Двухсеточное моделирование трехмерных композитных пластин и балок со сложным закреплением

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск

Двухсеточное моделирование трехмерных композитных пластин и балок со сложным закреплением

А.Д. Матвеев

О.В. Амплеева

Кратко рассмотрим две процедуры построения двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ), имеющих неоднородную (микронеоднородную) структуру.

Первая процедура. Основные положения данной процедуры (не теряя общности суждений) покажем на примере построения композитного ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами , рис. 1, где . Считаем, что между компонентами неоднородной структуры связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающие трехмерной задачи теории упругости [1], т. е. во всей области ДвКЭ реализуется трехмерное напряженное состояние. Пусть ДвКЭ армирован волокнами, которые параллельны оси .

Рис. 1. Сетки ДвКЭ ()

Для построения ДвКЭ используем две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную . Сетка порождена базовым разбиением ДвКЭ , которое состоит из однородных односеточных КЭ 1-го порядка формы куба со стороной [2, 3] и учитывает неоднородную (микронеоднородную) структуру ДвКЭ , - общее число КЭ . Мелкая сетка размерности имеет шаг по осям , , . Разбиение показано на рис. 1, где сечения волокон размерами закрашены. На мелкой сетке определяем крупную сетку размерности с шагами: (по оси ), (по оси ) и (по оси ), , , , где ,, - целые числа. Узлы крупной сетки на рис. 1 отмечены точками, , , , . Полную потенциальную энергию базового разбиения ДвКЭ представим в матричном виде [2, 3]

(1)

где - матрица жесткости, - вектор узловых сил, - вектор узловых перемещений КЭ , - транспонирование, - общее число КЭ .

С помощью полиномов Лагранжа [3] на сетке определяем функции перемещений , , ДвКЭ , которые запишем в форме

, , , (2)

где - искомые значения функций , , в узле сетки ; - координаты целочисленной системы координат , введенной для узлов крупной сетки (рис. 1); - базисная функция узла сетки , , , , 

, , , (3)

- координаты узла сетки в декартовой системе координат (рис. 1).

Обозначим: ,,,где ;, - общее число узлов сетки . Тогда выражения (2) принимают вид

, , . (4)

Обозначим через вектор узловых перемещений крупной сетки , т. е. вектор узловых перемещений ДвКЭ . Используя (4), вектор выражаем через вектор , в результате получим равенство

, (5)

где - прямоугольная матрица,

Подставляя (5) в (1), из условия получаем уравнение , где

, ,

здесь - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ .

Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки ДвКЭ , с помощью формулы (5) проецируем на мелкую сетку базового разбиения ДвКЭ , что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения ДвКЭ , т. е. можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры пластины (балки).

2. Вторая процедура. Вторую процедуру кратко рассмотрим на примере построения ДвКЭ , который имеет размеры, форму, неоднородную структуру и расположен в локальной декартовой системе координат , как и ДвКЭ (рис. 1). В данной процедуре используем мелкую сетку и базовое разбиение ДвКЭ . На базовом разбиении ДвКЭ с помощью метода конденсации [3] строим суперэлемент . Полную потенциальную энергию суперэлемента запишем в виде

, (7)

где - матрица жесткости; , - вектор узловых сил и перемещений суперэлемента.

На границе суперэлемента определяем крупную сетку , вложенную в мелкую сетку [4, 5, 6]. Пусть - вектор узловых перемещений сетки , т. е. узловых перемещений ДвКЭ . Используя функции перемещений, построенные на крупной сетке , между векторами , установим связь

, (8)

где - прямоугольная матрица.

Подставляем (8) в (7), из условия получаем уравнение , где

, ,

здесь - матрица жесткости и - вектор узловых сил ДвКЭ .

Замечание 2. Как показывают расчеты, ДвКЭ (построенные по 2-ой процедуре) порождают более точные решения, чем ДвКЭ (построенные по 1-ой процедуре). Однако, 2-ая процедура включает построение суперэлементов , что связано с обращением матриц высокого порядка. Это создает определенные трудности при реализации 2-ой процедуры и увеличивает временные затраты на построение решений с применением ДвКЭ .

Отметим, что с помощью варьирования соотношений шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ () регулируется погрешность решений, построенных для двухсеточных дискретных моделей.

3. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим модельную задачу изгиба трехмерной композитной балки длиной прямоугольного сечения размерами , рис. 2, где , , , . Левый торец балки имеет сложное закрепление, т. е. частично закреплен толщине. При , , имеем . Балка армирована непрерывными волоконами с поперечным сечением , которые параллельны оси . Базовая дискретная модель балки, состоящая из однородных КЭ 1-го порядка формы куба со стороной , учитывает неоднородную структуру, сложное закрепление и порождает равномерную мелкую сетку с шагом размерности .

Рис. 2. Расчетная схема балки

Рис. 3. Сечение балки

На рис. 3 показано поперечное сечение балки, отвечающее базовому разбиению, сечения волокон закрашены. В узлах мелкой сетки с координатами , , , , , балка нагружена силами . Модуль Юнга волокон равен 1, связующего материала 10, коэффициент Пуассона для всей области балки равен 0,3. Двухсеточная модель балки состоит из ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами , которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки и построены по 2-ой процедуре; - шаг мелкой сетки, , , - шаги крупных сеток (построенных на гранях ДвКЭ ) соответственно по осям , , . Анализ результатов расчетов показывает следующее. Максимальные значения перемещений двухсеточной и базовой дискретных моделей балки отличаются на 0,96%. Максимальные эквивалентные напряжения двухсеточной и базовой моделей балки отличаются на 4,69%. Эквивалентные напряжения вычисляем в центрах тяжести базовых КЭ по 4-ой теории прочности. Базовая модель балки содержит 46950 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 869. Двухсеточная модель балки имеет 1452 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 407, т. е. лента СУ МКЭ модели занимает в 68,9 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента СУ МКЭ базовой модели . Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).

Библиографический список

композитный пластина балка двухсеточный

1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: монография / В.И. Самуль. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: монография / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

3. Норри Д. Введение в метод конечных элементов: монография / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М.: Мир, 1981. - 304с.

4. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / А.Д. Матвеев // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. 2000. - 30 с.

5. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / А.Д. Матвеев // ПМТФ. - 2004. - № 3, - С. 161-171.

6. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы / А.Д. Матвеев // Вестник ПНИПУ. - 2013. - № 1, - С. 182-195.

Размещено на Allbest.ru