К вопросу о влиянии физической и геометрической нелинейности на напряженное состояние нижнего строения рельсового пути

Размещено на http://www.allbest.ru/

к вопросу о влиянии физической и геометрической нелинейности на напряженное состояние нижнего строения рельсового пути

Куандыкова Джанна Рискуловна

Университет «Туран», г.Алматы

Проектирование и сооружение нижнего строения рельсового пути, т.е. земляного полотна, удовлетворяющего современным требованиям, связано с всесторонними исследованиями прочности при действии статических и динамических, в т.ч. и сейсмических нагрузок, в районах подверженных землетрясениям [1, 2]. Все основные элементы рельсового пути работают в тесном взаимодействии и взаимозависимости друг от друга, причем неисправность любого элемента пути сказывается на состоянии и работе других. Для обеспечения стабильной работы рельсового пути на всем протяжении эксплуатации существенное значение имеет прочность и устойчивость нижнего строения, его сооружений и устройств. Постоянные и временные нагрузки, передающиеся на нижнее строение рельсового пути, вызывают в нем напряжения и неупругие остаточные деформации. Внедрение скоростного и высокоскоростного движения поездов показало, что при расчетах прочности и устойчивости нижнего строения рельсового пути уже недостаточно определения средних или максимально вероятных значений напряжений, необходимо выявлять характер их распределения вдоль пути и в поперечном сечении нижнего строения рельсового пути.

Технический прогресс на железнодорожном транспорте, связанный, в частности, с совершенствованием конструкций рельсового пути обусловило необходимость развития и совершенствования методов расчета верхнего и нижнего строения рельсового пути на прочность и устойчивость [3-9], причем чем полнее оно отражено в методе расчета, тем она лучше. В современных условиях существует объективное требование дифференцирования прочности рельсового пути и его элементов по грузонапряженности и скорости движения: чем выше грузонапряженность и скорость, тем более надежным, а следовательно, и более прочным должен быть путь.

Многие модели, используемые при расчетах рельсового пути не могут на современном уровне описывать реальное напряженное состояние, возникающее в теле нижнего строения пути и его основания при нагружении. По [10 с. 3] до настоящего времени практически отсутствуют исследования, в которых были бы изложены методы нелинейного расчета, полученные на основе нелинейных моделей, в т.ч. с учетом температурного фактора, существенно влияющего на состояние материала нижнего строения.

Анализ существующих и разработка надежных методов прогноза устойчивости системы «нижнее строение-основание» в сложных инженерно-геологических условиях с учетом температурного фактора, анизотропии и реальных свойств деформирования материала грунта - как физической, так и геометрической нелинейности, - а также создание на их основе комплекса специально проблемно-ориентированных пакетов прикладных программ, позволяющих автоматизировать исследования статического упругого и упругопластичного состояния нижнего строения и его основания при воздействии статических и динамических в т.ч. сейсмических нагрузок и, предназначенных для решения реальных инженерных задач, является проблемной и актуальной.

По [10 с.7] для большого числа элементов рельсового пути, в частности нижнего строения, на моделях линейного анализа довольно точно отражается действительное поведение взаимодействия нижнего строения с основанием до определенного уровня внешних воздействий. Результаты расчета, полученные в пределах линейной теории, не всегда достаточно точны, что может неблагоприятно отразится на надежности работы системы «нижнее строение - основание». Кроме того, имеются серьезные трудности из-за сложности механизма взаимодействия системы «нижнее строение - основание» и неоднородности инженерно-геологических условий площадки строительства. Это требует создание численных алгоритмов с затратами большого времени решения и значительных ресурсов оперативной и внешней памяти.

Упругое состояние системы «нижнее строение-основание» с учетом анизотропии грунта основания в условиях плоской деформации описывается уравнениями обобщенного закона Гука:

{у} = [cpD]{е}, (1)

где {у} = {ух, уz, фхz}T, {е} = {ех, еz, лхz}T, [cpD] = [d?], (i,j = 1,2, 3) - матрица упругости, элементы которой имеют вид:

d11 = а11соs4ц + 2(а13 + 2а55)sin2цcos2 ц + а33sin4ц,

d22 = а11соs4ц + 2(а13 + 2а55)sin2цcos2 ц + а33соs4ц,

d12 = а12 + [а33 + а11 - 2(а13 + 2а55)]sin2цсоs2ц,

d13 = [а11соs2ц - а33 + 2а55)sin2ц - (а13 + 2а55)cos2ц]sinцсоsц,

d23 = [а11sin2ц - а33cos2ц + (а13 + 2а55)cos2ц]sinцсоsц,

d33 = а55 + [а13 + а23 - 2(а13 + 2а55)]sin2цcos2ц,

d? = d? , где а11= а22 = Е1((1 + н1)(n(1 - н1) - 2н22 ))-1,

а12 = Е1(n(1 + 2н22 )((1 + н1)(n(1 - н1) - 2н22 ))-1,

а13 = Е1н2(n(1 - н1) - 2н22 ))-1, а33 = Е1(1 - н1)(n(1 - н1) - 2н22 ))-1,

а44 = а55 = G2, n = Е1Е2-1. } (2)

В выражении (2) Еk, нk, (k = 1,2) и G2 - модули Юнга, коэффициенты Пуассона, модуль сдвига анизотропного грунтового массива; ц - угол наклона плоскости изотропии к оси Ох.

Общее определение деформаций, справедливое как для больших, так и для малых перемещений, введено Грином и Сен-Венаном. В фиксированной декартовой системе координат ху деформации определяются через перемещения u, v с помощью тензора Грина соотношениями:

ех = ?u/?x + 0,5[(?u/?x)2 + (?н/?х)2], еу = ?н/?x + 0,5[(?u/?у)2 + (?н/?у)2],

гху = ?u/?у + ?u/?x + [(?u/?у)(?u/?х) + (?н/?x)(?н/?у)]. (3)

Получена основная разрешающая система нелинейных уравнений, связывающих внешние силы, действующие в узлах элемента «е», с перемещениями узлов, причем независимо от того, велики или малы перемещения, внутренние и внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия:

{ше} = ?[срB]Т{уe}dV - {Re} = 0, (4)

V

где {ше} - сумма внешних и внутренних сил элемента;

{Re} - вектор внешних сил элемента.

Матрица [срB] определяется из соотношения, представляющего связь между приращениями деформаций и перемещений в известном виде:

d{еe} = [срB]d{дe}. (5)

При больших перемещениях компоненты деформаций нелинейно зависят от перемещений {дe} на основе соотношений (3), поэтому матрицу [срB] удобно представить в виде:

[срB] = [B] + [BL({дe})], (6)

где [B] - линейная матрица;

[BL({дe})] - нелинейная матрица дифференцирования.

При малых перемещениях справедливо обычное соотношение теории упругости для элемента:

{уe} = [срD]{еe}, (7)

где [срD] - матрица упругих постоянных, определяемая соотношениями (2).

Варьируя уравнение равновесия (4) по перемещениям d{дe}, получено:

d{ше} = ?d[срBL]Т{уe}dV + ?[срBL]Т d{уe}dV = 0. (8)

V V

Вариация полной матрицы дифференцирования на основании (6) принимает вид:

d[срBL]Т = d([B]Т + [BL({дe})]Т) = d[BL]Т .

Тогда выражение (8) приводится к виду:

d{ше} = ?d[BL]Т{уe}dV + ?[срК]Т d{дe}} = 0, (9)

V V

где [срК] = ?d[срB]Т[срD][срB]dV =[К] + [КL]. (10)

V

Здесь [К] и [КL], соответственно, матрицы жесткости элемента рот малых и больших перемещениях, определяемые соотношениями:

[К] = ?[BL]Т[срD][B]dV, (11)

V

[КL] = ?[B]Т[срD][BL]dV + ?[BL]Т[срD][BL]dV + ?[BL]Т[срD][B]dV . (12)

V V V

Матрица [КL] известна как матрица больших перемещений элемента. Ее можно построить, считая деформации малыми, а перемещения - большими.

Первое слагаемое в выражении (9) представим в виде:

?[BL]Т{уe}dV = [Ку]{дe}, (13)

V

где [Ку] - симметричная матрица, зависящая от величины напряжения в элементе.

Эта матрица известна как матрица начальных напряжений элемента или геометрическая матрица элемента.

Выражение (9) с учетом (13) записывается в виде:

d{ше} = [КТ] d{дe}, (14)

где [КТ] = [К] + [КL] + [Ку] - полная матрица касательных жесткостей элемента.

В случае малых перемещений матрицы [Ку] и [КL] равны нулю, следовательно [КТ] = [К].

Матрица жесткости системы [КТс] получается путем суммирования:

m

[КТс] = ?[КТ]i , (15)

i =1

где m - общее количество элементов.

Основное матричное разрешающее уравнение системы нелинейного конечно-элементного анализа на основе (14) принимает вид:

d{ш}с = [КТс ({д}с)] d{д}с, (16)

где {д}с и {ш}с - векторы перемещений и неуравновешенной невязки сил системы.

Система нелинейных алгебраических уравнений (16) приближенно решается известным итерационным методом Ньютона-Рафсона.

В [10 с. 18] на основе физической и математической дискретизации обоснована и предложена механико-математическая расчетная модель слоисто-неоднородного грунтового массива, адекватно отражающая специфику его реального деформирования при одновременном учете физической и геометрической нелинейности, на основе вариационной формулировки нелинейно-элементного анализа. Получены основные соотношения геометрически нелинейных матриц расчетных элементов; построена эффективная схема численного интегрирования линейных и нелинейных матриц конечных элементов высоких порядков с использованием квадратур Гаусса-Лежандра; созданы комплексы автоматизированных пакетов прикладных программ на языке Фортран для комплексного исследования статически упругого и упругопластического состояния и свободных колебаний системы «нижнее строение - основание» при малых и больших перемещениях, без учета температурного фактора. Разработан эффективный вычислительный алгоритм для решения статически упругих и упругопластических задач применительно к системе «нижнее строение - основание», основанной на уравнениях обобщенного закона Гука для анизотропного грунтового массива и теории течения при условии текучести Мизеса, с учетом геометрической нелинейности, но без учета температурного фактора и предложена эффективная схема, ускоряющая сходимость итерационного процесса при формировании вектора невязки для пластически деформируемых элементов.

На основе метода итерации в подпространстве разработан эффективный алгоритм с использованием матрицы жесткости системы «нижнее строение - основание» при больших перемещениях, позволяющий с высокой точностью определить амплитудно-частотные характеристики свободных колебаний системы «нижнее строение - основание» и обеспечивающий быструю сходимость итерационного процесса. Идея метода основана на схеме алгоритма Якоби и свойствах последовательностей Штурма. Изучено с достаточной полнотой статическое напряженное состояние системы «нижнее строение - основание» в условиях малых и больших перемещений, но без учета температурного фактора, причем анализ полученных результатов позволил сформулировать вывод о том, что в примыкающем к нагрузке верхнем слое нижнего строения наблюдаются концентрация напряжений и деформирование основной площадки. Кроме того, резкое отличие в упругих характеристиках грунта основания и вышележащего грунтового слоя также приводит к концентрации напряжений, поэтому необходимо усиление верхней части нижнего строения, например, геоматериалами. Выполнена сопоставительная оценка полученных результатов при малых и больших перемещениях, без учета температурного фактора, причем существенное влияние на статическое напряженное состояние системы «нижнее строение - основание» оказывают структурная неоднородность и анизотропность грунтового массива основания, геометрическая нелинейность, и последнее качественно меняет картину закона распределения напряжений и перемещений.

В [10 с. 19] приведены материалы исследования: упругопластического состояния системы «нижнее строение - основание» в зависимости от упругих характеристик и анизотропии грунта основания, но без учета температурного фактора. Проанализировано влияние упругих характеристик основания на размеры и формы зон пластичности, причем слабое основание значительно увеличивает размеры зон пластичности по сравнению с жестким и анизотропным основанием, при этом формы зон неупругих остаточных деформаций остаются без изменения. Геометрическая нелинейность качественно меняет картину закона распределения упругопластических напряжений и перемещений в теле нижнего строения, а также увеличивает размеры зон пластичности, при этом оставляя их формы без изменения; свободного колебания системы «нижнее строение - основание» и выявлено, что геометрическая нелинейность значительно увеличивает величины частотных характеристик и почти не влияет на формы свободных колебаний, причем неоднородность и анизотропия грунта основания существенно влияют на формы свободных колебаний, и при слабом основании сильно деформируется свободная поверхность нижнего строения (насыпи) по сравнению с жестким и анизотропным основанием.

рельсовый путь жесткость нижний

ЛИТЕРАТУРА

1. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. Учебник для вузов ж.-д. трансп. -3 изд. перераб. и доп. - М.: Транспорт, 1987. - 479 с.

2. Омаров А.Д. Земляное полотно железных дорог Казахстана. - Алматы.: Бастау. 2000. - 208 с.

3. Методика оценки воздействия подвижного состава на путь по условиям обеспечения его надежности/ЦПТ 52/14. - М.: ПКТБ ЦП МПС, 2000. - 40 с.

4. Методика расчета напряженно-деформированного состояния железобетонной шпалы численным методом (методом конечных элементов (МКЭ)) (утвержден ЦП «РЖД» 2004). - М.: РЖД, 2004. - 36 с.

5. Омаров А.Ж., Узбеков А.К., Садыков Р.А. Расчет устойчивости и прочности земляного полотна с применением численных методов. - Алматы.: Гылым. 1996. - 124 с.

6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М.: 1979. - 392 с.

7. Кудрявцев И.А. Расчет элементов верхнего строения пути методом конечных элементов. Учебно-методическое пособие по курсовому и дипломному проектированию для студентов строительных специальностей транспортных вузов. Часть 1. - Гомель.: БелИИЖТ, 1982. - 32 с.

8. Инструкция к программе расчета комбинированных систем МКЭ. (Программный комплекс. «Спринт). Фонд алгоритмов в отраслевом строительстве. Вып. 12. - М.: ЦНИИпроект. - 120 с.

9. Золотарев Г.С. Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 272 с.

10. Мухамбеталина Д.Ж. Влияние физической и геометрической нелинейностей на напряженное состояние земляного полотна железнодорожного пути: автореф. …канд. техн. наук:. 05.22.06. - Алматы.: КУПС, 2006. - 25 с.

Размещено на Allbest.ru