Адаптация модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии — конвекции — реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Адаптация модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии -- конвекции -- реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды

Колосов Сергей Юрьевич

старший преподаватель

Хачунц Дианна Самвеловна

кандидат наук, другая должность

Эффективным инструментом прогнозирования качества воздушной среды является математическое моделирование изменчивости газового и аэрозольного ее состава, а также оценка влияния атмосферных примесей на окружающую среду. Многие процессы трансформации газовых примесей и аэрозолей протекают в турбулентной атмосфере.

Важной проблемой, связанной с экологией воздушной среды, является прогнозирование распространения загрязняющих веществ (ЗВ) в ней. В области математического моделирования движения загрязнений в атмосфере и разработки численных методов для этих целей, в настоящее время, сложилась ситуация, при которой проводимые исследования рассматривают отдельные явления и не охватывают их в комплексе. Поэтому для решения проблем, связанных с распространением загрязняющих веществ, необходима разработка новых математических моделей, базирующихся на уравнениях газовой динамики и законах сохранения вещества, с учетом многокомпонентности среды, пространственного распределения субстанций и неоднородности их термодинамических характеристик и фазовых переходов. В силу сказанного является актуальной задачей разработка программного обеспечения, предназначенного для моделирования распространения многокомпонентной примеси в приземном слое атмосферы.

Описание программного комплекса

Программный комплекс «AeroEcology» предназначен для построения турбулентных потоков поля скорости движения многокомпонентной воздушной среды на сетках с высокой разрешающей способностью, а также расчет концентрации загрязняющих веществ и транспорт тепла [1-3]. Данный программный комплекс используется для расчета процессов транспорта загрязняющих веществ, находящихся в газообразном и аэрозольном состояниях. Программный комплекс «AeroEcology» учитывает такие физические процессы как: транспорт загрязняющих веществ и тепла; изменение коэффициента турбулентного обмена; переход воды из жидкого в газообразное состояние; осаждение вещества; изменение температуры за счет конденсации и испарения аэрозоли; турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды; теплообмен между жидкими и газообразными состояниями; наличие распределенных источников вещества и температуры; силу Архимеда; тангенциальное напряжение на границах раздела сред; переменную плотность, зависящую от: концентрации загрязняющих веществ, температуры, давления; сжимаемость среды за счет: изменения температуры, испарения и конденсации жидкости, изменения давления, наличия источников. Программный комплекс «AeroEcology» обеспечивает выполнение следующих функций:

расчет поля скорости без учета давления;

расчет давления;

расчет поля скорости с учетом давления;

расчет коэффициентов турбулентного обмена;

расчет концентрации воды, находящейся в газообразном состоянии;

расчет концентрации газообразных загрязняющих веществ;

расчет концентрации воздуха;

расчет концентрации воды, находящейся в жидком состоянии;

расчет концентрации твердых взвешенных частиц;

расчет температуры аэрозоли;

расчет температуры газообразной среды;

расчет плотности.

Библиотека двухслойных итерационных методов

В рамках разработки программного комплекса «AeroEcology», предназначенного для решения задачи движения многокомпонентной воздушной среды, была построена библиотека двухслойных итерационных методов, предназначенных для решения пятидиагональных сеточных уравнений. Данная библиотека решателей систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) состоит из:

метода Якоби [4];

метода минимальных поправок;

метода скорейшего спуска;

метода Зейделя;

метода верхней релаксации;

адаптивный МПТМ вариационного типа [5-7].

Разработанная библиотека итерационных методов была протестирована на модельной задаче диффузии-конвекции-реакции [8, 9].

Задача решалась на сетке размерами 100Ч100, шаги по пространственным переменным равнялись 1 м., коэффициент турбулентного обмена м=10 м2/с, скорость конвективного переноса равнялась нулю. Функция, описывающая распределение и интенсивность источников веществ, представлена точечным источником.

Для решения модельной задачи использованы схемы с весами, при этом вес схемы задавался равным 0,5. Шаг по временной переменной менялся от 0,001 до 1000 с. Завершение работы решателей СЛАУ происходило при выполнении следующего условия: равномерная норма вектора невязки меньше заданного значения [10].

В таблице 1 приведены зависимости количества итераций, необходимых для решения модельной задачи от шага по временной переменной.

Из приведенных в таблице значений количества итераций, необходимых для решения модельных задач диффузии-конвекции-реакции, видно, что чем больше шаг по временной переменной, тем больше итераций требуется для решения данной задачи. Это связано с тем, что при увеличении шага по временной переменной уменьшается диагональное преобладание, вследствие чего растет число обусловленности матрицы коэффициентов. Как показано выше скорость сходимости напрямую зависит от числа обусловленности матрицы коэффициентов. Этим и связан рост числа итераций, необходимых для решения сеточных уравнений итерационными методами.

Таблица 1. Зависимости количества итераций решения сеточных уравнений итерационными методами от шага по временной переменной

Не трудно заметить, что МПТМ является наиболее эффективным из предложенных методов. При больших шагах по временной переменной МПТМ требуется наименьшее количество итераций, по сравнению с остальными методами. Так же свою эффективность показал метод верхней релаксации, но при малых шагах по временной переменной его использовать не целесообразно. При решении сеточных уравнений методы Якоби, Зейделя и вариационного типа показали свою эффективность в узком диапазоне задаваемых параметров, но использовать данные методы при решении плохо обусловленных задач не целесообразно.

В таблице 2 приведено количество итераций, необходимые для решения задачи диффузии-конвекции-реакции адаптивным МПТМ вариационного типа.

При решении модельной задачи были использованы расчетные сетки размерами от 10Ч10 до 1000Ч1000. Шаги по пространственным переменным менялись в диапазоне от 10 см. до 10 м., при этом размеры расчетной области равнялись 100Ч100 м. Коэффициент турбулентного обмена м=10 м2/с, скорость конвективного переноса u=1 м/с. Функция, описывающая распределение и интенсивность источников веществ, представлена точечным источником. Для решения модельной задачи применены схемы с весами, при этом вес схемы задавался равным 0,5. Шаг по временной переменной менялся от 0,001 до 100 с. Завершение работы МПТМ происходило при выполнении условия: равномерная норма вектора невязки меньше заданного значения.

Таблица 2. Зависимости количества итераций решения сеточных уравнений на основе МПТМ от шага по временной переменной и размера сетки

Из таблицы 2 видно, что МПТМ показал свою эффективность для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором в широком диапазоне задаваемых параметров. Следует отметить, что адаптивный МПТМ нашел свое применение при решении трехмерных задач диффузии-конвекции [11, 12].

Работа посвящена описанию численных методов решения сеточных уравнений приземной аэродинамики. В статье описан вариант модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок, а также приведена адаптация МПТМ минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии-конвекции-реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды. Получены табличные значения зависимости количества итераций, необходимых для решения сеточного уравнения различными итерационными методами от шага по временной переменной и табличные значения зависимости количества итераций решения сеточных уравнений на основе МПТМ от шага по временной переменной и размера сетки.

Список литературы

атмосфера диффузия конвекция

1. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Хачунц Д.С. Математическое моделирование движения многокомпонентной воздушной среды и транспорта загрязняющих веществ// Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. № 8 (121). - С 73-79.

2. Чистяков А.Е., Хачунц Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 15-20.

3. Сухинов А.И., Хачунц Д.С. Задача движения многокомпонентной воздушной среды с учетом парообразования и конденсации // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 87-98.

4. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, - 1978 - 588 с.

5. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 1, - С. 3-21.

6. Коновалов А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем// Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 953.

7. Коновалов А.Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода// Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. № 3. С. 552.

8. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Шишеня А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами// Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 11. С. 53-64.

9. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 87-98.

10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

11. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов//Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 12. С. 65-82.

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе// Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15. № 4. С. 610-620.

Размещено на Allbest.ru