Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им Х.М. Бербекова»

Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки

А.М. Казиев, В.Х. Хуранов, О.В. Костенко

Нальчик, Россия

Исследованы поперечные колебания балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрены случайные колебания балки под действием векторных кинематических и динамических воздействий. На примерах показаны влияние коэффициентов корреляции на среднеквадратические отклонения сечений балки. Определены внутренние силы в виде изгибающих моментов и поперечных сил. Приведён пример действия случайного процесса со скрытой периодичностью.

Ключевые слова: балка, демпфирование, прогиб, изгибающий момент, поперечная сила, случайный процесс, спектральная матрица, корреляция, вектор, матрица, передаточная функция.

Балки и колонны в виде стержней постоянного сечения самые распространённые конструктивные несущие элементы, применяемые в строительстве и в других областях. Многие внешние воздействия имеют случайный характер [1], [2], [3]. Эти действия могут быть динамическими, кинематическими [4] и комбинированными [5]. Действие таких нагрузок, в виде случайного процесса со скрытой периодичностью, исследовалось автором в статье [6]. Этим вопросам посвящались и работы зарубежных [7-9] и отечественных авторов [10], [11].

В данной работе автор рассматривает одновременное действие таких нагрузок. Причём учитывается их матрица коэффициентов корреляции, с помощью которого можно регулировать их «синфазность». Получены формулы для определения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил. колебание балка демпфирование сечение

Вынужденные случайные колебания

Рис. 1

Установившиеся колебания балкис шарнирно опертыми концами (рис.1) в общей постановке имеет вид

х,t> - .

(0, t) = f₃(t). t) = (l, t) = f₅(t).

Допустим на балку действует возмущение, которое является случайным стационарным и векторным

f(x, t) = {f₁(t), f₂(t), f₃(t), f₄(t), f₅(t) },

где компоненты являются стационарно связанными, математическим ожиданием равным нулю и с заданной спектральной матрицей

(1)

и являющуюся эрмитовой, и в результате чегоs_ij() =

В установившемся режиме- центрировано пространственно-временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное в пространственной координате. Далее ставится задача имея спектральную матрицу входного случайного процесса необходимо определить спектральную плотность и дисперсию выходного процесса. Функция математического ожидания перемещений сеченийбалки по заданному вектору математических ожиданий возмущенийm_f(x) = { m₁, m₂, m₃, m₄, m₅ } является традиционной.

Для этого используем передаточные функции

H_j(x, i_j), j = 1, 2, …, 5.

Спектральная плотность случайного процесса колебаний вычисляется по следующей формуле

.

В векторно-матричной форме

, (2)

где H(x, iщ) - вектор-столбец.

Теперь дисперсия отклонений определяется по известному соотношению

(3)

И учитывая чётностьS_u, можно сократить вычисления

Введём вектор

X= { x₁, x₂, …, x_n }, x_j = (j-1)Дx, j = 1, 2, …, n,

- шаг разбивки. ВекторXустанавливается в соответствии со значением функции спектральной плотности

S_u(x_j, ) = H^T(x_j, i) S_f() H^*(x_j, i), j = 1, 2, …

определяемой формулой (2). Здесь

- вектор-столбец передаточных функций.

Введём норму для функции, учитывая то, что спектральная плотность является положительной величиной, её запишем в виде

. (4)

Постепенно увеличивая щ норма (4) будет уменьшаться. Тогда с большим шагом увеличивая щ, можно найти её наименьшее значение Щ, которое удовлетворяет условию

,

где м - малое положительное число, от которого зависит точность вычислений.

Пример. Возьмём стальную балку сечением двутавр № 14,l = 6 м, с = 7850 кг/ м³, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см^2,J = 573 см⁴, е = 0.9c^-1.

Векторный процесс возмущения примем стационарным со стационарно связанными компонентами и скрытой периодичностью. Элементы матрицы (1) примут вид

Здесь _jk- параметр широкополосности, _jk-=- характерная частота, _jk- элементы нормированной корреляционной матрицы, _j- среднеквадратические отклонения процессов f_j(t).

Рис. 2 Зависимость нормы спектральной плотности

у_q = 760 Н/м, у₂ = 5 мм, у₃ = 1800 Нм, у₄ = 9мм, у₅ = 950 Нм.

в_jk = 2 с^-1 (кривая 1), 35 с^-1 (2), 46 с^-1 (3), 310 с^-1 (4), 620 с^-1 (5);

j, k = 1, 2,…, 5.

Нумерация кривых указана по рис. 3, где приводятся результаты вычислений. Параметры широкополосности примем

б_jk = 0.9 с^-1, j, k = 1, 2, …5.

Элементы нормированной корреляционной матрицы приравняем к единице со знаками, которые учитывают направления

Наивысший предел и минимальный шаг интегрирования определяется по методу, описанному выше. График нормы спектральной плотности (4) примет вид, показанный на рис 2 при следующих частотах

Рис. 3 Влияние характерной частоты возмущений на среднеквадратические отклонения перемещений

в_jk = 210 с^-1, j, k = 1, 2, …,5.

Как видно по графику максимумы собственных частот 319,4 с^-1 и 716,5 и далее практически неразличимы. Для построения графика использована функция десятичного логарифма. Максимумы на первой собственной частоте 79,6 с^-1 и характерной частоте возмущений 210 с^-1существенно больше, чем на обертонах. Поэтому большое значение будет иметь интегрирование в области, находящихся близко к указанным частотам. Предел интегрирования Щ можно принят равным 500 с^-1. Шаг интегрирования при этом был равным 0,05 с^-1.

Для изучения влияния коррелированности случайных возмущений промоделируем с помощью пяти соответствующих нормированных корреляционных матриц

Рис. 4 Влияние коррелированности компонентов вектора возмущений на среднеквадратические отклонения перемещений

Проведём вычисления при фиксированных значениях характерных частот

в_jk = 10 c^-1, j, k = 1, 2, 3.

Результаты представлены на рис. 4, где номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Нормированная корреляционная матрица в случайных колебаниях играет ту же роль, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях.

Максимум и шаг интегрирования, следующие Щ = 510 с^-1, Дщ = 0,10 с^-1.

Внутренние силы в поперечных сечениях

Для анализа прочности балки необходимо знать величину изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки. Как известно, у балки между прогибами и внутренними силами существуют соотношения

(5)

Через функции u(x, t) можно найти внутренние силы.

При гармонических возмущениях общая формула определения перемещений имеет вид произведения векторов

u(x, t) = [A, v(x,t)] = A^Tv(x,t).

Применение операций (4) даёт

(6)

Здесь А и v - ранее принятые обозначения для векторов комплексных амплитуд возмущений и функций перемещений. Последние, в свою очередь, определяются через передаточные функции

v_k(x, t) = H_k(x, iЩ₁) , k = 1, 2, …, 5.

Следовательно,

k = 1, 2, …, 5. (7)

Передаточные функции изгибающего момента и поперечной силы

(x, i₁) = (x, i₁) = b²(-C₁ sinbx - C₂ cosbx + C₃ shbx + C₄ chbx). (8)

(x, i₁) = (x, i₁) = b³(-C₁ cosbx + C₂ sinbx + C₃ chbx + C₄ shbx). (9)

Производные других передаточных функций находятся аналогично

(x, i₂) = (x, i₂) = b² [-C₁ sinb(l-x)+ C₃ shb(l-x)], (10)

(x, i₂) = (x, i₂) = b³ [C₁ cosb(l-x)- C₃ ch b(l-x)], (11)

(x, i₃) = (x, i₃) = b² [-C₁ sinb(l-x)+ C₃ sh b(l-x)], (12)

(x, i₃) = (x, i₃) = b³ [C₁ cosb(l-x)- C₃ ch b(l-x)], (13)

(x, i₄) = (x, i₄) = b² (-C₁ sinbx+ C₃ shbx), (14)

(x, i₄) = (x, i₄) = b³ (-C₁ cosbx +C₃ chbx), (15)

(x, i₅) = (x, i₅) = b² (-C₁ sinbx+ C₃ shbx), (16)

(x, i₅) = (x, i₅) = b³ (-C₁ cosbx +C₃ chbx). (17)

Для случайных колебаний задача сводится к определению спектральной плотности, а затем и дисперсии внутренних сил по заданной спектральной матрице возмущений. Соотношения между спектральными плотностями внутренних сил и возмущений аналогичны (2)

Соответствующие дисперсии определяются с помощью интегралов

(18)

Интегрирование в (18) проведем численным методом по алгоритмам, которые применяются для вычисления дисперсии перемещений.

По известным характеристикам прогибов и внутренних сил, можно определить характеристики нормальных и касательных напряжений при помощи линейных отображений. По известным методам решаем вопросы прочности, выносливости и жёсткости балки.

Рис. 5 Эпюры амплитуд и среднеквадратических отклонений перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил

Пример. Для выполнения вычислений возьмём ту же стальную балку из двутавра № 14 со свободно опертыми концами, которая рассмотрена выше, и имеет параметры l = 6 м, с = 7850 кг/ м³, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см^2,J = 573 см⁴, е = 1 c^-1,в_jk = 16 с^-1 (2), у_q =800 Н/м, у₂ = 6 мм, у₃ = 2500 Нм, у₄ = 9 мм, у₅ = 2000 Нм.

С использованием полученных формул проведены вычисления и построены эпюры амплитуд и среднеквадратических отклонений, показанные графиками рис. 5. Анализ форм этих кривых подтверждает зависимости между u, M и Q, хорошо известные из курса сопротивления материалов.

Литература

1. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,1979.335 с.

2. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

3. Вольмир А.С., Культербаев Х.П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек. ПММ.1974.Т.38, вып.5. С. 893-898.

4. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки.Материалы научно-практической конференции 1994.Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 23-27.

5. Культербаев Х.П., Казиев А.М., О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100-103.

6. Казиев А.М., О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХА, 2004. Вып. 2. С. 79-83.

7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. рр. 259-270.

8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.

9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest., 1998.№ 1. рр. 55-59.

10. Хуранов В.Х., Лихов З.Р., Казиев А.М., Шерибов Ш.М. Железобетонные ребристые плиты покрытий с переменным усилием преднапряжения вдоль пролета // Инженерный вестник Дона, 2015, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.

11. Шогенов Б.В., Ногеров И.А., Казиев А.М. К вопросу о снижении шума в зубчато-ременных передачах // Инженерный вестник Дона, 2015, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.

Размещено на Allbest.ru