Способ оптимизации конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

Способ оптимизации конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

кандидата технических наук

Потехин Иван Александрович

Москва - 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования

Московский государственный строительный университет

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Андреев Владимир Игоревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Турусов Роберт Алексеевич,

кандидат технических наук Антонов Никита Александрович.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций и сооружений им. В.А. Кучеренко (ЦНИИСК).

Защита состоится «19» мая 2009г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 420 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «14» апреля 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Н.Н.

бетонный толстостенный цилиндр упругость

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. При расчетах строительных конструкций значительную роль играют факторы, обеспечивающие оптимальное соотношение между прочностью, жесткостью, массой и другими характеристиками конструкции. Одним из вариантов решения указанной выше задачи служит создание так называемой равнопрочной конструкции. Для обеспечения равнопрочности могут использоваться разные методы. В рамках диссертации для решения подобной проблемы используются обратные задачи теории упругости неоднородных тел. Суть обратной задачи состоит в отыскании таких зависимостей физико-механических свойств материала от координат, при которых состояние конструкции будет заданным.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики оптимизации работы бетонной толстостенной сферы, а также бетонного и железобетонного цилиндров под нагрузкой на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел.

Научная новизна работы:

1. Решены обратные задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенного цилиндра (диска) и толстостенной сферической (полусферической) оболочки на основе четырех классических теорий прочности.

2. Разработана методика оптимизации работы толстостенного бетонного цилиндра и сферической оболочки.

3. По разработанной методике получены конкретные решения для указанных конструкций. Используя полученное решение, было исследовано влияние некоторых факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.

4. Разработан метод оптимизации толстостенного железобетонного цилиндра с учетом анизотропии свойств материала. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.

Практическая ценность работы: Полученные в диссертационной работе методики могут быть использованы в инженерной практике при проектировании равнопрочных конструкций.

Достоверность результатов определяется строгим подходом к постановке задач, использованием общепринятых гипотез механики деформируемого твердого тела, а также применением аналитических и апробированных численных методов решения дифференциальных уравнений.

Апробация работы была проведена на:

- международной научно-практической конференции «Высшее строительное образование и современное строительство в России и зарубежных странах» в 2007 г.,

- XVI и XVII научных семинарах «Теоретические основы строительства» в 2007 и 2008 гг.,

- заседании кафедры «Сопротивление материалов» Московского Государственного Строительного Университета в апреле 2008г. и феврале 2009г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в восьми печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 142 страницах машинописного текста, включая 44 рисунка, 19 таблиц и список литературы из 97 наименований.

Основное содержание работы

Во введении представлено обоснование актуальности темы диссертации, определена её цель, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы.

Первая глава содержит литературный обзор работ посвященных теории упругости неоднородных тел. Также в этой главе показаны основные направления развития данной области механики, отмечены отечественные и зарубежные ученые, работающие в данной сфере. Среди них значительные работы были выполнены Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Гольденблатом И.И., Биргером Б.И., Колчиным Г.Б., Коваленко А.Д., Коляно Ю.М., Ломакиным В.А., Лехницким С.Г., Михлиным С.Г., Панкратовой Н.Д., Андреевым В.И. и многими другими. Среди западных авторов изучением подобных вопросов занимались Гейтвуд Б., Конвей Х., Клементс Д.Л. и др.

Также в первой главе изложены основы прочности бетона и железобетона. Как показывает литературный обзор, этими проблемами занимаются многие исследователи, как в России, так и за рубежом. Наиболее крупные результаты получили Баландин П.П., Берг О.Я., Бидный Г.Р., Бич П.М., Бондаренко В.М., Бондаренко С.В., Веригин К.П., Гениев Г.А., Карпенко Н.И., Киссюк В.Н., Лукша Л.К., Тюпин Г.А., Филоненко-Бородич М.М. и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад в развитие учения о прочности бетона внесли Мор О. и Надаи А.

Кроме того, в рамках первой главы дается постановка обратной задачи теории неоднородных тел. Для неоднородного изотропного тела в условиях осесимметричной задачи приведено основное разрешающее уравнение

(1)

где - для плоского деформированного состояния, а для плоского напряженного состояния ,

уравнение равновесия

(2)

уравнение неразрывности деформаций

(3)

закон Гука для изотропного материала

(4)

Для неоднородного изотропного тела в условиях центрально-симметричной задачи приведено основное разрешающее уравнение

, (5)

где

уравнение равновесия

, (6)

уравнение неразрывности деформаций совпадает с уравнением (3) а закон Гука - (4), в котором .

Для того чтобы получить решение описанной выше системы необходимо к ним добавить граничные условия. Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях толстостенных оболочек задаются в виде

(7)

Используя основные положения первой главы, в последующем решаются задачи оптимизации работы конструкции. При этом используются два основных понятия:

- конструкция называется равнонапряженной, если во всех ее точках эквивалентное напряжение, соответствующее определенной теории прочности, является постоянным;

- конструкция называется равнопрочной, если предельное состояние возникает одновременно во всех ее точках. При этом конструкция может не быть равнонапряженной. Конструкция будет и равнонапряженной и равнопрочной, если опасное напряжение во всех ее точках будет постоянным.

Во второй главе разработаны методы расчета толстостенного цилиндра (диска) и сферической (полусферической) оболочки, изготовленных из материала, одинаково сопротивляющегося как растяжению, так и сжатию. При расчете использовались условия, соответствующие четырем классическим теориям прочности. В результате решения получаются модели равнонапряженных конструкций.

Наиболее полно решение обратной задачи теории упругости неоднородных тел можно показать на примере энергетической теории прочности, примененной к цилиндру. Четвертая теория прочности, описанная с помощью главных напряжений , и , представляет поверхность кругового цилиндра

, (8)

где - опасное напряжение.

Главные напряжения определяются, следующим образом: , и . С учетом этого условие прочности (8) перепишется следующим образом

. (9)

Уравнение (9) описывает эллипс, поэтому явную простую зависимость напряжения от напряжения получить сложно. Поэтому при решении данной задачи необходимо прибегнуть к параметрическому заданию напряжений и

(10)

Подставляя в уравнение равновесия (2) выражения (10), получим

. (11)

Решением этого дифференциального уравнения будет следующая функция

. (12)

Константаны , а также и , которые определяют значение параметра у внутренней и наружной поверхности цилиндра, определяются в общем случае численно, используя граничные условия (7).

Подставляя функцию напряжения из (10) и выражение для координаты из (12) в разрешающее уравнение (1), после преобразований получаем дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости :

. (13)

Проинтегрировав уравнение (13) и используя начальные условия ( ), получаем искомую зависимость

,(14)

где ; .

Используя представленное выше решение обратной задачи для энергетической теории прочности для цилиндра, было исследовано влияние коэффициента Пуассона на распределение модуля упругости в цилиндре. При этом были заданы параметры: ; ; . Коэффициент Пуассона варьировался от до .

Как видно из рис.1, влияние коэффициента Пуассона на характер распределения функции значительно.

Другие решения обратных задач для равнонапряженного цилиндра даются в диссертации.

Пример решения обратной задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенной сферы рассмотрим при условии, что состояние неоднородной конструкции задано выражением

, (15)

где - эквивалентное напряжение. Выражение (15) соответствует теории прочности максимальных нормальных напряжений. Подставляя условие (15) в уравнение равновесия (6), получим

. (16)

Решением дифференциального уравнения (16) будет функция

. (17)

Константаны и можно определить, используя граничные условия (7).

Значения указанных выше неизвестных постоянных:

. (18)

Подставляя функцию напряжений (17) в разрешающее уравнение (5), получаем дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости :

. (19)

Проинтегрировав уравнение (19) и используя начальные условия ( ), получаем искомую зависимость :

, (20)

где - начальный модуль упругости материала.

На основе представленного решения обратной задачи для сферы было исследовано влияние коэффициента Пуассона на распределение модуля упругости в равнонапряженной сфере. При этом были заданы параметры: ; ; . Коэффициент Пуассона варьировался от до . Как видно из рис.2 влияние коэффициента Пуассона на характер распределения функции незначительно.

Другие решения обратных задач для равнонапряженной сферы даются в диссертации.

Полученные в этой главе решения можно применить для материалов, для которых справедлива одна из четырех классических теорий прочности. При этом должна существовать возможность модификации модуля упругости материалов. К таким материалам можно отнести стеклопластики, полимеры и некоторые другие композиты.

Рис.1 . Распределение модуля упругости в равнонапряженном цилиндре при (1), (2) и (3).



Рис.2 . Распределение модуля упругости в равнонапряженной сфере при (1), (2) и (3).

В третьей главе разработана методика оптимизации работы толстостенного бетонного цилиндра и сферической оболочки на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел. Эта задача решается на основе критерия прочности Баландина П.П., который экспериментально довольно хорошо подтверждается для бетона в области всестороннего сжатия

, (21)

где - расчетное сопротивление бетона на сжатие, - расчетное сопротивление бетона на растяжение. Поскольку бетоны очень плохо работают на растяжение, то принято, что . Применение данного положения значительно упрощает решение задачи оптимизации. С учетом этого положения выражение (21) перепишется

. (22)

Используя условие (22) было получено решение для толстостенного цилиндра. В бетоне, как следует из работы Карпенко Н.И. (Общие модели механики железобетона. - М., Стройиздат, 1996. - 416 с.), при достижении предельного состояния при действии сжимающих напряжений коэффициент Пуассона может достигать значения и выше. Поэтому для дальнейших расчетов принимаем . Предполагая, что цилиндр находится в условиях плоской деформации, главные напряжения можно определить следующим образом:: , и . С учетом этого условие прочности (22) перепишется следующим образом

. (23)

Уравнение (23) описывает параболу, поэтому для решения необходимо перейти к параметрическому заданию напряжения и

(24)

Зависимость между прочностными и жесткостными свойствами материала задается выражением

, (25)

где коэффициенты и определяются на основе экспериментальных данных. Для их определения можно воспользоваться стандартными функциями математического пакета MathCAD 13.

При решении задачи воспользуемся тем условием, что коэффициент Пуассона . Из этого следует, что в условиях плоского деформированного состояния

. (26)

Подставляя выражение (26) в условие совместности деформаций (3) получим

. (27)

Решением уравнения (27) будет выражение

, (28)

где пока неизвестная величина.

Для получения зависимости модуля упругости бетона от радиуса воспользуемся выражением для деформаций в условиях плоского деформированного состояния

. (29)

Подставляя в (29) значение коэффициента Пуассона , выражения (28), (24) и (25), после преобразований получаем

. (30)

Подставляем выражение (25) и (30) в (24) и получаем выражения для напряжений через параметр

(31)

Подставляя (31) в уравнение равновесия (2), после преобразований получаем

, (32)

где - кольцевая относительная деформация в точке , которая определяется выражением

,

где , и - значение параметра , расчетное сопротивление на сжатие и модуль упругости бетона в точке . Уравнение (32) не удается решить аналитически. Для его решения можно воспользоваться методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Задача оптимизации цилиндра решается при следующих исходных данных: , , , , . Для определения коэффициентов в уравнении (25) применяем стандартные функции математического пакета MathCAD 13 и получаем и для первых трех позиций табл.1. Величины давлений на цилиндр составили и .

Полученную нагрузку на равнопрочный цилиндр можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции. По условию (23) наибольшее эквивалентное напряжение достигается у внутренней поверхности цилиндра. Для однородной конструкции величину внутреннего давления можно найти по формуле

, (33)

где ,

- напряжения полученные при решении задачи Ляме для цилиндра, нагруженного относительными нагрузками. Расчет дает значение давления . Выше была определена величина нагрузки для равнопрочной конструкции .

В диссертации вводится понятие - коэффициент эффективности работы конструкции , равный отношению максимального давления в равнопрочной неоднородной конструкции в момент разрушения к соответствующему давлению в однородной конструкции. В рассмотренной задаче в=.

Используя описанный выше метод, было исследовано влияние величины отношения на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра. Результат этих расчетов представлен на рис.7. Анализируя этот рисунок, можно сделать вывод, что с увеличением отношения коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра увеличивается, но достаточно медленно.

Таблица 1. Физико-механические характеристики полимербетона наполненного кварцевой мукой

№ п./п.	Степень наполнения кварцевой мукой	Предел прочности при сжатии,	Модуль упругости
1	-	142	3,10
2	50	146	4,50
3	100	160	7,10
4	200	148	10,5
5	300	132	13,7
6	400	115	16,7

Отметим, что при расчете цилиндра, находящегося в условиях плоской деформации, при отсутствии осевых нагрузок должно выполняться условие

(34)

Чтобы удовлетворить этому равенству, к полученному напряженному состоянию согласно С.П.Тимошенко (Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.) нужно добавить постоянное напряжение противоположного знака, равное

(35)

При этом остальные напряжения не изменятся.

Для практической реализации создания равнопрочных конструкций в диссертации предлагается замена полученных непрерывных зависимостей E(r) кусочно-постоянными функциями, т.е. создание модели кусочно-однородного цилиндра. Расчет кусочно-однородного цилиндра приводится в диссертации.

Решение обратной задачи для равнопрочной сферы выполняется аналогично и дается в диссертации.

Рис.3. Аппроксимирующая зависимость для полимербетона, - экспериментальные данные

Рис.4. Распределение напряжений ,и

Рис.5. Распределение модуля упругости в равнопрочном полимербетонном цилиндре.

Рис.6. Распределение расчетного сопротивления в равнопрочном полимербетонном цилиндре.

Рис.7. Влияние величины отношения на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного полимербетонного цилиндра .

В четвертой главе разрабатывается методика оптимизации работы толстостенного железобетонного цилиндра. При решении задачи оптимизации используется условие образования нормальных трещин в теле бетона

(36)

где - наибольшая относительная деформация растяжения, - предельная относительная деформация растяжения бетона.

В выражении (36) предельная деформация растяжения определяется выражением

, (37)

где коэффициенты и определяются на основе экспериментальных данных, приведенных в табл.1.3 в диссертации.

При решении обратных задач для железобетонного цилиндра будем исходить из определенных предпосылок. Будем рассматривать такие виды нагружений цилиндра, при которых в нем будут возникать только сжимающие напряжения. В таком случае деформации растяжения будут возникать в радиальном направлении. При этом коэффициент Пуассона для расчетов примем . При решении задач использовалась физическая модель железобетона, рассмотренная в работе Карпенко Н.И. (Общие модели механики железобетона. - М., Стройиздат, 1996. - 416 с.). Применяя к этой модели определённые упрощения, было получено представленное ниже решение.

Используя физические соотношения (5.44), представленные в указанной выше работе Карпенко Н.И., предварительно заменив в них индексы декартовых координат на индексы цилиндрических координат, получим

. (38)

где , ,

, ,

- приведенные напряжения в бетоне, а . Остальные коэффициенты в системе соотношений (38) получаются круговой перестановкой индексов.

В системе (38) составляющие коэффициентов имеют разный порядок. Например, в составляющие и представляют собой величины меньшего порядка, чем поэтому при расчете эти малые величины можно не учитывать. Учитывая изложенное выше, система (38) преобразуется следующим образом

(39)

где , и - действительные напряжения в бетоне.

Обычно при конструировании в цилиндрических трубах устанавливают кольцевую арматуру, а также арматуру идущую параллельно оси вращения цилиндра, отсюда будем полагать . Кроме того, труба в общем случае представляет собой тело, имеющее большую протяженность в направлении оси , поэтому вполне разумно рассматривать напряженно-деформированное состояние трубы в условиях плоской деформации, отсюда имеем .

Применяя всё сказанное выше к системе (39), получаем

(40)

где , . Напряжение можно определить по известному выражению

. (41)

При решении задач о напряженно-деформированном состоянии необходимо знать, как связываются между собой общие напряжения в железобетоне с напряжениями, действующими в арматуре и бетоне. Ответ на этот вопрос также дается в указанной выше работе Карпенко Н.И.. Эти соотношения при соответствующих заменах запишутся следующим образом

 (42)

Применяя к соотношениям (42) указанные выше положения получим

(43)

Используя соотношения (40) и выражения (43) можно решить некоторые задачи. Рассмотрим, каким образом можно получить решение для цилиндра.

Уравнение равновесия (2) с учетом (43) запишется следующим образом

. (44)

Из второго уравнения (40) выражаем действительное напряжение в бетоне

. (45)

Под действительными напряжениями в бетоне понимаются напряжения, которые возникают в теле конструкции за вычетом объёма занимаемого арматурой. Подставляем уравнение (45) в первое выражение (40) и получаем

. (46)

Подставляя выражение (45) в уравнение равновесия (44), а выражение (46) в уравнение совместности деформаций (3), получаем систему дифференциальных уравнений

(46,а)

Поскольку в описанных выше условиях, растягивающие деформации возникают в радиальном направлении, то условие (36) с учетом выражения (37) перепишется следующим образом

. (47)

Для определения зависимости между деформациями и воспользуемся системой (40). Подставляя в систему значение коэффициента Пуассона и проводя несложные преобразования, получаем

. (48)

Подставляя выражение (47) в (48) и выполняя некоторые преобразования, получим

. (49)

Подставляя значение коэффициента Пуассона и выражение (49) в систему (46,а), приходим к системе

(50)

Решая систему (50) можно получить решение обратной задачи для всевозможных вариантов армирования железобетонного цилиндра. В общем случае систему (50) удается решить, используя лишь численные методы, например метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим решение задачи оптимизации при следующих исходных данных: , , , , . Для определения коэффициентов в уравнении (37) применяем стандартные функции математического пакета MathCAD 13 и получаем и по экспериментальным данным, приведенным в табл.2 диссертации.

Решение системы (50) было получено методом Рунге-Кутта четвертого порядка при следующих значениях начальных параметров

(51)

Величины давлений на цилиндр составили и .

Полученную нагрузку на цилиндр можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции, имеющей аналогичное армирование. Наибольшая растягивающая деформация в цилиндре достигается у внутренней поверхности. Для определения наибольшего внутреннего давления на однородный цилиндр используется выражение

, (52)

где - модуль упругости бетона в точке ; - радиальная относительная деформация в точке ; ; , - действительные напряжения в бетоне железобетонного цилиндра, нагруженного относительными нагрузками, в точке ; - значение коэффициента армирования в точке . Расчет дает значение давления . Выше была определена величина нагрузки для равнопрочного цилиндра . Из этого можно сделать вывод, что коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра по сравнению с однородным составляет в = .

В качестве следующего примера была решена задача оптимизации работы цилиндра имеющего неравномерное кольцевое армирование

, (53)

при этом величина коэффициента осевого армирования принята постоянной . А также было задано, что , , , , . При этом коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра с по сравнению с однородным составил в = .

Рис.8. Аппроксимирующая зависимость вида (37), - экспериментальные данные

Рис.9. Распределения модуля упругости бетона и растягивающей деформации .

Используя приведенные выше методики, было исследовано влияние соотношения давлений на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра . При этом величины остальных параметров оставались постоянными. Значение отношения изменялось в пределах от до . В результате проведенных расчетов оказалось, что величина коэффициента практически не изменяется при изменении отношения . Для равномерного армирования , а для неравномерного армирования . Это объясняется тем, что распределение модуля упругости бетона в теле железобетонного цилиндра не зависит от отношения .

Рис.10. Распределение напряжений ,, , и при равномерном кольцевом армировании

Рис.11. Распределение напряжений ,, , и при неравномерном кольцевом армировании

Также было исследовано влияние величины осевого армирования на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра , результаты которого показаны на рис.12.

Из сравнительного анализа данных видно, что с ростом коэффициента также растет и коэффициент , но этот рост очень мал. Однако при неравномерном кольцевом армировании величина коэффициента меньше чем при равномерном кольцевом армировании. Для объяснения этого эффекта было проведено исследование влияния изменения коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры на величину коэффициента при условии, что все остальные параметры задачи остаются неизменными. Результаты этого исследования можно видеть на рис.13. Из рисунка видно, что с увеличением неравномерности кольцевого армирования (увеличением величины коэффициента ), величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра уменьшается.

Расчет кусочно-однородных железобетонных цилиндров приводится в диссертации.

Рис.12. Влияние величины осевого армирования на величину коэффициента при равномерном (1) и неравномерном кольцевом армировании

Рис.13. Влияние коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры на величину коэффициента

Основные выводы и результаты

1. Получены решения задачи оптимизации для указанных выше равнонапряженных конструкций на основе четырех классических теорий прочности. Данные зависимости могут быть использованы для оптимизации работы конструкций изготовленных из материала обладающего равным сопротивлением, как к растяжению, так и к сжатию. Кроме того, физико-механические характеристики этого материала должны быть таковы, что скорость изменения прочности при любом способе модификации этих свойств должна быть меньше, чем скорость изменения модуля упругости.

2. Разработан метод оптимизации работы толстостенных равнопрочных бетонных цилиндров и сферических оболочек, на основе которого получены распределения жесткостных и прочностных характеристик материала. Решения получены с применением численных методов.

3. Получены аналоги конструкций близких к равнопрочным с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Определены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности. Полученные результаты позволяют утверждать, что применение материалов, механические характеристики которых обладают такими же свойствами как рассмотренный в работе полимербетон, позволяет значительно улучшить работу конструкций в пределах упругой работы материала.

4. Разработана методика оптимизации работы толстостенного железобетонного цилиндра, на основе которой получены распределения механических характеристик. Также получены аналоги конструкций близких к равнопрочным с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Вычислены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности.

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах

1. Андреев В.И., Потехин И.А. О равнопрочных и равнонапряженных конструкциях// Сб. тр./ Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. 2007. С. 84-90.

2. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных строительных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел// Вестник строит. наук. Вып. 11. Курск, 2007. С. 48-52.

3. Андреев В.И., Потехин И.А. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе второй и четвертой теории прочности// Труды XVI Российско-польско-словацкого семинара «Теоретические основы строительства», Жилина. Словакия. 2007. С. 29-34.

4. Андреев В.И., Потехин И.А. Итерационный метод построения модели равнопрочного цилиндра// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. №1. С. 45-49.

5. Андреев В.И., Потехин И.А. Моделирование равнопрочного цилиндра на основе итерационного подхода// International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, v. 4, is. 1, 2008, p. 79-84.

6. Андреев В.И., Потехин И.А. О методике построения модели равнопрочного цилиндра на основе итерационного метода// XVII Polish-Russian-Slovak Seminar “Theoretical Foundation of Civil Engineering”. Proceedings. Warszawa, Wroclaw, 02.06 - 06.06.2008. Zilina, 2008, pp. 142-147.

7. Потехин И.А. О моделировании равнопрочных конструкций на основе различных теорий прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2008. Т. 4. С. 32-33.

8. Потехин И.А. О моделировании равнонапряженного цилиндра на основе энергетической теории прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2009. Т. 2. С. 72-74.

Размещено на Allbest.ru

...