Интегро-дифференциальное уравнение колебания слоистой среды из вязкоупругого материала

Размещено на http://www.allbest.ru/

интегро-дифференциальное уравнение колебание слоистой среды из вязкоупругого материала

УДК 539.3(043.3)

А.Ж.Сейтмуратов

Кызылординский Государственный Университет им.Коркыт Ата г.Кызылорда

Т?йін Ма?алада ?рт?рлі шеттік тербеліс есебі бойынша ??рылыс конструкцияларында?ы ?атпарлы ?ала?шалар тербелісіні? теориясы ?арастырыл?ан. ?ала?шалар тербелісін зеріттеу кезінде на?ты ?ш ?лшемді есеп ?ала?шаны? орта??ы жазы?ты?ы ?шін ?арапайым екі ?лшемді т?ріне ауыстырылады, себебі б?л шарт сырт?ы к?штерді? ?серіне шек ?ояды. Шы?ырыл?ан интегро-дифференциалды? те?деулер ж?йесі біртекті-б?лік ?ала?шаны? ішкі ж?не сырт?ы ?атпарларпыны? тербелісін ?рнектейді. Жалпы айт?анда ?ш ?лшемді ?ала?шаларды? жалпы ж?не жуы? те?деуін есептеп шы?ару ?те к?рделі, о?ан ?арамастан б?ндай ?ала?шаларды? к?лбеу ж?не жаты? те?деулерін есептуп аны?тау м?мкіндігі бар.

Т?йін с?з: тербеліс, ?ала?ша, деформацияланатын орта, созылмалы ж?не т?т?ыр ?рі серпімді орта.

Аннотация

В данной работе развивается теория колебания кусочно-однородных пластин строительных конструкций, строго обоснованной постановкой различных краевых задач колебания. При исследовании колебания пластин точная трехмерная задача заменяется более простой, двумерной для точек срединной плоскости пластинки, что накладывает ограничения на внешние условия. Полученная система интегро-дифференциальных уравнений будет описывать колебания внутренних и внешних слоев кусочно-однородной пластинки. В общем случае трехслойной пластинки выкладки для вывода общих и приближенных уравнений ее колебания весьма громоздки, однако для такой пластинки имеют место как продольное, так и поперечное колебание.

Ключевые слова: колебание, пластинка, деформируемое среда, упругое и вязкоупругое среда.

Abstract

In this work develops a theory of vibrations of laminated plates of building structures, strictly justified by the staging of various boundary value problems of oscillation. In the study of oscillations of plates accurate three-dimensional problem is replaced by a simpler, two-dimensional points of median plane of the plate, which imposes limitations on the external conditions. These restrictions are that external forces cannot be high frequency. As a general equation of oscillations of plates, obtained before contain derivatives of any order of the coordinates and time, stacked on the structure and therefore are not suitable for solving applied tasks and of engineering calculations. For this purpose it is necessary to formulate approximate boundary value problems of oscillation.

Keywords: oscillation, plate, deformable medium, elastic and viscoelastic medium.

Построение общих и приближенных уравнений колебания различного вида плоских элементов представляет актуальную проблему в разработке теоретических основ расчета строительных конструкций и строительства в целом. К таким проблемам относятся задачи совершенствования моделей нестационарного характера конструкций и их элементов, материалы которых проявляют сложные механические, реологические свойства, присущие различным строительным конструкциям при влиянии различных внешних факторов.

Пусть имеется трехслойная безграничная в плане пластинка из вязкоупругого материала, причем срединная составляющая толщины , а верхняя и нижняя составляющие толщиной и состоят из одного и того же материала.

При формулировке граничных условий будем предполагать, что в плоскости раздела неоднородности слои находятся в жестком контакте, а верхняя и нижняя поверхности плоские.

В классической постановке за искомые функции берутся перемещения и деформации точек срединной плоскости .

Аналогично этому вместо постоянных интегрирования в решении для внутреннего и внешних слоев введем неизвестные

(1)

при этом являются преобразованными смещениями точек плоскости , а преобразованные величины деформации смещений этих точек в направлении в тех же плоскостях. Переходя от к с учетом условия , для получим выражения

(2)

Где

Обращая выражения (2) по для истинных смещений точек слоев получим выражения

(3)

где операторы , равны

(4)

при этом и операторы описывают распространение плоских продольных и поперечных волн в плоскостях .

Не трудно видеть, что выражения (3) для смещений получены лишь при решении уравнений движения с учетом нулевых начальных условий и они являются общими решениями задачи Коши, причем выражены через шесть произвольных функций для каждого из слоев. Зная выражения для смещений через произвольные функции из зависимости между и в слоях примем в виде больцмановских интегральных соотношений получаем аналогичные выражения для напряжений.

(5)

Среди двенадцати неизвестных, в общем случае независимых шесть. В качестве основных неизвестных возьмем неизвестные для внутреннего слоя и тогда из граничных условий

при и на поверхностях контактов

(6)

при начальные условия в задаче будем считать нулевыми получим зависимости .

(7)

Для нахождения шести неизвестных функций, входящих в выражения (6), имеем граничные условия на поверхности слоистой пластинки

(8)

Подставляя (6) в граничные условия (8), получим систему интегро-дифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций.

Полученная система будет описывать, в общем случае, колебания такой слоистой среды или слоистой (кусочно-однородной) пластинки.

В общем случае трехслойной пластинки выкладки для вывода общих и приближенных уравнений ее колебания весьма громоздки, однако для такой пластинки имеют место как чисто продольное, так и чисто поперечное колебание.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

уравнение колебание плоский строительный

Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Динамическая теория устойчивости стержней. Труды Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства», Варшава, 1995, с.63-69.

Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для вязкоупругих сред. - ПММ,т.43, № 1, 1979, с.133-137.

Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Костин В.И. Динамика двумерных композитов. - Труды Междун. конференции по механики и материалам, США, Лос-Анжелес, 1995, с.75-79.

Сейтмуратов А.Ж. Определение частоты собственных колебаний пластинки // Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика -2010. -№ 4 (67).-С.

Сейтмуратов А.Ж. Воздействие подвижной нагрузки на поверхность упругой слоистой полуплоскости// Вестник КазНПУ.-2010.- №3.-С. 112-11

Brunelle E.J. Buskling of transversely isotopic Mindlen plates // AIAA 1977, Vol. 9, No 6, p.1018-1022.

Bergman G.G. Elastic waves propagation in fluid saturated porous media G. Asoust. Soc. America. 1981, No. 2, p.416-424.

Ellsiepen, P.: Zeit- und ortsadaptive Verfahren angewandt auf Mehrphasenprobleme poroser Medien. Bericht Nr. II-3, Universitat Stuttgart, Institut fur Mechanik, Lehrstuhl II, 1999.

Размещено на Allbest.ru