Многомерный статистический контроль процесса по индивидуальным наблюдениям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Многомерный статистический контроль процесса по индивидуальным наблюдениям

В.Н. Клячкин, И.Н. Карпунина

При контроле многопараметрического технологического процесса вместо мгновенных выборок часто используются индивидуальные наблюдения. При этом возникает ряд вопросов, связанных с оценкой ковариационной матрицы и определением положения контрольных границ на картах Хотеллинга и обобщенной дисперсии. На основе проведенных испытаний по контролю качества питьевой воды и контролю параметров механической обработки клина теплостока разработан алгоритм контроля по индивидуальным наблюдениям. Предложены методы повышения эффективности контроля путем нормализации данных, использования предупреждающей границы, анализа неслучайных структур. Научная новизна исследования состоит также в том, что предложен новый метод контроля многомерного рассеяния - карта обобщенной дисперсии на сглаженных данных, и показана ее эффективность.

Ключевые слова: карта Хотеллинга, нормализация, обобщенная дисперсия, средняя длина серий

V.N. Klyachkin, I.N. Karpunina. Multivariate statistical process control for individual observations

Multivariate control of technological process instead of instant samples often used individual observation. This raises a number of issues related to the estimation of the covariance matrix and the definition provisions of monitoring borders on Hotelling's charts and charts of generalized variance. On the basis of tests conducted on drinking-water quality and control of machining parameters of wedge for the heat expiration control algorithm for individual observations. The methods of improving the effectiveness of control by normalizing the data, use the border warning, analysis of random structures. The scientific novelty of the investigation consists in the fact that a new control method of multivariate dispersion-chart generalized dispersion on smoothed data, and shows its effectiveness. статистический контроль индивидуальный наблюдение

Keywords: Hotelling's chart, normalization, generalized variance, average run length

Основное назначение статистического контроля технологического процесса состоит в выявлении нарушений стабильности процесса. При этом диагностика проводится по статистическим критериям, обеспечивающим обнаружение неслучайных причин изменчивости процесса и позволяющим применить управляющее воздействие до того, как произошел выход контролируемых показателей качества выпускаемой продукции за допустимые пределы.

Наиболее распространенный инструмент такого контроля - карта Шухарта, регламентированная стандартами. Предполагается, что качество характеризуется одним показателем, или несколькими независимыми показателями. Для построения карт в определенные моменты времени берутся мгновенные выборки (подгруппы) обычно объемом в 3...10 единиц, по результатам измерения которых и определяются статистические характеристики процесса. Как правило, ведется мониторинг и среднего уровня процесса (карты средних), и его рассеяния (карты стандартных отклонений или размахов).

Часто проведение измерений требует больших материальных затрат или слишком трудоемко. В этом случае используют карты для индивидуальных значений: объем мгновенной выборки при этом равен единице. На практике при контроле многопараметрического процесса часть показателей качества независимы (и проводить их мониторинг можно с помощью карт Шухарта), однако другая часть показателей коррелированна между собой В этой ситуации независимый контроль по отдельным показателям может привести к значительным погрешностям, и необходимо применение многомерных методов [1-3]. Средний уровень процесса при многомерном контроле оценивается с применением статистика Хотеллинга. Распределение этой статистики при мониторинге по индивидуальным наблюдениям и особенности оценки ковариационной матрицы исследовались в работах [4-6]. Контроль многомерного рассеяния может быть проведен с использованием обобщенной дисперсии - определителя ковариационной матрицы [1].

При этом возникает ряд задач, связанных с обеспечением эффективности многомерного контроля по индивидуальным наблюдениям, то есть своевременным обнаружением нарушения его стабильности.

Под эффективностью контрольной карты понимают ее чувствительность к возможным нарушениям процесса. Основной характеристикой эффективности контроля является средняя длина серий: количество наблюдений от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения.

Статистика Хотеллинга ориентирована на многомерное нормальное распределение, что не всегда имеет место в реальных технологических процессах. Нарушение нормальности приводит к снижению чувствительности контроля. Общих методов проверки многомерной нормальности распределения пока не разработано. Необходимо, как минимум, проверить нормальность по каждому из показателей и, при необходимости, провести нормализующие преобразования.

Важным обстоятельством, определяющим эффективность контроля, является и знание распределения статистики Хотеллинга: ширина доверительного интервала определяется квантилями этого распределения. Если при использовании мгновенных выборок этот вопрос решен, то для индивидуальных наблюдений возможны различные способы оценивания ковариационной матрицы, которым соответствуют различные распределения.

Эффективность контроля может быть повышена за счет использования предупреждающей границы, а также анализа так называемых неслучайных структур на карте [7]. Интерпретация многомерной карты предполагает ответ на вопрос, по какому из множества контролируемых показателей произошло нарушение.

Наконец, ряд вопросов возникает при контроле многомерного рассеяния процесса путем построения карты обобщенной дисперсии. Строго говоря, построить такую карту по индивидуальным наблюдениям невозможно, и надо найти корректный выход из этой ситуации.

Предположим, что в процессе контролируется p показателей x = (x1, … , xp), имеющих совместное нормальное распределение. Алгоритм Хотеллинга предполагает расчет для каждой t-ой мгновенной выборки (t = 1, …, m) статистики [1-2]

, (1)

где n - объем выборки, - вектор средних в мгновенных выборках, , - среднее значение в t-ой мгновенной выборке по j-ому показателю (j = 1, …, p); - вектор целевых средних, ,

(xijt - результат i-го наблюдения по j-му показателю в выборке t). Оценки S компонент ковариационной матрицы У размерности pЧp, определяются по формуле:

, j, k = 1, …, p. (2)

Процесс считается стабильным, если , где - граница критической области.

Если ковариационная матрица У известна, то статистика Хотеллинга имеет ч2 - распределение. В этом случае критическое значение (определяющее положение верхней контрольной границы карты Хотеллинга UCL (Upper Control Limit)) при заданном уровне значимости б находится с использованием таблицы квантилей:

. (3)

При оценке матрицы ковариаций с использованием мгновенных выборок по формуле (2), объем которых больше единицы, положение контрольной линии может быть рассчитано по формуле:

(4)

квантиль распределения Фишера с числами степеней свободы . Приведенные формулы используются при многомерном статистическом контроле среднего уровня процесса с применением мгновенных выборок. При контроле по индивидуальным наблюдениям необходима их корректировка.

Расчет по формулам (1) - (4) справедлив в предположении о нормальности распределения показателей. При контроле по индивидуальным наблюдениям нарушение нормальности может привести к погрешностям.

При нарушении нормальности имеет смысл применить нормализующее преобразование и проводить мониторинг на преобразованных данных. Существует множество методов нормализации данных. Простейшим является логарифмирование (преобразованное значение х' = ln х), которое часто приводит к нужному результату (исходное распределение - логнормальное, преобразованные данные - нормальны). Более общим является преобразование Джонсона [2].

Предположим, что контролируется m индивидуальных наблюдений по p показателям. Пусть S - оценка ковариационной матрицы, а - вектор средних значений контролируемых показателей. Тогда статистика Хотеллинга для t-го наблюдения (t = 1… m) определится по формуле

, (5)

При проведении индивидуальных наблюдений возникает проблема оценивания ковариационной матрицы. Sullivan и Woodall [5] предложили два варианта. При оценивании по всей выборке:

. (6)

Tracy, Young, и Mason показали, что при этом критическое значение Т2кр основывается на бета-распределении [4]:

(7)

где - квантиль бета-распределения порядка (1- б) с числами степеней свободы р/2 и (m - р - 1)/2.

Другой вариант - оценивание ковариационной матрицы по размахам: скользящий размах определяется как , t = 1,…, m - 1; тогда вектор размахов VT = (v1 v2 … vt-1), а оценка ковариационной матрицы

. (8)

Williams c соавторами [6] показали, что в этом случае статистика Хотеллинга будет иметь распределение . Для расчета положения контрольной границы используются квантили распределения хи-квадрат (3).

Решить вопрос о том, какой из подходов (6) или (8) предпочтительнее с точки зрения эффективности обнаружения нарушений для конкретного процесса, можно лишь по результатам статистических испытаний.

Карта Хотеллинга не показывает непосредственно, с каким из показателей (или совместным влиянием показателей) связано нарушение процесса. Интерпретация карты включает задачу выявления того показателя, по которому именно произошло нарушение процесса. Пусть при некотором t = t0 на карте зафиксировано нарушение процесса. Для проверки гипотезы о том, что ответственность за нарушение лежит на j-ом показателе (или на нескольких показателях), может быть использован частный критерий Хотеллинга:

,

где сj - вектор-столбец, состоящий из нулей во всех строках, кроме j-й, и единицы в j-й строке, хt0 - вектор значений контролируемых показателей в наблюдении t0.

Еще один подход - это построение контрольных карт с поэлементным удалением показателей. Например, при обнаружении нарушения по карте Хотеллинга при контроле трех показателей можно построить три карты Хотеллинга по двум показателям, поочередно удаляя один из них.

Кроме контроля среднего уровня процесса целесообразно проверить и стабильность его рассеяния. Для независимых показателей для этого используется карта скользящих размахов, при многомерном контроле - карта обобщенной дисперсии. Карта обобщенной дисперсии является аналогом карты скользящих размахов в многомерном случае. Под обобщенной дисперсией понимается определитель ковариационной матрицы [1, 8].

Пусть контролируются р коррелированных показателей: m раз снимаются показания по р показателям в мгновенных выборках объема n. На карте откладываются выборочные значения обобщенной дисперсии |St| для каждой t-ой выборки. Элементы ковариационной матрицы St вычисляются по формуле:

(9)

где и - средние значения j-го (k-го) показателя соответственно.

Также вычисляются оценки средней ковариации по всем выборкам, которые образуют ковариационную матрицу S, определитель которой используется как оценка целевой обобщенной дисперсии |У0|:

.

Средняя линия карты обобщенной дисперсии находится по формуле:

.

Положение верхней и нижней контрольных границ определяется на основе нормального распределения [1]:

(10)

Если значение для нижней границы окажется отрицательным, то оно принимается равным нулю.

Коэффициенты b1 и b2 вычисляются по формулам:

(11)

(12)

Из зависимостей (9) - (12) следует, что построение карты обобщенной дисперсии по индивидуальным наблюдениям невозможно, необходимо иметь мгновенные выборки, объем которых хотя бы на единицу превышает количество контролируемых показателей. Например, при контроле двух коррелированных показателей, необходимо объединить в одну выборку не менее трех наблюдений. Но такой подход существенно снижает эффективность контроля. В качестве альтернативы может быть использован контроль с применением скользящих средних: в формуле (9) вместо значения xijt используется сглаженное значение, например, по трем точкам: x'ijt = (xij,t-1 + xijt + xij,t+1)/3.

Испытания проводились на примерах оценки качества питьевой воды и механической обработки клина теплостока.

Качество питьевой воды оценивается по ее физико-химическим показателям: мутности, цветности, содержанию алюминия и хлоридов, значению рН, остаточному хлору, окисляемости и щелочности [9]. Наблюдения проводятся один раз в сутки, поэтому использовались карты индивидуальных значений. Значимыми оказались корреляции в двух группах: между содержанием алюминия и окисляемостью, а также между значением рН, остаточным хлором и щелочностью. Для контроля этих показателей использовались многомерные методы: карты Хотеллинга и обобщенной дисперсии в рассмотренных выше вариантах (для остальных показателей - стандартные карты Шухарта).

Аналогичная задача решалась применительно к контролю геометрических параметров клина теплостока, используемого для отвода тепла в вычислительной технике специального назначения: коррелированными оказались длина клина и угол скоса. Для этой пары показателей строились карты Хотеллинга и обобщенной дисперсии по сглаженным средним.

При контроле рассеяния процесса использование карты обобщенной дисперсии по сглаженным средним показало снижение средней длины серий в 3-5 раз по сравнению с картой по мгновенным выборкам.

С одной стороны, полученные результаты оказались близкими для двух примеров различного типа (и это дает основание предполагать их универсальный характер), с другой стороны для подтверждения этого вывода необходимо проведение статистических испытаний с моделированием различных возможных типов нарушения процесса и оценки средней длины серий. Показано, что карта обобщенной дисперсии по сглаженным средним более чувствительна к нарушениям процесса по сравнению с аналогичной картой на мгновенных выборках.

Для проведения статистического контроля многопараметрического процесса по индивидуальным наблюдениям может быть предложен следующий алгоритм.

1. По результатам анализа процесса за предшествующий период проверяется нормальность распределения показателей, при необходимости проводится нормализация данных. Для оценки взаимосвязи между показателями используется корреляционная матрица, при этом выявляются значимые корреляции.

2. Для оценки стабильности процесса по независимым показателям применяются карты Шухарта для индивидуальных наблюдений и скользящих размахов.

3. На этапе анализа коррелированных показателей используются карта Хотеллинга на основе бета-распределения и карта обобщенной дисперсии по сглаженным данным. При мониторинге среднего уровня процесса используется карта Хотеллинга с оценкой ковариационной матрицы по скользящим размахам; для повышения ее эффективности применяются предупреждающие границы и анализ наличия неслучайных структур.

4. При наличии нарушения на карте для ее интерпретации используется частный критерий Хотеллинга или построение карт с поэлементным удалением показателей.

5. Аналогичный подход используется при мониторинге рассеяния.

Заметим, что для более объективного заключения по этапу 3 необходимо проведение статистических испытаний [10].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 18-48-730001.

Список литературы

1. Montgomery D. C. Introduction to statistical quality control. - New York: John Wiley and Sons, 2009. - 754 р.

2. Клячкин В.Н. Модели и методы статистического контроля многопараметрического технологического процесса. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 196 с.

3. Pisarciuc С. The use of statistical process control to improve the accuracy of turning // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. - V.161 - №1.012011.

4. Tracy, N. D. Multivariate Control Charts for Individual Observations / N. D. Tracy, J. C. Young, and R. L. Mason // Journal of Quality Technology, 1992. - Vol. 24(2). - Рp. 88-95.

5. Sullivan, J. H. A Comparison of Multivariate Quality Control Charts for Individual Observations / J. H. Sullivan, and W. H. Woodall // Journal of Quality Technology, 1996. - Vol. 28(4). - Рp. 398-408.

6. Williams, J. D., W. H. Woodall, J. B. Birch, and J. H. Sullivan. Distribution of Hotelling's T2 Statistic Based on the Successive Difference Estimator // Journal of Quality Technology, 2006. - Vol. 38. - pp. 217-229.

7. Клячкин В.Н., Кравцов Ю.А. Обнаружение нарушений при многомерном статистическом контроле технологического процесса // Программные продукты и системы, 2016. - № 3. - С. 192-197.

8. Klyachkin V.N., Karpunina I.N. The analysis of technical object functioning stability as per the criterion of monitored parameters multivariate dispersion // CEUR Workshop Proceedings, vol.1903. Data Science. Information Technology and Nanotechnology / DS-ITNT, 2017. - Pр.28-31.

9. Клячкин В.Н., Барт А.Д. Оценка стабильности показателей качества при очистке питьевой воды // Экологические системы и приборы, 2017. - №8

10. Клячкин В.Н., Кувайскова Ю.Е., Алексеева В.А. Статистические методы анализа данных. - М.: Финансы и статистика, 2016. - 240 с.

Размещено на Allbest.ru