Застосовано інтегрування варіаційного функціоналу Лагранжа уточненої моделі НДС плити з одночасним використанням лівих і правих різниць для перших похідних від функцій зміщень. Виконано співставлення чисельних та аналітичних розв'язків.

В сучасних конструкціях застосовуються багатофункціональні покриття з різною жорсткістю та фізико-механічними характеристиками шарів. Причому, жорсткість конструкції у багатьох випадках є суттєво більшою від жорсткості покриття. При цьому, покриття розглядається як багатошарова плита, що жорстко або з проковзуванням контактує з недеформівною основою. Шари плити ізотропні або трансверсально-ізотропні, довільної, але сталої товщини. На покриття діє поперечне навантаження.

Напружено-деформований стан (НДС) плити моделюється так, як і в роботі [1], де враховуються поперечні зсувні деформації та деформації поперечного обтиснення з високою ступінню точності. Для зменшення кількості невідомих функцій в моделі НДС розрахункова схема плити (рис.1а) зводиться до симетрично обтисненої плити, яка утворюється симетричною добудовою відносно поверхні контакту даної плити з основою (рис.1б). Плита стає в цьому випадку двосторонньо симетрично навантаженою відносно серединної поверхні плити, а контакт основи з плитою відповідає проковзуванню (рис.1б). Жорсткий контакт моделюється введенням додаткового абсолютно жорсткого прошарку h₀ (рис.1в). Інші варіанти контакту також моделюються введенням додаткових шарів регульованої жорсткості.

Рис.1. Розрахункові схеми плити.

Даний підхід оптимізує розглянуту в [2] уточнену модель НДС плити, що складається з двох якісно відмінних НДС - згинового та беззгинового. В запропонованому підході згиновий стан НДС зникає, НДС симетричної за структурою і двостороннім навантаженням плити повністю описується як беззгиновий НДС. Як наслідок, кількість невідомих функцій та, відповідно, порядок диференціювання розрахункової системи рівнянь в задачі суттєво зменшується.

Для чисельного розв'язку застосовується варіаційно-різницевий метод (ВРМ). В цьому чисельному методі при формування розрахункової системи алгебраїчних рівнянь використовуються варіаційні підходи та наближене представлення похідних функцій через дискретні значення функцій на скінченому інтервалі. Отримана система рівнянь, на відміну від, зокрема, методу скінчених різниць (МСкР), має симетричну структуру коефіцієнтів з вужчою шириною стрічки ненульових коефіцієнтів. Суттєво, що ВРМ потребує виконання лише кінематичних граничних умов, якщо, наприклад, задачу сформульовано у функціях зміщень.

В континуальній моделі [1] компоненти вектора нормальних і тангенціальних зміщень представляються сумами гіпотетично заданих степеневих функцій , поперечної координати і шуканих функцій , , координатної поверхні (рис.1б, В), яка співпадає з поверхнею контакту плити й основи (рис.1а):

; ; ;

; . (1)

Тут дві функції моделюють вплив поперечного обтиснення в другому ітераційному наближенні, а вісім функцій - вплив зміщень поперечного зсуву у четвертому наближенні за кожною змінною ; - функція заданого навантаження. Тут і далі верхній індекс у дужках позначає номер шару, а нижній - напрямок координатної осі. Диференціювання по позначено нижніми індексами після коми. Виконується також підсумовування за тими нижніми індексами, що повторюються.

Система розрахункових рівнянь, як звичайно у ВРМ [3, 4], отримується із умови мінімуму варіації потенціальної енергії деформування. Нами застосовано варіаційний принцип Лагранжа:

, (2)

що у випадку плоскої деформації багатошарових плит має вигляд:

. (3)

Використовуючи дискретне представлення співвідношень Коші для відносних деформацій та закону Гука для напруг , отримується система розрахункових алгебраїчних рівнянь відносно вузлових значень невідомих функцій моделі (1).

Точність ВРМ залежить від точності застосованих виразів дискретного представлення похідних.

Так, зокрема, в розрахунках поперечного згину балок (гіпотеза Бернулі) вже при мінімальній густині рівномірної сітки вузлів з використанням центрованих різниць для других похідних похибка в прогинах за ВРМ порівняно з аналітичним розв'язком складає менше 10% [5].

Однак, в [4] показано, що застосування ВРМ у традиційній його формі створює цілий ряд проблем у пошуку розв'язку простих задач осьового розтягу-стиску прямого стержня (рис.2), які формулюються аналогічно проблемі пошуку розв'язків для функцій та в моделі (1), (3).

а) б)

Рис.2. Дискретні розрахункові схеми: а) - статично визначної задачі; б) - статично невизначної задачі.

Проблеми полягають в тому, що при дискретному представлені повної енергії U для задач розтягу стержня (рис.2) у формі

, (4)

з дискретними аналогами першої похідної у вузлах і (рис.2. а), виражених через центровані різниці вузлових значень функцій u_i [4]

, (5)

отримуються вироджені матриці коефіцієнтів системи рівнянь.

Якщо використовувати тільки ліві (6), чи тільки праві (7) різниці для перших похідних:

; (6), , (7)

то розв'язки - далекі від достовірного результату.

Оскільки така задача являється складовою плоскої задачі, задач деформування пластин в їхній площині, тощо, то стає проблематичним застосування ВРМ в широкому колі задач. Як один із способів отримання достовірних результатів в [4] було запропоновано підвищити порядок диференціювання тих функцій, що у функціоналі (3) представлені першими похідними.

Нами пропонується дещо інший підхід до розв'язку ВРМ таких задач. Він полягає не у підвищенні порядку диференціювання перших похідних, а у здійсненні інтегрування варіації функціоналу повної енергії (3) на кроці (див. рис.2а) з одночасним сумісним застосуванням як лівих (6) (ліворуч від вузла), так і правих (7) (праворуч від вузла) різниць для перших похідних. Такий підхід виявився навіть ефективнішим, ніж представлений в [4].

Застосування запропонованого підходу з лівими та правими різницями до функцій та моделі (1) у функціоналі (3) дозволяє отримати розрахункові рівняння для вузла і за ВРМ у такому вигляді:

для множників біля варіації функцій зміщення координатної поверхні

; (8)

для множників біля варіації функцій поперечного обтиснення

(9)

;

для множників біля варіації функцій поперечного зсуву

. (10)

Сталі коефіцієнти в системі розрахункових рівнянь (8) - (10) являються узагальненими фізико-геометричними характеристиками плити і визначаються наступним чином:

; ; ; ;

; ; ;

; ; . (11)

Для аналізу точності запропонованого підходу до реалізації моделі (1) за ВРМ виконано розрахунок задачі плоскої деформації плити (табл.1,2) при дії синусоїдального навантаження .

напруженний деформований стан плита

Таблиця 1. Розв'язок для ізотропної плити (; ) за моделлю (1) з однією функцією обтиснення та однією функцією зсуву

Як видно з табл.1, для екстремальних значень відносних зміщень та відносних напруг в різних точках з координатою z по висоті плити вже при десяти кроках розбиття сітки вздовж на (), за ВРМ отримуємо результати, що близькі до аналітичних. Контакт плити з недеформівною основою - ковзкий. На торцях - граничні умови типу Нав'є.

Точність запропонованого підходу досліджувалась при утриманні в моделі (1) різної кількості () невідомих функцій поперечного обтиснення (позначено в таблицях ) та різної кількості () функцій поперечного зсуву (позначено ) в кожному з ортогональних напрямків ().

Таблиця 2. Розв'язок для ізотропної плити (; )

Як видно із табл.2, за утримання в моделі (1) двох функцій поперечного обтиснення та двох функцій поперечного зсуву значення компонентів НДС плити близькі до результатів, отриманих за методом скінченних елементів (використано відомий розрахунковий комплекс SCAD) та до точних тривимірних розв'язків (в табл.2 позначено Т).

Отже, розрахункова система рівнянь (8) - (10) дозволяє отримати за ВРМ результати, що близькі до аналітичних розв'язків навіть при незначній густоті сітки. В свою чергу, запропонована модель НДС плити (1) є досить точною і описує НДС якісно і кількісно близько до точних тривимірних розв'язків тестових задач. Чисельна реалізація моделі (1) ВРМ дозволяє розширити коло задач. Зокрема, розглядати задачі про НДС багатошарових плит під дією різного виду локалізованих навантажень, а також врахувати локальні дефекти, що локально змінюють жорсткість і спричинені місцевими розшаруваннями або жорсткими включеннями, зміною товщини шарів, тощо.

Литература