Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В данной курсовой работе будет решаться задача анализа данных наблюдений температуры воздуха и построения на основе этих данных математической модели.

Слово "модель" имеет разные трактовки, связанные с многообразием использования этого термина. Поскольку в действительности математические модели практически никогда не являются точной копией исследуемой системы, в данном случае модель формулируется с точки зрения достижения с помощью модели конкретной цели. Математическая модель может удовлетворять определенной цели, например, предсказанию или управлению, и должна быть конкретна только в той мере, в которой удовлетворяет этим требованиям. Поэтому для сложных систем не обязательно строить сложные модели. Это главная предпосылка построения моделей.

Мало построить модель, удовлетворяющую количественным данным. Модель должна быть естественной, понятной.

Учитывая вероятностный тип зависимостей между многими параметрами, характеризующими обстановку, нельзя надеяться на получение практически значимых результатов от использования детерминированных моделей, поэтому лучше использовать стохастические модели.

В курсовой работе исследуются данные наблюдений температуры воздуха в г. Новосибирске в период с 01.01.2005 по 13.01.2005. Временной ряд температуры представляет собой последовательность 300 наблюдений проведенных в дискретные, равноотстоящие друг от друга на 1 час, моменты времени.

1. Теоретико-методологическая основа исследования

Методика проводимого исследования основывается на фундаментальных положениях современной теории математического моделирования процессов, статистики, оптимизации. Она использует анализ и обобщение известных результатов из области математического моделирования изменения температуры воздуха и состоит в экспериментальных и аналитических исследованиях.

Объектом исследования является прогнозирование температурой воздуха в городе Новосибирск.

Предметом исследования выступают математические модели прогнозирования температуры воздуха.

Цель работы заключается в разработке математической модели изменения температуры воздуха, и построение на основе результатов моделирования комплексных методик, позволяющих произвести прогнозирование.

Информационную и эмпирическую базу исследования составили статистические данные из Интернета включающую информацию температуры воздуха города Новосибирска.

Будем предполагать, что прогнозирования температуры воздуха является стохастической системой с конечным числом состояний. Каждое состояние в моменты времени t=0,1, … принадлежит пространству состояний X. Процесс в момент времени будем рассматривать как сумму двух частей: части, являющейся функцией всех наблюдений до момента времени , и чисто случайной составляющей :

, (1.1)

где - совокупность наблюдений вектора до момента времени включительно; - вектор неизвестных коэффициентов модели; - управляющее воздействие, либо экзогенный фактор, - последовательность независимых, одинаково распределенных величин; - детерминированная функция.

Ввод в уравнение (1.1) шума отражает допущенные погрешности при определении ограниченного числа компонент вектора состояния и поиске неизвестного вида функции .

По физическим соображениям или соображениям эвристического характера множество ограничивается конечным набором Cреди возможных необходимо выбрать функцию , а затем оценить соответствующий параметр .

2. Оценивание параметров модели

При построении статистической модели прогнозирования температуры воздуха главное внимание уделяется получению эффективных оценивателей на основе использования методов несмещенного оценивания и максимального правдоподобия, исходя из выборочных наблюдений, и изучению их асимптотических свойств. Асимптотические свойства оценивателей служат обоснованием для статистических выводов, получаемых при выборках большего объема. В случае же малых выборок приложение результатов асимптотической теории представляются недостаточно обоснованными.

Пусть имеем систему уравнений для -мерного векторного процесса , - означает знак транспонирования.

, (2.1)

где - мерный вектор;

- -мерный вектор, ;

- случайные гауссовые возмущения типа «белого шума»;

- дисперсия вектора шумов;

- вектор, имеет размерность и составляется в виде функций из компонент векторов ;

- наблюдаемый входной вектор.

Класс многомерных динамических моделей представляется тройкой (М, А, W), где M - уравнение (2.1), содержащее -мерный вектор a; A - множество всех значений, которые может принимать вектор a; - множество всех положительно определенных дисперсий шума w.

Предположим, что к моменту времени накоплена совокупность наблюдений процессов и :

. (2.2)

Требуется найти оценки параметров: вектора и матрицы , исходя из вектора наблюдений и заданного критерия. Поскольку мы ввели в правую часть уравнения (2.1) шум чтобы компенсировать недостатки модели, то естественно за счет подбора вида функции и вектора коэффициентов модели сделать влияние шума минимальным, а в качестве критерия выбрать минимум дисперсии шума :

. (2.3)

Минимизация (2.3) дает выражение для вектора в виде:

. (2.4)

- означает обратную матрицу.

Из (2.4) видно, что вектор коэффициентов модели для -того уравнения рассчитывается без учета остальных уравнений. Такую оценку для вектора коэффициентов модели называют оценкой квазимаксимального правдоподобия на основе ограниченной информации (не учитываются другие уравнения модели).

Для математического ожидания и дисперсии справедливы следующие асимптотические выражения:

. (2.5)

. (2.6)

В ряде случаев, когда и статистически независимы, оценка квазимаксимального правдоподобия совпадает с оценкой условного максимального правдоподобия, а значит, является состоятельной и асимптотически несмещенной. Оценка на основе ограниченной информации является состоятельной, но не всегда эффективной.

Важное преимущество метода оценивания на основе ограниченной информации состоит в том, что он позволяет находить состоятельную оценку в условиях отсутствия знания . Данный метод позволяет осуществлять декомпозицию задачи оценивания на ряд автономных задач оценивания для отдельных уравнений системы, что существенно упрощает задачу в вычислительном аспекте.

3. Алгоритмизация процессов расчета параметров модели

асимптотический статистический многомерный алгоритмизация

Рассмотрим задачу оценки вектора коэффициентов модели. Расчет по формуле (2.4), требует необходимости запоминания всей совокупности наблюдений до момента времени .

При мониторинге, т.е. непрерывном отслеживании динамики показателей, характеризующих процесс, необходим пересчет оценки в новые оценки с использованием наблюдений .

Проведение расчетов по формуле (2.4) требует выполнения растущего с числом количества суммирований, а при реализации на компьютере возрастают затраты на поиск и отбор записей наблюдений .

Можно воспользоваться алгоритмом, принадлежащим семейству алгоритмов фильтрации Калмана /5, 43,44/ и реализующем процедуру вычислений оценки коэффициентов модели в реальном масштабе времени.

Суть алгоритма, реализующего Калмановскую фильтрацию, заключается в согласовании наблюдений и физических моделей.

Введем в рассмотрение матрицу :

. (3.1)

Согласно (2.5) матрица - дисперсия ошибки оценки коэффициентов и характеризует точность оценивания коэффициентов в -том уравнении.

Оценку вектора коэффициентов модели (2.4) можно выполнить с использованием (3.1) и записать в виде:

. (3.2)

Алгоритм вычисления оценки получим исходя из соотношений (3.1-3.2). Перепишем выражение (3.2) в следующем виде:

. (3.3)

Используя правила обращения матриц выражение для можно записать в виде:

. (3.4)

По аналогии с проведенными преобразованиями перепишем выражение (3.2) в виде:

. (3.5)

Из этого выражения можно получить соотношение:

, (3.6)

или:

. (3.7)

Тогда выражение для перепишется следующим образом:

, (3.8)

Подставим вместо во второй член его выражение из (3.4):

. (3.9)

Упрощая это выражение получим:

. (3.10)

Выражения (3.9), (3.10) определяют алгоритм расчета . Можно вычислить оценку дисперсии шума в реальном масштабе времени:

. (3.11)

Значение при этом стремится к квазимаксимальноправдоподобной оценке, которая приближенно равна , т.е. близка к байесовской оценке, основанной на всей информации в момент времени , причем имеет смысл матрицы точности оценивания параметров модели, а - дисперсия ошибок оценивания самого процесса по модели:

. (3.12)

4. Выбор и проверка адекватности моделей

Для выбора подходящего класса моделей среди множества возможных требуется критерий и цель. Критерием может служить способность модели к хорошему предсказанию, способность модели генерировать статистические характеристики хорошо согласующиеся с эмпирическими оценками и др. Целью построения модели может являться решение конкретной функциональной задачи при удовлетворении модели таким, например требованиям, как экономичность (в смысле затрат времени на реализацию на компьютере) или "понятность" для пользователя задачи.

Критерий выбора подходящего класса моделей должен быть таким, чтобы выбранный класс обладал свойством удовлетворения соответствующим критериям проверки адекватности на заданном уровне значимости.

Число классов может быть велико и без прямого метода определения нужного класса моделей необходимо было бы для заданного множества данных найти наиболее подходящую модель в каждом из классов. Затем применять множество критериев проверки адекватности, пока не будет найден соответствующий класс наиболее подходящих моделей, удовлетворяющих всем критериям проверки адекватности. Поскольку этот путь трудоемок в вычислительном отношении, на практике задачи выбора класса и проверки адекватности модели рассматривают отдельно.

Считаем, что класс моделей описывается тройкой , где - стохастическое разностное уравнение; - множество векторов коэффициентов ; - множество соответствующих ковариаций .

Поставим задачу следующим образом: исходя из множества непересекающихся классов принадлежащих и множества наблюдений , требуется найти "наиболее правдоподобный" класс, который мог бы породить это множество наблюдений.

При выборе класса наиболее предпочтительных моделей нужно иметь ввиду, что по конечному объему данных никогда нельзя установить, что модель полностью воспроизводит рассматриваемый процесс. Однако можно подобрать такую модель, при которой различие между характеристиками модели и характеристиками данных лежит в пределах ошибки выборки.

Воспользуемся методом максимума правдоподобия для выбора класса моделей. Основная идея состоит в вычислении функции правдоподобия для каждого класса по заданным наблюдениям и выборе среди них класса с максимальным значением функции правдоподобия.

Оценивание функции правдоподобия сложная задача и на практике считают, что является удовлетворительной аппроксимацией , - заданное множество наблюдений; - неизвестный вектор параметров и ковариаций модели; - плотность вероятности имеющихся наблюдений; - оценка условного максимального правдоподобия для параметра .

Решающее правило выбора класса аппроксимации, согласно работе /9/, для заданного множества наблюдений имеет вид: выбрать тот класс, на котором достигается максимальное значение функции правдоподобия классов:

, (4.1)

где - размерность вектора .

Рассмотрим метод предсказания для выбора класса моделей. Основная идея метода состоит в использовании адаптивного алгоритма прогноза , построенного по данным до момента времени .

Обозначим алгоритм одношагового прогноза по значениям через. Ошибка предсказания вычисляется как . Используя все ошибки предсказания, можно вычислить среднеквадратическую ошибку предсказания:

. (4.2)

Решающее правило: класс является наиболее правдоподобным, если , соответствующее этому классу, является наименьшим.

Метод правдоподобия является наиболее разносторонним и теоретически глубоким, а на практике дает приемлемые результаты. Метод предсказания можно использовать при проверке на разных группах данных. Этот метод особенно пригоден для систем с изменяемыми по времени параметрами. Однако метод предсказания на практике дает модели, не всегда удовлетворяющие тестам адекватности, поэтому его предпочтительно использовать в совокупности с методами правдоподобия.

Рассмотрим проблему проверки адекватности. Качество модели проверяется по тому, насколько близко модель приближает данные расчета к, как к белому гауссовскому шуму. Можно считать, что если (а это есть не что иное, как ошибки прогноза на один шаг вперед) является белым гауссовским шумом, то он статистически неотделим от последовательности случайных чисел, поэтому улучшить модель на основе имеющихся эмпирических данных нельзя.

Проведем проверку остатков. Используя модель и наблюдения можно образовать остатки , являющиеся оценками значений шума . Нужно проверить, можно ли рассматривать эту последовательность, как последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними, имеющим нормальное распределение , где - неизвестно.

Конкретные тесты можно применять только для выяснения, принадлежит ли вектор параметров одному из классов, когда число классов конечно. Проверка элементов на независимость не имеет смысла до тех пор, пока не будут установлены альтернативные типы зависимости.

Рассмотрим несколько моделей прогнозирования температуры воздухаи проведем оценку параметров этих моделей. В качестве данных моделируемого процесса использовался временной ряд прогнозирования температуры воздуха за период с 01.01.2005 по 13.01.2005 гг.

Первую модель сформулируем в следующем виде:

Рис. 1

Вторую модель сформулируем в следующем виде:

Рис. 2

Рис. 3. Третья модель

Четвертая модель будет следующего вида:

Рис. 4

Рис. 5. Пятая модель

Сравнивая модели можно сделать следующие выводы: несмотря на то, что анализируется довольно короткий временной ряд, коэффициенты в моделях статистически значимы. Обе модели дают весьма близкие величины дисперсии ошибки прогноза на один шаг времени. Однако модель содержит на один коэффициент меньше. Сравнение двух классов моделей и по методу максимального правдоподобия позволяет сделать вывод о том, что модель более предпочтительна (рис. 6).

Рис. 6

Размещено на Allbest.ru