Применение метода Галеркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести
Особенность шарнирного опирания стержня. Использование метода Галеркина в сочетании с конечными элементами. Определение полимерной основы прямоугольного сечения. Анализ применения уравнения связи Максвелла-Гуревича. Суть изменения стрелы прогиба для оси.
| Рубрика | Строительство и архитектура |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.05.2017 |
| Размер файла | 141,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести
М. Ю. Козельская
А. С. Чепурненко
С. В. Литвинов
Задачи расчета на устойчивость сжатых стержней с учетом физической нелинейности материала рассматриваются в работах [1-10]. Как правило, решение этих задач сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка относительно прогиба. В случае шарнирного опирания стержня разрешающее уравнение имеет вид [5]:
.
Решать данное уравнение в работе [5] предлагается методом конечных разностей. Однако этот метод не очень удобен, если стержень имеет переменную по длине геометрию сечения, особенно в том случае, когда жесткость стержня изменяется дискретно.
Рассмотрим решение уравнения (1) методом Галёркина. Сущность этого метода заключается в том, что сначала задаются базисными функциями, которые должны удовлетворять граничным условиям, затем в исходное уравнение подставляют приближенное решение и вычисляют его невязку. Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям.
Широко используется метод Галёркина в сочетании с методом конечных элементов, то есть когда в качестве базисных функций применяются функции формы.
Для линейного конечного элемента прогиб в произвольной точке выражается через узловые перемещения в виде:
,
где .
Продифференцировав выражение (2) по x, получим:
.
Применение метода Галёркина к уравнению (1) приводит к условию:
Интеграл по длине стержня можно разбить на сумму интегралов по длине каждого элемента:
Чтобы понизить порядок производной в интеграле , применим интегрирование по частям:
.
Рассмотрим остальные слагаемые, входящие в выражение (4):
;
.
В случае, когда сила F приложена с эксцентриситетом e , момент .
.
Если стержень имеет начальное искривление , то .
Окончательно условие (3) можно записать в виде: , где - матрица жесткости всего стержня, получаемая суммированием локальных матриц жесткости элементов.
.
для случая приложения силы с эксцентриситетом.
- если стержень имеет начальный прогиб.
Для сравнения результатов расчета по методу Галеркина с решениями других авторов будем использовать уравнение связи Максвелла-Гуревича. Данное уравнение применяется в работах[1-5, 7,8]. Оно имеет вид ,
где - функция напряжений, - коэффициент релаксационной вязкости.
Вычисления выполнялись для полимерного стержня прямоугольного сечения размерами b=15мм и h=8мм, материал ЭДТ-10. При расчетах использовались следующие значения: l=157 мм, F=68кг, E=295 кг/мм2, E?=315 кг/мм2, m*=0.35 кг/мм2, з0=109 кг·с/мм2, e=0,16мм. Сравнение результатов расчета с работами И. И. Кулинича [5] и академика В. И. Андреева [4] для случая, когда , представлено в табл.1.
Таблица №1 Сравнение результатов расчета различных авторов
|
y, мм |
t=54 мин |
t=108 мин |
t=162 мин |
|||||||
|
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
, МПа |
||
|
-4 |
16,000 |
16,002 |
15,984 |
19,310 |
19,800 |
19,292 |
34,435 |
31,632 |
32,612 |
|
|
-2 |
11,152 |
11,147 |
11,143 |
13,305 |
13,586 |
13,293 |
22,893 |
21,134 |
21,733 |
|
|
0 |
5,780 |
5,780 |
5,780 |
5,982 |
6,010 |
5,982 |
6,692 |
6,680 |
6,672 |
|
|
2 |
0,270 |
0,274 |
0,278 |
-1,947 |
-2,001 |
-1,733 |
-9,396 |
-9,189 |
-9,906 |
|
|
4 |
-5,254 |
-5,247 |
-5,237 |
-9,860 |
-10,00 |
-9,436 |
-23,88 |
-23,80 |
-24,97 |
где - результат, полученный И. И. Кулиничем; - результат, полученный академиком РААСН, проф. В. И. Андреевым; - результат, полученный авторами. За здесь обозначены напряжения в середине пролета.
Для сравнения был проведен расчет ступенчатого стержня той же массы, состоящего из 5 участков. График изменения ширины сечения b показан на рис. 1. шарнирный стержень сечение прогиб
На рис. 2 и 3 показаны соответственно графики роста стрелы прогиба для стержней постоянного и переменного сечения. Как видно из графиков,
Рис.1. - График изменения ширины сечения b критическое время для стержней переменной жесткости при той же массе больше почти в 4.5 раза, что свидетельствует об экономической эффективности их применения.
Рис. 2.- График изменения стрелы прогиба для стержня постоянного сечения
Рис. 3. - График изменения стрелы прогиба для стержня переменного сечения
Литература
1. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. канд. техн. наук. - М., 1967.
2. Кулинич И.И. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменной жесткости при ползучести: дис. канд. техн. наук. - Ростов-на-Дону, 2012.
3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1975.
4. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. канд. техн. наук. - Ростов-н/Д, 2010.
5. Egorov Y.V. On the Lagrange problem about the strongest colonn // Rapport Interne 02-16. Universite Paul Sabatier, Toulouse. 2002. -- С. 1-7.
6. Bleich H.H. Nonlinear creep deformations of columns of rechtangular cross section // Iourn. of Appl. Mech. Dec. 1959
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение внецентренно сжатых элементов прямоугольного сечения с арматурой, приведенной к равномерно распределенной. Построение схемы усилий и эпюра напряжений во внецентренно сжатых элементах двутаврового сечения. Расчет площади сжатой зоны бетона.
реферат [194,4 K], добавлен 26.10.2022Определение критической силы для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул. Определение предельной гибкости. Определение фактической гибкости для двух типов закрепления концов стержня.
лабораторная работа [90,2 K], добавлен 23.10.2008Определение критической силы для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул. Предельная гибкость. Фактическая гибкость для двух типов закрепления концов стержня. Критическая сила для двух типов закрепления концов стержня.
лабораторная работа [90,5 K], добавлен 05.11.2008Расчет рам на прочность и жесткость. Построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рам от действия нагрузки. Расчет стержня на устойчивость, его поперечного сечения. Определение перемещения сечения для рамы методом Верещагина.
реферат [1,7 M], добавлен 10.06.2015Расчет соединения поясов со стенкой и изменения сечения главной балки по длине. Проверка общей и местной устойчивости элементов балки. Определение ее опирания на колонну. Расчет крепления опорного столика. Требуемый момент сопротивления сечения балки.
курсовая работа [540,9 K], добавлен 13.07.2015Определение нагрузок на поперечную раму. Подбор сечения нижней части колонны и элементов фермы. Методика подбора сечений для сжатых стержней. Расчет фермы, раздельной базы сквозной колонны и сварных швов прикрепления раскосов и стоек к поясам фермы.
курсовая работа [217,4 K], добавлен 25.03.2013Суть компоновки балочных конструкций. Характеристика балочной клетки нормального и усложненного типа. Подбор, изменение сечения балки по длине, проверка прочности, устойчивости, прогиба. Конструирование промежуточных ребер жесткости, расчет поясных швов.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 22.01.2010Физические и механические свойства древесины. Испытание механических свойств древесины на изгиб и на сжатие. Направление сил в деревянной конструкции, находящейся под нагрузкой. Расчет изгибаемого элемента прямоугольного сечения. Проверка на устойчивость.
контрольная работа [283,4 K], добавлен 10.10.2013Выбор электродвигателя, каната и тормоза. Параметры металлоконструкции крана. Проверка статического прогиба и вес металлоконструкции. Напряжение сжатия в стенке барабана. Номинальный момент на выходном валу. Момент инерции сечения трубы колонны и стрелы.
контрольная работа [182,2 K], добавлен 14.01.2011Порядок расчета прямого ступенчатого стержня, построение эпюры продольных сил и оценка прочности стержня. Геометрические характеристики плоских фигур, построение их сечения. Проверка прочности и жесткости балок при изгибе и исследование их деформации.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 17.01.2010Компоновка поперечной рамы. Расчет внецентренно-сжатой колонны, узла сопряжения верхней и нижней частей колонны. Подбор сечения сжатых стержней фермы. Сбор нагрузок на ферму. Расчет анкерных болтов. Расчетные сочетания усилий. Статический расчёт рамы.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2016Сравнение вариантов балочной клетки. Проверка общей устойчивости балки. Проектировании центрально-сжатых колонн. Определение расчетной силы давления на фундамент с учетом веса колонны. Подбор сечения балки. Расчет сварной главной балки балочной клетки.
курсовая работа [569,4 K], добавлен 10.10.2013Анализ расчетной схемы сварной стержневой конструкции и определение типа поперечного сечения её балки. Расчет прочности балки и её высоты по условиям жесткости и максимального прогиба. Геометрические размеры сечения и прочность стержневой конструкции.
курсовая работа [602,2 K], добавлен 12.09.2015Статический расчет двускатной балки покрытия. Выбор бетона и арматуры. Определение кривизны и прогиба балки. Расчет прочности по нормальным и наклонным сечениям, по образованию наклонных трещин. Выбор крана для монтажа. Оптимальный угол наклона стрелы.
курсовая работа [117,6 K], добавлен 26.11.2012Технология видов сельскохозяйственного производства. Гнутоклееные рамы прямоугольного сечения. Рамы заводского изготовления. Рамы построечного изготовления. Конструктивное решение трехшарнирной рамы со сжатыми подкосами. Рамная конструкция Москалева Н.С.
реферат [1,2 M], добавлен 09.11.2014Компоновка рабочей площадки. Подбор сечения второстепенных и вспомогательных балок. Компоновка и подбор сечения главной балки. Проверка местной устойчивости элементов балки и расчет поясных швов. Расчет и конструирование центрально-сжатых колонн.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 21.09.2013Компоновка конструктивной схемы сборного перекрытия. Определение размеров плит, расчет прочности продольных ребер по нормальным сечениям. Определение параметров расчетного сечения и площади арматуры. Анкеровка обрываемых стержней. Конструирование ригеля.
курсовая работа [415,3 K], добавлен 27.07.2014Компоновка элементов сборного перекрытия. Сбор нагрузок и подбор сечения. Огибающие эпюры изгибающих моментов, поперечных сил. Построение эпюры материалов и определение мест обрыва продольных стержней. Расчет консоли колонны. Определение размеров подошвы.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 02.12.2013Компоновочная схема балочной клетки: нормальный тип. Выбор материала, геометрические характеристики сечения. Назначение размеров измененного сечения, определение места изменения. Расчет монтажного стыка на высокопрочных болтах, конструкции базы.
отчет по практике [639,5 K], добавлен 18.04.2015Определение понятия архитектуры. Рассмотрение методов архитектурного проектирования по Бархину Б.Г. Изучение метода исследования структурной проблемы, шаблонов, а также фундаментального метода проектирования. Создание образа здания и реализация проекта.
реферат [44,2 K], добавлен 19.10.2015
