Нелінійне деформування та стійкість анізотропних оболонок обертання із шаруватих волокнистих композитів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. В авіаційній, ракетній та космічній техніках, машинобудуванні, будівництві знаходять застосування тонкостінні анізотропні оболонкові системи, що, як правило, перебувають в полі значних зовнішніх навантажень. Розв'язання проблеми зниження матеріаломісткості таких конструкцій та їх елементів, які також повинні відповідати вимогам надійної експлуатації, пов'язано з використанням композиційних матеріалів. В той же час розрахунки анізотропних оболонок стосовно встановлення параметрів нелінійного деформування, стійкості та закритичної поведінки, здійснені на основі існуючих моделей композиційного матеріалу, не завжди задовольняють сучасним вимогам щодо їх точності.

Одним з шляхів забезпечення відповідності цим вимогам є використання в створюваних методах і алгоритмах розрахунку анізотропних тонкостінних конструкцій математичних моделей, що більш повно враховують особливості композиційного матеріалу. Основна з них полягає в тому, що при виготовленні шаруватих тонкостінних конструкцій утворюваний матеріал на макрорівні має лише одну площину пружної симетрії. Згідно з узагальненим законом Гука для нього взаємопов'язані деформації розтягу і зсуву, згину та кручення. Це призводить до того, що при втраті стійкості утворюються нові форми, які прийнято називати гвинтоподібними. З погляду на урахування взаємозв'язку вказаних деформацій розв'язок задач стійкості анізотропних оболонок є більш складним, ніж ізотропних чи ортотропних.

Суттєвого значення набуває потреба у розробці таких методів розрахунку напружено-деформованого стану та стійкості анізотропних оболонок, коли чисельні й аналітичні методи, по можливості, використовуються паралельно, доповнюючи один одного. Розв'язання задач нелінійної теорії анізотропних оболонок обертання базується на чисельному методі дискретної ортогоналізації та аналітичному методі у формі Бубнова-Гальоркіна, для якого розв'язувальні функції задаються у вигляді рядів Фур'є. Для нових задач, що розглядаються в роботі, дуже важливо порівняти результати розрахунку, які отримані різними методами. Такий підхід дозволяє оцінити достовірність знайдених величин критичних навантажень, а також параметрів нелінійного деформування оболонок.

Слід мати на увазі, що втраті стійкості геометричної форми оболонки передує встановлення моментного докритичного напружено-деформованого стану (НДС), який може бути суттєво нелінійним. Це призводить до необхідності створення моделей, які дозволять співставляти отримувані розв'язки задач стійкості у різних наближеннях і обрати найбільш достовірну.

Як відомо, втрата стійкості не завжди призводить до вичерпання несучої здатності тонкостінної конструкції. В цьому випадку необхідно дослідити поведінку анізотропної оболонки в закритичній стадії її деформування. Для отримання впливу анізотропії та геометричних недосконалостей на показники стійкості циліндричних оболонок в роботі використовується асимптотична теорія Койтера в альтернативному варіанті Будянського.

Проведений огляд літератури з проблем розрахунку нелінійного НДС, стійкості та закритичної поведінки дозволяє стверджувати, що існує значна кількість задач без розв'язання яких не можливе успішне застосування композитів в анізотропних конструкціях. Визначення параметрів НДС, стійкості та закритичної поведінки становить основу прогнозу надійного функціонування конструкцій з анізотропних оболонок обертання і тому являє собою актуальну та надзвичайно важливу проблему, яка має як наукове, так і прикладне значення.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у вирішенні важливої науково-технічної проблеми, суть якої в створенні на основі нелінійної теорії тонких анізотропних оболонок розрахункової моделі та проведенні досліджень НДС, стійкості та закритичної поведінки анізотропних оболонок обертання під дією осьового стиску, рівномірного зовнішнього тиску, дотичного зсувного зусилля, рівномірно розподіленого по краю (кручення). При цьому розглядається можливість втрати стійкості за двома механізмами: як проклацування при досягненні граничної точки і як явище біфуркації.

Для здобуття поставленої мети необхідно реалізувати наступні завдання:

- застосувати відомі та побудувати модифіковані варіаційні принципи для виведення розв'язувальних систем нелінійних рівнянь рівноваги теорії анізотропних оболонок;

- розв'язати нелінійні задачі про НДС анізотропних оболонок в докритичному та закритичному стані до досягнення точки біфуркації, використавши ітераційний метод Ньютона-Канторовича та метод послідовних навантажень, який привести до такого вигляду, щоб не було потреби змінювати ведучий параметр при проходженні граничних точок;

- розв'язати задачу стійкості анізотропних циліндричних оболонок за використанням критерію Ейлера та асимптотичного методу Койтера в альтернативному варіанті Будянського;

- отримати аналітичні розв'язки задач стійкості та початкової закритичної поведінки анізотропних пологих і непологих оболонок обертання за використанням методу Бубнова-Гальоркіна при застосуванні розв'язувальних функції у вигляді тригонометричних чи комплексних рядів Фур'є;

- розробити методики чисельного розрахунку на стійкість, що дозволяли б проводити оптимізацію структурних параметрів оболонки і в той же час отримувати дані, які не викликали б ніяких сумнівів стосовно їх достовірності;

- чисельний метод дискретної ортогоналізації модифікувати до розв'язання систем лінеаризованих однорідних диференціальних рівнянь із змінними комплексними коефіцієнтами;

- скласти алгоритми та розробити комп'ютерні програмні комплекси аналітичного та чисельного розрахунків НДС, стійкості та закритичної поведінки анізотропних оболонок нульової, додатної та від'ємної гауссових кривин, дослідити та отримати результати впливу різних видів анізотропії, лінійного та нелінійного докритичного стану, а також типів закріплення торців;

- за теорією Койтера дослідити та отримати результати розрахунку початкової закритичної поведінки анізотропних циліндричних оболонок, оцінивши взаємний вплив на величини критичних навантажень низького порядку симетрії композитів та геометричних недосконалостей.

1. Огляд літератури, що пов'язана з дисертаційною роботою, та обґрунтовано вибір теми і напрямків дослідження

Аналізуючи стан досягнень в галузі механіки тонкостінних конструкцій, можна констатувати наявність великої кількості напрямків, за якими відбувається процес дослідження стійкості оболонкових конструкцій, що виготовлені з композитів. Проте не всі з них набули рівня, який би відповідав вимогам сучасної практики. Це стосується, перш за все, досліджень з стійкості анізотропних оболонок, коли конфігурації шаруватих композитів не достатньо збалансовані, щоб їх можна було вважати ортотропними. В роботах М.О. Алфутова, В.В. Васильєва, А.Л. Дубченко, В.І. Корольова, В.І. Мікішевої прийнято ряд апріорних тверджень. Наприклад, не піддається сумніву, що при накладанні двох тонких шарів однонапрямленого композита з орієнтацією волокон утворюється один ортотропний шар. Будучи справедливим у випадку безмоментного напруженого стану, воно стає цілком непридатним при постановці задачі стійкості.

Вперше в роботах С.О. Амбарцумяна, Л.А. Мовсисяна, А.А. Хачатуряна при розв'язанні рівнянь безмоментної теорії було показано, що в оболонках обертання із матеріалів з однією площиною симетрії, в противагу ортотропним, при дії рівномірно розподіленого тиску чи рівномірного крайового навантаження, має місце явище кручення відносно осі обертання. Також встановлено, що при дії рівномірно розподілених крайових зсувних зусиль з'являються повздовжні сили, які в залежності від напрямку закручування змінюють свій знак.

Я.М. Григоренком, А.Т. Василенком, М.М. Крюковим, О.П. Мукоєдом та іншими рівняння моментної теорії анізотропних оболонок були розв'язані чисельним методом дискретної ортогоналізації. Розглядались оболонки обертання, які виготовлені так, що один з напрямків пружності ортотропного матеріалу співпадає з напрямком геодезичних ліній на серединній поверхні оболонки, утворюючи кут з твірною оболонки. Встановлено, що при внутрішньому тиску, в даній оболонці виникають також зсувні напруження. Показано, що дотичні зсувні напруження можуть бути навіть більшими, ніж колові напруження.

Багатошарові армовані оболонки з використанням теорії анізотропних оболонок більш високого порядку точності були піддані чисельному дослідженню в роботах Е.І. Григолюка і Г.М. Куликова. Це дозволило точніше проаналізувати залежність тангенціальних напружень від поперечної координати.

Порівнюючи експериментальні дані з розрахунковими, I. Sheinman, G. Simitsses вказують на те, що для оболонок з композитів розходження порівнюваних величин не можна пояснити тільки наявністю початкових відхилень від ідеальної геометрії. Раніше цей факт був встановлений також в роботах Г.А. Ваніна, М.П. Семенюка, Г.Д. Гавриленко. Можна помітити, що анізотропія композитів і геометричні недосконалості композитних оболонок є в однаковій мірі негативними факторами, від яких залежить несуча здатність композитних оболонок.

Тому перед автором роботи стояло завдання знайти такі підходи до розв'язання задачі стійкості анізотропних оболонок, які опирались би на досягнення попередників в цій області, але забезпечували отримання нових результатів, корисних для практичного використання і достовірних з наукової точки зору.

Сукупність чисельних та аналітичних підходів до розв'язання задачі стійкості та закритичної поведінки, які в роботі доповнюють один одного, дають можливість підвищити рівень довіри до отриманих результатів і тим самим довести їх достовірність. Аналітичні та чисельні методи, які застосовані в роботі, показали свою надійність при розв'язанні крайових задач теорії оболонок Кірхгофа-Лява, вони мало затратні за часом при розрахунках на ПК, тому можуть використовуватись для знаходження оптимальних структур шаруватих оболонок з композитів.

З викладеного витікає, що розробка методів, алгоритмів, а на їх основі програмних комплексів для аналітичного та чисельного розв'язання задач нелінійного деформування, стійкості та закритичної поведінки анізотропних оболонок, які до цього часу систематично не досліджені, являє собою важливу та актуальну задачу будівельної механіки.

2. Побудова варіаційних принципів та систем канонічних рівнянь нелінійної теорії анізотропних оболонок за допомогою методів аналітичної механіки

Анізотропні оболонки виготовляються методом намотування або викладки окремих шарів на оправку та мають незначну товщину. Це дозволяє вважати, що найнижчий рівень симетрії матеріалу таких шарів характеризується однією площиною, яка паралельна лицевим поверхням кожного шару.

В роботі використовуються гіпотези Кірхгофа-Лява про недеформовану нормаль до серединної поверхні, яка залишається нормальною при згині та крученні оболонки. Новими елементами в використовуваних геометричних співвідношеннях теорії є те, що в виразах деформацій через переміщення:

,,,

враховуються квадрати кутів повороту не тільки відносно осей, що є дотичними до осей координат на серединній поверхні , але і відносно нормальної до поверхні осі . При такому уточненні результати розрахунку критичних навантажень для анізотропних колових циліндрів співпадають з результатами, що можна отримати за допомогою відомого варіанту теорії Сандерса. Вперше ідея отримання систем рівнянь теорії оболонок за допомогою методів аналітичної механіки розроблялась в роботах М.О.Кільчевського. Щоб побудувати всі необхідні співвідношення теорії оболонок при аналітичному підході достатньо мати одну скалярну функцію. Такою функцією є виведена в роботі потенціальна енергія оболонок, що виготовлені із матеріалів з однією площиною симетрії:

. (1)

Жорсткості в цьому виразі залежать від геометричних параметрів оболонки. Вираз (1) в лінійному варіанті геометричних співвідношень для ізотропних оболонок співпадає з рекомендованими у монографії В.В.Новожилова. В цілому до повного складу потенціальної енергії входять потенціальна енергія деформації оболонки, потенціал прикладених до частини поверхні навантажень і сил реакції оболонки на тій частині, де задані переміщення. Пружний потенціал у вигляді (1) є найбільш загальним для анізотропних оболонок, однорідних чи неоднорідних за товщиною. Його достатньо для виведення канонічної системи рівнянь нелінійної теорії анізотропних оболонок. За допомогою методу Гамільтона з використанням (1) можна отримати різні частинні варіаційні рівняння для розв'язання різноманітних задач теорії анізотропних оболонок.

В загальному випадку, використовуючи перетворення Лежандра та формули Гамільтона, отримуємо інтеграл дії:

, (2)

який називається канонічним. Цей інтеграл співпадає з функціоналом у принципі Рейсснера.

У ньому , , - це вектори, компонентами яких є вирази відповідних величин через переміщення; - вектори зусиль і моментів; - множники Лагранжа, які введені для запису додаткових умов про рівність нулю деформацій поперечного зсуву;- функція Гамільтона; - робота зовнішніх сил. По аналогії з тим, як в аналітичній механіці дискретних систем рівняння, що знаходиться з умови стаціонарності інтегралу у формі Гамільтона-Пуанкаре, називаються канонічними, так і рівняння що виводяться з принципу Рейсснера у теорії оболонок, також будемо називати канонічними:

, (3)

Термін “канонічні” вживався В.В.Новожиловим по відношенню до отриманих ним співвідношень пружності. Рівняння (3) теорії анізотропних оболонок складаються з шести диференціальних рівнянь, що є аналогом співвідношень пружності, двох диференціальних рівнянь - виразів кутів повороту через переміщення і п'яти диференціальних рівнянь рівноваги в стандартній формі, що є загальновживаною при використанні ортогональної системи координат.

До спрощень в побудові співвідношень для оболонок може призвести також використання частинних варіантів принципу Рейсснера. Їх можна отримати, якщо зменшити кількість активних змінних і провести ті ж перетворення, що і при побудові канонічного інтегралу. У випадку оболонок обертання в якості активних змінних, крім переміщень, потрібно вжити ті з зусиль та моментів, через які виражаються граничні умови. У відповідності до методу Гамільтона створимо інтеграл дії:

, (4)

де - вирази відповідних деформацій, що записані через переміщення; - множник Лагранжа, - робота зовнішніх навантажень. З стаціонарності (4) маємо вісім нелінійних рівнянь теорії тонких анізотропних оболонок:

,

,

,

,

,

,

,

. (5)

При записі цих рівнянь використані такі позначення: , - це компоненти матриць, які виникають при перетворені матриці жорсткостей; , - відповідно проекції зусиль і моменти. Граничні умови формуються відносно однієї з величин з кожної пари:

, , , при . (6)

Цей випадок виведення системи диференціальних рівнянь і граничних умов придатний для розв'язку осесиметричних задач нелінійної статики, а також стійкості анізотропних оболонок обертання, замкнутих за координатою . Представлення розв'язувальних функцій рядами Фур'є за дозволяє із системи рівнянь (5) отримати систему звичайних диференціальних рівнянь нормального виду. Для розв'язку крайової задачі, що сформульована у вигляді нормальної системи диференціальних рівнянь і граничних умов відносно розв'язувальних функцій, можна застосувати метод дискретної ортогоналізації. Шлях отримання розв'язку від постановки задачі до отримання числових результатів при застосуванні розробленого варіанту частинного варіаційного принципу є значно коротший, ніж при використанні повного варіаційного принципу Рейсснера. Методи аналітичної механіки застосовані в роботі також для побудови функціонала, з умови стаціонарності якого виводяться нелінійні рівняння змішаного методу в теорії пологих анізотропних оболонок. У цьому випадку отримуємо систему двох диференціальних рівнянь четвертого порядку відносно функцій прогинів та зусиль . Ці рівняння не є канонічними і використовуються для отримання аналітичних розв'язків задач стійкості. Для порівняння отримуваних за допомогою методів аналітичної механіки рівнянь теорії анізотропних оболонок, в роботі метод Гамільтона застосовано для виводу рівнянь класичної теорії. Як вихідна скалярна функція використана потенціальна енергія деформації ізотропної оболонки, представлення якої рекомендоване В.В.Новожиловим. В результаті отримана система канонічних рівнянь, яка повністю тотожна рівнянням лінійної теорії оболонок, доведеної до найбільш досконалого вигляду Новожиловим. Таким чином, використання до побудови розв'язувальних систем нелінійної теорії анізотропних оболонок методу Гамільтона можна вважати обґрунтованим і таким, що розширює можливості такого важливого чисельного методу, як метод дискретної ортогоналізації. До розв'язання задач теорії оболонок цей метод вперше був застосований Я.М. Григоренко.

3. Аналітичний розв'язок задачі про стійкість анізотропних оболонок обертання

Оболонки утворюються обертанням пологої дуги деякої кривої навколо осі, яка паралельна хорді основи дуги меридіана. Відомо, що при відношенні висоти підйому дуги меридіана над хордою до її довжини меншого , безмоментна теорія оболонок при визначенні НДС дає прийнятні результати. Тому в даній постановці вважаємо, що докритичний стан пологих оболонок безмоментний.

В роботах С.О. Амбарцумяна показано, що анізотропні оболонки обертання мають багато специфічних особливостей в напружено-деформованому стані у порівнянні з ізотропними і ортотропними. Ці особливості виникають завдяки тому, що для анізотропних оболонок у залежностях тангенціальних зусиль від деформацій пов'язані деформації розтягу і зсуву. Тому плоскі до деформації меридіональні лінії оболонки після деформації перетворюються у гвинтові. Очевидно, що це явище буде спостерігатись і у формах втрати стійкості оболонок. Але воно буде мати більш складне походження, ніж у безмоментній теорії оболонок. Справа в тому, що при втраті стійкості задіяний весь механізм взаємозв'язків, закладений у співвідношеннях пружності. Найбільш суттєвим з них є взаємозв'язок згину і кручення. Осі лунок, що утворюються при втраті стійкості оболонок як результат такого зв'язку, будуть нахилені до осей оболонок. У ізотропних і ортотропних оболонках вони орієнтовані строго по осях. Тому задачі стійкості анізотропних оболонок складніші, ніж за звичай. Їх дослідники намагались обійти, аргументуючи це тим, що на практиці структура композиційних матеріалів проектується таким чином, щоб явища згину та закручування не були пов'язані. Цей аргумент, як показано в роботі, дуже слабкий з двох причин. По-перше, наперед можна сказати, що оболонка ортотропна тільки у випадку, якщо осі шарів строго орієнтовані вздовж осей (поздовжньо-поперечна орієнтація армування у випадку волокнистих композитів), по-друге, виявилось, що оптимальні конфігурації шаруватих пакетів обов'язково мають у своєму складі шари, орієнтовані під деяким кутом, не рівним чи , до осей оболонки.

Розв'язання задачі стійкості з гвинтовими формами втрати стійкості здійснено за використанням наступних рівнянь:

. (7)

де , а - лінійні оператори, які з-за їх громіздкості тут не приведені.

Для розв'язання (7) можна використати тригонометричні ряди Фур'є за коловою координатою, інтервал зміни якої є . Повною буде система, що складається як з синусів, так і з косинусів:

(8)

Подвійні тригонометричні ряди, якими представляється розв'язок задачі, побудовані саме таким чином, щоб врахувати ці особливості повноти.

В розв'язуваній задачі за меридіональною координатою на інтервалі повною є система тільки синусів:

(9)

де

За використанням методу Бубнова-Гальоркіна побудовані системи нескінченних однорідних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів рядів (9). Проведено аналіз цих систем, виявлені їх особливості. Основна з них полягає в тому, що визначники, з рівності нулю яких встановлюється критичне навантаження, не змінюють знак при проходженні через нуль. Це погіршує процес знаходження критичних навантажень. В роботі знайдено шлях приведення системи алгебраїчних рівнянь до такого вигляду, щоб їх власні числа не були подвоєними.

Розглянуто питання про можливість застосування рядів Фур'є в комплексній формі:

(10)

для представлення розв'язку задачі за коловою координатою. В цих рядах і - комплексні коефіцієнти, хоча функції і - дійсні. Представляючи функції і у вигляді тригонометричних рядів за меридіональною координатою :

, (11)

методом Бубнова-Гальоркіна отримуємо наступну систему алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів і :

(12)

Позначення виразів в цій системі приведені в роботі, - стала Кронекера, функція визначається відповідною формулою. Виявилось, що комплексний визначник, до знаходження якого зводиться розв'язок задачі, має тільки дійсні корені. Також він змінює знак при проходженні через нуль. Комплексний визначник має таку структуру, що при використанні блочного методу Гаусса отримуємо вираз для обчислення його значення, в якому відсутні уявні числа. Цей кінцевий вираз співпадає з тим, що був здобутий при використанні повних тригонометричних рядів (8), (9). Тільки шлях до його отримання у випадку комплексних рядів значно коротший.

Створена програма розрахунку на ПК, за допомогою якої проаналізована стійкість пологих анізотропних оболонок обертання. Розглядалась стійкість цих оболонок при осьовому стиску (рис.1), рівномірному зовнішньому тиску (рис.2), при дії зсувного зусилля, рівномірно розподіленого по торцевих перетинах, (кручення) (рис.3). Характеристики елементарного шару, з якого виготовлена оболонка, відповідали параметрам склопластика або боропластика (див. стор.17). Головна конфігурація пакета шарів, які брались до уваги в цій задачі, проектувалась таким чином, що кожен шар був армований під кутом до напрямку меридіана, причому сусідні шари мали однакові за модулем, але протилежні за знаком значення кутів. Цю конфігурацію можна назвати косокутноперехресною. Проведено розрахунок критичних навантажень в залежності від кількості шарів при кутах армування, що змінюються від до . Оболонки досліджуваного типу можуть мати як додатну, так і від'ємну кривину. ЇЇ знак і величина визначають значення критичних навантажень та характер їх залежності від кутів армування.

Показано, що оболонки з від'ємною кривиною сприймають менші, ніж циліндричні критичні навантаження. Оболонки з додатною кривиною мають вищі критичні навантаження у випадку анізотропного композиту, але можуть мати також рівні критичні навантаження для циліндричних оболонок, коли, як це має місце при осьовому стиску, форми втрати стійкості опуклих і циліндричних оболонок осесиметричні. Задачі представленого типу раніше не розглядались.

Таким чином, отримані в цьому розділі результати мають подвійну користь. По-перше, вони дають уявлення, як впливає анізотропія композитів на стійкість оболонок обертання, а, по-друге, вказують, яким чином треба будувати розв'язок непологих анізотропних оболонок.

4. Розв'язання нелінійної задачі про напружено-деформований стан непологих анізотропних оболонок обертання при дії осесиметричних навантажень

Система нелінійних диференціальних рівнянь (5) у випадку оболонок обертання при осесиметричній деформації набуває такого вигляду:

(13)

В ній використані позначення розв'язувальних функцій для активних змінних у такому переліку:

(14)

Інші позначення, присутні в системі (13), мають зміст параметрів деформації, а також зусилля та моментів , які в даній задачі є пасивними змінними.

Крайові умови при постановці конкретних задач формулюються відносно розв'язувальних функцій (14). В загальному вигляді їх зручно записати у векторно-матричному представленні:

при а при (15)