Выбор наивыгоднейшей конфигурации разветвленных водопроводных сетей

Размещено на http://www.allbest.ru/

КазНТУ им. К.И. Сатпаева

Выбор наивыгоднейшей конфигурации разветвленных водопроводных сетей

Маханов М.

В СНГ, Казахстане и за рубежом развитие водоснабжения сельских населенных мест идет в основном по направлению создания групповых и локальных систем водоснабжения, которые позволяют максимально механизировать и автоматизировать все сложные процессы, и обеспечить бесперебойную подачу воды потребителям, расположенным на значительном расстоянии друг от друга. Вследствие этого наибольшие затраты на капиталовложения приходятся на магистральные водоводы (до 85 %). Например, сметная стоимость трубопроводов в общей сумме капитальных затрат составляет по Булаевскому водопроводу - 70 %, Павлодарскому водопроводу - 63,5 % и Нуринскому водопроводу - 53 %. Уменьшение стоимости трубопроводов Нуринского водопровода объясняется принятым тупиковым начертанием сети и уменьшением протяжности сети при материалоемкости 52500 т. Отсюда следует, что увеличение или сокращение протяженности водопровода даже на 1 % приводит к перерасходу или экономии огромных размеров капитало- и материалоемкости.

Определение кратчайшей линии на поверхности земли на большом протяжении не представляется возможным и неровности земли (в вертикальном измерении) незначительны по сравнению с протяженностью линии, в работе /7/ предлагает построение кратчайшей линии производить на крупно-масштабных картах (до 1:25 000). Если на картах масштабов 1:25 000, 1:50 000 и 1:100 000 определяется кратчайшая линия с ошибкой ±2,0 мм, то на местности отклонение от действительного положения линии составит соответственно ±5,0 м, ±10 м, ±20 м, которое при определенном навыке эти погрешности может снижать соответственно до ±1,25 м, ±2, 5 м и ±5,0 м.

Рис. 1 Схема Ишимского группового водопровода с общей протяженностью 1750 км

В соответствии с вышеизложенным, приняв источник водоснабжения к пунктам потребителей как множество пунктов на ситуационном плане местности с заданными координатами и весами (стоимость или затраты на единицу длины участка трубопровода), определение оптимальной конфигурации групповых водопроводов можно свести к геометрической задаче, т. е. к обобщенной задаче, известной как проблема Штейнера, достаточно исследованным в области теории графов и прикладной геометрии, получивших практическое применение при проектировании связывающих сетей: автомобильных дорог, линий электропередач, магистральных газопроводов, нефтепроводов, тепловых сетей и других линейных сооружений.

Вместе с тем, проблема снабжения водой всех сельских населенных пунктов остается сложной. Сельское население проживает в 7231 населенном пункте, при этом 40 % из них рассредоточены в селах с численностью менее 1000 человек.

Большинство эксплуатирующих предприятий являются убыточными. Для обеспечения доступности питьевой воды для сельского населения в соответствии с действующим законодательством, начиная с 2004 г. услуги по подаче воды из особо важных 16 групповых систем водоснабжения в Акмолинской, Западно-Казахстанской, Северо-Казахстанской, Павлодарской, Карагандинской, Кызылординской и Южно-Казахстанской областях субсидируются в размере от 30 до 93 %.

Тариф на услуги групповых водопроводов на сегодняшний день колеблется от 153 тенге за 1 м³ (Кызылординская область), до 734 тенге за 1 м³ (Мангыстауская область), от 40,4 до 125 тенге за 1 м³ (Северо-Казахстанская область), когда тариф городских водопроводов составляет от 29 до 41 тенге за 1 м³.

Для решения недостаточной обеспеченности питьевой водой жителей Северного, Центрального и Западного Казахстана во второй половине прошлого века были построены уникальные в мире, охватывающие централизованным водоснабжением более 8000 населенных пунктов, групповые и локальные разветвленные водопроводы с общей протяженностью более 13 тыс. км. Из них только на территории Северных областей находится более 7 тыс. км, такие как Ишимский, Булаевский, Нуринский, Селетинский, Беловодский и др. (рис.2). Протяженность Ишимского группового водопровода - 1760 км, Булаевского - 1886,5 км, которые имеют суточную производительность 116 тыс. м³/сут.

Технико-экономические показатели

Рис. 2 Групповые водопроводы Казахстана и Западной Сибири Российской Федерации

Строительство групповых водопроводов в Казахстане, наряду с решением проблемы обеспечения питьевой водой сельские населенные пункты, создали предпосылки для успешного решения задач обеспечивающих хлебоприемные пункты, железнодорожные станции, животноводческие промышленные комплексы, предприятия по переработке сельскохозяйственной продукции и другие объекты водой. Например, из-за неудовлетворительного состояния водоснабжения населенные пункты до строительства Булаевского группового водопровода вынуждены были подвозить воду на значительное расстояние (до 30-50 км). Причем, привозная вода обеспечивала лишь питьевые нужды и самые необходимые нужды производства.

Такие групповые водопроводы имеются и на территории Российской Федерации. Из них в одном только Ставропольском крае построено 16 групповых водопроводов: Большая Ставропольская (351 км), Ипатовская (218,9 км), Невинно-Мысско-Курсавская (135 км), Северо-Благодарненская (114 км), Красногвардейская (247 км), Казьминская (203 км) и другие с общей протяженностью 12,6 тыс. км (с разводящими сетями), производительностью 25 тыс.м³/сут, обеспечивающие 130 тыс. жителей в 65 населенных пунктах.

Групповые водопроводы функционирует также в республиках Средней Азии, Азербайджане, Армении и в Европейских странах: в Болгарии, Германии, Англии, Чехословакии, Бельгии, Японии и других странах, а также в сша.

Групповые водопроводы сельскохозяйственного водоснабжения относятся ко II-й категории надежности, допускающей при их эксплуатации снижение подачи воды до 30 % в течение одного месяца или перерывы в подаче воды в течение 5 ч. [1, 2].

Характерной особенностью сельскохозяйственного производства являются большие размеры земельных угодий, закрепленных за одним хозяйством, что определило сравнительно дальние расстояния сельских населенных пунктов (до 50-60 км) друг от друга. Из-за удаленности и рассредоточенности пунктов водопотребителей наибольшие затраты на капиталовложения приходятся на магистральные водоводы (до 85 %) [3]. Вследствие этого, экономически выгодными являются тупиковые начертания сети и при проектировании следует стремиться к снижению стоимости сооружений водопровода. По тупиковой схеме построено и спроектирована основная часть групповых водопроводов.

Ряд крупных групповых водопроводов имеют по несколько замкнутых колец, состоящих обычно из основных магистралей, соединенных перемычками. Проектирование кольцевых сетей групповых водопроводов целесообразно только для районов с большой плотностью населенных пунктов.

В связи с развалом СССР практика строительства больших групповых водопроводов резко снизилась, и практикуется строительство локальных водопроводов и производится реконструкция старых.

На стадии проектирования, строительства и реконструкции существующих разветвленных водопроводов с забором воды из источника водоснабжения и транспортирования ее к населенным пунктам требуется определить наивыгоднейшую трассу и их разветвления к пунктам потребителей.

При начертании конфигурации разветвленных водопроводных сетей решение задачи сводится к отысканию некоторой линии на поверхности земли, связывающей источники водоснабжения и пункты потребителей, которые должны удовлетворять критериям оптимальности.

Вопросам трассирования сетей занимаются многие специалисты, однако для решения общепринятых и широкомасштабных методов определения конфигурации сети для применения на практике нет, они опираются и главным образом, на инженерный опыт и интуицию проектировщика.

В работах различных авторов используются те или иные приближения. При решении данной задачи в основном применяется метод сравнения вариантов, графоаналитические методы и метод перебора вариантов из избыточных схем. Но они не дают гарантию в определении абсолютно оптимальной или эталонной сети используемого на стадии проектирования для технико-экономического расчета.

Пусть на плане местности заданы с фиксированными координатами источник водоснабжения А, пункты потребителей А₁, А₂ А₃… А_n и их расходы. Необходимо определить оптимальную конфигурацию сети, связанную через узлы разветвления участков сети, соответствующей минимальным затратам.

Оптимальная сеть состоит из прямолинейных отрезков, связывающих заданные пункты и учитывающих условия местности, концы которых назовем вершинами сети. В групповых водопроводных сетях различаются четыре категории вершин: источники водоснабжения, пункты потребителей воды, угловые вершины с нулевыми расходами - вынуждено добавляемые при трассировке между пунктами потребителей для обхода препятствий и узловые вершины, дополнительно вводимые в конфигурацию сети при ее построении, в которых сходятся три участка сети.

Построение наивыгоднейшей конфигурации групповых водопроводов сводится к отысканию функции F удовлетворяющий минимальным затратам

водопровод казахстан групповой вода

(1)

где - удельные веса - затраты на единицу длины соответствующих участков сети;

l₁, l₂, ..., l_n - длины соответствующих участков сети.

Длина участка сети между j-ми (j +I)-м пунктом выражается формулой

(2)

где - известные координаты пунктов потребителей, источников или неизвестные координаты узлов разветвления сети.

Данную задачу можно сформулировать в следующем виде. Задано множество потребителей . Требуется найти расположение множества пунктов разветвления сети трубопроводов соответствующие минимуму суммарных затрат сети.

Общий вид оптимизируемой сети группового водопровода в прямоугольной системе координат приведен на рис. 2. Предположим, что структура сети и удельные веса (затраты) P_i на единицу длины каждого участка l_i известны.

Сеть состоит из М пунктов источников и потребителей, и дополнительных пунктов разветвления с нулевыми расходами. Для составления математической модели и формализации задачи вершины сети нумеруются в следующей последовательности:

Рис. 2 Общий вид оптимизируемой сети

где А={0,L+1, L+2,…2L, 2L+1} D подмножество вершин сети, соответствующее количеству потребителей и источников; B-{1, 2, …, L} D - подмножество дополнительных пунктов разветвления сети с нулевыми расходами; К - суммарное число источников, потребителей и дополнительных пунктов разветвления сети K= M + L=2(L + 1), где М - число пунктов источника и потребителей.

Такую сеть можно задавать в виде следующей матрицы размерностью 2 х L в виде табл.1.

Таблица 1

Матрица задания структуры сети

При описании структуры сети из его 0-й вершины попадаем всегда в 1-ю. Далее из I-го пункта сеть разветвляется на два направления, у которых индексы вершин определяются значениями моментов матрицы I-й строки; в свою очередь, из 2-го пункта сеть также разветвляется на два направления, определяемые элементами матрицы 2-й строки и т. д.

Таким образом, три луча каждого разветвления водопроводной сети описываются индексом строки матрицы IС и значениями ее двух элементов.

Для математической модели задачи введены следующие обозначения:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_L, y_L) - координаты дополнительных узлов разветвления сети с нулевыми расходами;

(x₀, y₀), (x_L+1, y_L+1), (x_L+2, y_L+2), …, (x_2L, y_2L), (x_2L+1, y_2L+1) - координаты источника и потребителей водоснабжения;

Р₁, р₂, …, р₂, р_L+1, …, p_2L, p_2l+1 - стоимость (затраты на строительство) единицы длины соответствующих участков сети.

Подразумевается, что координаты с I-й по L-й вершины сети являются искомыми переменными, а координаты 0-й и с (L + I)-по (2L + I)-й вершины считаются жестко заданными на плоской поверхности.

Подразумевается, что координатные оси проходят через 0-ю вершину сети.

Математическая модель задачи оптимального расположения пунктов разветвления сети, структура которой задана двумерной матрицей IС в общем виде сформулирована следующим образом. Найти минимум целевой функции

, (3)

при - ? ? x_j ? + ? и - ? ? y_j ? +?, , где i_er - индекс вершины сети определяемой er -м элементов матрицы.

Нашей задачей является, пользуясь математической моделью сети, разработать универсальный алгоритм оптимизации позволяющий находить оптимальные структуры водопроводной сети с любым числом узлов разветвления и пунктов потребителей.

Для одного источника водоснабжения А и двух потребителей В и С из выражения (1) оптимальную сеть можно представить в виде

F=P₁l₁+P₂l₂+P₃l₃=min (4)

или математическая формулировка задачи такая: найти минимум функции

(5)

при условии x=y?0 в области D = {-? < х, y < +?}.

В работе [9] для трехлучевой газосборной сети доказывается, что выражение (5) выпукла вниз, существуют первые производные и они непрерывны, в области D существует экстремум функции. Были найдены необходимые и достаточные условия оптимальности. Для сети с 10-ю узлами разветвления конкретный вид системы определяется выражением (1), выразив значения градиента по каждой из компонент вектора (считая остальные постоянными и приравняв их нулю, получена система из 20 нелинейных уравнений из условия: Grad_хi F()=0;

 (6)

Система (6) решена численным методом выпуклого программирования, но составленный алгоритм определяет оптимальную конфигурацию сети для разветвлений с узлами не более 10-и. Причем для узлов ( n ? 10) разветвления следует составлять 2n нелинейных уравнений и ввести исходные данные в программу.

Поскольку расстояние l_i в уравнении (2) представлено нелинейно, то выражения (1) и (2) тоже нелинейны. Прежде чем выбрать метод решения выражения (3) проверим единственность минимума. Для этого достаточно проверить условие строгой выпуклости функции (5) из условия

F[бZ₁+(1-б)Z₂]<бF(Z₁)+(1-б)F(Z₂) (7)

ясно, что

Здесь воспользовались тем, что

,

где .

Распишем отдельно бF(Z₁) и (б-1) F(Z₂)

, (8)

. (9)

Используя неравенство Коши-Буняковского получаем справедливость следующего неравенства:

тогда в силу (8) и (9) отсюда вытекает

Окончательно

.

Из верхнего неравенства мы видим, что в (7) условие единственности минимума не выполняется и в области D = {-? < x,y < +?} может существовать несколько минимумов. Это еще раз подтверждает многоэкстремальность решения данной задачи.

Сформулированная задача относится к задачам безусловной минимизации функции многих переменных без ограничений, т. е. областью задания функции F является все n-мерное Евклидово пространство. Для решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных имеются много различных алгоритмов и их модификаций, подробные описания которых можно найти в специальной литературе по численным методам оптимизации. Многие методы безусловной минимизации реализованы и включены в состав пакета научных подпрограмм. Пакет научных подпрограмм успешно эксплуатируется в решении самых разнообразных задач различных отраслей.

Мы ограничились применением методов безусловной минимизации функций многих переменных только методом первого порядка - вычисление безусловного минимума функции многих переменных методами переменной метрики. Это обосновано двумя фактами. С одной стороны известно [10], что если имеется возможность использовать аналитические выражения производных минимизируемой функции, то более эффективными методами являются методы первого и второго порядка, а с другой стороны, затраты для реализации методов первого порядка намного меньшие, чем затраты для реализации второго порядка. Кроме того, в работе [9] приведены полученные результаты при решении подобных задач метода первого порядка только для 10 пунктов потребителей.

Поиск экстремума функции (3) и значение первых производных, взятых по переменный х₁, х₂, …, х_L, y₁, y₂, …., y_L от функции F (x₁, x_2,..., x_L, y₁, y₂,..., y_L) вычисляется по следующему алгоритму:

Шаг 1. Вычислить:

.

Шаг 2. Для значений вычислить:

где i=G_{e, r} - индекс элемента матрицы задания водопроводной сети.

Шаг 3. Для значений вычислить:

.

Каждая производная состоит из суммы трех cоставляющих, т. к. каждая переменная х₁, х₂, …, х_L, y₁, y₂, …., y_L участвует в трех линейных участках сети. Две составляющие производных вычисляются в шаге 2, а третья - в шаге 3 для всех переменных, кроме х₁ и х₂, которые вычисляются в шаге I.

При этом запись вида А= А + В понимается как A_t=A_t-1+В.

Подготовка данных и решение задачи может выполняться на основании технического задания опытными специалистами соответствующих отделов проектных организаций, которые включают:

- подготовку картографических материалов с меньшими масштабами 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000 (топографических, инженерно-геологических, аэрофотосъемки и др.) для разработки проекта;

- подготовку ситуационного плана местности района водоснабжения групповых водопроводов (наличие и расположение населенных пунктов, дорожная сеть, заселенность, болота, рельеф местности, границы полей севооборотов и землепользователей и т. д.);

- выбор места расположения водонапорных башен и резервуаров у населенного пункта на плане местности и их координаты;

- построение первого приближения трассы водопровода для определения узлов разветвления и участков сети;

- определение удельных приведенных затрат или капитало - и материалоемкости на I км участка трубопровода в тысячах тенге;

- подготовку исходных данных для решения на ПК;

- расчет на ПК;

- нанесение результатов решения на ситуационный план местности;

- корректировку сети по условиям местности и по желанию землепользователей;

- проверку оптимальности решения.

Разработанный алгоритм позволяет определить наивыгоднейшую конфигурацию разветвленных водопроводов сетей до 100 и более пунктов потребителей; снижает область поиска оптимальных решений и число сравниваемых вариантов, что дает проектировщикам определить эталон - теоретический оптимальный вариант; облегчает выбор проектного решения.

Предлагаемый метод успешно может применяться при рассмотрении перспективного варианта генеральной схемы развития сетей, при проектировании закрытых оросительных сетей, линии электропередачи, газопроводов и других линейных сооружений, при технико-экономическом обосновании на стадии проектирования.

Литература

1. Абрамов Н.Н. Водоснабжение. 3-е изд., перераб. в дом. М.: Строиздат. 1982. 440 с.

2. Соленов О.П. Развитие систем сельскохозяйственного водоснабжения и водоотведения. Водоснабжение и санитарная техника. 1984. № 5. С. 2-3.

3. Белозеров А.П., Луговский М.В. Расчет систем водоснабжения с применением вычислительной техники. М.: Колос, 1973. 249 с.

4. Кикачейшвили Г.Е. Технико-экономический расчет разветвленных водопроводных сетей методом линейного программирования. Водоснабжение и санитарная техника. 1984. № 6. С. 7-8.

5. Азизов Г.Х. Алгоритм получения на ЭВМ начертания разветвленной водопроводной сети с определением кратчайших расстояний между источниками и потребителями. - Вопросы вычислительной и прикладной математики. Тр. АН Уз. ССР, Ташкент: ФАН, 1974, вып. 11, С. 70-71.

6. Кемелев А.А. Повышение надежности и эффективности централизованных систем сельскохозяйственного водоснабжения. Дис. докт.техн. наук. Алма-Ата, 1979. 355 с.

7. Мульдеков Н.О. Кратчайшие линии на типографической поверхности. В кн.: Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхности. М.: МАН, 1970, вып. 195. С. 63-66.

8. Тамбовцев Б.В. Экономное и рациональное использование металлических труб в системах водоснабжения и канализации. Водоснабжение и санитарная техника. 1982. № 8. 2 с.

9. Попов Ю.И. Определение расположения точек разветвления сети трубопроводов. Строительство трубопроводов, 1974, № 12. С. 21-24.

10. Евдокимов А.Г. Минимальная функция и ее приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. Харьков. Высшая школа, 1985. 289 с.

11. Моцкус И.Б., Леонас В.Л., Шальтянис В.Л. О нахождении оптимальной конфигурации распределительных сетей. - Изв. АН-СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1963, № 2. С. 176-182.

12. Моцкус И.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. -М.: Наука, 1967. 215 с.

Размещено на Allbest.ru