Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание

ученой степени кандидата технических наук

Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек

Нгуен Хиеп Донг

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Москва - 2008

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования

«Московский государственный строительный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович.

доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич,

кандидат технических наук, профессор

Леонтьев Андрей Николаевич.

ОАО Научный исследовательский институт транспортного строительства (ЦНИИС).

Защита состоится “21” октября 2008г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. No 223 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан “12” сентября 2008г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Для проектных организаций Вьетнама с учетом его климатических условий актуальной является разработка методики расчета легких покрытий типа пологих оболочек для простой и надежной оценки напряжено-деформированного состояния этих конструкций. Отметим также, что в последнее время имели место в РФ и за рубежом аварии покрытий рынков, бассейнов, зданий аэропортов, представляющих собой различные виды пологих оболочек. Расчеты покрытий были выполнены по программам, реализующим метод конечных элементов (МКЭ). В сложившейся ситуации для проверочных расчетов является также актуальной разработка способа расчета пологих оболочек, основанного на других численных методах. Одним из таких методов, обладающим высокой точностью и сравнительной простотой, является разработанный на кафедре строительной механики МГСУ метод последовательных аппроксимаций (МПА), который и применяется в диссертации.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики расчета пологих оболочек с использованием разностных уравнений МПА, составлении программы для ЭВМ с последующим применением ее для решения инженерных задач.

Научная новизна работы:

1. Разработана методика расчета пологих оболочек в перемещениях по МПА.

2. Разработан способ расчета тех же оболочек в смешанной форме.

3. Впервые решена обратная задача строительной механики пологих оболочек в численной постановке.

4. По разработанной методике составлена программа расчета на компьютере, отработанная на решении тестовых задач.

5. Решены новые задачи расчета пологих оболочек.

Практическая ценность работы. Разработанные методика и программа позволяют выполнять расчеты пологих оболочек, используемых в инженерной практике.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным исследованием сходимости решений.

Апробация работы была проведена на:

- одиннадцатой международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов Московского Государственного Строительного Университета c 15-24 апреля 2008 г.

- заседании кафедры «Строительная Механика» Московского Государственного Строительного Университета 25 июля 2008 г.

Публикация. Основные положения диссертационной работы опубликованы в двух печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 139 страницах машинописного текста, включая 37 рисунков, 20 таблиц и список литературы из 258 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

последовательный аппроксимация пологий оболочка

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определена цель работы, ее научная новизна и практическая значимость диссертации.

Первая глава содержит краткий литературный обзор работ, посвященных численным методам решения задач теории пологих оболочек, таким, как методы конечных разностей /МКР/, конечных элементов /МКЭ/ и последовательных аппроксимаций /МПА/. Описывается предыстория постановки задачи, опирающейся на фундаментальные исследования в области разработки общей теории и методов расчета пологих оболочек. В их числе следует отметить работы В.З. Власова, А.А. Назарова, А.Л. Гольденвейзера, С.П. Тимошенко, А.Р. Ржаницына, В.В. Новожилова, П.М. Огибалова, М.А. Колтунова, В.С. Рекшинского, И.Н. Слезингера, Л.М. Пухонто, Н.Н. Леонтьева, П.А. Лукаша, В.В. Диковича, Л.С. Гаранина, Л.Г. Мухадзе, Н.П. Абовского, Я.А. Пратусевича, С.Д. Кислякова, Н.П. Булия, П.М. Варвака, Л.Ф. Березовского, М.И. Длугача, Г. Маркуса, В.Н. Шаишмелашвили, А.М. Александрова, Ю.П. Федорова, М.Дж. Тернера, Р.В. Клафа, Х. Мартина, Л.А. Розина, A.М. Mасленникова, Н.Н. Шапошникова, В.А. Постнова, О. Зенкевича, Г. Кантина, А.Ф. Смирнова, А.В. Александрова, Б.К. Михайлова, А.А. Амосова, Б.Я. Лащеникова, М.Б. Вахитова, Ю.П. Федорова, Р.Ф. Габбасова, В.В. Шрамко и многих других.

В первой главе описываются также численные методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод последовательных аппроксимаций. Метод последовательных аппроксимаций (МПА) разработан Р.Ф. Габбасовым на кафедре строительной механики МГСУ. Этот метод позволяет достаточно просто рассчитывать не только оболочки, но и плиты с разрывными параметрами под действием различного типа нагрузок, включая локальные, полосовые, динамические.

В первой главе показано, что разностная форма МПА обладает рядом преимуществ по сравнению с матричной формой, ранее использованной в работах Р.Ф. Габбасова и В.В. Шрамко.

Во второй главе разработана методика расчета пологих оболочек в перемещениях с использованием разностных уравнений МПА. Рассматривается прямоугольная в плане пологая оболочка двоякой кривизны. Оси x и y системы координат Оxyz направлены вдоль сторон плана, соответственно равных a и b (рис. 1). Наибольший подъем оболочки обозначен ?. Уравнение срединной поверхности (эллиптический параболоид) в этой системе координат запишется

. (1)

Постоянные А, В, r0, t0 характеризуют угол наклона касательной плоскости к поверхности параболоида и его кривизны: ;

, (2)

где: Rx, Ry - радиусы кривизны срединной поверхности оболочки (рис. 1).

Рис. 1

Разрешающие дифференциальные уравнения прямоугольных в плане пологих оболочек, работающих под действием нормальных к поверхности оболочки нагрузок, записываем в безразмерном виде:

 (3)

(4)

U, V - тангенциальные перемещения соответственно по направлению x и y, W - прогиб (перемещение по оси z), - коэффициент Пуассона; рz - произвольная распределенная поверхностная нагрузка; d - высота поперечного сечения оболочки; Е - модуль упругости материала; - обобщенный изгибающий момент; а - характерный размер; p0 - значение рz в фиксированной точке;

(5)

Система дифференциальных уравнений (3) решается с учетом краевых условий. В частности, при h=0:

жесткая заделка: u=u=w=0; ; (6)

шарнирно-неподвижно опертый край: u=u=w=m=0; (7)

шарнирно-подвижно опертый край: u=w=0; m=0; ; (8)

свободный от закреплений край:

; ; , (9)

где - безразмерная обобщенная поперечная сила.

Учитываются также условия в угловых точках; они приводятся в тексте диссертации.

Формулы для определения внутренних усилий также записываются в безразмерном виде:

(10)

(11)

В статье Р.Ф. Габбасова (О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит // Прикладная механика, 1982, т. XVIII, №9) приводится разностное уравнение МПА, аппроксимирующее дифференциальное уравнение второго порядка общего вида

. (12)

Обозначим это разностное уравнение Щ.

Каждое дифференциальное уравнение системы (3) является частным случаем (12). Роль неизвестных и i играют подлежащие определению функции u, u, w и m. Поэтому для аппроксимации, например, третьего дифференциального уравнения системы (3) разностным уравнением МПА необходимо записать Щ с заменами: на m при a=1, ===0, , 1 - на u при 1=0, 1=C4, b=1=1=0, 2 - на u при a2=2=b2=0, 2=C5, g2=0, p - на правую часть рассматриваемого дифференциального уравнения. В результате получим алгебраическое уравнение; запишем его здесь на квадратной сетке с шагом h:

, (13)

где разностные операторы определяются по формулам:



; (14)

; (15)

; (16)

. (17)

при замене непрерывных р на w.

В этих уравнениях: ; ; ; . Верхний левый индекс показывает принадлежность какой либо величины тому или иному элементу на рис. 2. Например - значение p в точке i,j сетки, принадлежащее элементу II. Остальные члены с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл.



Рис. 2.

Аппроксимация по МПА остальных уравнений системы (3) выполняется аналогично с использованием по необходимости введенных разностных операторов (14) - (17).

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений необходимо аппроксимировать краевые условия в контурных точках. Например, для жестко заделанного края при h=0. В этом случае следует аппроксимировать последнее условие (6). В окончательном виде (при wh=w=0 в краевых точках) получим уравнение для точки i,j края h=0:

. (18)

Остальные краевые условия аппроксимируются аналогично (без законтурных точек) и даются в диссертации.

В третьей главе составляется алгоритм расчета. Для решения системы алгебраических уравнений используем итерационный метод Зейделя. Этот метод упрощает программирование: нет необходимости в составлении матрицы коэффициентов при неизвестных и хранении ее в памяти ЭВМ. Уравнения представляются в виде, удовлетворяющем необходимому условию сходимости итерационного процесса, т.е. так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части уравнений, формально разрешенных относительно неизвестного в точке i,j сетки, не превышали по абсолютному значению единицы. В частности, разностное уравнение (13) записывается так:

. (19)

Аналогично записываются остальные уравнения как для внутренних, так и краевых точек.

По разработанному алгоритму была составлена программа для ЭВМ.

В качестве тестовой задачи был выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнирно-подвижно по всему контуру, при н=0,3; d/d=1 и d/d=5, загруженной по всей ее поверхности равномерно распределенной поперечной нагрузкой. В этом случае в (13) и (19): .

Таблица 1

Величины	d/d=1	d/d=5
	1	2	3	4	1	2	3	4
	Полученные результаты	МПА в матричной форме	МКР	Тригонометрический ряд	Полученные результаты	МПА в матричной форме	МКР	Тригонометрический ряд
	4х4	8х8	16х16				4х4	8х8	16х16
	0,474	0,482	0,484	0,486	0,459	0,485	0,0490	0,0493	0,0480	0,0479	0,0429	0,0480
	0,1986	0,2310	0,2420	0,2431	0,2480	0,2424	0,1049	0,1185	0,1200	0,1198	0,1090	0,1200
	0,1331	0,1264	0,1259	0,1257	0,1170	0,1259	0,0057	0,0042	0,0036	0,0066	0,0061	0,0036
	0,2792	0,2600	0,2577	0,2580	0,2650	0,2578	0,1796	0,1760	0,1739	0,1738	0,1620	0,1736

В таблице 1 приведены прогиб, продольная сила, изгибающий момент в центре и сдвигающая сила в углу оболочки, полученные на различных сетках /графа 1/; они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по МПА в матричной форме на сетке 12х12 (В.В. Шрамко, графа 2), по МКР на сетке 6х6 (А.А. Назаров, графа 3) и по аналитическому методу с помощью двойных тригонометрических рядов (А.А. Назаров, графа 4).

Здесь для удобства сравнения значения прогибов, нормальных, продольных, сдвигающих усилий и изгибающих моментов определяются по формулам:

; ;

; .

В качестве следующей тестовой задачи выполнен расчет жестко заделанной по всему контуру пологой оболочки, прямоугольной в плане, при а/b=2; н=0,3; d/d=1 и d/d=5, загруженной по всей ее поверхности равномерно распределенной поперечной нагрузкой. В таблице 2 приведены прогибы в центре оболочки на различных сетках; они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по МПА в матричной форме на сетке 16х8 (В.В. Шрамко, графа 2) и с аналитическим решением по И.Н. Слезингеру /графа 3/.

Таблица 2

Величины	a/b=2, d/d=1	a/b=2, d/d=5
	1	2	3	1	2	3
	Полученные результаты	МПА в матричной форме	Тригонометрический ряд	Полученные результаты	МПА в матричной форме	Тригонометрический ряд
	16х8	32х16	16х8		8х4	16х8	32x16	16х8
	0,02365	0,02374	0,02380	0,02350	0,004454	0,004845	0,004972	0,00474	0,00464

Рис. 3 Рис. 4

На рис. 3, 4 представлены полученные результаты и результаты по В.В. Шрамко соответственно для прогибов и изгибающих моментов вдоль оси симметрии оболочки: 1 - разностная форма МПА на сетке 16х8, 2 - матричная форма МПА на сетке 16х8 по В.В. Шрамко.

Рассматривалась пологая оболочка, прямоугольная в плане, два противоположных края которой шарнирно-подвижно оперты, один край жестко защемлен, а другой - свободный от закреплений; оболочка загружена равномерно распределенной по всей поверхности поперечной нагрузкой (рис. 5); a=20м, b=10м, d=1,5м, d=0,3м, Е=2,1·107 т/м2,n=0,3, рz=1 т/м2.



Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

На рис. 6, 7 представлены графики прогибов соответственно по сечениям y=b/2 и y=b/4: 1 - прогибы по МПА на сетке 40х20, 2 - по МКЭ на сетке 160х80 (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v.11).

Выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнирно-неподвижно в четырех углах, под действием равномерно распределенной по всей ее поверхности поперечной нагрузки (рис. 8) при следующих исходных данных: a=b=10м, d=2м, d=0,4м, Е=2,1·107 т/м2, n=0,3, рz=1т/м2.

Рис. 8

Рис. 9

На рис. 9 приведены значения прогибов W вдоль стороны y=0: 1 - прогибы по МПА на сетке 32х32, 2 - по МКЭ на сетке 80х80 (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v.11).

Рассчитана пологая оболочка, прямоугольная в плане, шарнирно-подвижно опертая по всему контуру, под действием локальной нагрузки, распределенной равномерно на малом участке (а1хb1) с координатами его центра x1, h1 (рис. 10).



Рис. 10

Полученные результаты расчета в центре на различных сетках сравнивались с решением, подсчитанным по формулам В.З. Власова с помощью двойных тригонометрических рядов при количестве членов 50; они приведены в таблице 3.

Таблица 3

Вели-чины	a/b=1, д/d=5, н=0,3
	x1=h1=a/2
	Полученные результаты	Тригономе-рический ряд
	1	2	3	4
	а1=b1=0,05a	а1=b1=0,025a	а1=b1=0,02a
	40х40	80х80	100х100
	0,00184	0,00188	0,00188	0,00189
	0,2148	0,2863	0,3094	0,3171

Здесь и в следующем примере значения прогиба W и изгибающего момента Мх определяются по формулам: ; , где Р - равнодействующая нагрузка.



Рис. 11

Рис. 12

На рис. 11 представлен график прогибов ; на рис. 12 - изгибающих моментов вдоль оси симметрии (h=1/2). Линии 1, 2, 3 - результаты по МПА соответственно для а1=b1=0,05a на сетке 40х40; а1=b1=0,025a на сетке 80х80; а1=b1=0,02a на сетке 100х100, линия 4 - результаты по В.З. Власову при количестве членов ряда 50.

Сосредоточенная сила приближенно может быть представлена по рис. 13. На такую нагрузку была рассчитана рассмотренная выше оболочка. Полученные результаты приведены на рис. 14, 15 в виде эпюр прогибов и моментов вдоль оси симметрии оболочки (?=1/2) при различных h. Видно, что с увеличением числа разбиений результаты по МПА непрерывно возрастают, что служит признаком особенности численного решения.

Рис. 13

Рис. 14



Рис. 15

В четвертой главе рассматривается расчет пологих оболочек в смешанной форме. Разрешающие дифференциальные уравнения записываются в безразмерном виде:

(20)

(21)

остальные величины определяются по (4) и (5); F - функция напряжений.

Система дифференциальных уравнений (20) решается с учетом краевых условий (6) - (9).

Первое дифференциальное уравнение системы (20) аналогично третьему уравнению системы (3). Следовательно, для аппроксимации этого уравнения достаточно записать (13) при С3=С4=С5=0, с заменой р на . Выражая в этом уравнении m по второму дифференциальному уравнению системы (20) через и , получим разностное уравнение относительно неизвестных , , , :

. (22)

Здесь , определяются по (14) с заменой m соответственно на , ; , - по (16) с заменой р соответственно на , при непрерывных , . Аналогично аппроксимируются остальные дифференциальные уравнения для внутренних и краевых точек. Задача решается относительно неизвестных , , , .

При найденных , изгибающие моменты определяются по формулам (10). Для определения крутящего момента предварительно вычисляются прогибы w с использованием одномерного уравнения МПА:

. (23)

Величины определяются по формулам МКР.

При найденных w, , по первым двум формулам (10) можно вычислить и в каждой расчетной точке. Выражение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Для аппроксимации этого дифференциального уравнения также можно воспользоваться разностным уравнением МПА: найти u; аналогично - u. По найденным u, u--определяются , , что позволяет по (10) вычислить сдвигающие силы s. Таким образом, определяются все компоненты напряженно-деформируемого состояния оболочки, что свидетельствует о полноте решения.

Для сравнения двух разработанных алгоритмов была рассмотрена первая тестовая задача главы 3 при ?/d=5.

В таблице 4 приведены результаты для центра оболочки, полученные на различных сетках по Iому алгоритму /графа I/; они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по IIому алгоритму МПА /графа II/ и по МКЭ (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v.11 /графа III/).

Таблица 4

Вели-чины	I	II	III
	4х4	8х8	16х16	4х4	8х8	16х16	20х20	40х40	80х80
	0,0490	0,0493	0,0480	0,0487	0,0482	0,0480	0,0493	0,0492	0,0492
	0,1049	0,1185	0,1200	0,1217	0,1205	0,1204	-	-	-
	0,0057	0,0042	0,0036	0,0047	0,0037	0,0036	-	-	-

Был выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, шарнирно-подвижно опертой по всему контуру, при исходных данных a=b=10м, d=2м, d=0,4м, н=0,3, Е=2,1·107т/м2 под действием полосовых нагрузок qx=qy=1т/м на рис. 16.

Рис. 16

Полученные прогибы в центре оболочки по МПА /графа I/ сравниваются с решением, которое получено по МКЭ (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v.11 /графа II/) на различных сетках - табл. 5.

Таблица 5

Величина	I	II
	8х8	16х16	32х32	20х20	40х40	80х80
W (мм)	0,01463	0,01204	0,01138	0,01134	0,01136	0,01137

Рис. 17

На рис. 17. представлен график прогибов W вдоль оси симметрии y=5м: 1 - полученные результаты на сетке 32х32, 2 - результаты по МКЭ на сетке 80х80.

Выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнирно-подвижно в углах, под действием равномерно распределенной по всей поверхности нагрузки, при разных отношениях ?/d с ?=0,3 (рис. 18).

Рис. 18

Таблица 6

Вели-чины	d/d=0	d/d=1	d/d=2
	1	2	3	4	1	2	3	1	2	3
	8х8	16х16	32x32	По C.П. Тимошенко	8х8	16х16	32x32	8х8	16х16	32x32
w	0,0244	0,0249	0,0254	0,0249	0,0234	0,0231	0,0231	0,0217	0,0196	0,0190
m(?)	0,1085	0,1105	0,1113	0,1090	0,0903	0,0895	0,0894	0,0554	0,0518	0,0509
Уr	0,8400	0,9030	0,9420	-	0,9150	0,9270	0,9500	1,0960	0,9780	0,9660
Ур	1,0	1,0	1,0	-	1,01	1,01	1,01	1,02	1,02	1,02
?%	-16	-9,7	-5,8	-	-9,3	-8,2	-5,9	6,5	-4,1	-5,3

В таблице 6 приведены полученные результаты безразмерных прогибов, изгибающих моментов в центре оболочки и сумма вертикальных реакций в опорах (Уr). ? - разница суммы реакций в четырех углах и равнодействующей внешней нагрузки (Ур). Для случая плиты (?/d=0) результаты сравниваются с решением, полученным аналитическим методом по С.П. Тимошенко.



Рис. 19

Рис. 20

На рис. 19, 20 представлены графики безразмерных прогибов w и изгибающих моментов m(x) вдоль оси симметрии для различных отношений d/d на сетке 32х32.

Таблица 7

№ задач	Вели-чины	d/d=1	d/d=2
		8х8	16х16	8х8	16х16
I	w	0,0116	0,0125	0,0044	0,0049
II		0,0234	0,0231	0,0217	0,0196
I/II	?%	-50,4	-45,9	-79,7	-75,0
I	m(?)	0,0460	0,0493	0,01328	0,01423
II		0,0903	0,0895	0,05540	0,05180
I/II	?%	-49,1	-44,9	-76,0	-72,5

В таблице 7 приведены значения безразмерных прогибов и изгибающих моментов в центре оболочки. Строка I - полученные результаты по Iому алгоритму - была рассчитана оболочка, квадратная в плане, опертая шарнирно-неподвижно в четырех углах, на действие равномерно распределенной по всей поверхности нагрузки; строка II - результаты по IIому алгоритму, которые приведены в таблице 6. ? - разница результатов строки I и строки II. Видно, что прогибы и изгибающие моменты для пологой оболочки, опертой шарнирно-подвижно в четырех углах, больше чем для той же оболочки, опертой шарнирно-неподвижно в тех же углах.

Рассчитана та же оболочка на действие полосовых нагрузок, расположенных вдоль двух осей симметрии (рис. 21).

Рис. 21

Таблица 8

Вели-чины	d/d=0	d/d=1	d/d=2
	1	2	3	1	2	3	1	2	3
	8х8	16х16	32x32	12x12	16х16	32x32	12x12	16х16	32x32
w	0,0630	0,0640	0,0644	0,0591	0,0586	0,0582	0,0506	0,0489	0,0472
m(x)	0,3666	0,3702	0,3715	0,3124	0,3122	0,3115	0,2103	0,2079	0,2054
Уr	1,7168	1,8228	1,8932	1,876	1,88	1,912	2,0868	2,0068	1,952
У(?mx+ ?mh)	2,0	2,0	2,0	2,05	2,05	2,05	2,05	2,05	2,05
?%	-14,2	-8,9	-5,3	-8,5	-8,3	-6,7	1,8	-2,1	-4,8

В таблице 8 приведены полученные результаты безразмерных прогибов и изгибающих моментов в центре оболочки и сумма реакций в опорах (Уr). ? - разница суммы реакций в четырех углах и равнодействующей внешней нагрузки У(?mx+?mh).



Рис. 22

Рис. 23

На рис. 22, 23 представлены графики безразмерных прогибов w и изгибающих моментов m(x) вдоль оси симметрии для разных отношений d/d на сетке 32х32.

Выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнирно-подвижно по всему контуру, под действием локальной нагрузки, распределенной равномерно на малом участке с размерами (a1xb1) при д/d=5, н=0,3 (рис. 10).

В таблице 9 приведены полученные результаты по Iому алгоритму /графа I/; они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по IIому алгоритму МПА /графа II/ на различных сетках.

Обратная задача расчета пологих оболочек.

Для пологих оболочек обратная задача решается с помощью разрешающих дифференциальных уравнений, которые изложены во второй главе диссертации.

Таблица 9

Вели-чины	a/b=1, д/d=5, н=0,3, x1=h1=1/2
	I	II
	а1=b1=0,05a	а1=b1=0,025a	а1=b1=0,02a	а1=b1=0,05a	а1=b1=0,025a	а1=b1=0,02a
сетка	40х40	80х80	100х100	40х40	80х80	100х100
	0,00184	0,00188	0,00188	0,00185	0,00188	0,00188
	0,2148	0,2863	0,3094	0,2151	0,2863	0,3094

Отметим что, для определения значения р в краевых точках необходимо аппроксимировать третье дифференциальное уравнение системы (3). Исключая из него mh,-- ph по МКР, при h=0 получим на квадратной сетке:

(24)

Для края x=0 уравнение (24) записывается с заменой: u, u, C4, C5, h, t, i, j на u, u, C5, C4, t, h, j, i. А для края h=b/a и x=1 эти уравнения записываются в “зеркальном отображении”. Уравнение для определения р в угловых точках приводится в диссертации.

Для проверки алгоритма выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, шарнирно-подвижно опертой по контуру, на действие равномерно распределенной по всей поверхностной нагрузки; при этом воспользуемся формулой В.З. Власова для определения прогибов:

, (25)

(26)

В этой формуле:

; ; , (27)

где x, y - текущие координаты точки; m и n - целые числа (m =1, 3, 5…, ?, n =1, 3, 5…, ?); r0, t0 - кривизны.

Рис. 24

Рис. 25

На рис. 24, 25 показаны эпюры безразмерных нагрузок р по оси симметрии (h=1/2) соответственно для а/b=1; d/d=1 и d/d=5 на сетке 32х32 при заданных прогибах, подсчитанных по формулам (25) - (27) с количеством членов ряда 50. Полученная нагрузка отражает практически равномерно распределенную по поверхности.

Была рассчитана та же оболочка на действие локальной нагрузки, распределенной на малом участке в центре. Задаем прогибы по В.З. Власову.

Рис. 26

На рис. 26 приведена безразмерная распределенная нагрузка вдоль оси симметрии (h=1/2) при a1=b1=0,025a на сетке 80х80 по заданным прогибам.

Основные результаты

1. Разработан алгоритм расчета в перемещениях пологих оболочек двояковой кривизны, прямоугольных в плане, при действии различных типов нагрузок, включая локальные и полосовые, с различным сочетанием краевых условий. Для этого использованы предложенные Р.Ф. Габбасовым разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА). В известной мере разработку указанного алгоритма позволительно рассматривать как дальнейшее развитие МПА.

2. Построен алгоритм расчета пологих оболочек на статические нагрузки с использованием дифференциальных уравнений смешанной форме.

3. Разработан алгоритм решения обратной задачи строительной механики пологих оболочек в численной постановке.

4. По предложенным алгоритмам составлена программа на языке Visual Basic 6 для расчета пологих оболочек на ЭВМ как в перемещениях, так и в смешанной форме. Программа позволяет рассчитывать пологие оболочки при различных сочетаниях краевых условий на действие произвольных статических нагрузок.

5. Построенные алгоритмы проверены на тестовых задачах и численно исследованы на сходимость.

6. Решены новые задачи по составленной программе по расчету пологих оболочек.

7. Решены обратные задачи расчета пологих оболочек.

Основные выводы

I. Составленная программа работает надежно, устойчиво, что подтверждается сопоставлением результатов расчета с известными решениями и численным исследованием сходимости решений.

II. Программа может быть рекомендована для практического использования не только к расчету пологих оболочек, но и пластин.

III. На многочисленных примерах подтверждено, что разработанная в диссертационной работе методика расчета пологих оболочек по МПА может быть использована для удовлетворительной оценки напряженно-деформированного состояния пологих оболочек при минимальном числе разбиений. При этом можно применять простейшие вычислительные средства.

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах

1. Габбасов Р.Ф., Нгуен Х.Д. К расчету пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций (МПА). - М., Вестник МГСУ №1, 2008. с. 151-157.

2. Нгуен Хиеп Донг. Расчет пологих оболочек на действие локальных нагрузок численным методом последовательных аппроксимаций (МПА). Одиннадцатая международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и докторантов. Сборник докладов. МГСУ - 2008. с. 67-71.

Размещено на Allbest.ru

...