Определение реакций опор твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАНИЕ 1-а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дано: схема закрепления бруса (рис. 1); его размеры: А = 4м, В = 2м, С = 1м, ? = 30°, ? = 45°; внешняя нагрузка Р1= 2 кН, Р2= 5 кН, М = 10 , q = 4 кН/м.

Внешняя нагрузка выражает взаимодействие рассматриваемой конструкции с телами в нее не входящими.

Сосредоточенная сила (Р) выражает взаимодействие тел, как правило, на малой площадке контакта (вес всего тела, приложенный в центре тяжести; натяжение троса; давление со стороны тела, опирающегося на угол).

Рис. 1. Схема закрепления бруса

Распределенная нагрузка выражает взаимодействие тел по некоторой линии, по поверхности или объему (распределение веса по линии контакта тел, давление снега на крышу здания, ветровая нагрузка, давление грунта на фундамент, распределение веса здания по его объему и т.п.). Распределенная нагрузка задается ее интенсивностью q, т. е. нагрузкой, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема.

В настоящем задании рассматривается равномерно распределенная нагрузка по линии, ее интенсивность q имеет размерность [кН/м].

Вращательное действие пары сил, стремящейся повернуть конструкцию, характеризуется ее моментом (М). Пара сил образуется двумя параллельными, равными по величине силами, направленными в противоположные стороны не вдоль одной прямой. Она появляется при сложении параллельных сил и при перенесении силы из точки ее приложения в любую другую произвольную точку.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к брусу. Действие связей на конструкцию заменим их реакциями: в точке А (каток) - RА ; в точке В (шарнирно-неподвижная опора) - хВ и уВ;. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменим равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия:

Составим расчетную схему (рис. 2). Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил:

Рис. 2. Расчетная схема

Вычисления дают кН.

откуда кН.

откуда кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов относительно точки A:

то есть реакции опор найдены верно.

Результаты расчета сведем в таблицу:

кН	кН	кН
-3,53	5,29	14,14

ЗАДАНИЕ 1-б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дано: схема закрепления бруса (рис. 3); его размеры: А = 4м, В = 2м, С = 1м, ? = 45°; внешняя нагрузка Р1= 2 кН, Р2= 5 кН, М = 10 , q = 4 кН/м.

Внешняя нагрузка выражает взаимодействие рассматриваемой конструкции с телами в нее не входящими.

Сосредоточенная сила (Р) выражает взаимодействие тел, как правило, на малой площадке контакта (вес всего тела, приложенный в центре тяжести; натяжение троса; давление со стороны тела, опирающегося на угол).

балка колонна деформация изгиб



Рис. 3. Схема закрепления бруса

Распределенная нагрузка выражает взаимодействие тел по некоторой линии, по поверхности или объему (распределение веса по линии контакта тел, давление снега на крышу здания, ветровая нагрузка, давление грунта на фундамент, распределение веса здания по его объему и т.п.). Распределенная нагрузка задается ее интенсивностью q, т. е. нагрузкой, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема. В настоящем задании рассматривается равномерно распределенная нагрузка по линии, ее интенсивность q имеет размерность [кН/м].

Вращательное действие пары сил, стремящейся повернуть конструкцию, характеризуется ее моментом (М). Пара сил образуется двумя параллельными, равными по величине силами, направленными в противоположные стороны не вдоль одной прямой. Она появляется при сложении параллельных сил и при перенесении силы из точки ее приложения в любую другую произвольную точку.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к брусу. Действие связей на конструкцию заменим их реакциями: в точке А (консольная заделка) - хА и уА и пара сил с моментом МА. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменим равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия:

Составим расчетную схему (рис. 4). Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил:

Рис. 4. Расчетная схема

Вычисления дают кН•м.

откуда кН.

откуда кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов относительно точки В:

то есть реакции опор найдены верно.

Результаты расчета сведем в таблицу:

кН	кН	кН•м
3,54	17,54	28,14

ЗАДАНИЕ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ

Дано: схема фермы (рис. 5); Р1 = 4,5 кН; Р2 = 5,5 кН; а = 1,5м.

Рис. 5. Схема фермы

Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными. Фермы применяются для перекрытия больших пролетов (мостовые и стропильные фермы) и в крупных строительных конструкциях (башенные и крановые фермы), когда проектирование сплошных балок становится экономически нецелесообразным. В таких случаях сплошную балку заменяют сквозной конструкцией, состоящей из большого числа стержней, которые соединяются в точках пересечения их осей. Соединения стержней называются узлами.

Важной частью расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки. При этом принимаются следующие допущения:

- внешние силы приложены только в узлах фермы;

- веса стержней пренебрежительно малы;

- узлы представляют собой идеальные шарниры (силы трения в них не возникают).

При этих допущениях все стержни испытывают лишь растяжение или сжатие, что значительно упрощает их определение, а результаты расчетов мало отличаются от усилий в ферме с жесткими узлами.

1. Определение реакций опор фермы от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы Р1, Р2 и реакции опор А и В (рис. 6).

Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие - хА и уА; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка - RВ.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

Рис. 6. Расчетная схема для определения реакций опор

Из этих уравнений хA = 9,397 кН; уA = 4,5 кН; RB = 3,897 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:

то есть реакции опор найдены верно.

2. Определение сил в стержнях фермы методом вырезания узлов.

Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для узлового соединения связями. Мысленно отбросим связи и заменим их действие на узлы реакциями. На рис. 7 показаны узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.

Рис. 7. Схема фермы с активными и реактивными силами

Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения реакция стержня получится отрицательной, то это будет означать, что соответствующий стержень сжат.

Для каждого узла составим два уравнения равновесия:

Рекомендуется рассматривать узлы в такой последовательности, чтобы каждый раз в уравнения равновесия входило не более двух неизвестных.

Для узла A:



откуда определяем (стержень сжат) и (стержень сжат)

Для узла В:

откуда определяем (стержень сжат) и

Для узла E:

откуда находим (стержень сжат) и

Для узла С:

откуда определяем кН (стержень сжат).

Так как усилия во всех стержнях фермы уже определены, то второе уравнение равновесия для узла С является проверочным уравнением:

Отсюда можно сделать вывод, что усилия в стержнях определены верно.

Для проверки расчета для каждого узла построим замкнутый многоугольник сил (рис. 8), исходя из геометрического условия равновесия сходящихся сил:

Измеренные в масштабе построения реакции стержней должны мало отличаться от найденных аналитически.

Рис. 8. Графическое определение усилий в стержнях

3. Определение сил в стержнях методом моментной точки (методом Риттера).

По методу моментной точки каждая сила должна быть определена из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стержнях.

Для определения сил в стержнях 2, 4 и 7 мысленно разрежем ферму сечением I-I (рис. 9). Рассмотрим равновесие сил, приложенных к правой части фермы. Действие отброшенной левой части на правую представим силами . Предполагаем, что все стержни растянуты. Знак минус в ответе укажет на то, что стержень сжат.



Рис. 9. Схема для определения сил в стержнях методом Риттера.

Для определения составим уравнение моментов сил относительно точки С, где пересекаются линии действия сил (моментная точка для стержня 2):

Отсюда получим

Моментной точкой для четвертого стержня является узел Е, где пересекаются линии действия сил , исключаемых из уравнения:

Отсюда получим

Для определения составим уравнение моментов сил относительно точки А, где пересекаются линии действия сил (моментная точка для стержня 2):

Отсюда получим

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7
Знак силы	-	-	+	-	-		-
Сила, кН	9	4,5	2,25	1,6	1,6	0	4,5

4. Определение необходимой площади поперечного сечения стержней.

Рассматриваемая в задании стропильная ферма состоит из стальных стержней одинакового поперечного сечения, для материала которых допускаемое значение напряжений [?] = 140 МПа, а модуль продольной упругости Е = МПа.

Площадь поперечного сечения стержней определяется из условия прочности на растяжение или сжатие:

где F - площадь поперечного сечения стержня, - максимальная по абсолютной величине сила в рассмотренных стержнях (). Определим требуемую из условия прочности площадь поперечного сечения стержней:

5. Определение абсолютной деформации наиболее нагруженного стержня.

Абсолютное удлинение или укорочение наиболее нагруженного стержня найдем по формуле:

,

где - длина наиболее нагруженного стержня ().

Для первого стержня

Знак минус говорит о том, что данный стержень укорачивается. В общем случае для сжатых стержней выполняется и расчет на устойчивость.

ЗАДАНИЕ 3-а. РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 10);

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к балке: пара сил с моментом ; силы Р1 и Р2 и реакции опор А и В (рис. 10).

Реакция в опоре A (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие - ZA и YA; в точке B реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка - RB.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к балке:

Из этих уравнений ZА = 0 кН; YA = 20,71 кН; RB = 24,29 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 11.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.



Размещено на http://www.allbest.ru/

I участок ():

Рис.12. Участок I

Отсюда

На границах участка:

при м

при

II участок ():

Рис. 13. Участок II

Отсюда

На границах участка:

при

при

III участок ():

Рис. 14. Участок III

Отсюда

На границах участка:

при м

при

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 11).

3. Определение положения опасного сечения.

Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе первого и второго участков, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [?] = 140 МПа:

5. Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

Круг:

Прямоугольник с соотношением сторон h/b = 3,5:



Двутавр: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления большим или равным расчетному.

В данном случае это двутавр №27, у которого Wx= 371см3 и площадь поперечного сечения F3= 40,2см2.

6. Сравнение масс полученных балок.

Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения.

При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:

Таким образом, наиболее выгодной является балка двутаврового сечения, масса которой, а, следовательно, и стоимость, в 4,68 раза меньше, чем у балки круглого сечения.

ЗАДАНИЕ 3-б. РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 15);

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к балке: пара сил с моментом М; силу Р1, распределенную нагрузку интенсивностью q и реакцию опоры А (рис. 15).

Реакция в опоре А (консольная заделка) раскладывается на две составляющие - ZA и YA и момент МA.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к балке:

Из этих уравнений ZА = 0 кН; YA = 43 кН; МA = 171,6 кН•м.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки B:

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 16.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.



Размещено на http://www.allbest.ru/

I участок ():

Рис.17. Участок I

Отсюда

На границах участка:

при м кН•м;

при

II участок ():

Рис. 18. Участок II



Отсюда

На границах участка:

при

при

III участок ():

Рис. 19. Участок III

Отсюда

На границах участка:

при м

при

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 16).

3. Определение положения опасного сечения.

Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение.

В рассмотренном примере оно расположено на границе первого участка, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [?] = 140 МПа:

Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

Кольцо с соотношением ? = d/D = 0,75:

Квадрат:

Швеллер: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8240) подбираем швеллер с моментом сопротивления большим или равным расчетному. В данном случае такого швеллера нет, поэтому в расчет его не включаем.

Сравнение масс полученных балок.

Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения. При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:

Таким образом, наиболее выгодной является балка кольцевого сечения, масса которой, а, следовательно, и стоимость, в 1,58 раза меньше, чем у балки квадратного сечения.

ЗАДАНИЕ 4. РАСЧЕТ КОЛОННЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Дано: схема нагружения колонны высотой 13 метров (рис.20), изготовленной из стали Ст. 3 и имеющей составное сечение из двух швеллеров №16 (рис. 21). Определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости = 2,5.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных сжимающих сил.

Нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости, называются критическими. Если нагрузки не превышают этого значения, то стержень остается прямолинейным, испытывая только деформации сжатия. Искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба, которые могут угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние считается недопустимым.

Опасность потери устойчивости особенно актуальна в настоящее время в связи с широким использованием тонкостенных элементов конструкций типа стержней, балок, пластин и оболочек, изготовленных из высокопрочных материалов. Расчет на устойчивость необходим, например, при проектировании ферм различного назначения, всевозможных вышек, башен и мачт, несущих конструкций зданий и сооружений.

Рис. 20. Расчетная схемы нагружения колонны Рис. 21. Форма составного сечения

1. Основные геометрические характеристики составных частей сечения.

Геометрические характеристики составных частей сечения определяются по таблице сортамента прокатной стали ГОСТ 8240 (швеллеры):

h = 16см;

b = 6,4см;

Ix = 747см4;

Iy = 63,3 см4;

F = 18,0 см2.

x0 = 1,79см;

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Определим положение центра тяжести всего сечения относительно произвольной системы координат xОy (рис. 22).

Так как сечение имеет ось симметрии, то его центр тяжести расположен на этой оси, т. е. yC = 0. Координату xC определим по формуле

,

где и - площадь и координата центра тяжести каждой составной части сечения.

 см.

Через полученную точку проведем главные центральные оси инерции сечения X и Y.

Рис. 22. Расчетная схема сечения

3. Определение минимального осевого момента инерции сечения.

Для нахождения моментов инерции составного сечения воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей, согласно которой

где - моменты инерции составных частей сечения относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям инерции всего сечения; - расстояния между соответствующими осями отдельных составных частей и осями всего сечения в целом.

В рассматриваемом примере а1=а1=0;

см; (левая часть колонны)

см. (правая часть колонны)

Тогда

см4;

см4.

Из двух осевых моментов инерции выбираем минимальный, так как именно вокруг этой оси будет поворачиваться сечение при продольном изгибе: Imin = IY = 891,7 см4.

4. Определение минимального радиуса инерции сечения.

imin см.

5. Определение гибкости колонны.

Гибкость колонны (?) определяется только ее конструкцией и зависит от высоты (l), формы и размеров поперечного сечения (imin), а также от условий закрепления и отношения продольных размеров колонны (?):

где ? - коэффициент приведения длины. Для схемы колонны, приведенной на рис. 20, ? = 1,35. Тогда:

б)

6. Определение критических напряжений.

Так как гибкость колонны больше критической (), поэтому критическое напряжение вычисляем по формуле Эйлера, приняв модуль продольной упругости материала :

=15,9 МПа.

7. Определение критической силы.

Критическая сила определяется, исходя из деформации сжатия:

Ркр = ?крF

где F - площадь поперечного сечения колонны.

Ркр = Н = 57,24 кН.

8. Определение допускаемой нагрузки.

Любая конструкция не должна работать при нагрузках, близких к критическим. Поэтому допускаемая ее величина должна быть меньше критической в несколько раз, что определяется коэффициентом запаса устойчивости :

Ркр/ =57,24 /2,5 = 22,9 кН;

При проектировании следует иметь в виду, что наиболее экономичными с точки зрения расхода материала являются колонны, стержни и мачты с кольцевым или коробчатым поперечным сечением.

Размещено на Allbest.ur

...