Вероятностные методы расчетов в строительстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Целью данной контрольной работы является изучение основных методов обеспечения и оценки надежности проектирования и возведения строительных конструкций, методов нормирования нагрузок на несущие конструкции зданий и сооружений, прочностных характеристик материалов, учета условий работы, уровня ответственности сооружений и конструктивных элементов, задач развития методов расчета на вероятностной основе.

Необходимо построить вероятностную модель ежегодных максимумов осредненной скорости ветра по данным метеорологических наблюдений. Определить расчетное значение скоростного напора ветра с обеспеченностью P=0,98, установленной в нормах проектирования СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия».

Решить данную задачу необходимо методом линеаризации эмпирической интегральной функции двойного экспоненциального распределения Гумбеля (распределения максимумов 1-го типа).

1. Исходные данные

Номер зачетной книжки - 177.

Вариант - 77.

Т а б л и ц а 1 - Исходные данные.

Исходные данные для решения задачи представляют собой результаты, измеренные анемометром М-63М1 осредненные на 10-минутном интервале скорости ветра на стандартной высоте 10 м за 36 лет. В таблице 1 приведены максимальные за каждый год численные значения скорости ветра в м/с. Такие данные выдает служба метеорологических наблюдений.

Исходные данные в задании рассортированы в порядке возрастания, т.е. представляют собой вариационные ряды. Задача сводится к подбору наилучших значений параметров и интегрального закона распределения Гумбеля 1-го типа - двойного экспоненциального распределения:

,

где Р(х) - вероятность непревышения в течение одного года любого заданного численного значения х (осредненной скорости ветра);

и - параметры распределения - константы данного населенного пункта, в котором произведены измерения этих величин.

2. Оценка на грубую погрешность одного сомнительного значения выборки из нормально распределённой случайной величины логарифма осредненной на 10-минутном интервале скорости ветра

Обработку данных прямых измерений начинаем с проверки их на наличие промахов.

Для оценки больших отклонений отдельных результатов из вариационных рядов метеонаблюдений используем критерий Шовене.

Т а б л и ц а 2 - Порядок расчета соответствия подозрительного результата критерию Шовене скорости ветра, м/с.

Поскольку n=0,18<0,5, подозрительный результат =23 м/с не удовлетворяет критерию Шовене и считается промахом. Его нужноисключить из вариационного ряда, оставив в нем35 результатов измерений.3 Вычисление эмпирических вероятностей с учетом длины вариационного ряда и присвоение каждому члену ряда статистической вероятности его непревышения (построение статистической функции распределения).

Т а б л и ц а 3- Вычисление эмпирических вероятностей

В первом столбце таблицы3 помещаются порядковые номера членов вариационного ряда i от 1 до 35 для 35 лет наблюдения за скоростями ветра. Номер последнего члена ряда n является его длиной. Во втором столбце записаны по порядку все численные значения x_i -скорости ветра согласно варианту задания. Эмпирическая (статистическая) вероятность P_iнепревышения численного значения i-го члена вариационного ряда x_i является приближенной оценкой.

Вычисляется по следующей формуле:

,

где n -число членов вариационного ряда (его длина).

Вычисляем все численные значения статистической вероятности P_i и помещаем их в третий столбец таблицы 3.

3. Линеаризация полученного эмпирического закона распределения для возможности использования довольно простого математического аппарата метода наименьших квадратов, позволяющего получить параметры a и b линеаризованной зависимости

Для скорости ветра математическая («истинная») вероятность непревышения любого численного значения записывается в виде интегрального закона распределения. Его параметры и должны быть такими, чтобы график этой функции проходил как можно ближе к точкам статистического закона распределения.

Задачу подбора наилучшего приближения решаем методом наименьших квадратов.

Процедуры этого метода реализуются для линейных функций вида

y = ax + b.

Используем этот метод для решения нашей задачи. Для этого нужно привести двойное экспоненциальное распределение к линейному виду. Прологарифмируем дважды функциюy = ax + b по основанию натурального логарифма. В результате получаем:

.

Это выражение представляет собой линейную функцию аргумента x - скорости ветра. Вводим следующие обозначения:

,

,

Вычисляем значения y_i по формуле для каждого значения P_i и заносим их в четвертый столбец таблицы 3.

Параметры a и b искомой линейной функции по методу наименьших квадратов находятся следующим образом.

,

.

где - математическое ожидание аргумента (среднее арифметическое значение скорости ветра);

- математическое ожидание (среднее значение) функции.

Вычисляем по следующим формулам:

Для вычисления коэффициента a линеаризованной функции нужно найти значения корреляционного момента k(x, y) и дисперсии распределения ²(x).

Дисперсия в технических дисциплинах вычисляется по приближенной формуле

,

а корреляционный момент

.

Для вычисления числителей в данных формулах заполняем два последних столбца таблицы 3. В пятый столбец записываем квадраты аргумента x_i, а в шестой - парные произведения x_iy_i .

Тогда,

.

4. Вычисление параметров и распределения Гумбеля искомого закона распределения скорости ветра по вычисленным параметрам a и b линеаризованной функции

5. Использование полученного интегрального заона для вычисления значений ветровой нагрузки с любой заданной обеспеченностью (вероятностью непревышения в течение одного года)

При вычислении расчетных значений ветровых нагрузок (T,1), превышаемых 1 раз за Т лет, непосредственно используется преобразование интегрального закона распределения Гумбеля 1-го типа в следующем виде:

,

где б и в - параметры распределения Гумбеля для данного географического пункта, определенные путем обработки вариационных рядов многолетних метеонаблюдений. Однако при таком подходе не учитывается, что длины рядов (число лет непрерывных наблюдений), по которым определены значения б и в, в разных пунктах могут различаться. В любом случае они не являются истинными, и с увеличением периода наблюдений изменяются, сходясь к истинным значениям с неопределенной скоростью. Вычисления подобны применению аппарата нормального распределения к обработке небольшой выборки, когда необходимо использовать распределение Стьюдента.

Для распределения максимумов Гумбеля 1-го типа при длине вариационных рядов, исчисляемой несколькими десятилетиями и даже столетиями, расчетное ветровое значение, превышаемое за Т лет 1 раз, должно вычисляться по формуле:

где и у - среднее выборочное и стандартное отклонение для выборки из N наблюдений, равные

;

;

и у_N - аналогичные параметры распределения приведенных экстремальных значений , табулированные для выборок объемом N = 8…1000.

(-k) - число стандартов, на которое расчетное значение (T,1) отстоит от среднего выборочного .

Тогда искомое расчетное значение скорости ветра , превышаемые 1 раз в Т лет, вычисляются:

Значение коэффициента k принимается по таблице зависимости от длины вариационного ряда (N лет наблюдений) и заданной обеспеченности расчетного значения 0,98 для скорости ветра.

Расчетный ветровой напор, превышаемый в среднем 1 раз в 50 лет, вычисляется по формуле:

Нормативного значения ветрового напора вычисляется по формуле:

.

Заключение

В данной контрольной работе была решена задача в пять этапов методом линеаризации эмпирической интегральной функции двойного экспоненциального распределения Гумбеля (распределения максимумов 1-го типа). Построена вероятностная модель ежегодных максимумов осреднённой скорости ветра по данным метеорологических наблюдений за 36 лет. А также было определено расчетное значение скоростного напора ветрас обеспеченностью P=0,98, установленной в нормах проектирования СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия».

Параметры интегральных законов распределения осредненных скоростей имеют фундаментальный характер. Они для каждого географического пункта сравнительно слабо изменяются с годами. Если известны их численные значения, можно легко вычислить нагрузки для любого уровня обеспеченности их расчетных значений.

В нормах проектирования строительных конструкций время от времени производится пересмотр ранее установленных в них уровней надежности. Если известны параметры интегральных законов распределения, то при изменении требуемой надежности результатов можно легко вычислить новые значения расчетных нагрузок, заменив записанные в них обеспеченности 0,96 и 0,98 на иные вновь установлены. Использование интегральных законов распределения позволяет решать задачи статически обоснованного сочетания нескольких нагрузок, которое должно давать равнонадежные результаты для любого учитываемого в расчете числа нагрузок.

Список использованных источников

вероятностная модель напор ветер конструкция

1.Вероятностные методы расчета конструкций: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов всех форм обучения направления 08.04.01 Строительство (профиль «Теория и проектирование зданий и сооружений»)/ Сост. В.П. Починок; КубГТУ. Кафедра «Строительные конструкции». Краснодар, 2019.

2. СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85*.

3. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. -М.: Мир, 1965.

Размещено на Allbest.ru