В последнее время большое значение придается вопросам исследования поведения несущих систем при воздействиях, не предусмотренных условиями их нормальной эксплуатации [1; 2]. Осуществляемые при этом оценки предельных нагрузок требуют во многих случаях выполнения расчетов нестационарной динамики конструкций с учетом упругопластических свойств материала и геометрической нелинейности. В настоящей работе предлагается вычислительная схема для анализа в такой постановке деформаций систем тонкостенных прямолинейных стержней открытого профиля.

При построении гипотез о работе тонкостенного стержня необходимо оценить влияние стеснения депланаций поперечных сечений на величины предельных нагрузок. С этой целью нами выполнялись численные эксперименты. В частности, рассчитывалась в статической постановке стальная конструкция (рис.1), в которой стержни 1, 2, изготовленные из горячекатаных швеллеров 12 по ГОСТ 8240-89, соединены пластиной 3. Торцы стержней жестко связаны с пластинами 4, закрепленными в своих плоскостях связями . Вводилась статически определимая связь в направлении оси OZ. К системе приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q.

предельная нагрузка тонкостенный стержень

Рис. 1. Объект для анализа влияния стеснения депланаций на предельные нагрузки

Для стали принималась диаграмма растяжения-сжатия Прандтля с модулем упругости Е=2,06·10⁵ МПа и пределом текучести . Обеспечивалось преобладание мембранной жесткости пластин 4 над жесткостью стержней.

Рассматривались два варианта сопротивления пластин 4 изгибным деформациям.

В первом варианте эти пластины имели изгибную жесткость, существенно превосходящую жесткость стержней, что обеспечивало практически полное стеснение депланаций по их торцевым сечениям. Во втором варианте задавалась пренебрежимо малая изгибная жесткость торцевых пластин, что фактически не вызывало стеснения депланаций по концевым сечениям стержней.

Выполнялись расчеты четвертой части конструкции в физически нелинейной постановке с помощью программного комплекса (ПК) NX Nastran [3] на основе пластинчатых конечноэлементных моделей. В таблице приведены принимаемые в расчетах значения размеров , и установленные величины предельных нагрузок .

Очевидно, что устранение стеснения депланаций торцов швеллеров приводило к снижению предельных нагрузок не более чем на 3%.

Таблица. Результаты нахождения предельных нагрузок

При построении моделей деформаций стержней мы на основании таких оценок пренебрегаем стеснением депланаций поперечных сечений. Вводим также следующие допущения: в рамках классической теории деформаций стержней открытого профиля [4] рассматриваем в поперечном сечении стержня продольную силу N; моменты , относительно центральных осей Сy, Сz; момент , вызывающий скручивание стержня; поперечные силы , , приложенные в центре изгиба (рис.2);

положение центра изгиба поперечного сечения принимаем в соответствии со случаем расчета в линейной постановке;

пренебрегаем деформациями поперечного сдвига от сил , ;

учитываем в поперечном сечении стержня только нормальные напряжения у и параллельные средней линии L касательные напряжения ф;

напряжения у считаем постоянными по толщине профиля;

полагаем, что касательные напряжения равны нулю на линии L и изменяются по толщине профиля по линейному закону;

исходя из положений существующей приближенной схемы расчета на свободное кручение стержней открытого профиля, принимаем, что дифференциал угла сдвига г, вызванного касательными напряжениями ф,

Рис.2. Тонкостенный стержень открытого профиля: С, Ц. и. - центр тяжести и центр изгиба поперечного сечения , (1)

где - коэффициент, учитывающий влияние угловых зон профиля; - относительный угол закручивания; - координата по оси , перпендикулярной линии L; продольную относительную деформацию в точке линии L принимаем равной

где - относительная продольная деформация в точке С; - длина отрезка ; - радиус кривизны изогнутой оси стержня в плоскости ; знак для второго слагаемого определяется знаком кривизны этой оси;

считаем материал сплошным, однородным и изотропным;

пластические деформации анализируем в рамках ассоциированного закона течения;

считаем в соответствии с приближенной теорией свободного кручения стержней открытого профиля, что главный момент касательных напряжений ф

.(2)

Динамическое поведение объекта описываем системой дифференциальных уравнений равновесия конечноэлементной модели:

(3)

где , , - матрица масс, матрица демпфирования и вектор узловых реакций, зависящие от обобщенных узловых перемещений ; - вектор приведенных к узлам активных сил.

Будем решать систему уравнений (3) в соответствии с методикой работы [5] на основе предпосылки метода Ньюмарка о постоянных значениях ускорений на каждом шаге интегрирования. При этом конечноэлементную модель строим для деформированного состояния объекта с введением для каждого конечного элемента касательной матрицы жесткости , связывающей дифференциалы векторов его обобщенных узловых сил и перемещений :

.

Эта матрица определяется зависимостью

,

где - сформированная для отклоненного состояния системы матрица жесткости бесконечно малых деформаций конечного элемента, вычисляемая с учетом касательных модулей упругости материала:

;

- объем конечного элемента; , - матрица малых деформаций и касательная матрица упругости конечного элемента; - матрица начальных напряжений (геометрическая матрица) конечного элемента, определяемая равенством

;

- вектор обобщенных напряжений конечного элемента.

При описании геометрии деформированного состояния учитываем изменения координат узлов и повороты поперечных сечений стержней.

Строим конечный элемент длиной l между двумя поперечными сечениями стержня (рис.2). Представим конечный элемент как систему прямых призм (j=1, …, J), имеющих вне угловых областей прямоугольные основания (J - число призм) (рис.3). В переходных угловых зонах призмы могут иметь в основании форму произвольного выпуклого четырехугольника. Угловая призма условно представляется в виде полосы, толщина которой равна полусумме толщин примыкающих к ней призм, а ширина , где - площадь основания призмы.

Каждую призму шириной и толщиной разбиваем на слои (i=1, …, I) с одинаковой толщиной ? (I - число слоев). Считаем, что в пределах одного слоя касательные напряжения являются постоянными, а напряжения постоянны для всей полосы . Рассматриваем следующие векторы обобщенных деформаций и напряжений конечного элемента:

где , (j=1, …, J) - векторы относительных линейных деформаций и продольных сил в слоях для полосы .

Рис.3. Основания призм и полос

Принимаем в конечном элементе линейные законы изменения угла поворота ц поперечного сечения и продольного перемещения u точек на оси Сх. Значения и, при этом будут в пределах конечного элемента постоянными. Перемещения, перпендикулярные оси Сх, описываем с помощью полиномов третьей степени.

Критерий текучести здесь запишем в виде [6]

(4)

где ш - параметр упрочнения.

Согласно ассоциированному закону течения,

; ,

где , - пластические составляющие деформаций е, г; л - коэффициент пропорциональности.

Тогда изменения полных деформаций

; ,(5)

где G - модуль сдвига материала.

В соответствии с равенством (4) запишем

,

Откуда ,(6)

где ; ; - тангенс угла наклона касательной на диаграмме одноосного растяжения [6].

Считаем, что D>0. В случае использования диаграммы Прандтля принимаем условно малое значение D.

Учитывая равенство (6) в выражениях (5), будем иметь

; . (7)

Зависимости (7) представим таким образом:

; ,

где - касательные модуль упругости и модуль сдвига.

; .

Величины приближенно определяем по результатам выполнения предыдущего шага интегрирования.

Из условия (1) получим

, (8)

где и - величины ф и для слоя i; - координата центра тяжести слоя i.

Запишем

,(9)

где - касательная крутильная жесткость поперечного сечения стержня.

Момент в плоскости сечения от касательных напряжений ф

, (10)

где суммирование выполняется по всем слоям призм поперечного сечения; - площадь слоя i.

Принимая во внимание равенства (2), (8), (10), получим

,

откуда

(11)

С учетом соотношений (8), (9), (11) запишем

Примеры решения задач. Проиллюстрируем работоспособность разработанной методики на примерах расчета стальных конструкций стержня и рамы. Для обоих объектов учитывалась идеальная упругопластическая диаграмма растяжения-сжатия материала при Е=2,06·10⁵ МПа, . Использовался критерий текучести Мизеса. Рассматривалось статическое нагружение деформируемых систем и динамическое нагружение при внезапном приложении постоянных нагрузок. Для такого динамического воздействия на стальные стержневые системы влиянием скорости протекания деформаций на характеристики материала обычно можно пренебречь [7].

Учет статического нагружения реализовывался путем медленного нарастания сил, не приводящего к сколько-нибудь существенным динамическим эффектам. При решении задач нестационарной динамики вводилось конструкционное демпфирование по Рэлею, параметры которого задавались в соответствии с рекомендациями работы [8].

Пример 1. Рассчитывался стержень (рис.4), жестко защемленный по концевым сечениям. Вводилось нагружение конструкции силой и парой сил с моментом , где б - коэффициент, определяющий уровень нагружения; ; . При статическом нагружении предельное значение составило 2,10, при динамическом - 1,10. На рис.5а приведен график изменения вертикального перемещения сечения H в зависимости от параметра б при статическом нагружении, на рис.5б - график изменения этого перемещения в зависимости от времени при динамическом воздействии для уровня нагружения б= 0,80.

Данная задача решалась также в статической постановке с помощью программного комплекса NX Nastran с учетом физической и геометрической нелинейности при использовании пластинчатой конечноэлементной модели. Задавалось 1440 конечных элементов. Получилось значение , что отличается от результата, установленного на основе предлагаемого в данной работе алгоритма, на 6,2%.

Рис.4. Стальной стержень: а - разделение стержня на конечные элементы; б - схематизация поперечного сечения (S - узловые сечения)

Рис.5. Вертикальное перемещение сечения H: а - статическое нагружение; б - внезапно приложенная нагрузка при б= 0,80