Расчет железобетонной арки с учетом ползучести бетона

А.А. Аваков, А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов

Ростовский государственный строительный университет

Аннотация: В работе получены основные уравнения для железобетонного элемента, испытывающего действие изгибающего момента и продольной силы, с учетом ползучести бетона. На основе данных уравнений исследуется напряженно-деформированное состояние железобетонной статически определимой трехшарнирной арки. При расчетах используется вязкоупругая модель. Рассматривается прямоугольное поперечное сечение с симметричным армированием. Показано, что в результате ползучести происходит перераспределение напряжений между арматурой и бетоном.

Ключевые слова: метод конечных элементов, ползучесть бетона, вязкоупругость, железобетонная арка, напряженно-деформированное состояние.

Железобетонные арки находят широкое применение в качестве стропильных конструкций, перемычек, в конструкциях мостов, покрытий промышленных зданий. Отличительной особенностью данных конструкций является то, что при правильно выбранном очертании возникающие в них изгибающие моменты малы, что отвечает специфике бетона -- материала, плохо работающего на растяжение. Расчёт железобетонных арок, как правило, ведётся исключительно в упругой постановке. Однако для бетона характерна явно выраженная и развивающаяся даже в обычных эксплуатационных условиях ползучесть, которой ни в коем случае нельзя пренебрегать. В настоящей статье рассматривается методика расчета железобетонных арок с учетом ползучести бетона.

Так как арки являются брусьями малой кривизны, то их расчёт можно вести по формулам для внецентренно сжатых железобетонных стержней. Рассмотрим железобетонный элемент, испытывающий действие изгибающего момента и продольной силы. Расчётная схема, а также поперечное сечение показаны на рис. 1. Положительными будем считать растягивающие напряжения.

Рис.1. -- К расчёту железобетонного элемента

железобетонный арка расчет

Полная деформация бетона в соответствии с гипотезой плоских сечений представляет собой сумму осевой деформации и деформации, обусловленной изменением кривизны:

, (1)

где -- кривизна стержня.

Из условия совместности работы арматуры и бетона запишем выражения для деформаций арматуры:

, . (2)

Расстояния и подставляются в формулу (2) по абсолютному значению.

Согласно модели вязкоупругого тела, полная деформация бетона -- это сумма упругой деформации и деформации ползучести [1]:

. (3)

Из (3) напряжения в бетоне запишутся в виде:

. (4)

Напряжения в арматуре определяются следующим образом:

, . (5)

Запишем уравнение суммы моментов относительно оси z:

(6)

Составив сумму проекций всех сил на продольную ось стержня, получим:

(7)

Подставив (4) и (5) в (6), для случая симметричного армирования (, ) получим:

, (8)

где -- приведённая изгибная жёсткость поперечного сечения; ; .

Величина находится из уравнений (4), (5), (7):

, (9)

где -- приведённая жёсткость поперечного сечения при осевом растяжении (сжатии).

Уравнения (4), (5), (8), (9) могут использоваться для расчёта с учётом ползучести статически определимых арок. На первом этапе выполняется статический расчёт -- определяются внутренние силовые факторы M и N. В статически определимых системах при постоянных внешних нагрузках они не зависят от времени. Поперечное сечение по высоте разбивается на m частей , а интервал времени на n шагов . Для заданных сечений в каждой точке вычисляются напряжения в бетоне без учёта ползучести. Если закон ползучести задан в дифференциальной форме, то по вычисленным напряжениям можно определить скорости роста деформаций ползучести , а также деформации ползучести в момент времени при помощи линейной аппроксимации [1, 3-6, 8-10]:

.

Был выполнен расчёт трёхшарнирной круговой арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q. Расчётная схема представлена на рис. 2.

Рис. 2. -- Расчётная схема арки

Уравнение оси арки, очерченной по окружности:

; ; ;

. (10)

Внутренние усилия в сечении K арки вычисляются по формулам:

; , (11)

где , -- момент и поперечная сила в сечении К в балке с аналогичным пролетом и нагрузкой.

В нашем случае

; ; .

Задача была решена при следующих исходных данных: q = 15 кН/м, L = 16 м, f = 3.2 м, b = 20 см, h = 40 см, 0 = 28 сут, Eb(0) = 3104 МПа коэффициент армирования

, 15 см, ES = 2105 МПа.

Учитывалось старение бетона, т. е. возрастание его модуля упругости с течением времени. Зависимость модуля упругости бетона от времени принималась в виде:

, ,

При расчёте использовалось уравнение вязкоупругой модели наследственного старения бетона, которое имеет вид [7]:

;

Для расчёта данное уравнение было представлено в дифференциальной форме.

Значения реологических констант:  = 0.032, C = 3.7710-5 МПа-1, B = 5.6810-5 МПа-1,  = 0.062.

На рис. 3 представлен график изменения напряжений в арматуре в зависимости от x и t. Верхней сетчатой поверхности соответствуют напряжения 'S в арматуре у верхней грани; нижней закрашенной -- напряжения S в арматуре у нижней грани. Рис. 4 -- изменение напряжений в бетоне в зависимости от x и t. Верхней поверхности соответствуют напряжения при y = h / 2, нижней -- при y = - h / 2. Из рис. 3-4 видно, что вследствие ползучести бетона напряжения в арматуре по абсолютной величине возрастают, а в бетоне убывают. Наиболее существенное перераспределение происходит в точках, где изгибающие моменты максимальны (x  2.1 м и x  13.9 м).

Представленная задача была также решена методом конечных элементов. Система линейных алгебраических уравнений МКЭ с учётом ползучести имеет вид [2]:

,

где {U} -- вектор узловых перемещений; [K] -- матрица жёсткости; {Fq} -- вектор внешних узловых нагрузок; {F*} -- вклад деформаций ползучести в вектор нагрузки.

Рис. 3. Изменение напряжений в арматуре

Рис. 4. Изменение напряжений в бетоне при y = h / 2 и y = - h / 2

В таблице № 1 представлено сравнение напряжений в бетоне и арматуре у нижней грани при x = 2.1 м в различные моменты времени, полученных численно-аналитически методом (далее -- ЧАМ), а также численно с использованием МКЭ.

Из таблицы видно, что результаты практически совпадают, что свидетельствует о достоверности разработанной методики.

Таблица № 1

Сравнение результатов численно-аналитического расчета с МКЭ

Литература

1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

2. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Языев С.Б. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Науковедение: электронный журнал. №3. 2013 URL: naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.

3. Кулинич И.И., Клименко Е.С., Языев С.Б., Литвинов С.В.. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств // «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.

4. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б.. Расчет на устойчивость полимерных стержней с учетом деформаций ползучести и начальных несовершенств // Инженерный Вестник Дона. №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/418.

5. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И. и др. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона. №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.

6. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. №2. т.2. 2011. С.153-157.

7. Тамразян А.Г. Механика ползучести бетона: монография / А. Г. Тамразян, С. Г. Есаян. Москва: МГСУ, 2012. 490 с.

8. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. №1. 2013, с. 101-108.

9. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep // Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.

10. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

Размещено на Allbest.ru