Колебания железобетонных конструкций с учетом трещинообразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Колебания железобетонных конструкций с учетом трещинообразования

Специальность 05.23.17- Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Ончири Ричард Очаро

Санкт-Петербург 2007

Работа выполнена на кафедре строительной механики в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Масленников Александр Матвеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Постоев Владимир Сергеевич;

кандидат технических наук, доцент Трофимов Александр Васильевич

Ведущая организация: СПбЗНИПИ

Защита диссертации состоится « » ноября 2007г. в …….. на заседании диссертационного совета Д 212.223.03 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, Санкт-Петербургский, 2-я красноармейская ул., д.4, ауд.505-А

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан « » октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент И.С.Дерябин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТКА РАБОТЫ.

Актуальность темы диссертации. При проектировании современных зданий и сооружений выполняются всесторонние расчеты прочности, жесткости и устойчивости конструкций, находящихся под воздействием статических и динамических нагрузок. Расчетные схемы многих несущих элементов железобетонных конструкций зачастую представляются в виде стержней с различными граничными условиями. Для их расчетов применяются в основном численные методы с использованием целевых программных комплексов. Однако, в строительной механике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние отдельных геометрических и физических параметров конструкций на их прочности, жесткости и устойчивости, что способствует более правильному пониманию их специфики работы.

Стержневые железобетонные конструкции получили широкое распространение в промышленном и гражданском строительстве, и включают номенклатуру изделий - от простых статически определимых балок и колонн до пространственных статически неопределимых железобетонных конструкций. Армирование как один из рациональных путей повышения их прочности, жесткости и трещиностойкости все шире используется в строительстве, и других областях техники.

Одним из путей снижения расхода материала в стержневых железобетонных конструкциях является разработка методов расчета, в которых наряду со специфическими свойствами железобетона- трещинами, анизотропией, неупругими свойствами бетона и арматуры-учитывались бы также особенности работы статически неопределимых конструкций при динамических нагрузках и влияния деформированной расчетной схемы.

Развитие методов расчета статически неопределимых конструкций ограничивалось возможностью их реализации при текущем уровне производительности вычислительной техники. Совершенствование методов расчета на базе использования полной производительности современных вычислительных средств открывает качественно новые возможности. Расчет статически неопределимых стержневых железобетонных конструкций с учетом диаграмм деформирования бетона и арматуры, образования и развития трещин в сечении, изменения местоположения физической оси элемента, влияния деформирования расчетной схемы и т.д. Наиболее важным направлением совершенствования методов расчета является повышение их универсальности. Важно, чтобы алгоритм не накладывал ограничения на вид напряженно-деформированного состояния, форму поперечного сечения элементов, армирование, свойства бетона и арматуры, геометрию расчетной схемы, граничные условия. Реализация данных возможностей требует не только значительного усовершенствования существующих методик, но и решения ряда новых задач. С развитием и появлением новых видов армированных материалов, а также с изменением свойств обычных материалов при нетрадиционных воздействиях все чаще возникает необходимость совершенствования методов динамического расчета железобетонных конструкций. Специфика динамики конструкций из обычного железобетона заключается в необходимости учета арматуры. Можно отметить, что этот вопрос до сих пор является предметом исследования и при статической нагрузке. В области динамики этот вопрос изучен совершенно недостаточно. Поэтому тема данного исследования является актуальной для строительства.

Цели и задачи диссертационной работы:

Разработать метод динамического расчета железобетонных стержней с учетом арматуры. Для этого были поставлены задачи исследования:

- определение жесткости сечений железобетонных стержней с использованием гипотезы Бернулли;

- определение перемещение в железобетонных стержнях вариационным методом с непосредственным учетом арматуры;

- использование полученных результатов для динамического расчета систем из железобетонных стержней аналитическим и численном методами.

Научная новизна диссертации:

- решены задачи определения жесткости железобетонных сечений с учетом арматуры энергетическим методом;

- даны практические рекомендации по учету арматуры при определении жесткости рассматриваемого сечения;

- получено аналитическое решение с помощью преобразование Фурье для системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом воздействии; железобетонный стержень арматура сечение

- создана алгоритм и программа для анализа железобетонных рамно-стержневых конструкций при сейсмическом воздействии.

Практическая значимость. Разработаны алгоритм и на его основе составлена программа, позволяющий еще на стадии проектирования конструкций исследовать их работоспособность при динамических воздействиях различного характера и дать рекомендации, направленные на улучшение их работы при таком нагружении.

Достоверность разработанных теоретических положений, математических моделей и выводов обеспечивается корректностью постановки задачи, использованием общепринятых в строительной механике и теории железобетона допущений, тестированием программного комплекса, а также сопоставлением с экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- энергетическая методика для определения жесткости железобетонных стержней с учетом арматуры;

- вариационный подход к оценке несущей способности железобетонных стержней;

- результаты расчета железобетонных конструкций при гармоническом воздействии;

- результаты расчета железобетонных конструкций при сейсмическом воздействии.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на 59-ой и 60-ой международной научно-технической конференции молодых ученых, Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2006г.; на 64-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2007г. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 печатных работах, в том числе одна статья в издании из перечня изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка использованных источников из 107 наименований и содержит 166 страниц основного текста, 61 рисунков, 26 таблиц, 5 приложений.

содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой темы, приведены общая характеристика работы и основные положения, которые автор выносит на защиту.

В первой главе представлен краткий обзор методов расчета армированных стержней, приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований, а также методы расчета статически неопределимых стержневых железобетонных конструкций.

Стержневые железобетонные конструкции являются одним из наиболее обширных классов железобетонных конструкций. Развитие идей и методов механики анизотропных систем применительно к конструкции с регулярными армированием стало возможными благодаря усилиям А.А. Гвоздева, Г.А. Гениева, В.С. Здоренко, Н.И. Карпенко, Г.А. Тюпина, и др.

В 1939-е годы внимание исследователей к проблемам расчета стержней за пределами упругости возросло. В области расчета конструкции из двух компонентного материала в это время отказались от расчета по упругой схеме, и перешли к более точным методам, учитывающими нелинейность поведения материала. Теорию изгиба физически нелинейных стержней заложили Н.И. Безухов, А.А. Илюшин, И.М. Рабинович, А.Р. Ржаницын. В работах Боднера, Дж. Гусайдмо Ндса, А.В. Геммерлинга, Гудьера и Ф. Хджа, И.Л. Диковича нашло применение представление железобетона как, идеального упругопластического тела с равными пределами текучести при сжатии и растяжении. Изгиб упругопластического стержня без использования гипотезы плоских сечений рассматривали М.А. Задаян, Е.А. Бейлин, Н.И. Малинин и др.

Одними из первых стали успешно применять в статическом расчете армированных балок идеализированные диаграммы у-е в сочетании с гипотезой плоских сечений П.И. Васильев, Н.Н. Попов, Б.С. Расторгуев, О.Г. Кумпяк и др.

В настоящее время для расчета железобетонных конструкций широко используются вариационный метод. Вследствие этого стало возможным эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью достаточной для инженерных расчетов.

Анализ отмеченных выше экспериментальных исследований, а также теоретических работ позволил сделать вывод, о необходимости продолжения исследований по динамическому расчету железобетонных конструкций.

Вторая глава диссертации посвящена разработке расчетной энергетической методике для определения жесткости железобетонных стержней.

Излагаются применения вариационного подхода к оценке несущей способности железобетонных стержней. Рассматриваются стержни постоянного поперечного сечения при различных граничных условиях. Жесткость стержня зависит от стадии напряженно-деформированного состояния.

В начале получим жесткости для стадии I (рис.1).

Рис. 1 Напряженное состояние при стадии I

Запишем выражение энергии для всего стержня с учетом влияния поперечной силы.

(1)

Здесь штрих у обозначает производную по

; ; ; ; ;

; ; ; .

Значения , , -относятся ко всему бетонному сечению.

Подставим выражения деформации в (1)

.

Для дальнейшего вывода примем, что сечение арматуры не изменяется по длине стержня, это позволяет все постоянные значения вынести из под знака интеграла.

. (2)

. (3)

Числовые эксперименты показывают, что для невысоких балок влияние поперечной силы на деформации стержней незначительно, поэтому при вычислении сжатой зоны бетона будем пренебрегать членом с . Значение входит только выражение в квадратных скобках, следовательно проварьируем, предварительно обозначив через

. (3)

.

В итоге приходим к квадратному уравнению относительно .

. (4)

Для стадии II, когда не учитывается энергия растянутой зоны бетона выражение (4) упрощается вследствие исключения членов с

. (5)

Для таврового сечения случае высота сжатой зоны определяется из уравнения

; (6)

а для стадии II из уравнения

. (7)

В случае высота сжатой зоны определяется из уравнения

. (8)

И для стадии II высота сжатой зоны определим из уравнения

. (9)

Выше было введено ограничение на изменение сечения и площади рабочей арматуры по длине стержня. Если оно не соблюдается, то стержень разделяется на отдельные участки, где сечение, расположение арматуры и ее площадь примерно одинаковы и энергия деформации подсчитывается для каждого участка отдельно, а затем суммируется. Жесткости отдельных участков определяются по приведенным выше формулам.

а) б)

Рис. 2 Эпюры изгибающих моментов от равномерно распределенной нагрузки. а) балка с обоими защемленными концами. б) балка с шарниром на одном конце

Для балки с обоими защемленными концами примем функцию прогиба, удовлетворяющего граничным условиям

.

Изгибающий момент пропорционален второй производной от прогиба

.

Приравняв это выражение нулю, получим координаты нулевых точек на эпюре моментов (рис.2): l₁=0,2887l; l₁+l₂=0,7887l. Используя симметрию, получим выражение энергии для рассматриваемого случая

.

С целью определения нулевой точки на эпюре изгибающих моментов балки с одним шарнирным концом примем приближенное выражение прогиба, которое удовлетворяет граничным условиям только по перемещениям

.

Это выражение дает значение l₁=l/3

Функция прогиба для шарнирной опертой балки имеет вид

.

Проиллюстрируем влияние учета арматуры при вычислении прогибов в середине пролета балок (табл.1). Балки отличаются только граничными условиями и, естественно, арматурой. Сечения балок 0,20Ч0,40 м, бетон класса В25 с E_b=3,06*10⁷ кН/м²; E_s=E_sc=2*10⁸ кН/м² ; a=a?=0,025м; q=19,62 кН/м; пролет балки 6м; арматура в сжатой зоне бетона во всех балках равна 2D6A-III. Арматура, работающая на растяжение, представлена в табл.1.

Таблица 1

Результат расчетов

Результаты таблицы показывают, что прогибы, полученные с учетом арматуры, оказываются, как правило, больше, чем при расчете с начальным модулем упругости бетона, впрочем, это зависит от количеств арматуры.

Для оценки теоретических результатов исследования железобетонных стержней при статическом нагружении проводится сравнение с экспериментальными данными исследовании. При сравнении результатов используются данные, полученные в работе Bogdan Bogdanovic (таб.2.). Результаты сравнения экспериментальных значений прогибов по всем испытанным шарнирно опертым балкам приведены в табл.3. расчетные и экспериментальные величины прогибов оказались достаточно близкими по всем испытаниям, что свидетельствует о надежности метода расчета. Среднее отклонение расчетных данных от экспериментальных составило +4,42%, максимально +11,9% .

Таблица 2

Характеристики балок

Таблица 3

Сравнение результатов эксперимента с результатами по предлагаемой методике

Сравнение теоретических прогибов с таковыми из экспериментов полученных в работе Колчунова В.И. . Перелыгина, С.С.(верхняя арматура 1D6A-III, нижняя арматура 1D6A-III) показали удовлетворительное их согласование. Удовлетворительное согласование опытных результатов полученных в работе Лешкевича О.Н.(верхняя арматура 2D6A_T-500C, нижняя арматура 2D6A_T-500C) с теоретическими также свидетельствуют о приемлемости методики расчета.

В третьей главе приводится аналитический метод расчета железобетонных конструкций при гармоническом воздействии. Излагается приближенный учет трещин при колебании железобетонных балок. Приведенные жесткости балки определялись энергетическим методом. Дан пример расчета балки на динамическую нагрузку в виде кинематического воздействия от проходящего транспорта. Решение дифференциальных уравнений движения сосредоточенных масс выполнено с помощью преобразования Фурье.

При расчете конструкций внешнее кинематическое воздействие можно представить рядом

. (10)

Здесь - амплитуда соответствующего члена ряда; , -угловая частота и начальная фаза k-го члена ряда; - коэффициенты затухания колебаний в грунте в зависимости от времени.

Дифференциальные уравнения движения сосредоточенных масс в случае кинематического воздействия имеют вид

. (11)

Здесь- матрица податливости системы порядка n, где n-число степеней свободы.

-диагональная матрица сосредоточенных масс; - диагональная матрица коэффициентов сопротивления; - диагональная матрица квазистатического перемещения масс от ; , , , - соответственно ускорение, скорость, перемещение и заданное ускорение. Уравнения (11) решены при нулевых начальных условиях с помощью преобразования Фурье.

Приведем решение для системы с тремя степенями свободы при гармоническом воздействии в виде синусоиды. Подробно выпишем выражение для .

Здесь

;;

;.

Сгруппируем постоянные множители при функциях времени.

;

;

;

.

Множители при свободных членах имеют следующие значения:

;

;

.

Определитель для трех степеней свободы имеет вид:

.

Множители при являются алгебраическими дополнениями определителя, где,

;

;

.

В результате подстановок окончательное выражение для перемещения первой массы примет вид

. (12)

Аналогичный вид имеют выражения для и . По этому алгоритму составлена программа на языке TBASIC.

В качестве примера рассмотрим железобетонную балку (рис.3.). Исходные данные для балки содержат коэффициенты податливости (определяются из статического расчета), угловые частоты собственных колебаний, сосредоточенные массы, псевдостатичские перемещения. сосредоточенные массы имеют следующие значения , бетон В25, , , верхняя арматура 2D6A-III, нижняя арматура 2D25A-III, поперечная арматура 2D6A-I шаг 150мм. В качестве объектов, создающих кинематическое воздействие, возьмем 4-х осный грузовой автомобиль двигающийся со скоростью V=13,84м/с и угловой частотой и 4-х осный трамвай двигающийся со скоростью V=11,11м/с, с угловой частотой . Рассеивание энергии в грунте в зависимости от расстояния . Расстояние между осями: , , . Кратчайшее расстояние до здания , расстояние, с которого начинаются воздействие равно . Амплитуды колебаний воздействия от всех осей мкм.



Рис. 3 Расчетная схема железобетонной балки

Результаты расчета, развернутые во времени через заданный промежуток времени, равный 0,05 с, представлены на рис. 4 для перемещения массы от проходящего трамвая и рис. 5 от проходящего грузового автомобиля.

Рис. 4 Перемещения массы (трамвай). Рис. 5 Перемещения массы (автомобиль)

Значения перемещений, при наличии трещин, показаны штриховыми линиями. Для сравнения, сплошными линиями, соответственно, приведены значения перемещений балки без трещин. Трещины появились примерно при t=1,3c от воздействия трамвая и при t= 0,1c от воздействия грузового автомобиля . Ординаты перемещений отложены от линии статического равновесия. Следует отметить, что при динамическом воздействии амплитуды перемещений могут быть как больше, чем в балке без трещин, так и меньше, как в рассматриваемом примере. Приведенный пример показывает, что наличие трещин оказывает заметное влияние на перемещения балки и, следовательно, должно учитываться.

В этой главе также рассматриваются, численное решение задач при гармоническом воздействии, выполненное на основе выражение (13). В примере рассмотрена та же балка (рис.3), с теми же исходными данными. Для выполнения расчета составлена программа в символах системы MATLAB.

. (13)

где, расстояние до объекта; - амплитуда; - затухание в грунте; - частота колебаний трамвая, - скорость транспорта.

Рис. 6 Определение расстояния до объекта

результаты расчета, развернутые во времени через заданный промежуток времени, равный 0,05 с, для перемещения массы от одной оси трамвая и от одной оси грузового автомобиля, представляются в виде графиков.

В четвертой главе приводится практический расчет железобетонных конструкций с учетом арматуры при сейсмическом воздействии. Исследуются вопросы учета включающихся связей. Известно, что наличие арматуры оказывает существенное влияние на жесткость стержней. В этой связи, предлагается после расчета конструкции с начальным модулем и подбором арматуры, пересчитать конструкцию заново с жесткостями, непосредственно учитывающими арматуру.

Жесткости определяются путем варьирования выражения энергии для рассматриваемой стадии работы бетона. Например, для стадии I стержня постоянного сечения получается выражение (3). Высота сжатой зоны определяется из квадратного уравнения, которое получается из (3) путем варьирования по выражение (4).

Для стадии II напряженно-деформированного состояния в выражениях (3) и (4) будут отсутствовать члены с .

Различие в результатах расчета с начальным модулем и непосредственным учетом арматуры становится особенно заметным при динамическом расчете, когда сказывается соотношение частот.

Предлагаемое решение задачи продемонстрируем на примере десятиэтажной двухпролетной железобетонной рамы (рис.7). Исходные данные: бетон В25, сечение стоек , сечение ригели , , ,, , пролеты рамы , высота каждого этажа , арматура стойки и ригели представлена в табл.4. Сосредоточенные массы расположены на средней стойке в местах ее пересечения с ригелями имеют значения , .

Таблица 4

Арматура элементов рамы

Рис. 7 Расчетная схема десятиэтажной рамы

Коэффициенты податливости вычислены через приведенные жесткости сечений, полученные энергетическим методом и с начальным модулем упругости. Динамический расчет рамы при Карпатском и Калифорнийском землетрясениях выполнен с помощью вычислительного комплекса MATLAB.

Результаты расчета для II стадии напряженно-деформированного состояния представлены ниже на рис.8 и рис. 9.

а) б)

Рис. 8 а) перемещение 1-го этажа, б) перемещение 10-го этажа при Карпатском землетрясении (стадии II), 1- с , 2- с

а) б)

Рис. 9 а) перемещение 1-го этажа, б) перемещение 10-го этажа при Калифорнийском землетрясении (стадии II), 1- с , 2- с

Рассматриваются влияния связи на перемещение железобетонных зданий при сейсмическом воздействии. Для учета двустороннего упора, который играет роль включающейся связи, в программе вводятся строки

if abs ()>dd

………………….

else,

где y1- перемещение массы напротив упора; dd - величина зазора с одной стороны. После строки else опять ставится условие относительно знака . Если знак положительный, то в вектор перемещений вместо y1 подставляется dd и «-dd», если y1 имеет знак минус. Для случая упора с одной стороны в приведенной выше строке убирается abs.

На рис.10 изображен график перемещений массы 3-го этажа, которая контактирует с упором. Перемещения массы в свободной раме представлено тонкими линиями: а) при использовании фрагмента акселерограммы карпатского землетрясения 1977 г. (средняя частота колебаний - 12,2с^-1), б) при использовании акселерограммы калифорнийского землетрясения 1949 г. (средняя частота колебаний - 40,4с^-1).

а) б)

Рис. 10 Влияния связи на перемещения массы 3-го этажа: а) Карпатское землетрясение, б) Калифорнийское землетрясение

Анализы результатов показывают, что перемещения массы 3-го этажа меньше, чем перемещения массы 10-го этажа при карпатском землетрясении. Перемещения происходят в основном вследствие сдвига на уровне 1-го и 2-го этажей. Этажи, находящиеся выше, смещаются почти как твердое тело. Еще нагляднее этот факт проявился при использовании акселерограммы калифорнийского землетрясения. В абсолютном значении все эти перемещения относительно малы.

Основные выводы

1. Разработаны энергетические методики определения жесткостей железобетонных стержней с учетом арматуры.

2. Выполненные расчеты показывают, что во всех стадиях напряженно-деформированного состояния зависимость приведенной жесткости от процента армирования линейна для отдельных значений . Для предельного состояния зависимости приведенной жесткости от процента армирования нелинейна для отдельных значений .

3. Как показали результаты исследования определение жесткости с учетом арматуры, величина приведенной жесткости по I-стадии напряженно-деформированного состояния всегда больше, чем с начальным модулем. Величина приведенной жесткости по II-стадии напряженно-деформированного состояния соответствует жесткости с начальным модулем при проценте армирования . Величина приведенной жесткости по III-стадии напряженно-деформированного состояния соответствует жесткости с начальным модулем при проценте армирования .

4. Получено аналитическое решение с помощью преобразования Фурье для систем с конечными степенями свободы. При этом разработана программа на языке «TBASIC», которая позволяет решить задачи определения перемещения железобетонных конструкции при гармоническом воздействии аналитическом методом.

5. В символах MATLAB разработана программа, которая позволяет решить задачи определения перемещения железобетонных конструкции при гармоническом воздействии.

6. Исследование перемещений балки при гармоническом воздействии, показали, что при динамическом воздействии амплитуды перемещений могут быть как больше, чем в балке без трещин, так и меньше. Приведенный пример (глава 3) показывает, что наличие трещин оказывает заметное влияние на перемещения балки и, следовательно, должно учитываться.

7. Приведен численный расчет здания на сейсмическое воздействие с учетом арматуры. Анализ результатов расчета показывает, что амплитуды колебаний, полученные с начальным модулем упругости и амплитуды колебаний, полученные с приведенными жесткостями для первой стадии напряженно-деформированного состояния отличаются друг от друга незначительно. Для второй стадии напряженно-деформированного состояния имеют место значительные расхождения, что свидетельствует о необходимости учета арматуры, особенно при динамическом расчете железобетонных конструкции при сейсмических нагрузках.

8. Были исследованы вопросы учета влияния включения связей. Результаты исследований показывают, что влияние включающихся связей на перемещения высоких зданий при сейсмических воздействиях незначительно, особенно, если они расположены на нижних этажах.

9. Системы с включающимися связями также не всегда эффективны. Результат существенно зависит не только от конструкции, но и от воздействия.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих научных работах

1. Масленников А. М. Определение жесткости железобетонных стержней энергетическим методом [Текст] / Масленников А. М., Ончири Р.О // 64-я Науч. конф. профессоров, преподавателей, науч. работников, инженеров и аспирантов ун-та: докл. / С.-Петерб. гос. архитектур. - строит. ун-т., СПб., 2007. ч.1. С. 107-111.

2. Масленников А. М. Колебания железобетонной балки при наличии трещин [Текст] / Масленников А. М., Ончири Р.О // Известия ОрелГТУ Научный журнал № 2/14(530) 2007(апрель-июнь). С. 83-85.

3. Масленников А. М. Непосредственный учет арматуры при колебании железобетонных стержней [Текст] / Масленников А. М., Ончири Р.О // 60-я Междунар. науч. конф. молодых ученых: сб. докл. / С.-Петерб. гос. архитектур. - строит. ун-т., СПб., 2007. (в печати).

4.Ончири Р.О. Реализация вариационного метода к расчету железобетонных конструкций [Текст] / Ончири Р.О, Масленников А. М. // Актуальные проблемы современного строительства: 59-я Междунар. науч. конф. молодых ученых: сб. докл. / С.-Петерб. гос. архитектур. - строит. ун-т., СПб., 2006. ч.1. С. 71-73.

5. Ончири Р.О. Вариационное моделирование железобетонных балок [Текст] / Ончири Р.О, Масленников А. М. // Азиатский журнал гражданского строительство. 2007. Vol.8. № 2. С. 175-182. (на англ. языке).

Размещено на Allbest.ru

...