Статически определимые системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Учебное пособие

По предмету: Строительная механика

Статически определимые системы

Гущин В.П.

Введение

Строительная механика занимается разработкой методов расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Реальные сооружения представляют собой сложные инженерные системы, состоящие из совокупности колонн, балок, плит, ферм и арок. Их точный расчет достаточно труден. Поэтому в строительной механике рассматриваются расчетные схемы, представляющие собой упрощенные изображения реальных сооружений, учитывающие основные их свойства и удобные для расчета. Из всего многообразия расчетных схем, классифицируемых как стержневые системы, плиты, оболочки, массивы, в пособии представлены только плоские геометрически неизменяемые и статически определимые стержневые системы. К ним относятся широко используемые в практике строительства фермы, арки, балки и рамы.

Прочность, жесткость и устойчивость стержневых систем зависит от усилий, развивающихся в сечениях при различных воздействиях. В связи с этим основная задача состоит в разработке методов и приемов определения усилий, основными из которых являются изгибающий и крутящий моменты, поперечная и продольная сила. Вычисления усилий выполняются статическими, кинематическими, матричными методами и способом замены связей. К статическим методам, основанным на уравнениях равновесия статики, относятся: способ вырезания узлов, способ простых и совместных сечений. Уравнения равновесия, включающие в себя силы и неизвестные усилия, составляются для любой из отсеченных частей расчетной схемы, находящейся в равновесии. Кинематические методы основаны на условиях равновесия изменяемых систем, главным из которых является принцип возможных перемещений как необходимый и достаточный признак равновесия системы. Матричные способы используют методы линейной алгебры с применением теории матриц.

В практических расчетах наибольшей наглядностью отличаются статические методы, которые используются для вычисления усилий в сечениях статически определимых стержневых систем. В пособии последовательно излагаются методики расчета стержневых систем этими методами на основные виды нагрузок и других воздействий.

Студенты должны выполнить Расчетно-графическую работу № 1 на тему "Расчет плоских статически определимых систем", которая состоит из задачи № 1 "Расчет плоских статически определимых рам" и задачи № 2 "Расчет плоских статически определимых ферм". Задания для выполнения задач выбираются в соответствии с порядковым номером в учебной ведомости.

1. Кинематический анализ стержневых систем

1.1 О расчетных схемах

Реальные сооружения представляют собой достаточно сложные системы, которые обладают различными свойствами. Все эти свойства в практических расчетах учесть не представляется возможным, поэтому вместо реальных сооружений рассматривают их расчетные схемы. Расчетная схема - это упрощенная модель реального сооружения, учитывающая основные его свойства и удобная для выполнения расчетов.

Все расчетные схемы или системы можно классифицировать по их геометрическим признакам:

а)стержневые;

б)пластины, плиты, оболочки;

в)массивы, блоки, сплошные среды.

1.2 Классификация стержневых систем

Стержневые системы можно классифицировать следующим образом:

I) По кинематическому признаку все системы разделяются на:

1) геометрически неизменяемые - системы, в которых допускаемые перемещения стержней связаны только с их деформациями. Неизменяемые системы должны сохранять свою первоначальную форму и способны воспринимать любые нагрузки вплоть до наступления разрушения материала системы.

2) геометрически изменяемые - системы, допускающие конечные относительные перемещения своих точек без учета деформаций стержней. Любая изменяемая система обладает подвижностью своих звеньев, поэтому в зависимости от нагрузки она может находиться в состоянии устойчивого равновесия (рис.1.1 а), неустойчивого равновесия (рис.1.1 б) и безразличного состояния равновесия (рис.1.1 в).

Если изменяемая система при данной конфигурации не может внутренними усилиями обеспечить равновесия действующей нагрузке, то она будет приспосабливаться к ней, т.е. совершать движение до тех пор, пока не получит той формы, при которой становится возможным устойчивое равновесие (рис.1.2).

При этом, как правило, система будет получать большие перемещения и займет устойчивую форму равновесия, если не будет нарушена ее прочность. Следовательно, изменяемая система может воспринимать и уравновешивать внутренними усилиями только нагрузки частных видов, соответствующих ее устойчивой форме равновесия.

3) мгновенно-изменяемые - системы, допускающие малые относительные перемещения своих точек без учета деформаций стержней, после чего такие системы становятся неизменяемыми. Такие системы могут воспринимать нагрузки частных видов, поскольку, в общем случае действия нагрузок в них будут развиваться значительные по величине усилия, которые приводят к большим конечным деформациям (рис.1.3).

Поэтому, мгновенно-изменяемые и изменяемые системы не пригодны для формирования расчетных схем сооружений.

II) По характеру сопряжения стержней в узлах:

1) шарнирно-стержневые системы или фермы, которые образуются из прямолинейных стержней, соединенных в узлах полными, идеальными шарнирами (рис.1.4 а);

2) система с жестким соединением стержней в узлах - рамы (рис.1.4 б);

3) комбинированные системы (рис.1.4 в).

III) По направлению опорных реакций при действии вертикальной нагрузки:

1) балочные - такие системы, в которых возникают только вертикальные реакции (рис.1.5 а);

2) распорные системы - это арочные (рис.1.5 б) и висячие (рис.1.5 в)

Горизонтальная составляющая опорной реакции - H называется распором.



1.3 Понятие числа степеней свободы системы и виды связей

Любая стержневая система, находящаяся под внешним воздействием, должна сохранять свою первоначальную форму, т.е. не должна обладать подвижностью своих звеньев, или не иметь степени свободы. Под степенью свободы W будем понимать число независимых параметров, определяющих положение системы при любом ее движении.

Известно, что точка на плоскости имеет две степени свободы, а тело на плоскости - три степени свободы.

Перемещению тел на плоскости и в пространстве препятствуют связи. Всякое ограничение, уничтожающее одну степень свободы, называется кинематической связью.

Различают три вида связей плоских систем:

1) Связь первого вида - стержень с шарнирами по концам. Эта связь препятствует перемещению одного диска относительно другого по направлению стержня, уничтожает одну степень свободы, допускает линейное перемещение вдоль оси, перпендикулярной стержню и поворот, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Статическая характеристика - в связи может возникать реакция, направленная вдоль стержня (рис.1.6 а).

2) Связь второго вида - шарнир с неподвижной геометрической осью, вокруг которого диск может вращаться. Она уничтожает две степени свободы и эквивалентна двум связям, ограничивая любые линейные перемещения. Следовательно, любые две связи эквивалентны шарниру, расположенному в точке их пересечения. Статическая характеристика - в шарнире может возникать реакция любого направления, проходящая через его центр, которую можно представить в виде двух составляющих (рис.1.6 б).

3) Связь третьего вида - жесткое закрепление или жесткий узел, которая препятствует относительным линейным и угловым перемещениям. Она уничтожает три степени свободы, эквивалентна трем связям и два диска соединяет в один диск. Статическая характеристика - в этой связи может возникать реакция любого направления, проходящая через любую ее точку, и момент относительно этой точки (1.6 в).

Таким образом, для неподвижного прикрепления твердого тела необходимы три связи, они не должны быть параллельными и не должны пересекаться в одной точке (образуется фиктивный шарнир). В противном случае получаем мгновенно-изменяемую систему (рис.1.7).



Расчетные схемы многих сооружений представляют собой системы, состоящие из отдельных твердых тел (дисков), соединенных между собой шарнирами, а с основанием - опорными связями. Степень свободы W такого сооружения можно выразить:

W = 3 D - 2Ш - С0 ,

где D - число дисков, Ш - число простых шарниров, С0 - число опорных связей.

В этом выражении под дисками можно понимать: отдельные стержни, геометрически неизменяемые части системы. Шарнир будет называться простым, если он соединяет два стержня, и сложным или кратным, если он соединяет больше двух стержней. Сложный шарнир эквивалентен (n - 1) простому шарниру, где n - число стержней, соединяемых шарниром.

Например, число степеней свободы системы, изображенной на рис.1.8, равно 0, так как в ней 5 дисков, 4 шарнира и 7 опорных связей.

W = 35 - 24 - 7 = 0

Если рассматривать узлы “У” шарнирно-стержневых систем, как некоторые точки на плоскости, каждая из которых обладает двумя степенями свободы, а стержни С + С0 как некоторые связи, каждая из которых отнимает одну степень свободы, то для таких систем, не содержащих жестких узлов, степень свободы можно представить:

W = 3 У - 2С - С0 ,

где У - количество полых шарнирных узлов, С - количество стержней, С0 - число опорных связей.

Пример 1.3. Определить степень свободы стержневых и шарнирно-стержневых систем (рис.1.9 а, б, в).

а) многопролетная статически определимая балка, при D = 3, Ш = 2, С0 = 5. Степень свободы W = 33 - 22 - 5 = 0, содержит необходимое количество стержней.

б) для рамы D = 3, С0 = 6. Шарнир соединяет три диска, поэтому он является кратным и эквивалентным двум простым шарнирам Ш=3-1 = 2. Степень свободы рамы W = 33 - 22 - 6 = -1, т.е. она содержит одну лишнюю связь.

в) шарнирно-стержневая система, где У = 4, С = 4, С0 = 3 и степень свободы W = 24 - 4 - 3 = 1, представляет собой механизм с одной степенью свободы.

1.4 Необходимые условия геометрической неизменяемости стержневых и шарнирно-стержневых систем

Необходимым условием геометрической неизменяемости шарнирно-стержневых систем будет равенство нулю числа степеней свободы.

Поэтому, для прикрепленных систем

2 У - С - С0 =0

С + С0 =2 У,

для неприкрепленных систем С0 = 0,

2 У - С - 3 =0

С =2 У - 3.

Рассмотрим частные случаи:

1) пусть

С + С0 > 2 У,

тогда система будет иметь избыточные стержни и может быть геометрически неизменяемой при условии правильного расположения стержней.

2) пусть

С + С0 = 2 У,

система будет иметь достаточное количество стержней и может быть геометрически неизменяемой при условии правильного расположения стержней.

3) пусть

С + С0 < 2 У,

тогда система будет геометрически изменяемой ввиду недостатка стержней.

Пример 1.4. Определить необходимые условия геометрической неизменяемости шарнирно-стержневых систем (рис.1.10 а, б, в).

Решение:

а) прикрепленная ферма, где С = 11, С0 = 3, У = 7 и 11 + 3 = 27, является геометрически неизменяемой;

б) неприкрепленная ферма, где С = 11, У = 6 и 11 > 26 - 3, содержит избыточные стержни и является геометрически неизменяемой;

в)прикрепленная шарнирно-стержневая система, где С = 8, С0 = 3, У = 6 и 8 + 3 < 26, является механизмом с одной степенью свободы.

1.5 Способы образования геометрически неизменяемых систем

Полученное условие W = 0 является лишь необходимым условием геометрической неизменяемости систем, но недостаточным, поскольку, оно может выполняться, а система будет изменяемой (рис.1.11).



Поэтому, в дополнении к условию W = 0, необходимо соблюдать способы правильного образования геометрических неизменяемых систем.

Рассмотрим основные способы образования геометрически неизменяемых систем, составленных из двух, трех и более дисков.

1) Способ диадного образования. Диада - это двухстержневой узел, стержни которого не лежат на одной прямой. В этом способе к заведомо неизменяемому диску (исходному стержню) последовательно подсоединяются двух стержневые узлы (диады), образуя геометрически неизменяемую систему (рис.1.12).

2) Способ последовательного соединения дисков. Два диска могут быть соединены:

а) тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке и непараллельными (рис.1.13 а);

б) шарниром и стержнем, не проходящим через ось этого шарнира (рис.1.13 б);

в) жестким узлом.



Последовательное соединение дисков такими видами связей образует геометрически неизменяемую систему (рис.1.13 в, г).

3) способ образования "трехшарнирная арка". В этом способе три диска (I, II, III) соединяются между собой тремя шарнирами (Ш 1, Ш 2, Ш 3), не лежащими на одной прямой (рис.1.14).

Пример 1.5.1. Выполнить кинематический анализ шарнирно-стержневых систем (рис.1.15 а, б, в).

Решение:

а) неприкрепленная ферма, где С = 9, У = 6, 9 = 26 - 3, является геометрически неизменяемой, поскольку внутренний - I и внешний - II диски соединены тремя стержнями.

б) прикрепленная ферма, где С = 9, У = 6, С0 = 3, 9 + 3 = 26, является геометрически неизменяемой, так как диски I и II соединены тремя стержнями.

в) неприкрепленная шарнирно-стержневая система, где С = 29, У = 16, 29 = 216 - 13, является мгновенно-изменяемой, поскольку три стержня, соединяющие два диска I и II, пересекаются в одной точке.

Пример 1.5.2. Выполнить кинематический анализ стержневых систем (рис.1.16 а, б, в).

Решение:

а) неприкрепленная шарнирно-стержневая система, где С = 11, У = 7, 11 = 27 - 3, является геометрически неизменяемой. Образована способом трехшарнирной арки, то есть тремя дисками I, II, III, соединенными одним реальным (1, 2) и двумя фиктивными (2, 3; 1, 3) шарнирами, не лежащими на одной прямой.

б) прикрепленная шарнирно-стержневая система, где С = 6, У = 5, С0 = 4, 6 + 4 = 25, является мгновенно геометрически изменяемой. Поскольку три шарнира (1, 3; 1, 2; 2, 3), соединяющие три диска I, II, III лежат на одной прямой.

в) прикрепленная комбинированная система, где D = 2, Ш = 1, С0 = 4, W = 32 - 21 - 4 = 0, является мгновенно геометрически изменяемой, так как один реальный (1, 2) и два фиктивных шарнира (1, 3; 2, 3), соединяющие три диска I, II, III, лежат на одной прямой.

2. Статически определимые рамы

Рамы - это системы, состоящие из прямолинейных или криволинейных стержней, жестко или шарнирно связанных между собой по концам. Вертикальные и наклонные элементы рам называются стойками, горизонтальные и близкие к ним - ригелями. Рамы бывают несочлененными, то есть состоящими из одного диска, неподвижно закрепленного на плоскости, и сочлененными, состоящими из двух или нескольких дисков, соединенных между собой шарнирами.

В зависимости от способов образования и видов опорных закреплений рамы могут быть балочными (безраспорными) или арочными (распорными) системами. Расчет плоских, статически определимых рам выполняется с помощью уравнений равновесия статики, сводится к вычислению изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в сечениях и построению эпюр внутренних усилий. Эпюрой называется графическое изменение изучаемой величины в различных сечениях от заданной нагрузки. Вычисление внутренних усилий в сечениях рамы выполняется статическим способом вырезания узлов и простых сечений.

В аналитическом решении численные значения усилий определяются для каждого сечения из условий равновесия отсеченных частей рамы. Графическое решение удобно использовать при построении эпюр изгибающих моментов для простейших случаев загружения. Это позволяет определять общий характер распределения внутренних усилий, сечения с экстремальными и нулевыми изгибающими моментами.

2.1 Аналитический расчет рам

Аналитический расчет статически определимых рам сводится к следующему:

1)Вычисление опорных реакций связей и проверка правильности их определения. Для однодисковых рам, прикрепленных к основанию тремя связями, реакции вычисляются из уравнений равновесия плоской произвольной системы сил в трех формах:

а) X = 0, Y = 0, М = 0,

если оси X и Y непараллельны;

б) X = 0, МА = 0,

МВ = 0, если точки А и В не лежат на одном перпендикуляре к оси X;

в) МА = 0, МВ = 0,

МС = 0, если точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Для сочлененных рам необходимо к этим уравнениям дополнительно составить условия равновесия отдельных частей в виде шодн.с.= 0, где Ш - число простых шарниров. Следовательно, для статически определимой рамы, имеющей Ш простых шарниров, можно составить Ш + 3 уравнения статики для определения опорных реакций.

2) Определение внутренних усилий - изгибающего момента Mр , поперечной силы Qр и продольной Nр сил в характерных сечениях рамы.

Изгибающим моментом называется сумма статических моментов всех односторонних сил относительно центральной оси рассматриваемого сечения перпендикулярной силовой плоскости.

Поперечной силой называется сумма проекций всех односторонних сил на ось, перпендикулярную оси стержня и лежащую в силовой плоскости. Поперечная сила считается положительной, если вызывает вращение отсеченного элемента по часовой стрелке.

Продольной силой называется сумма проекций всех односторонних сил на ось стержня. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение отсеченного элемента, и отрицательной, если - сжатие.

На основании этих определений и способа простых сечений вычисление внутренних усилий в сечениях стержней производится из уравнений равновесия статики X = 0, Y = 0, М = 0, составленных для отсеченной части рамы, находящейся в равновесии под действием внешних сил и внутренних усилий.

При рассмотрении равновесия той или иной отсеченной части системы неизвестный изгибающий момент принимается любого направления, а неизвестные поперечная и продольная силы только положительными. Если, в результате решения изгибающий момент получился отрицательным, то это значит, что растянуты противоположные волокна в стержне по отношению к первоначально принятому.

При определении усилий в сечениях отсеченной части рекомендуется рассматривать равновесие той системы, на которую действует меньшее число силовых факторов.

3) Построение эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. При построении эпюр внутренних усилий по вычисленным в характерных сечениях значениям необходимо иметь в виду следующие особенности:

а) ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси стержня: в эпюре Mр - со стороны растянутого волокна без указания знаков; в эпюре Qр - с двух сторон от оси стержня; в эпюре Nр - симметрично от оси стержня с указанием знаков;

б) каждый узел рамы должен находиться в равновесии;

в) на прямолинейном незагруженном участке рамы изгибающий момент всегда изменяется по линейному закону, а поперечная и продольная силы постоянны;

г) при действии на элемент равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы, поперечная сила - по линейному закону, а продольная сила постоянна, если действующая нагрузка перпендикулярна оси стержня, и изменяется по линейному закону, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня;

д) если на элемент системы действует нагрузка в виде сосредоточенной силы, то в том сечении, где она приложена, на эпюре Mр будем иметь точку излома в сторону приложения силы; на эпюре Qр скачок на величину этой силы, если она перпендикулярна оси стержня, и на величину проекции этой силы на ось; перпендикулярную оси стержня, если нагрузка не перпендикулярна оси элемента; на эпюре Nр скачок будет только в том случае, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня, и его величина будет равна проекции этой силы на ось стержня;

е) если на элемент рамы действует нагрузка в виде сосредоточенного момента, то в том сечении, где он приложен, на эпюре Mр будет скачок на величину этого момента с параллельными ветвями, очерчивающими эпюру; на эпюры Qр и Nр эта нагрузка влияния не оказывает;

ж) между изгибающим моментом и поперечной силой существует известная зависимость

= Qр ,

согласно которой, если эпюра Mр на рассматриваемом участке нисходящая, то Qр положительна, если эпюра Mр восходящая, то Qр отрицательна.

Построив эпюры Mр , Qр и Nр необходимо выполнить статическую проверку, которая состоит в том, что любая отсеченная часть рамы должна находиться в равновесии и, таким образом, должны выполняться условия равновесия статики.

Пример 2.1.1. От заданной нагрузки определить внутренние усилия в сечениях рамы (рис.2.1) и построить эпюры изгибающих моментов Mр , поперечных Qр и продольных Nр сил. При определении усилий направление осей проекций принято в соответствии с декартовой системой координат.

Решение:

1)Определяем опорные реакции и их составляющие.

МА = 0; 202 + 103 + 263 -7 - RВ 6 = 0; RВ = 16,5 кН,

МВ = 0; 202 - 103 - 263 - 7 + yА 6 = 0; yА = 5,5 кН.

X = 0; 20 - xА = 0; xА = 20 кН.

Проверка: Y = 0; -10 - 26 + 16,5 + 5,5 = 0

2)определяем значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в характерных сечениях рамы, рассматривая равновесие отсеченных частей рамы (рис.2.2).



Сечение А-А

МА = 0; МА = 0,

20 + QA = 0;

QА = 20 кН,

Y = 0;

5,5 + NA = 0;

NA = - 5,5 кН (стержень сжат).

Сечение 1-1

М1 = 0;

М1 + 202 = 0,

М1 = - 40 кНм (растянуты правые волокна),

X = 0;

- 20 + Q1 = 0;

Q1 = 20 кН,

Y = 0;

5,5 + N1 = 0;

N1 = - 5,5 кН (стержень сжат).

Сечение 2-2

М2 = 0;

М2 - 202 = 0,

М2 = 40 кНм (растянуты правые волокна),

X = 0;

Q2 + 20 - 20 = 0;

Q2 = 0,

Y = 0;

N2 + 5,5 = 0,

N2 = - 5,5 кН (стержень сжат).

Сечение 3-3

М3 = 0;

М3 + 202 - 204 = 0,

М3 = 40 кНм (растянуты правые волокна),

X = 0;

Q3 + 20 - 20 = 0;

Q3 = 0,

Y = 0;

N3 + 5,5 = 0,

N3 = - 5,5 кН (стержень сжат).

Сечение 4-4

X = 0; Q4 = 0,

Y = 0;

- 10 - N4 = 0,

N4 = - 10 кН (стержень сжат).

Сечение 5-5

X = 0; Q5 = 0,

Y = 0;

- 10 - N5 = 0,

N5 = - 10 кН (стержень сжат).

Сечение 6-6

М6 = 0;

М6 - 103 = 0,

М6 = 30 кНм (растянуты верхние волокна),

X = 0; N6 = 0,

Y = 0;

Q6 - 10 = 0,

Q6 = 10 кН.

Сечение 7-7

М7 = 0,

N7 = 0,

Q7 - 10 = 0,

Q7 = 10 кН.

Сечение 8-8

М8 = 0;

М8 - 263+7+16,56=0,

М8 = - 70 кНм (растянуты нижние волокна),

X = 0; N8 = 0,

Y = 0;

Q8 - 26 + 16,5 = 0,

Q8 = - 4,5 кН.

Сечение 9-9

М9=0;

М9 - 231,5+7+16,53=0,

М9= - 47,5 кНм(растянуты нижние волокна),

X = 0; N9 = 0,

Y = 0;

Q9 - 23 + 16,5 = 0,

Q9 = - 10,5 кН.

Сечение 10-10

М10=0;

М10 - 7 = 0,

М10= 7 кНм (растянуты нижние волокна),

X = 0; N10 = 0,

Y = 0;

Q10 + 16,5 = 0,

Q10 = - 16,5 кН.

Сечение 11-11

М11=0;

М11 + 7 = 0,

М11= - 7 кНм (растянуты левые волокна),

X = 0; Q11 = 0,

Y = 0;

N11 + 16,5 = 0,

N11 = - 16,5 кН (стержень сжат).

Сечение 12-12

М12=0;

М12 - 7 = 0,

М12= 7 кНм (растянуты левые волокна),

X = 0; Q12 = 0,

Y = 0;

N12 + 16,5 = 0,

N12 = - 16,5 кН (стержень сжат).

Сечение 13-13

М13=0; М13 = 0,

X = 0; Q13 = 0,

Y = 0;

3)строим эпюры изгибающих моментов Mp , поперечных сил Qp и продольных Np сил. Проверяем равновесие узлов (рис.2.3.)

4)производим статическую проверку правильности расчета, рассматривая равновесие отсеченной сечением I-I части системы (рис.2.4).



X=0;

- 20 + 20 = 0,

Y = 0;

- 10 - 32 + 10,5 + 5,5 = - 16 + 16 = 0

MA = 0;

103 + 231,5 + 202 - 10,53 - 47,5 = 79 - 79 = 0.

Пример 2.1.2.От заданной нагрузки определить аналитически внутренние усилия в сечениях рамы (рис.2.5) и построить эпюры изгибающих момен- тов Mp, поперечных Qp и продольных Np сил. При определении усилий направление осей принято в соответствии с декартовой системой координат.

Решение:

1)определяем опорные реакции и их составляющие:

MЕнижн.с. = 0; 60 - RB 4 = 0; RB = 15 кН;

MЕпр.с. = 0; 903 + xC 4 - yC 6 = 0

4xC - 6yC + 270 = 0;

1521 - 60 + 909 + 152 + xC 2 - yC 12 = 0;

2xC - 12yC + 810 = 0.

Решая, получим yC = 75 кН, xC = 45 кН.

X=0;

- xA + 154 - 15 - 45 = 0,

xA = 0.

MА = 0;

1542 + 909 - 60 - 7512 + MA = 0,

MA = 30 кНм.

Y = 0;

- 90 + 75 + yA = 0,

yA = - 15 кН.

Проверка: MЕлев.с. = 0; 1542 - 30 - 156 = 0;

MС= 0; 903 + 60 - 1542 - 30 - 1512 = 0.

2)определяем значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в характерных сечениях рамы, рассматривая равновесие отсеченной частей рамы (рис.2.6, 2.7).

Сечение А-А

МА = 0;

МА - 30 = 0,

МА = 30 кН (растянуты правые волокна),

X = 0; QА = 0,

Y = 0;

NA + 15 = 0; NA = - 15 кН (стержень сжат).

Сечение 1-1

М1 = 0; 30

- 1510,5 - М1 = 0,

М1 = 22,5 кНм (растянуты правые волокна),

X = 0;

151 + Q1 = 0;

Q1 = - 15 кН,

Y = 0;

N1 + 15 = 0;

N1 = - 15 кН (стержень сжат).

Сечение D-D

МD = 0;

1521 - 30 + МD = 0,

МD = 0,

X = 0;

152 + QD = 0,

QD = - 30 кН,

Y = 0;

ND + 15 = 0;

ND = - 15 кН (стержень сжат).

Сечение 2-2

М2 = 0;

30 + М2 - 1531,5 = 0,

М2 = 37,5 кНм (растянуты левые волокна),

X = 0;

Q2 + 153 = 0;

Q2 = - 45 кН,

Y = 0;

N2 + 15 = 0,

N2 = - 15 кН (стержень сжат).

Сечение 3-3

М3 = 0;

30 + М3 - 1542 = 0,

М3 = 90 кНм (растянуты левые волокна),

X = 0; Q3 + 154 = 0; Q3 = - 60 кН,

Y = 0;

N3 + 15 = 0,

N3 = - 15 кН (стержень сжат).

Сечение 4-4

М4 = 0;

30 + М4 - 1542 = 0,

М4 = 90 кНм (растянуты верхние волокна),

X = 0;

N4 + 154 = 0,

N4 = - 60 кН (стержень сжат),

Y = 0;

- Q4 +15 = 0,

Q4 = 15 кН.

Сечение Е-Е

MЕлев.с. = 0;

156 + 30 - 1542 + MЕсл. = 0,

MЕсл. = 0,

X = 0;

NЕсл. + 154 = 0;

NЕсл. = - 60 кН (стержень сжат),

Y = 0;

- QЕсл. + 15 = 0, QЕсл. = 15 кН.



Сечение Е-Е

MЕн.с. = 0;

MЕн.с. + 60 - 154 = 0,

MЕн.с. = 0,

X = 0;

QЕн. - 15 = 0,

QЕн. = 15 кН,

Y = 0; NЕ = 0.

Сечение 5-5

М5 = 0;

152 - 60 + М5 = 0,

М5 = 30 кНм (растянуты левые волокна),

X = 0;

Q5 - 15 = 0,

Q5 = 15 кН, Y = 0; N5 = 0.

Сечение 6-6

М6 = 0;

М6 - 152 = 0,

М6 = 30 кНм (растянуты правые волокна),

X = 0;

Q6 -15 = 0,

Q6 = 15 кН.

Y = 0; N6 = 0.

Сечение В-В

МВ=0; МВ = 0,

X = 0;

QВ - 15 = 0,

QВ =15 кН,

Y = 0; NВ = 0.

Сечение 7-7

М7 = 0,

М7 - 454 + 753 = 0,

М7 = 45 кНм (растянуты нижние волокна)

X = 0;

- N7 - 45 = 0,

N7 = - 45 кН (стержень сжат),

Y = 0;

Q7 + 75 - 90 = 0,

Q7 = 15 кН.

Сечение 8-8

М8 = 0;

454 + М8 - 753 = 0,

М8 = 45 кНм (растянуты нижние волокна),

X = 0;

- N8 - 45 = 0,

N8 = - 45 кН (стержень сжат),

Y = 0;

Q8 + 75 = 0,

Q8 = - 75 кН.

3)строим эпюры изгибающих моментов Mp , поперечных сил Qp и продольных Np сил (рис. 2.9). Проверяем равновесие узлов.

4)производим статическую проверку правильности расчета, рассматривая равновесие отсеченной части системы, 1-6-10 (рис.2.8).

X=0;

153 + 15 - 15 - 45 = + 60 - 60 = 0,

Y = 0;

15 - 90 + 75 = - 90 + 90 = 0

MD = 0;

1530,5 - 151 - 60 + 30 + 909 + 180

- 7512 - 452 + 22,5 = = 1065 - 1065 = 0.



Пример 2.1.3. От заданных нагрузок определить аналитически внутренние усилия в сечениях рамы (рис. 2.10, 2.11) и построить эпюры изгибающих моментов Mp , поперечных Qp и продольных Np сил. Результаты решения приведены на рис. 2.10, 2.11.



2.2 Задание для выполнения задачи № 1 "Расчет плоских статически определимых рам расчетно-графической работы № 1"

В задаче №1 следует от заданных нагрузок определить аналитически усилия в сечениях рамы(рис.2.12-2.15)и построить эпюры изгибающих моментов Mp , поперечных Qp и продольных Np сил в соответствии с шифром задания. Шифр задания выбирается в соответствии с порядковым номером в учебной ведомости.



3. Многопролетные статически определимые балки

Многопролетной статически определимой балкой называется геометрически неизменяемая статически определимая система, состоящая из однопролетных балок, соединяемых между собой полными идеальными шарнирами.

3.1 Образование многопролетных статически определимых балок

Необходимым условием геометрической неизменяемости балки является равенство нулю ее степени свободы

W = 3D - Ш - С0 = 0.

Число дисков D или отдельных балок зависит от количества шарниров Ш, т.е. D = Ш +1. Поэтому выражение

3(Ш + 1) - 2Ш - С0 = 0

позволяет получить необходимое условие геометрической неизменяемости многопролетной статически определимой балки в виде

Ш = С0 - 3,

где С0 - число опорных связей.

Необходимое количество шарниров должно быть расположено таким образом, чтобы система во всех своих частях была геометрически неизменяемая и статически определимая.

Существуют три способа расположения шарниров в пролетах балки

1) постановка по одному шарниру в пролете (рис.3.1 а);

2) шарниры располагают по два через пролет (рис.3.1 б);

3) комбинированная постановка шарниров (рис.3.1 в).

Для соблюдения условий статической определимости и геометрической неизменяемости во всех частях таких балок при их конструировании необходимо выполнять следующие правила:

1)в каждом пролете должно быть не более двух шарниров;

2)пролеты с двумя шарнирами следует чередовать с пролетами без шарниров;

3)если крайняя опора шарнирная, то в примыкающем пролете может быть установлено не более одного шарнира;

4)если крайняя опора имеет заделку, то в примыкающем пролете должно располагаться не менее одного шарнира;

5)для того, чтобы балка была неподвижной, в горизонтальном направлении достаточно одной связи первого вида.

3.2 Аналитический расчет многопролетных статически определимых балок на неподвижную нагрузку

Существуют два способа расчета балок: способ расчета балки в целом как статически определимой системы и способ расчета балки путем построения поэтажной схемы.

3.2.1 Способ расчета балки в целом как статически определимой системы, заключается в определении опорных реакций из условий сопряжения балок в шарнирах и уравнений равновесия всей системы. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил выполняется как в статически определимых системах. Такой путь решения слишком громоздок. Способ расчета балки путем построения поэтажной схемы является более удобным.

3.2.2 Расчет многопролетной статически определимой балки с применением поэтажной схемы.

При правильной постановке пролетных шарниров многопролетная балка разделяется на ряд однопролетных статически определимых балок (рис.3.2 а). Характер взаимодействия между балками может быть выявлен в поэтажной схеме, где можно выделить два вида балок: основные и вспомогательные (рис.3.2 б). Основные балки (Б-1, Б-4, Б-6)крепятся тремя связями непосредственно к основанию. Вспомогательные балки (Б-2, Б-3, Б-5) опираются на основные.

При изображении поэтажной схемы балки, следует иметь в виду, что нарушается общая горизонтальная связь балки, поэтому в каждой простой балке необходимо показывать все три связи, необходимые ей для геометрической неизменяемости и статической определимости.

По условиям работы балки разделяются: на независимые и зависимые.

Независимые балки способны воспринять только местную нагрузку, расположенную в пределах их длины.

Зависимые балки - это такие, которые испытывают действие не только нагрузки, расположенной непосредственно на них, но и давление со стороны смеженных балок, на них опирающихся.

В поэтажной схеме (рис.3.2 б) балки Б-2 и Б-5 являются независимыми, а остальные - зависимыми.

Поэтажная схема балки определяет порядок расчета балки, как совокупности однопролетных балок. Расчет начинают с независимых балок. Затем рассчитывают зависимые балки, начиная с самых верхних и спускаясь по поэтажной схеме до самых нижних.

Расчет каждой балки выполняется в следующей последовательности:

1) определение опорных реакций;

2) вычисление изгибающих моментов в необходимых для построения эпюры сечениях;

3) вычисление поперечных сил в характерных сечениях;

При расчете зависимых балок необходимо учесть давление вышележащих балок, опирающихся на зависимые балки.

Сила, с которой верхняя балка действует на рассматриваемую, равна по величине реакции верхней балки и имеет противоположное направление.

4. Плоские статически определимые фермы

Плоской статически определимой фермой называется шарнирно-стержневая система, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных по концам полными идеальными шарнирами. Стержни, ограничивающие ферму сверху, называются верхним поясом (O1, O2, O3) (рис.4.1); стержни, ограничивающие ферму снизу, - нижним поясом (U1, U2, U3); стержни, расположенные между поясами, называются решеткой. Она состоит из вертикальных стержней -стоек (V1, V2, V3, V4) и наклонных стержней - раскосов (D1, D2, D3). Расстояния между соседними узлами поясов называются панелью фермы d, расстояния между опорами - пролетом , а максимальное расстояние между поясами - высотой h. Ферма называется статически определимой, если для ее расчета достаточно уравнений равновесия статики, т.е. 2У=С+С0 , где С - число стержней фермы, С0 - число опорных связей и У - число узлов фермы.

4.1 Способы расчета ферм

При узловой передаче нагрузки в стержнях ферм возникают только продольные силы N. Для определения этих усилий существуют статические, кинематические и косвенные способы. Будем рассматривать только статические методы, как наиболее удобные для практических расчетов.

Способ вырезания узлов заключается в последовательном определении усилий из условий равновесия узлов фермы. Каждый узел можно рассматривать как материальную точку, лежащую на плоскости и находящуюся в равновесии под действием сил и усилий. Уравнения равновесия составляются в виде X=0, Y=0. Для независимого определения усилий оси X, Y удобно проводить перпендикулярно стержням фермы, а неизвестные усилия принимать растягивающими.



Несмотря на простоту, в этом способе имеются определенные недостатки:

1) наличие тригонометрических функций влияет на точность решения;

2) ошибка в определении усилия для одного стержня приводит к неверному решению для всей фермы;

3) для определения усилия в одном или нескольких конкретных стержнях необходимо последовательно рассматривать несколько узлов фермы. Используя способ последовательного вырезания узлов можно получить частные случаи равновесия наиболее часто встречающихся узлов фермы.

Двухстержневой ненагруженный узел (рис.4.4, а) будет находиться в равновесии, если оба усилия N1 и N2 нулевые, что следует из уравнений X = 0, Y = 0. Равновесие нагруженного двухстержневого узла в зависимости от направления нагрузки будет при однозначных усилиях N1 и N2 (рис.4.4, б), разнозначных - N1 , N2 (рис.4.4, в) или одном нулевом N2 = 0 (рис.4.4, г). Трехстержневой ненагруженный узел (рис.4.4, д) будет находиться в равновесии, если усилия N1 и N2 равны, а усилие N3 равно нулю. Равновесие нагруженного трехстержневого узла в зависимости от направления нагрузки будет при разнозначном по сравнению с нагрузкой усилии N3 (рис.4.4, е), однозначном N3 (рис.4.4, ж) или попарно равных значениях усилий N1 = N2 , N3 = - P (рис.4.4, з). Четырехстержневой ненагруженный узел в зависимости от положения стержней будет в равновесии при разнозначных усилиях N1 и N2 (рис.4.4, и), однозначных - N1 и N2 (рис.4.4, к) и попарно равных N1 = N2, N3 = N4 (рис.4.4, л).

Способ простых сечений заключается в определении неизвестных усилий из условия равновесия любой отсеченной части фермы. На отсеченную часть действуют силы и усилия, образуя плоскую, произвольную систему сил, для которой можно составить три уравнения статики в виде М1 = 0, М2 = 0, М3 = 0. Здесь 1, 2, 3 - моментные точки, выбираемые на пересечении двух из трех стержней, попавших в сечение. Поэтому сквозное сечение следует проводить не более чем через три стержня.

В фермах с параллельными поясами уравнениями равновесия будут следующие: М1 = 0; М2 = 0; Y = 0, где ось Y проводится перпендикулярно поясам.

4.2 Задание для выполнения задачи № 2 "Расчет плоских статически определимых ферм расчетно-графической работы № 1"

В задаче № 2 следует от заданных узловых нагрузок определить усилия N в стержнях (1-2) и (3-4) статически определимых ферм (рис.4.8 - 4.15) в соответствии с порядковым номером в учебной ведомости.



5. Трехшарнирные арки

Статически определимая трехшарнирная арка образуется двумя криволинейными стержнями, соединенными между собой ключевым шарниром "С" и с основанием - пятовыми шарнирами "А" и "Б" (рис.5.1). Будем рассматривать только простые арки, в которых пятовые шарниры лежат на одном уровне, загруженные вертикальной нагрузкой. Расстояние между опорами называется пролетом арки - , а высота от уровня опор до ключевого шарнира - стрелой подъема f. Геометрические характеристики арок вычисляются по следующим формулам.

Для параболических арок:

;(5.1)

;

;

.(5.2)

Для круговых арок:

;(5.3)

; ; .(5.4)

Для синусоидальных арок:

;(5.5)

(5.6)

5.1 Расчет на неподвижную нагрузку

5.1.1 Определение опорных реакций

Рассмотрим трехшарнирную арку с пятовыми шарнирами, расположенными на одном уровне, при действии вертикальной нагрузки

Разложим каждую опорную реакцию на две составляющие: одну по направлению линии, соединяющей пятовые шарниры, другую по вертикали. Для определения четырех неизвестных VA , VB , HA и HB составим три уравнения равновесия для всей арки: УХ=0; УМА=0; УМВ=0; и условие шарнирного соединения полуарок ключевым шарниром или .

Вертикальные составляющие опорных реакций представляют собой опорные реакции в простой балке при пролете, равном расстоянию между пятовыми шарнирами:

(5.7)

.(5.8)

Проектируя все силы на ось Х, убеждаемся, что горизонтальные составляющие реакций равны между собой по абсолютной величине и противоположны по направлению:

; (5.9)

Для определения распора составим условие равновесия левой части арки в виде суммы моментов относительно ключевого шарнира.

; . (5.10)

Из рис. 5.1 видно, что Pi лев (l1 - a1 ) = выражает изгибающий момент в сечении С простой балки под ключевым шарниром арки. Получим выражение для определения распора:

(5.11)

5.1.2 Определение изгибающих моментов

Выразим изгибающий момент в произвольном сечении "х" (рис.5.1):

где

- изгибающий момент в сечении балки, расположенном под соответствующим сечением арки.

Таким образом:

(5.12)

5.1.3 Определение поперечных сил

Для вычисления поперечной силы в произвольном сечении "х" будем проектировать все силы, расположенные слева от этого сечения на нормальную ось n.

где

- поперечная сила в сечении балки, расположенном под соответствующим сечением арки. Таким образом:

. (5.13)

5.1.4 Определение продольных сил

Для вычисления продольной силы в произвольном сечении х будем проектировать все силы, расположенные слева от этого сечения на касательную ось ф.

,

(5.14)

Пример 5.1. Для трехшарнирной параболической арки (рис.5.2) вычислить аналитически внутренние усилия в сечениях и построить эпюры изгибающих моментов Mх , поперечных Qх и продольных Nх сил. При определении усилий направление осей проекций принято в соответствии с декартовой системой координат.

Решение:

1) Определяем координаты намеченных сечений и углы наклона касательной к оси арки в этих сечениях, используя зависимости (5.1), (5.2)

; y/ = .

4) Строим балочные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (MХ 0 , QХ 0.) от заданной нагрузки (рис.5.3).

5) Определяем внутренние усилия Mх , Qх и Nх по формулам (5.7)-(5.9) в сечениях арки. Все вычисления сводим в таблицу 5.1.

6) Строим эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в арке от заданной нагрузки (рис 5.4).

7) Выполняем статическую проверку. Рассматриваем равновесие левой отсеченной части трехшарнирной арки относительно сечения 5 и составляем уравнение равновесия:

Аналогично рассчитываем равновесие правой отсеченной части арки относительно сечения 6 и составляем уравнения равновесия:

6. Определение перемещений в статически определимых системах от нагрузки

Силовые, температурные и кинематические воздействия вызывают перемещения точек и сечений статически определимых систем (i p , i t , i c ). Перемещения различают: линейные по заданному направлению; истинное перемещение точки; взаимное линейное перемещение точек; угловое перемещение сечения; взаимное угловое перемещение сечений.

6.1 Определение перемещений от заданной нагрузки

Перемещения в статически определимых системах от нагрузки находятся по формуле Мора-Максвелла:

,(6.1)

где m - число участков или стержней; Mр , Qр , Nр - изгибающий момент, поперечная и продольная силы в рассматриваемом сечении системы, вызванные

действующей нагрузкой; Мi , Qi , Ni - внутренние усилия в том же сечении, вызванные единичным силовым фактором, определяющим точку и направление изучаемого перемещения. Единичными силовыми факторами являются: сосредоточенная сила =1 при вычислении линейных перемещений или сосредоточенный момент =1 при вычислении угловых перемещений. Для систем, стержни которых работают в основном на изгиб (балки, рамы), влияние поперечных и продольных сил незначительно и ими в практических расчетах пренебрегают. Поэтому перемещения выражаются в виде

.(6.2)

Знак перед интегралом на рассматриваемом участке следует принимать положительным, если обе перемножаемые эпюры расположены по одну сторону от оси стержня, и отрицательным, если эпюры расположены с разных сторон от оси стержня. Для систем, элементы которых работают в основном на центральное растяжение - сжатие, используют формулу

,(6.3)

а учитывая, что стержни ферм обычно по длине имеют постоянную жесткость и при узловой нагрузке усилия в пределах длины стержня не меняются, формула (6.3) принимает вид:

.(6.4)

6.2 Вычисление интеграла, входящего в формулу перемещений. Правило А.Н.Верещагина

На прямолинейном участке стержня длиной и постоянной жесткости вычисление интеграла в формуле перемещений (6.2) может быть сведено к перемножению эпюр, если одна из подинтегральных функций линейная:

,(6.5)

где - площадь криволинейной эпюры изгибающих моментов; y0 - ордината прямолинейной эпюры изгибающих моментов, взятая в сечении под центром тяжести криволинейной эпюры. Для систем, состоящих из прямолинейных стержней постоянной жесткости на части или всей их длине, подинтегральная функция - кусочно-линейная на m участках и перемещения вычисляются по правилу А.Н.Верещагина:

,(6.6)

В таблице 6.1 представлены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся эпюр.

Пример 6.2.1.Определить горизонтальное перемещение правого узла рамы т. i1 от нагрузки (рис.6.1 а).

Решение:

Строим эпюры в заданной раме:

1)от нагрузки (рис. 6.1 б);

2)от силы =1, приложенной в т. i1 по направлению перемещения (рис.6.1 в).

Эпюры только на двух участках (1), (2). Для упрощения расчетов, представим эпюру на участке (2) в виде двух табличных эпюр (рис. 6.1 г). Суммарная эпюра двух последних должна быть эквивалентна исходной.

Вычисление перемещения по Верещагину

=(1/EI)(1/2) 624(2/3) 6 + ((1/2)2412(2/3) 6 - (2/3) 3612(1/2)) (1/3 EI) = 192/ EI (м).

Здесь знак "-" в скобках при втором слагаемом указывает на то, что перемножаемые эпюры расположены с разных сторон стержня.

Пример 6.2.2.Для той же рамы примера 6.2.1. определить угловое перемещение левого узла рамы т. i2 от нагрузки (рис. 6.2).

Решение:

Строим эпюру от единичного момента =1. Направление момента выбираем произвольно (по часовой стрелке). Определяем перемещение

= 1/(3EI)((2/3) 3612(1/2) 1 - (1/2)2412(2/3) 1) = 16/ EI (м).

Знак "+" говорит о том, что направление углового смещения узла i2 происходит по выбранному направлению .

Пример 6.2.3.Для заданной рамы определить взаимное линейное смещение точек от заданной нагрузки. Прикладываем к точкам j1 и j2 взаимно уравновешивающую систему сил и строим эпюру (рис. 6.3).

Решение:

Определяем перемещение

стержневой балка геометрический многопролетный

= 1/(EI)((1/2) 33 ((2/3) 24 + (1/3) 12)) + (1/2)241231/(3 EI) - (3/2) 36 1231/(3 EI) = - 54/ EI (м).

Список литературы

1. Анохин, Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах: ч. I. Статически определимые системы/ Н.Н. Анохин. - М.: Высшая школа, 1999.

2. Дарков, А.В. Строительная механика/ А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников.- М.: Высшая школа, 1986.

3. Киселев, В.А. Строительная механика/ В.А. Киселев. - М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

4. Леонтьев, Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем/ Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. - М.: изд-во АСВ, 1996.

5. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики/под ред. Клейна Г.К. - М.: Высшая школа, 1973.

6. Строительная механика в примерах и задачах/ Под ред. Киселева В.А. - М.: Стройиздат, 1968. - 386 с.

7. Строительная механика/ Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. - М.: Стройиздат, 1981. - 511 с.

Размещено на Allbest.ru

...