В первой главе приводится краткий обзор развития теории фильтрации, влияния фильтрации воды в теле и основании грунтовых плотин и методов решений фильтрационных задач. На основе этого сформулированы цели, задачи и методы исследований.

Некоторые практические сведения о фильтрации известны давно, но теория фильтрации возникла сравнительно недавно. Прогресс теории фильтрации начался во второй половине ХIХ столетия. В большинстве вопросах фильтрации был положен закон сопротивления при фильтрации жидкости, установленный в 1852 году французским инженером Г. Дарси.Ж. Дюпюи были начаты впервые теоретические исследования фильтрации, основанные на этом законе, но Ф. Форхгеймер рассмотрел более сложные задачи. До 1889 года не было общей теории и общих дифференциальных уравнений фильтрации. Первая работа в этом направлении была написана выдающимся русским аэродинамиком Н.Е. Жуковским. Она называлась “Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод”. В ней Н.Е. Жуковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации, ввел понятия скоростей и коэффициентов фильтрации по направлению координатных осей.

Применительно к анизотропной фильтрации теория нашла свое дальнейшее продолжение в работах Б.К. Ризенкампфа, Р. Дахлера, Ф. Шаффернака, В.И. Аравина, В.С. Козлова, П.Я. Полубариновой-Кочиной, С.Н. Нумерова, Г.К. Михайлова, А. Христиановича, и многих других. Решение задач теории фильтрации в анизотропной (в фильтрационном отношении) пористой среде часто сводится к решению фильтрации в фиктивной изотропной пористой среде (искаженной геометрически) с последующим возвращением в исходную область.

Для построения косоугольных гидротехнических сеток в анизотропных грунтовых плотинах в работах Анахаева К.Н. и Ляхевича Р.А. используется следующий прием. Строится искаженный профиль плотины, сжатый по сравнению с реальной конструкцией на величину коэффициенту деформации (²= К_х/К_у), зависящему от заданной анизотропии грунта. На искаженный профиль наносится ортогональная гидродинамическая сетка фильтрации (полученная, например, методом ЭГДА). Путем сканирования искаженный профиль с ортогональной сеткой вводится в память ЭВМ. Потом с помощью стандартных прикладных программ (например, “ Microsoft Word 2000”) данный профиль растягивается в горизонтальном направлении на величину, коэффициента деформации. Одновременно в таком же соотношении растягивается и гидродинамическая сетка, превращаясь из ортогональной в косоугольную для анизотропных грунтовых плоти. Однако, данная методика применима для задач с достаточно простой геометрией и однородными фильтрационными свойствами. Наибольшее применение и перспективы использования при решении анизотропных фильтрационных задач имеют так называемые численные методы решения фильтрационных задач.

Численные методы используются с конца 70-х годов, и их развитие в области фильтрационных задач началось вместе с развитием ЭВМ. Эти методы позволяют получить эффективные решения многих задач теории фильтрации жидкостей и газов, а также их смесь в пористых, в том числе и деформируемых, средах. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), построенный на использовании вариационных принципов. Работ, посвященных решению задач на ЭВМ, выполнено огромное количество, начиная с 1961 г. и по настоящее время.Л.Н. Рассказовым, Н.А. Анискиным и др. в 1989 г. были решены задачи нелинейной фильтрации в пространственной постановке (фильтрация через каменную плотину, возведенную направленным взрывом). Эта задача аналогична анизотропной фильтрации, так как в каждой точке фильтрационной области величины приведенных коэффициентов фильтрации различны по направлениям. Очевидно, на сегодняшний день МКЭ является наиболее перспективным вопросах решения задач фильтрационной анизотропии.

Во второй главе изложена методика решения плоской нелинейной установившейся и неустановившейся фильтрации c учетом анизотропии численным методом. Используется метод конечных элементов (МКЭ) в локально-вариационной постановке.

Определение исходной функции фильтрационного напора H=f (x,y,t) основано на решении основного дифференциального уравнения, которое для случая неустановившейся фильтрации записывается в виде (уравнение Пуассона):

, (1)

где H=f (x,y,t,h) - напорная функция в расчетной области, изменяющейся во времени; К_Х, К_У, - коэффициенты фильтрации по направлениям осей X,Y, - коэффициент водоотдачи.

Решение уравнения (1), как известно, эквивалентно минимизации следующего функционала:

(2)

Таким образом, решается задача вариационного исчисления, которая состоит в определении экстремума (минимума) функционала во всех локальных областях, что соответствует минимуму функционала всей системы в целом. В результате решения этой задачи, осуществляемого итерационным процессом, определяется искомая напорная функция. По известному распределению фильтрационного напора в узлах сетки МКЭ определяются параметры фильтрационного напора: положение депрессионной поверхности (для безнапорной фильтрации), величины градиентов фильтрации и фильтрационного расхода.

Данная методика была апробирована на широком классе фильтрационных задач и позволяет достаточно просто моделировать расчетные области сложной формы и неоднородностью материалов плотины и основания, в том числе и анизотропия фильтрационных свойств.

В качестве апробации используемой методики приводятся решения тестовых задач для изотропной и анизотропной фильтрации.

В третьей главе приводится анализ влияния некоторых факторов на основные параметры фильтрационного потока.

Рассмотрена напорная фильтрация для нескольких вариантов флютбетов плотин на анизотропном основании: незаглубленных и заглубленных бесшпунтовых флютбетов, флютбеты с шпунтом или завесой с различным положением шпунта относительно начала флютбета. При этом варьировались геометрические параметры области фильтрации и степень фильтрационной анизотропии. Получены зависимости основных параметров (удельного фильтрационного расхода и максимального градиента фильтрации) для каждой схемы напорной фильтрации, построены графики зависимости от изменяемых факторов. Построены эпюры фильтрационного противодавления. В целом можно отметить, что эпюра фильтрационного противодавления незначительно изменяется по форме в зависимости от изменения коэффициента анизотропии в достаточно широких пределах (от 1 до 25).

Очевидно, что на процесс фильтрации и величины параметров фильтрационного потока в грунтовых плотинах влияют ее геометрические параметры и фильтрационные характеристики грунта. Практически всегда грунты плотины обладают анизотропными свойствами, что обусловлено технологией возведения и свойствами исходных грунтов. Поэтому в качестве одного из факторов был выбран коэффициент анизотропии. Для анализа влияния факторов и создания имитационной модели использовалась методика факторного анализа.

Исследуется фильтрация в грунтовой плотине трапецеидального профиля. Высота плотины принималась равной 10,0 м. Рассмотрены следующие факторы, влияющие на величины параметров фильтрационного потока, и интервалы их изменения: коэффициент заложении верхового откоса Х₁ (этот фактор по абсолютному значению изменялся от m₁=0 до m₁=4); коэффициент заложении низового откоса Х₂ (этот фактор по абсолютному значению менялся от m₂=0 до m₂=4); коэффициент анизотропии Х₃, (с целью получения удовлетворительной адекватности для этого фактора рассмотрено три интервала изменения: первый интервал - от А=1 до А=10, второй интервал - от А=10 до А=25 и третий интервал - от А=25 до А=75).

Нормированные наибольшие значения факторов приняты равными +1, нормированные наименьшие значения - 1.

При этом менялись также следующие параметры: уровень воды в нижнем бьефе h_нб принимал два значения: 2,0 и 6,0 метра; ширина плотины на отметке верхнего бьефа b_гр принималась равной 10,0 и 30,0 метрам. Для каждой из 4-х вариаций этих величин проводился полно факторный эксперимент. По-существу, проведенные расчеты равносильны рассмотрению полно факторного эксперимента с количеством факторов n=5: заложение верхового откоса m₁, заложение низового откоса m₂, коэффициент анизотропии А, уровень воды в нижнем бьефе h_нб и ширина по гребню плотины b_гр. С целью упрощения обработки и последующего номографирования общее факторное пространство было разбито на ряд планов более низкого порядка с 3-мя факторами.

В качестве откликов рассматривались следующие величины: высота высачивания h₀, максимум выходного градиента J_{в. мах,} удельный фильтрационный расход q. Рассмотренные при исследованиях факторы, параметры плотин и отклики представлены в таблице 1.

Решение фильтрационных задач проводилось с использованием программы "FILTR", основанной на методе конечных элементов в локально-вариационной постановке. Апроксимационная сетка конечных элементов для всех вариантов состояла из 4028 узлов и 3900 конечных элементов.

Таблица 1.

На основе обработки результатов были получены функции откликов в виде полиномов для определения высоты высачивания h₀, максимума выходного градиента J_{в. мах} и фильтрационного расхода q, для трех интервалов с коэффициентом анизотропии А.

Для каждого варианта была построена матрица планирования, где описано сочетание уровней факторов и количество расчетов (в зависимости от количества факторов). Планы полно факторных экспериментов для двух факторных пространств представлены в таблицах 2-3.

На основе обработки полученных результатов были получены функции откликов в виде полиномов для определения высотного положения точки высачивания h0, максимального градиента фильтрации Jв. мах и удельного фильтрационного расхода q (ниже представлены функции после исключения малозначащих факторов).

При глубине нижнего бьефа Н_нб=2 и ширине плотины на отметке верхнего бьефа b=10:

для интервала изменения коэффициента анизотропии от А=1 до А=10

y₁=h₀=6.13-0.8x₁-0.6x₂+1.5 x₃-0.38x₁x₂

y₂=J_{в. мах}=-1.76+0.45 x₁+0.95 x₂+0.32 x₃-0.384x₁x₂-0.1x₁x₃-0.25 x₂x_{3 (}3)

y₃=q=13.65-3.18 x₁-7.18x₂+11.03x₃+2.4x₁x₂-2.84 x₁x₃-5.63x₂x₃+2.1x₁x₂x₃

для интервала изменения коэффициента анизотропии от А=10 до А=25

y₁ =h₀=7.95-0.7 x₁-0.8 x₂+0.3 x₃-0.45 x₁x₂

y₂ =J_{в. мах} =-1.32+0.33 x₁+0.63 x₂+0.12x₃-0.3x₁x₂-0.07 x₂x_{3 (}4)

y₃ =q =42.67-11.54 x₁-21.4 x₂+18.0 x₃+8.4x₁x₂-5.5x₁x₃-8.57x₂x₃+3.93x₁x₂x₃

для интервала изменения коэффициента анизотропии от А=25 до А=75

y₁ =h₀=8.8-0.45 x₂+0.55 x_{3 (}5)

y₂ =J_{в. мах} =-0.98+0.22 x₁+0.43 x₂+0.21 x₃-0.19 x₁x₂-0.09 x₁x₃-0.12 x₂x₃+0.09 x₁x₂x₃

y₃ =q =101.8-36.81 x₁-57.17 x₂+59.18 x₃+26.18 x₁x₂-19.77 x₁x₃-27.22 x₂x₃+13.83x₁x₂x₃

Полученные зависимости удовлетворяют условию адекватности. Анализируя полученные результаты для данных факторных областей, можно отметить следующее. Для первого интервала изменения коэффициента анизотропии (от 1 до 10) все три выбранных фактора оказывают достаточно ощутимое влияние на величины откликов. Коэффициент анизотропии оказывает максимальное влияние по сравнению с другими факторами на такие отклики, как высота точки высачивания Y₁ и фильтрационный расход Y₃. С увеличением коэффициента анизотропии повышается положение депрессионной кривой и величина удельного фильтрационного расхода. Величина максимального фильтрационного градиента в наибольшей степени зависит от фактора Х₂ - заложения низовой грани. При увеличении заложения низовой грани происходит уменьшение величины максимального градиента фильтрации.

Для второго интервала изменения коэффициента анизотропии (от 10 до 25) в отличии от предыдущего факторного пространства, коэффициент анизотропии оказывает несколько меньшее влияние по сравнению с другими факторами на такие отклики, как высота точки высачивания Y₁ и максимальный фильтрационный градиент Y₂. Это объясняется меньшим, чем в первом интервале, соотношением между максимальным и минимальным значения фактора Х₃. Положение точки высачивания в большей степени зависит от геометрических факторов: заложений откосов плотины. Величина максимального фильтрационного градиента также в наибольшей степени зависит от фактора Х₂ - заложения низовой грани. При увеличении заложения низовой грани происходит уменьшение величины максимального градиента фильтрации. Третий интервал изменения коэффициента анизотропии Х₃ (от 25 до 75) характеризуется следующими особенностями. Все три выбранных фактора оказывают достаточно ощутимое влияние на величину максимального фильтрационного градиента и фильтрационного расхода. На величину высоты точки высачивания практически не влияет заложение верхового откоса. Коэффициент анизотропии оказывает достаточно большое влияние на величину фильтрационного расхода. Почти также на эту величину, но с обратным знаком, влияет заложение низового откоса. Положение точки высачивания почти одинаково зависит от заложения низового откоса и коэффициента анизотропии. Величина максимального фильтрационного градиента также в наибольшей степени зависит от фактора Х₂ - заложения низовой грани. На основе полученных функций откликов построены номограммы зависимости высоты высачивания, фильтрационного расхода и градиентов от коэффициентов анизотропии грунтов и коэффициентов заложения верхового и низового откоса плотин. Номограммы позволяют прогнозировать величины фильтрационных параметров, а также решать обратную задачу: например, по величине фильтрационного расхода можно оценить реальные коэффициенты фильтрации грунтов плотины. Номограммы для некоторых функций откликов показаны на рис.1.Аналогичные зависимости и выводы получены для других значений параметров плотины - для глубины нижнего бьефа Н_нб=6 и ширине плотины на отметке верхнего бьефа b=30. Результаты также представлены в виде номограмм.

Четвертая глава. В некоторых случаях большой интерес представляет решение задач неустановившейся фильтрации в грунтовых откосах, плотинах и их основаниях. Изменение уровней бьефов вызывает изменение положения депрессионной поверхности и параметров фильтрационного потока (фильтрационных градиентов, скоростей, расхода). Наибольший интерес при решении фильтрационных задач при изменении уровней бьефов представляет определение положения депрессионной поверхности и гидродинамических сил в откосах плотин, во многом определяющих их устойчивость.

Таблица 2.

План расчетов грунтовой плотины N=2³ диапазон отношения (k_x\ky) =1-10, Б=10м, НБ=2м)

y1=h0=6.13-0.8x1-0.6x2+1.5 x3-0.38x1x2+0.06 x1x3-0.21x2x3-0.06 x1x2x3, y2=Jв. мах=-1.76+0.45 x1+0.95 x2+0.32 x3-0.384x1x2-0.1x1x3-0.25 x2x3+0.07x1x2x3, y3=q=13.65-3.18 x1-7.18x2+11.03x3+2.4x1x2-2.84 x1x3-5.63x2x3+2.1x1x2x3

Таблица 3.

План расчетов грунтовой плотины N=23 (диапазон отношения (kx\ky) = 10-25, Б=10м, НБ=2м)

y1 =h0=7.95-0.7 x1-0.8 x2+0.3 x3-0.45 x1x2+0.05 x1x3+0.05 x2x3

y2 =Jв. мах =-1.32+0.33 x1+0.63 x2+0.12x3-0.3x1x2-0.02 x1x3-0.07 x2x3+0.01x1x2x3

y3 =q =42.67-11.54 x1-21.4 x2+18.0 x3+8.4x1x2-5.5x1x3-8.57x2x3+3.93x1x2x3

а) б)

Рис.1 Номограмма для определения параметров фильтрационного потока:

а) номограмма для определения высоты высачивания (диапазон отношения (k_x\ky) =1-10, Б=10м, НБ=2м)

б) номограмма для определения фильтрационного расхода ( (диапазон отношения (k_x\ky) =10-25, Б=10м)

С целью анализа влияния анизотропии на характер фильтрационного режима при возможной сработке водохранилища проведены численные исследования неустановившейся фильтрации в грунтовой плотине в плоской постановке.

В качестве объекта для нестационарной задачи рассматривалась однородная плотина из песка с дренажной призмой при следующих параметрах: высоте плотины 24,0 м; заложении верхового откоса m=3; заложении низового откоса m=2; начальной глубине верхнего бьефа H₁=22,0 м; постоянной глубине воды нижнего бьефа Н_нб =3,0 м. Для численных исследований используется программа "FILTR" на основе метода конечных элементов в локально-вариационной постановке.

Задача решалась для двух вариантов фильтрационных характеристик грунта: для варианта изотропного грунта с К_х/К_у=1 и анизотропного с К_х/К_у=4. Рассматривалась разная скорость сработки водохранилища: v =1 м/сут и v =5 м/сут. Такая достаточно большая скорость сработки как правило, характерна для небольших по объему водохранилищ или аварийных ситуаций. С точки зрения устойчивости откоса (что рассмотрено ниже) это более неблагоприятное условие.

Результаты решения данной нестационарной задачи при скорости сработки v =1 м/сут в виде положения депрессионной поверхности и распределения фильтрационных напоров на моменты времени, соответсвующие начальному моменту сработки (водохранилище наполнено) и глубинам водохранилища равным 15, 11 и 7 метрам представлены на рис.2. Полученные результаты позволяют проследить динамику изменений положения депрессионной поверхности, градиентов и скоростей фильтрационного потока, происходящих при сработке водохранилища.

При нестационарной изотропной фильтрации до отметки 4,0 метра со скоростью v =1 м/сут (рис.2) происходит снижение депрессионной кривой. Это приводит к появлению участка, имеющего уклон в сторону верхнего бьефа, и кривая депрессии приобретает выпуклую форму. При этом в глубине верхового клина получена область с более высоким, чем у поверхности откоса, напором. Фильтрационная скорость вдоль верхнего откоса направлена в сторону верхнего бьефа.

В отличие от изотропной нестационарной фильтрации, при анизотропной нестационарной фильтрации с одинаковой скоростью сработки (v =1 м/сут) и сработке водохранилища до отметки 4,0 метра происходит более равномерное распределение по профилю плотины действующего на плотину напора, и кривая депрессии приобретает почти горизонтальную форму. Распределение фильтрационных градиентов в верховом клине более равномерное.

Изотропная фильтрация (Кх=Ку) Анизотропная фильтрация (Кх=4Ку)

Рис.2 Неустановившаяся фильтрация в изотропной земляной плотине при скорости сработки водохранилища 1 м/сут.

При этом у поверхности верхового откоса получены более низкие градиенты, чем в случае изотропной нестационарной фильтрации.

Увеличение скорости сработки до 5 м/сут значительно изменяет фильтрационные режимы плотины. При тех же глубинах водохранилища получены более высокие положения депрессионной поверхности, наблюдается увеличение градиентов фильтрации у поверхности откоса.

Полученные решения позволяют проследить динамику изменений положения депрессионной поверхности, градиентов и скоростей фильтрационного потока, происходящие при сработке водохранилища.

Используемый метод конечных элементов позволяет получить подробную картину изменения положения депрессионной кривой, фильтрационных градиентов и скоростей при снижении уровня воды водохранилища. Это необходимо для оценки фильтрационной прочности элементов грунтовых плотин и проверки устойчивости откосов конструкции.

Пятая глава посвящена оценке влияния фильтрационной анизотропии на устойчивость откосов грунтовых плотин. Очевидно, что изменение (положения депрессионной поверхности и распределение по профилю градиентов и скоростей фильтрации), вызванное учетом анизотропных свойств, может повлиять на устойчивость откосов плотины. Для оценки этого влияния были проведены расчеты устойчивости низового откоса плотины методу круглоцилиндрических поверхностей обрушения. Была составлена программа “Откос-F”, в которой предусмотрен учет гидродинамической фильтрационной силы, вызванной движением фильтрационного потока, определяемой в каждом из отсеков в виде:

Wi ^x=_воды. h_взв. b_i. J_i (6)

где: _воды - объемный вес воды; h_взв - высота слоя грунтовой воды в отсеке; b_i - ширина отсека; J_i-средний фильтрационный градиент в отсеке.

Величины средних фильтрационных градиентов в расчетных отсеках определялись из решения фильтрационной задачи.

Результаты расчетов устойчивости верхнего откоса с учетом фильтрационной силы для вариантов со скоростью сработки v =1 м/сут, полученные по программе “Откос-F” даны на рис.3 и в табл.4.

Сравнение результатов расчета устойчивости откоса позволяет отметить следующее. Коэффициент запаса верхового откоса для момента времени = 0 (полная глубина верхнего бьефа) при изотропной нестационарной фильтрации равен 1,89 и при анизотропной равен 1,96. Это следствие более неравномерного распределение напора в грунте тела плотин с изотропными свойствами, что приводит к увеличению гидродинамических сил в верховом клине и, естественно, уменьшению коэффициента запаса верхового откоса ~ на 5 %. Скорость сработки v =1 м/сут\

Рис.3. Результаты расчета устойчивости верхового откоса с учетом фильтрационной силы по программе “Откос-F”

На моменты времени, соответствующие глубине водохранилища 15,0 м, 11,0 м и 7,0 м при скорости сработки водохранилища 1 м/сут анизотропия грунтов приводит к увеличению коэффициента запаса верхового откоса до ~ 14% по сравнению с изотропной фильтрацией. Таким образом, в случае изотропной нестационарной фильтрации ухудшается устойчивость откоса. Учет анизотропия может увеличить устойчивость верхового откоса при нестационарной фильтрации. Изменение скорости сработки до 5,0 м/сут качественно не меняет картину: учет анизотропии несколько повышает коэффициенты запаса устойчивости.

Сравнение результатов расчетов устойчивости верхового откоса нестационарной фильтрационной задачи

Таблица 4.

Минимальные значения коэффициента запаса соответствуют глубине водохранилища ~ 7,0 м (примерно 1/3 водохранилища наполнено). Увеличение скорости сработки значительно уменьшает коэффициент устойчивости верхового откоса. Учет фильтрационной гидродинамической силы также уменьшает эту величину и необходим при оценке устойчивости откоса.

Основные выводы