей для опису формування зрівноважених дискретних структур:

, (7)

де - узагальнююча координата; , - коефіцієнти одновимірних числових послідовностей, що визначають початкові або крайові умови; - залишковий член подвійної числової послідовності; - функціонально розподілене зовнішнє формоутворююче навантаження.

Слід відзначити, що при використанні таких підходів до збільшення кількості вільних параметрів у виразах подвійних числових послідовностей необхідно узгоджувати крайові умови та інші вихідні вимоги до моделей, що формуються як статико-геометричним методом, так і числовими послідовностями. Для прикладу на рис. 6 представлено процес формування двовимірного образу на рівномірній сітці статико-геометричним методом та формування цієї ж сітки подвійною числовою послідовністю (7) за методикою процесу коректування положення вузлів моделі. Відхилення координат вузлів двох сформованих дискретних моделей за різними методиками спостерігається візуально. При цьому зрівноважена дискретна сітка а може виступати мірилом точності для сітки б, сформованої статико-геометричним методом.

Такі дослідження вибудували схему врахування у формованій моделі достатньо великої кількості вихідних умов, які забезпечуються введенням у числові послідовності вільних параметрів (враховуючи і вільні параметри функції навантаження). Але при цьому використовувалась пряма схема, тобто побудова двовимірної числової послідовності у рекурентному вигляді:

, (8)

яка за відповідною методикою трансформувалася у замкнутий вид .

Розв'язання задачі формування зрівноважених дискретних сіток числовими послідовностями з іншою конфігурацією заданих крайових умов, наприклад, г-подібним опорним контуром, за наведеною вище схемою є нездійсненим із-за неможливості представлення рекурентних залежностей виду (8). Задачі такого типу моделювання дискретних зрівноважених сіток у роботі запропоновано розв'язувати з використанням оберненої схеми розрахунку, в основу якої покладено алгоритм виокремлення функції зовнішнього формоутворюючого навантаження у вузлах сітки для встановлення рівноваги моделі, описаної подвійною числовою послідовністю:

,

де - коефіцієнти подвійної числової послідовності.

Досліджено процеси формування зрівноважених двовимірних образів з використанням комплексів операцій над числовими послідовностями і побудовою дискретних моделей абсолютно точних сіток на заданих крайових умовах. Однак, запропоновані алгоритми моделювання мають один суттєвий недолік. У разі задання конкретних значень коефіцієнтів у виразах одновимірних послідовностей, що визначають положення дискретно заданого опорного контуру сітки з рівномірним кроком вузлів, відсутні вільні параметри для управління процесу формування внутрішніх вузлів дискретної моделі, а відтак унеможливлюється врахування заданих вихідних формалізованих умов. Це пов'язано перш за все із підходом до комплексного використання операцій над подвійними числовими послідовностями, де кожна із послідовностей геометрично інтерпретувалася як лінійчата поверхня, яка утворена лінійним зміщенням вузлів опорного контуру.

Якщо ж функції зміщення вибрати нелінійними, то можна отримати множину вільних параметрів для врахування ряду вихідних вимог. При цьому, вимога забезпечення крайових умов у процесі створення математичного апарату моделювання залишалась визначальною.

Графічне відображення процесу формування дискретної моделі поверхні за допомогою суперпозиції числових послідовностей з визначеною множиною вільних параметрів наочно наведено на рис. 7. На першому етапі формуються дискретні моделі поверхонь на двох протилежних крайових умовах (рис. 7а та 7б) з нелінійною функцією зміщення

,

де - параметр нелінійної функції зміщення; - кількість вузлів моделі по напряму або .

Оскільки нелінійні функції зміщення вносять зміни до крайових умов протилежного напряму, необхідно стабілізувати їх вплив на формування кінцевої моделі. Таку стабілізацію можна забезпечити подвійними числовими послідовностями, що є моделями циліндроїдів, побудованих на опорних кривих нелінійних функцій зміщення (рис. 7в та 7г).

П'ятим необхідним елементом виконання заданих крайових умов є подвійна числова послідовність, яка визначає дискретну модель відсіку гіперболічного параболоїда (рис. 7д), побудованого на кутових точках заданого опорного контуру.

Результуючу дискретну модель поверхні пропонується одержати як суперпозицію вище названих подвійних числових послідовностей:

,(9)

- подвійні числові послідовності, які описують дискретні моделі поверхонь формовані на двох протилежних крайових умовах; - подвійні числові послідовності, що описують моделі циліндроїдів; - подвійна числова послідовність, яка визначає дискретну модель відсіку гіпару.

Наочна інтерпретація результуючої подвійної числової послідовності наведена на рис. 7ж і геометрично представляється операціями над різними видами двовимірних сіток.

Проведені дослідження стосовно можливостей компіляції апарату числових послідовностей та статико-геометричного методу, дозволили розв'язати задачу моделювання дискретних сіток, вузли яких знаходяться в рівновазі, з врахуванням, окрім вже названих вихідних умов, ще й заданого об'єму підсіткового простору моделі. Об'єм однієї підсіткової комірки А (рис. 8), що утворена клітиною визначався з використанням апарату подвійних числових послідовностей, а сумарний об'єм підсіткового простору формованої сітки був представлений у вигляді суми окремих комірок:

(10).

Задача формування дискретних моделей поверхонь на рівномірній сітці статико-геометричним методом з врахуванням умови (10) у роботі була розв'язана, за результатом якої будуються дискретні моделі поверхонь із заданим об'ємом підсіткового простору (рис. 8а). Завдяки можливості варіювання функції зовнішнього навантаження можна змінювати геометричну форму модельованої поверхні. Так, наприклад, на рис. 8б зображена дискретна модель поверхні, яка сформована на визначених крайових умовах із тим самим об'ємом підсіткового простору.

При розв'язанні ряду практичних задач виявлено, що при створенні дискретних моделей поверхонь з врахуванням різного роду вихідних умов не завжди можливо застосувати відомі підходи до їх врахування, оскільки не тільки не вдається описати вихідні умови лінійною функцією, а й зв'язати такі вихідні умови із функцією зовнішнього формоутворюючого навантаження. До задач такого типу відноситься створення дискретних геометричних моделей двовимірних образів із заданою площею відсіку формованого образу. Тому для розв'язання задач такого класу запропоновано новий підхід, який пов'язаний із дослідженням процесу формування зрівноважених образів та побудовою графіків залежності формованих площ від визначених параметрів дискретного формування образів, за якими пізніше будуються моделі із визначеними геометричними характеристиками.

Площа однієї криволінійної клітини сформованої дискретної сітки визначається: , де , .

Тоді сумарна площа дискретної моделі поверхні під дією визначеного навантаження представляється у вигляді: .

Процес побудови тривимірного графіка (рис. 9) залежності площі поверхні від значень функції зовнішнього формоутворюючого навантаження та кількості клітин проводиться наступним чином. Фіксується кількість клітин дискретної моделі, яка формується за заданими крайовими умовами. Завантажуються внутрішні вузли функціональним навантаженням зі значеннями, які змінюються з певним кроком. Відшукується залежність площі дискретної моделі відсіку поверхні від кількості клітин та значень зусиль прикладених до вузлів. Для кожного варіанту кількості клітин, будується функція, що описує залежність площі формованої дискретної сітки від заданого навантаження.

Вираз залежності площі поверхні від геометричних параметрів формованої дискретної сітки та навантаження у вузлах представлений у вигляді:

,

де - параметр сітки;

за даними якого побудовано тривимірний графік (рис. 9).

Маючи тривимірний графік, можна для визначеної площі дискретної моделі поверхні та заданих параметрів її плану знайти функцію зовнішнього формоутворюючого навантаження, яка дозволить сформувати зрівноважену дискретну сітку за заданими вихідними даними.

У четвертому розділі роботи описано програмну реалізацію вище запропонованих алгоритмів формування дискретних моделей та впровадження результатів досліджень у виробництво.

Комп'ютерні технології знайшли широке застосування у сучасному проектуванні технічних об'єктів, процесів, явищ тощо. Проведені в роботі дослідження не були б такими продуктивними та ефективними без використання ЕОМ, особливо це стосується моделей, які сформовані на нерівномірній сітці із набором різноманітних вихідних умов, що потребує проведення досить складних розрахунків та постійного коригування алгоритмів.

Запропонований у роботі каталогізатор алгоритмів автоматизованого проектування геометричних образів, створений засобами інтегрованого середовища (IDE) та мови програмування Borland-Delphi із застосуванням оболонки MathCAD. Розроблений програмний продукт носить універсальний характер, легко адаптується до розв'язання великої кількості прикладних задач у різноманітних галузях сучасного виробництва.

Як приклад такої адаптації, була розроблена прикладна програма автоматизованого проектування, на початкових стадіях, дискретних моделей просторових сіток автомобільних доріг на ділянках складного рельєфу (рис. 10). За результатами досліджень отримано довідку про впровадження у державне підприємство - “Український державний інститут з проектування об'єктів дорожнього господарства УКРДІПРОДОР”. Запропонована методика формування дискретних моделей просторових сіток автомобільних доріг на ділянках складного рельєфу дозволяє значно спростити процес проектування автомобільної дороги.

При проектуванні сучасних архітектурних форм важливу роль відіграє етап геометричного проектування, коли на стадії ескізу визначаються основні геометричні форми з їх перевагами та недоліками. У практиці проектування покриттів у вигляді складних поверхонь, як правило, виникає задача розбиття поверхонь на елементи, тобто дискретизація шляхом накладання сіток. Це необхідно для розрахунку оболонок, їх паркетування, при розробці конструкції опалубки для їх зведення. У роботі було поставлене завдання шляхом створення конструкції опалубки для виготовлення елементів криволінійної форми отримати новий технічний результат, який полягає у можливості зведення нелінійчатих оболонок окреслених по поверхнях двоякої кривини. Конструкцію такого щитарозроблено автором дисертації у співавторстві і отримано патент на корисну модель: “Опалубка для виготовлення елементів оболонок двоякої кривини”. Для ефективного застосування запропонованої конструкції трансформованої опалубки у роботі розроблено спеціальні алгоритми дискретного моделювання криволінійних поверхонь складної форми з врахуванням геометричних параметрів щита опалубки для виготовлення окремих елементів паркетування. Розроблені алгоритми та конструкція опалубки впроваджені у ЗАТ ”Луцький домобудівельний комбінат”, про що є відповідна довідка.

Матеріали роботи були також впровадженні в навчальний процес Луцького національного технічного університету у вигляді методичних рекомендацій для бакалаврів та магістрів при вивченні курсів “Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка”, “Комп'ютерна графіка”, “Чисельні методи”, “Математичне моделювання на ЕОМ”, “САПР”.

ВИСНОВКИ

У роботі досягнуто основну мету: розроблено способи дискретного геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь з врахуванням комплексу метричних та дискретних аналогів диференціальних вимог на основі синтезу статико-геометричного методу та дискретного моделювання об'єктів числовими послідовностями. Запропонована математична, алгоритмічна та програмна підтримка їх реалізації.

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку, удосконаленню, розширенню моделюючих можливостей відомих методів дискретного геометричного моделювання.

Значення для практики досліджень полягає у підвищенні ефективності автоматизованого проектування просторових моделей ділянок автомобільних доріг на складних рельєфах та збірних оболонок окреслених по поверхнях двоякої кривини, алгоритмічною базою яких є розроблені дискретні геометричні моделі.

При цьому отримано результати, що мають науково-практичну цінність:

1. Наведений аналіз робіт з прикладної геометрії показав, що існуючі методи дискретного геометричного моделювання не є достатньо ефективними та універсальними по відношенню до вирішення багатьох практичних задач. Зазначено, що при поєднанні переваг математичних апаратів статико-геометричного методу та числових послідовностей розширюється коло практичних задач з реалізації дискретних геометричних моделей.

2. Для обґрунтованого використання методів дискретного геометричного моделювання проведено параметричний аналіз можливості врахування комплексу метричних та дискретних аналогів диференціальних характеристик, який дозволяє прогнозувати результати розв'язання різного роду практичних задач.

3. Розроблено нові ефективні алгоритми формування дискретних моделей кривих ліній із врахуванням комплексу вихідних умов та їх різних варіацій: проходження моделі через задані вузли, наявність дискретних аналогів дотичних в ланках та вузлах, врахування визначеної довжини ділянки супровідної ламаної, заданої площі області між моделлю та осями координат, задання кутових характеристик між елементами їх супровідних ламаних, врахування заданої функції зміни кривини. Реалізація даних алгоритмів стала можливою завдяки вмілому поєднанню переваг статико-геометричного методу та математичного апарату числових послідовностей.

4. Уперше при дискретному геометричному моделюванні кривих ліній із заданою функцією зміни кривини між вузлами наведено обмеження на значення функції кривини. Наведені обмеження дозволяють формувати дискретні точкові множини із прогнозуванням їх геометричного змісту.

5. На основі статико-геометричного методу моделювання вперше розроблено алгоритм побудови зрівноважених дискретних моделей просторових кривих із заданими функціями розподілу кривини та скруту у вузлах формованої моделі, який дозволив звести процес проектування середньої лінії траси автомобільної дороги до одного етапу.

6. Узагальнено підходи до дискретного геометричного моделювання двовимірних об'єктів на основі компіляції алгоритмів статико-геометричного методу та математичного апарату числових послідовностей. Запропонована методика збільшення кількості вільних параметрів у виразах подвійних числових послідовностей або за рахунок ускладнення функції зовнішнього формоутворюючого навантаження, або - підвищення порядку арифметичної прогресії, що задають одновимірні числові послідовності, які виступають в ролі крайових чи початкових умов. Розроблена методика взаємного контролю точності запропонованих алгоритмів.

7. Уперше розроблено алгоритми формування зрівноважених дискретних моделей двовимірних образів на рівномірній та нерівномірній сітках із абсолютним забезпеченням виконання крайових умов та врахуванням інших вихідних вимог за допомогою суперпозиції подвійних числових послідовностей або їх систем, що дозволяє формувати абсолютно точні дискретні моделі поверхонь, а при необхідності переходити до їх неперервних аналогів.

8. Запропоновано новий підхід щодо врахування вихідних умов моделювання, пов'язаний із проведенням комплексу досліджень та побудовою графіків залежностей певних вихідних даних від параметрів формування тих чи інших дискретних моделей, який дозволив враховувати будь-які вихідні умови моделювання.

9. На основі розроблених математичних алгоритмів та запропонованих рекомендацій створено каталогізатор алгоритмів автоматизованого формування одно- і двовимірних образів, створений у середовищі Borland Delphi з використанням оболонки MathCAD, що дозволяє користувачу без особливої підготовки формувати дискретні моделі з комплексним врахуванням вихідних умов.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ТАКИХ РОБОТАХ

1. Самостян В.Р. Дискретне моделювання криволінійних поверхонь в автоматизованому проектуванні об'єктів машинобудування / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // Наукові нотатки ЛДТУ. - Луцьк: ЛДТУ, 2007. - Вип.20. - С. 402-406.

Особисто автором розроблено алгоритм формування дискретних моделей сіток із заданим об'ємом підсіткового простору.

2. Самостян В.Р. Вплив часткових сум рядів числових послідовностей на формування дискретних моделей кривих / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К.:КНУБА, 2007. - Вип. 77. С.74-79.

Особисто автором досліджено вплив заданої площі області, що обмежена моделлю кривої та однією із осей системи координат на процеси формування дискретних моделей кривих.

3. Самостян В.Р. Формування дискретно визначених кривих з нерівномірним кроком вузлів числовими послідовностями / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян, В.М. Придюк // Современные проблемы геометрического моделирования: Зб. наук. пр. - Харків: Харківський державний університет харчування і торгівлі, 2007. - Вип. 18. - с. 69-75.

Особисто автором розроблено алгоритм формування дискретних моделей кривих числовими послідовностями із заданим комплексом вихідних вимог.

4. Самостян В.Р. Дискретне моделювання одновимірних образів на рівномірній сітці за заданою функцією розподілу кривини / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // ІV наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2007. - Вип. 78.- с. 58-63.

Особисто автором наведено обмеження на значення функції зміни кривини, які виникають в процесі дискретного моделювання кривих ліній.

5. Самостян В.Р. Дискретне моделювання кривих за заданими функціями кривини та скруту / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // Міжнародна науково-практична конференція Сучасні проблеми геометричного моделювання. Наукові нотатки ЛДТУ. - Луцьк: ЛДТУ, 2008. - Вип. 22. ч. 1. - с. 286-293.

Особисто автором розроблено алгоритм формування дискретних моделей просторових кривих за заданими функціями кривини та скруту.

6. Самостян В.Р. Узагальнення підходів до формування дискретно визначених двовимірних образів числовими послідовностями / В.Р. Самостян // Наукові нотатки ЛДТУ.. - Луцьк, 2007. - Вип.21 с. 215-219.

7. Самостян В.Р. Вплив крайових умов на формування зрівноважених двовимірних образів числовими послідовностями / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // Прикладна геометрія та інженерна графіка. -К., 2008, вип. 79.

Особисто автором запропоновано проводити процес корегування опорного контуру та внутрішніх вузлів формованих моделей.

8. Самостян В.Р. Формування дискретних аналогів кривих ліній із заданою швидкістю зміни кута нахилу дотичної у вузлах до ланок / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // V наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2008. - Вип. 80. - с. 67-71.

Особисто автором запропоновано твердження, яке встановлює обмеження щодо вибору можливих значень кутів суміжності у вихідних умовах при формуванні дискретних моделей кривих.

9. Самостян В.Р. Дискретне геометричне моделювання поверхонь автомобільних доріг, проектованих на складних рельєфах./ В.Р. Самостян // VI науково-практична конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн". Збірник наукових праць КНУТД. - Київ, 2009, с. 307-315.

10. Самостян В.Р. Параметричний аналіз врахування вихідних умов при формуванні одно- та двовимірних образів / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // Праці VII міжнародної науково-практичної конференції ”Геометричне моделювання і комп'ютерний дизайн” Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2010. - Вип. 85. т.2. - с. 108-115.

Особисто автором проведено параметричний аналіз та проаналізовано вплив комплексів вихідних вимог на процеси дискретного моделювання.

11. Самостян В.Р.Дискретне моделювання зрівноважених сіток числовими послідовностями з нелінійними функціями зміщення / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // VІІ наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2010. - Вип. 86. - с. 208-214.

Особисто автором запропоновано методику врахування у виразах подвійних числових послідовностей нелінійних функцій зміщення.

12. Пат. 34795 Україна, МПК (2006) E04G 11/00. Опалубка для виготовлення елементів оболонок двоякої кривини. / Пустюльга С.І., Самостян В.Р., Клак Ю.В.; заявник і патентовласник Луцький державний технічний університет. - заявлено 11.03.2008; опубл. 26.08.2008, Бюл. №16.

Додаткові публікації, матеріали конференцій:

13. Самостян В.Р. Дискретне геометричне моделювання ділянок автомобільних доріг складного профілю./ С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян. Тези ХХІІІ-ої науково-технічної конференції професорсько-викладацького складу.- Луцьк: Навчально-науковий відділ ЛНТУ, 2008.

Особисто автором досліджено реагування поперечного профілю дороги на ділянках складного рельєфу.

14. Самостян В.Р. Дискретне формування двовимірних образів на рівномірній сітці із заданою площею поверхні моделі / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян, Ю.В. Клак // ІV наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2007. - Вип. 78. - с. 64-69.

Особисто автором досліджено та запропоновано новий підхід щодо врахування вихідних вимог моделювання.

15. Самостян В.Р. Аналіз сучасних підходів до дискретного геометричного моделювання об'єктів / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // V наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2008. - Вип. 80. - с. 60-66.

Особисто автором було проаналізовано відомі методи дискретного геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь.

16. Самостян В.Р. Моделювання дискретно визначених кривих із заданою довжиною ділянки супровідної ламаноїчисловими послідовностями./ В.Р. Самостян // VI науково-практична конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн". Збірник наукових праць КНУТД. - Київ, 2009, с. 374-378.

17. Самостян В.Р. Дискретне моделювання зрівноважених двовимірних сіток числовими послідовностями / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // VІ наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2009. - Вип. 82. - с. 53-58.

Особисто автором розроблено алгоритм формування зрівноважених дискретних сіток із заданими “г-подібними” крайовими умовами.

18. Самостян В.Р. Моделювання зрівноважених дискретно представлених криволінійних поверхонь із заданими крайовими умовами числовими послідовностями / С.І. Пустюльга, В.Р. Самостян // VІ наук.-практ. конф. в Сімферополі "Геометричне та комп'ютерне моделювання. Прикладна геометрія та інженерна графіка”: Зб. наук. пр. - К., 2009. - Вип. 82. - с. 208-214.

Особисто автором проведено комплекс операцій над подвійними числовими послідовностями для забезпечення виконання крайових умов.

АНОТАЦІЯ

Самостян В.Р. Вплив геометричних вимог на процеси дискретного моделювання криволінійних об'єктів будівництва. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна, 2011.

Дисертація присвячена формуванню дискретних моделей одно- та двовимірних образів з комплексним врахуванням вихідних даних та вимог на основі поєднання переваг математичних апаратів статико-геометричного методу та числових послідовностей. Досліджено вплив заданих вихідних вимог на процеси дискретного моделювання зрівноважених одно- та двовимірних образів.

Розроблено нові ефективні алгоритми моделювання дискретних аналогів кривих ліній та поверхонь з різними комбінаціями врахування вихідних вимог, які дозволили збагатити та розширити формоутворюючі можливості відомих методів дискретного моделювання стосовно розв'язання різного роду практичних задач. Запропоновано каталогізатор алгоритмів, який має універсальний характер, не потребує спеціальної підготовки від користувача та легко адаптується до розв'язання великої кількості прикладних задач у різноманітних галузях сучасного виробництва. Результати роботи було впроваджено у практику проектування ділянок автомобільних доріг на складних рельєфах, проектування криволінійних оболонок окреслених по поверхнях двоякої кривини та навчальний процес ЛНТУ.

Ключові слова: дискретне моделювання, статико-геометричний метод, математичний апарат числових послідовностей, комбінації вихідних вимог, каталогізатор алгоритмів.

Самостян В.Р. Влияние геометрических требований на процессы дискретного моделирования криволинейных объектов строительства. - Рукопись.

Диссертация на получение научной степени кандидата технических наук за специальностью 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2011.

Диссертация посвящена формированию дискретных моделей одно-| и двумерных образов с комплексным учетом выходных данных и требований на основе сочетания преимуществ математических аппаратов статико-геометрического метода и числовых последовательностей. Исследовано влияние заданных исходных требований на процессы дискретного моделирования уравновешенных одно- и двумерных образов.

Разработаны новые эффективные алгоритмы моделирования дискретных аналогов кривых линий и поверхностей с различными комбинациями учета исходных требований, которые позволили обогатить и расширить формообразующиеся возможности известных методов дискретного моделирования относительно решения различного рода практических задач. Предложен алгоритм формирования дискретных моделей кривых линий с учетом функции изменения кривизны и приведены ограничения на значение функции кривизны, которые возникают в процессе моделирования. На базе статико-геометрического метода разработан алгоритм формирования уравновешенных дискретных аналогов пространственных кривых линий с учетом функций изменения кривизны и кручения.

...