Математичне моделювання впливу масопереносу на напружено-деформований стан ґрунтового масиву з використанням числових конформних відображень

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 624.13:519.872

Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне

Математичне моделювання впливу масопереносу на напружено-деформований стан ґрунтового масиву з використанням числових конформних відображень

Філатова І.А., аспірант

Анотація

ґрунтовий деформований сольовий фільтрація

Сформулювано задачу НДС ґрунтового масиву при залежності параметрів Ламе від концентрації сольових розчинів з врахуванням процесу фільтрації і масопереносу. Розроблено обчислювальний алгоритм розв'язуваної задачі та її програмну реалізацію. Проведено числові експерименти. Показано відмінність в числових розв'язках для моделі при сталих коефіцієнтах Ламе та у випадку їх залежності від концентрації

Annotation

The soil massive mode of deformation task with Lame parameters, dependent on salt concentration solution, is formed. A computing algorithm of this task and corresponding software have been developed. Numeric experiments have been performed. Difference in numeric solutions for model with constant Lame coefficients and for model with Lame coefficients, dependent on concentration, have been shown.

Надійність гідротехнічних споруд, енергетичних об'єктів, будь-яких споруд цивільного будівництва та здешевлення робіт по їх використанню в значній мірі залежить від вміння правильно оцінити інженерно-геологічні умови вибраних ділянок будівництва, властивостей цих ґрунтів та їх деформації.

Знаючи НДС основи споруди, можна прогнозувати стійкість, надійність та безпеку експлуатації даного об'єкта.

При експлуатації об'єктів, їх основи можуть зазнавати впливу різних фізико-хімічних процесів, а саме:

- ущільнення ґрунту (консолідація);

- фільтрація підземних вод;

- масопереносу розчинених речовин фільтраційними потоками (вимивання, розчинення порід різними потоками);

- тепломасоперенос;

- фільтраційна консолідація.

Суттєві зміни напружено-деформівного стану викликають: зміна ґрунтового профілю масиву, що може бути спричинене переміщенням великого об'єму ґрунту під час відриву котловану, тунелів, зміна поверхневих навантажень при наповненні або спорожненні водойм; фільтрації рідини.

Тому при проектуванні та будівництві споруд для оцінки несучої здатності ґрунтових масивів та розрахунку стійкості даних споруд, особлива увага приділяється дослідженню НДС основи ґрунтового середовища, оскільки їх основи можуть зазнавати впливу різних фізико-хімічних процесів.

В даній роботі розглядається процес інтенсивної відкачки ґрунтових вод при плоско-вертикальній безнапірній фільтрації (див. рис.1). В результаті зміни положення кривої депресії утворюється депресійна лунка, внаслідок чого в оточуючому масиві змінюється напружено-деформівний стан (НДС), що призводить врешті до осідання земної поверхні, утворення тріщин в ній та порожнин.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Розрахункова схема до прогнозування осідання земної поверхні при утворенні депресійної лунки внаслідок відкачки підземних вод

Для прогнозування НДС масиву гірських порід внаслідок утворення депресійної лунки використаємо рівняння НДС у формі Ламе та запишемо відповідні крайові умови. Тоді математичну модель даної задачі у двовимірному випадку в загальноприйнятих позначеннях можна описати наступною крайовою задачею:

(1)

(2)

(3)

Граничні умови для напору:

(4)

Крайові умови для концентрації:

; (5)

;

;; (6)

Граничні умови для задачі НДС:

(7)

,

,

Рівняння (1)-(7) представляють математичну модель двовимірної задачі НДС в області xОy .

Рівняння (2) - рівняння фільтрації у вигляді закону Дарсі.

Рівняння (3) - рівняння масопереносу або конвективної дифузії для концентрації .

Рівняння (4) - граничні умови для напору.

Рівняння (5)-(6) - початкові і граничні умови для концентрації на межі розглядуваної області.

Рівняння (7) - граничні умови для НДС.

криволінійний чотирикутник з невідомою межею .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проблемою вирішення даної задачі є те, що процес інтенсивної відкачки ґрунтових вод відбувається у криволінійному чотирикутнику. Тому для вирішення поставленої задачі необхідно застосовувати методи конформних та квазіконформних відображень, в результаті чого побудувати гідродинамічну сітку фільтраційного потоку з візуалізацією її на комп'ютері, розрахувати поле швидкостей фільтрації та концентрації розчину, здійснити прогнозування напружено-деформівного стану ґрунту при наявності кривої депресії.

Нехай область фільтрації (див. рис.1.) обмежена двома еквіпотенціальними лініями і двома лініями току, тобто являє собою чотирикутну область. Тоді розглянута повна область при конформному відображенні перейде в параметричний прямокутник R (див. рис.2.). Цей параметричний прямокутник співпадає в даному випадку з областю комплексного потенціалу (ц, ш).

В отриманому параметричному прямокутнику необхідно розв'язати задачу фільтрації, задачу масопереносу (в області ) та розрахувати напружено-деформівний стан ґрунту (у всій області).

Розв'язок задачі фільтрації в області комплексного потенціалу (ц, ш) матиме наступний вигляд.

(8)

(9)

Враховуючи ці значення знаходимо квадрат вектора швидкості фільтрації .

Моделі масопереносу базуються на наступних припущеннях:

рідина вважається нестискуваною, а пористе середовище не деформуючим (фільтрація в жорсткому режимі);

рідина займає весь пористий простір, тобто розглядаються насичені фільтраційні потоки;

процеси масопереносу вивчаються при ізотермічних умовах.

Після переходу до області комплексного потенціалу в задачі масопереносу отримали наступне рівняння:

(10)

У рівнянні (10) є лише одна похідна у конвективному члені , що виражає рух рідини у фактичній області комплексного потенціалу по лініях, паралельних осі Оц (ш=const).

Для побудови різницевої схеми застосуємо методи розчеплення, наприклад застосуємо ЛОС Самарського [1].

Для повздовжньої прогонки в напрямку осі отримаємо першу задачу:

Для поперечної прогонки в напрямку осі отримаємо другу задачу:

Таким чином, згідно ЛОС Самарського двовимірна задача масопереносу розчепилась на дві одновимірні задачі для одновимірного рівняння параболічного типу.

В результаті поздовжньої прогонки ми знаходимо проміжні значення концентрації для того, щоб знайти істинні значення концентрації на поперечній прогонці.

Для розв'язання математичної моделі в задачі НДС (1),(7) перейдемо від фізичних змінних (x,y) до змінних ц,ш області комплексного потенціалу, позначивши через ц потенціал, який зв'язаний з напірною функцією h залежністю [2]:

(11)

де ц - це функція течії; k - коефіцієнт фільтрації.

Перейшовши до нових змінних ц,ш в рівнянні (1) та звівши подібні доданки, отримаємо наступне рівняння теорії пружності:

(12)

(13)

Де введені наступні позначення:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рівняння рівноваги задачі напружено-деформівного стану в змінних комплексного потенціалу ц,ш мають вигляд (12), (13). Виберемо дев'ятиточковий шаблон типу “ящик” (див. рис.3.) і апроксимуємо частинні похідні функції їх різницевими відношеннями [3]:

Отже, при розв'язуванні задачі НДС для параметрів Ламе які залежать від концентрації фільтруючого розчину отримали значення компоненти вектора переміщень та .

При знайдених значеннях компонент вектора переміщень можна розрахувати поле деформації

та напруження

Таким чином задача напружено-деформівного стану в змінних комплексного потенціалу розв'язана ітераційним методом Гауса-Зейделя і розраховано компоненти вектора переміщень, компоненти деформацій та напружень.

Результати були зображені графічно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язавши задачу НДС для параметрів Ламе, які залежать від концентрації можна сказати, що графіки переміщень, напружень та деформації покращуються у порівнянні із сталими коефіцієнтами.

Результати математичного моделювання параметрів напружено-деформівного стану ґрунтового масиву можуть бути використані при імовірнісній оцінці надійності споруд та їх основ: при імовірнісних розрахунках міцності та стійкості укосів, оцінці ймовірностей виникнення аварій.

Література

1. Власюк А.П., Катерина Є.І. Розв'язування одновимірної стаціонарної задачі напружено-деформівного стану грунтових масивів в умовах масоперенесення //Вісник Львівського університету. Сер. прикладна математика та інформатика - 1999. Вип.1 - С. 50-55.

2. Гармонов И.В., Коноплянцев А.А., Котлов В.Ф. Оседание земной поверхности в связи с откачкой подземных вод, эксплуатацией месторождений нефти и газа. ОНТИ, ВНИМИ. М., 1965, вып.17, №1.

3. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. - М.: Мир, 1968. - 445 с.

4. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. - Киев: Наук. думка, 1991. - 432 с.

5. Власюк І.А., Кузло М.Т. Про одну задачу оцінки напружено-деформівного стану шару ґрунту із врахуванням рівня ґрунтових вод //Тез. доп. Міжнародної школи-семінару „Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначеності”, Тернопіль, 2004. - С. 222-224.

Размещено на Allbest.ru