Моделювання нейтралізації забруднень стічних вод сміттєзвалювальних полігонів приміських зон

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОДЕЛЮВАННЯ НЕЙТРАЛІЗАЦІЇ ЗАБРУДНЕНЬ СТІЧНИХ ВОД СМІТТЄЗВАЛЮВАЛЬНИХ ПОЛІГОНІВ ПРИМІСЬКИХ ЗОН

Кахнич П.Ф., к.т.н., ст. викладач, Люсак А. В., аспірантка (Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне)

Розглянуто процес моделювання нейтралізації забруднень стічних вод та прогнозування залежності концентрації забрудників в ґрунтах та водних середовищах від часу.

Через відсутність в Україні коштів на будівництво сміттєпереробних заводів, практично біля кожного населеного пункту є сміттєзвалювальний полігон. Постійне зростання кількості сміття та неналежні умови його зберігання на сміттєзвалищах сприяють посиленій міграції хімічних та біологічних забрудників зі стічними водами в навколишнє природнє середовище, з ґрунту в рослини та по трофічних ланцюгах далі. У зв'язку з цим екологічна оцінка забруднених територій, виявлення найбільш небезпечних ділянок, вивчення закономірностей зниження з часом рівнів забрудненості різних територій є дуже актуальними питаннями. Розв'язання їх дозволило б очищати навколишнє середовище та запобігати поширенню ареалу забруднення.

Запропонована методика дозволяє обґрунтувати першочерговість проведення природоохоронних заходів та сприяє цілеспрямованому розподілу коштів. Цінність таких досліджень також полягає в тому, що їх результати обґрунтовують необхідність посилення екологічного контролю за забрудненими територіями.

Вивченням питань адсорбції забруднювачів в ґрунтових масивах займались В.С. Простер, М.О. Лошілов, Ю.О. Іванов, І.М. Гудков, Є.П. Буравльов та ін. Ними були встановлені закономірності вертикальної міграції забруднюючих речовин на різних типах ґрунтів, надходження їх в рослини залежно від біологічних особливостей останніх та від властивостей ґрунтів. На підставі цього запропоновані моделі, які дозволяють прогнозувати залежність концентрації забрудників в ґрунтових та водних середовищах від часу. Але питання зниження забруднення ґрунтів та підземних вод з часом в залежності від їх властивостей ще в повній мірі не висвітлене.

При моделюванні процесу масопереносу в пористих середовищах при фільтрації підземних вод параметри фільтрації та масопереносу (коефіцієнт фільтрації, коефіцієнт конвективної дифузії, пористість) вважалися постійними. У зв'язку з цим масоперенос розчинених у воді речовин в основному вивчався на фоні фільтраційного потоку підземних вод, причому замість фільтрації розчину розглядалась фільтрація чистої води. Проте ряд практичних задач (поширення забруднень в ґрунтових масивах, фільтрація сольових розчинів із водосховищ, добування корисних копалин із надр шляхом їх вилуговування, промивання засолених і забруднених земель та ін.) показали неадекватність існуючих математичних моделей процесам, перерахованим вище. Як випливає з аналізу проведених експериментальних досліджень фільтрації різних розчинів в піщаних та глинистих ґрунтах, коефіцієнт фільтрації, а отже, швидкість фільтрації, коефіцієнт конвективної дифузії, пористість можуть значно змінюватися в залежності від зміни концентрації розчинених у воді речовин в області фільтрації.

В даний час інтенсивного розвитку енергетики та інших галузей промисловості великого значення набувають проблеми, пов'язані з стійкістю гідротехнічних та енергетичних об'єктів, надійністю та безпекою їх експлуатації. В багатьох випадках експлуатація останніх відбувається при фільтрації підземних вод в їх основах, в яких знаходяться дисперсно розчинені солі або залягають у вигляді окремих включень, пластів тощо. Тому великої уваги в даний час заслуговують питання розробки, дослідження і впровадження методів моделювання для розв'язання задач підземного масопереносу при фільтрації підземних вод. Використання математичних методів на рівні моделювання складних фізичних процесів відкривають можливість проведення чисельних експериментів при виробленні нових технічних рішень. Зокрема, науково обґрунтовані розрахунки необхідні при вивченні складних фільтраційних ситуацій руху ґрунтових вод в обхід гідроспоруд, через земляні греблі, при притоці до дренажів та котлованів. Також аналогічні розрахунки виникають в задачах міграції забруднень, при прогнозі гідрохімічного режиму ґрунтів та ґрунтових вод, при зрошенні, промивках чи осушені земель, в класі задач, пов'язаних з вивченням процесів розчинення та вимивання солей і карстових порід, які залягають в основах гідротехнічних та енергетичних споруд у вигляді окремих пластів, або сольових включень. При цьому розглянуті сольові включення моделюють процеси розчинення, вимивання та винесення солей і карстових порід в межах моделей абсолютно непроникного та сильно проникного тіл. Фільтраційне середовище вважається недеформованим однорідно-ізотропним або неоднорідно-анізотропним.

В одній з вищенаведених постановок можна розглядати, наприклад, модельну задачу масопереносу сольових розчинів при фільтрації підземних вод до водозабірника (рис. 1) з урахуванням залежностей параметрів фільтрації та масопереносу від концентрації сольового розчину в рамках одновимірної моделі (l>>b).

Рис. 1. Фільтрація сольового розчину до водозабірника

В даній роботі розглянемо постановку задачі про нагнітання в свердловину радіуса r деякого розчину з концентрацією або його відкачки.

Можна розглядати також процес масопереносу в чверті кільця в силу симетрії задачі. На лініях AB і CD (це лінії течії) задається умова неперетікання (тверді стінки).

Рис. 2. Постановка задачі про нагнітання в свердловину деякого розчину або його відкачки

Викладення основного матеріалу.

Моделі масопереносу базуються на наступних припущеннях:

фільтрація підчиняється закону Дарсі;

рідина вважається нестискуваною, а пористе середовище не деформуючим (фільтрація в жорсткому режимі);

рідина займає весь пористий простір, тобто розглядаються насичені фільтраційні потоки;

досліджується переніс таких мігрантів, наявність яких в розчині не здійснює суттєвого впливу на його масу, в'язкість та ін. гідродинамічні характеристики;

процеси масопереносу вивчаються при ізотермічних умовах.

Моделювання транспортування мігрантів в підземних водах базується на розв'язку системи диференціальних рівнянь теорії фільтрації і гідрогеохімічної міграції, до складу якої входять рівняння руху і збереження маси рідини, що фільтрується, рівняння руху і збереження маси мігрантів, які знаходяться в розчині, і рівняння, що описують процеси фізико-хімічної взаємодії між розчином і фільтруючим пористим середовищем. Перенесення мігранта в ґрунтових водах обумовлюється спільною дією сукупності фізичних процесів, серед яких в першу чергу виділимо конвективне перенесення, молекулярну дифузію і фільтраційну дисперсію. Конвективне перенесення являє собою переміщення мігруючої речовини безпосередньо разом з потоком ґрунтових вод. Як правило, це є найбільш суттєва форма переносу [17].

Дана математична модель базується на таких законах:

љ законі Дарсі для фільтрації підземних вод при наявності градієнта напору;

љ законі Фіка, що описує процес масопереносу за рахунок наявності градієнта концентрації.

Процес масопереносу розчинів у недеформованих ґрунтових масивах можна описати такою системою диференціальних рівнянь:

фільтрації розчинів з врахуванням осмотичних явищ

;

- конвективної дифузії розчинів забруднюючих речовин

- масообміну

;

при відповідних крайових умовах на межі області фільтрації

Тут: , - масові концентрації солей у рідкій та твердій фазах відповідно; C_*, N_* - теж саме в умовах рівноваги; V(x,y,c) - швидкість фільтрації сольового розчину; - коефіцієнт осмосу; - пористість ґрунту; k(x,y,c) - коефіцієнт фільтрації, залежність якого від концентрації сольових розчинів встановлена експериментально [8]; - пєзометричний напір, р - тиск, - густина сольового розчину, g - прискорення вільного падіння, y - вертикальна координата; - коефіцієнт конвективної дифузії, де D_m - коефіцієнт молекулярної дифузії, - параметр гідродинамічної дисперсії; ₁,...,_n - константи швидкості масообміну; t - час; C₀(x,y), H₀(x,y) - розподіли концентрації та напору по області в початковий момент часу; - двовимірна область (криволінійний чотирикутник або область зв'язності 1), в якій протікають процеси масопереносу сольових розчинів при фільтрації підземних вод. Оператори , задають відповідно граничні умови для напору та концентрації на бічній поверхні циліндра .

Крайова задача є системою двох квазілінійних диференціальних рівнянь параболічного типу, які доповнені відповідними початковими та граничними умовами для шуканих функцій h(x,y,t), c(x,y,t). Система рівнянь є частковим випадком більш загальної системи квазілінійних параболічних рівнянь другого порядку, існування та єдність розв'язку якої досліджено. Тому, на основі отриманих в наукових джерелах результатів при відповідних вимогах на коефіцієнти рівнянь, класичний розв'язок крайової задачі існує та єдиний.

Якщо є криволінійним чотирикутником, то граничні умови наступні. У випадку, коли одна з сторін _i () області дренована, то

,

а для концентрації можуть задаватись граничні умови одного з трьох типів:

- першого роду

;

- другого роду (умова швидкого виносу забруднень)

,

де - похідна в напрямку зовнішньої нормалі до межі області;

- третього роду (умова Данквертса)

,

де - концентрація розчинених речовин на виході (або вході) потоку, V_n - нормальна складова вектора швидкості фільтрації.

Якщо одна з сторін _i () області є непроникною, то

,

де n=(n_x, n_y), n_x, n_y - напрямні косинуси вектора зовнішньої нормалі до _i, (V, n) - скалярний добуток. Граничні умови для концентрації розчину забруднюючих речовин на непроникній стороні _i () залежать від того, чим дана непроникність зумовлена. Якщо непроникність _i зумовлена заляганням пласту забруднюючої речовини, то для концентрації задається гранична умова першого роду

,

або більш строга балансова гранична умова

,

де - товщина дифузійного примежового шару, що утворюється в околі фронту розчинення, C_m - концентрація граничного насичення. Якщо непроникність зумовлюється заляганням кам'яного пласта або ґрунту з набагато меншим коефіцієнтом фільтрації, то для концентрації задається умова непроникності

.

Знак “+” в (1) відноситься до нормального осмосу, знак “-” - до аномального.

За допомогою методу, який розглядається в даній роботі, можна досить ефективно розв'язувати достатньо широкий клас двовимірних нестаціонарних задач конвективної дифузії розчинених речовин при фільтрації підземних вод. За допомогою розробленої методики можна отримати аналітичні і чисельно-аналітичні розв'язки найбільш типових крайових задач конвективної дифузії розчинених речовин, які виникають при дослідженні різних процесів. Дана методика, яка базувалася на перетворенні крайової задачі конвективної дифузії до нових незалежних змінних - координат області комплексного потенціалу з наступним усередненням швидкості фільтрації в новій області, успішно використовувалася для розв'язання двовимірних крайових задач в областях фільтрації з фіксованими межами.

Цей перспективний напрям в математичному моделюванні стосується чисельно-аналітичного розв'язання двовимірних нестаціонарних задач конвективної дифузії розчинених речовин при фільтрації підземних вод в пористих середовищах. Розроблена методика охоплює широкий спектр задач: у випадку залежності компонент коефіцієнта конвективної дифузії від швидкості фільтрації; дає можливість гнучкого підходу до вивчення процесів з врахуванням їх локальних особливостей в конкретних під областях.

Розроблений в роботі підхід базується на модернізації методу чисельної автоматичної побудови на ЕОМ системи криволінійних координат за допомогою застосованого в даній роботі конформного відображення області фільтрації на параметричний прямокутник ( при відповідності криволінійних координат області фільтрації прямокутній сітці прямокутника); використанні чисельного методу конформних відображень побудови різницевих сіток в криволінійних областях; побудові гідродинамічних різницевих сіток та обґрунтованому на ідеях В.І.Лаврика та А.П. Власюка перетворенні крайової задачі до змінних ц, ш (потенціал фільтрації - функція току) області комплексного потенціалу з наступним її розв'язанням в цих змінних.

Використання такого чисельного методу конформних відображень дає можливість “розпрямлення” області фільтрації до модельної області - прямокутника. Побудовані за допомогою чисельного методу конформних відображень, такі різницеві сітки повною мірою можна назвати “родзинками” більш широкого класу адаптивних різницевих сіток, пристосованих для розв'язання на них інших крайових задач математичної фізики.

Одним з основних факторів, які ускладнюють побудову розв'язку крайових задач підземного масопереносу розчинених в фільтраційному потоці речовин, є наявність криволінійної межі фізичної області. При чисельних розрахунках таких крайових задач в областях з криволінійними границями відомими в літературі різницевими методами для різницевої апроксимації крайових умов, як правило, використовують інтерполяційні методи перенесення межових значень функцій в найближчі до межі вузли різницевої сітки. Це ускладнює конструкцію сіткової апроксимації розв'язку задачі, алгоритм розрахунку, задовільно відображає вплив геометрії області на розв'язок та локальні особливості розв'язку поблизу деяких меж, що в ряді випадків може призвести до значних похибок.

Використання вказаних сіток дозволяє якомога точніше відобразити вплив геометрії меж розглядуваної області. Причому, якщо лінії сітки досить добре узгоджуються з особливостями розв'язку ( адаптовані до розв'язку ), то дана сітка забезпечує мінімальну похибку дискретизації в порівнянні з іншими методами.

Застосування конформних відображень дозволяє будувати ортогональні системи криволінійних координат (різницеві сітки, близькі до ортогональних), що необхідно для подальшого використання тих чи інших чисельних методів, оскільки веде до спрощення самої крайової задачі при перетворенні її до нових змінних в порівнянні з іншими не ортогональними системами координат та до зручності її алгоритмізації та програмування на ЕОМ.

Використання побудованих конформних гідродинамічних сіток в області фільтрації з наступним перетворенням крайової задачі масопереносу до змінних ц, ш - області комплексного потенціалу - призводить до того, що вектори поля швидкості фільтрації в перетвореній області мають лише одну складову. Це значно спрощує як самі рівняння розглядуваної математичної моделі, а також її алгоритмізацію та програмування, оскільки останнє зв'язане з досить просто організованими масивами чисел, що часто дозволяє користуватись готовими програмами для розв'язання систем рівнянь, які при цьому виникають.

Розглянемо двовимірний процес фільтрації ідеальної нестискуваної рідини в однорідному недеформівному пористому середовищі. Він описується рівняннями (1), що в випадку лінійної фільтрації підземних вод є законом Дарсі, та рівнянням нерозривності потоку (2):

де v - вектор швидкості фільтрації; К⁰={k_ij⁰} - зведений тензор другого рангу провідності середовища, компоненти якого залежать як від координат фізичної області, так і від напрямку руху, і, відповідно, характеризують неоднорідні і анізотропні властивості даного середовища; ц= -ж·h - потенціал фільтрації, ж - коефіцієнт фільтрації; h - п'єзометричний напір.

Система рівнянь (1) - (2) після введення в неї функції току ш (x,y), існування якої випливає з рівняння нерозривності (2), прийме наступний вигляд:

(3)

де k₁₁⁰·k₂₂⁰ - k₁₂⁰·k₂₁⁰ > 0.

Систему рівнянь (3) зручно записати у такому вигляді:

(4)

Рівняння для функції течії z(щ)=x+i·y матиме вигляд:

(5)

З рівнянь (3) - (5) можна отримати рівняння для різних процесів, зокрема система рівнянь руху суцільного середовища (3) є системою рівнянь Коші - Рімана:

(6)

яку задовольняє потенціал ц(х,у) та функція току ш(х,у), що є спряженими гармонічними функціями.

Ґрунтовий масив вважається неоднорідним щодо фільтрації, якщо коефіцієнт фільтрації його залежить не лише від координат області фільтрації, але й від концентрації розчину забрудника, тобто k=k(x,y,c).

Розглянемо задачу конформного відображення області G на параметричний прямокутник R в такій постановці: межа Г області G складається з чотирьох кусково-гладеньких жорданових кривих, що задані рівняннями:

Стиковочні кінці вказаних кривих дадуть чотири фіксованих точки A, B, C, D. В такій постановці для криволінійного чотирикутника вузли є “плаваючими” по всьому контуру межі області G. Модуль області повністю визначений постановкою задачі, але невідомий (шукається в ході побудови відображення).

Координати точок областей G і R пов'язані умовами Коші-Рімана:

(7)

Будемо шукати обернене конформне відображення прямокутника R на криволінійний чотирикутник G, тобто функції х = х(ц,ш), у = у(ц,ш), що також пов'язані умовами Коші-Рімана.

На ділянках межі Г = Г₁ U Г₂ U Г₃ U Г₄ спряжені гармонічні функції х = х(ц,ш), у = у(ц,ш) пов'язані рівняннями g_i (x, y), i = 1,2,3,4, що задають її.

Таким чином, задача побудови шуканого конформного відображення полягає в наступному: знайти пару спряжених гармонічних функцій х = х(ц,ш), у = у(ц,ш), що пов'язані умовами Коші-Рімана

(8)

що задовольняють рівняння межі

(9)

(10)

(11)

(12)

при чому модуль параметричного прямокутника R повинен бути таким, щоб обернене відображення було конформним, тобто виконувались умови (8). Більше того, функції х = х(ц,ш), у = у(ц,ш) - спряжені гармонічні функції і, відповідно, в математичній моделі (8) - (12) замість (8) можна використати рівняння Лапласа в цій області:

(13)

Однак така заміна не повністю еквівалентна в тому значенні, що клас гармонічних функцій значно ширший класу спряжених гармонічних функцій. Щоб така заміна була рівносильною, необхідно додати до існуючих рівнянь математичної моделі деякі рівняння “зв'язку” точок примежового шару дG з граничними. У випадку конформних відображень таким умовами “зв'язку” є умови Коші-Рімана

(14)

Також для запису рівнянь “зв'язку” примежових точок з граничними можна використати умови ортогональності ізоліній сітки до фізичної межі області:

(15)

(16)

Враховуючи зв'язок між похідними

(17)

(18)

де J - якобіан відображення, а також рівняння (17-18) отримаємо:

(19)

(20)

відмітимо, що на основі (14) - (18) умови ортогональності (19) - (20) можна записати і в такому вигляді:

 (21)

(22)

Однак сітка буде ортогональною до межі області G, коли її частини є лініями рівня, тобто співпадають з криволінійними координатними лініями. Наприклад, це справедливо по відношенню до гідродинамічної сітки для задач фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному недеформівному середовищі, де змочені ділянки межі фільтрації є еквіпотенціальними лініями, а непроникні ділянки межі, ділянки ліній вільної поверхні є лініями току.

Для чисельної побудови відображення (8) - (12) або (9) - (14) параметричного прямокутника R на криволінійний чотирикутник G з допомогою ПК координатну сітку в R виберемо рівномірною з кроком h за обома координатами визначивши розташування вузлів (ц_і,ш_j) за правилом:

грунт адсорбція вода фільтрація

(23)

n, m - кількість поділів сторін параметричного прямокутника R.

Наведемо словесний опис алгоритму чисельної побудови конформного відображення параметричного прямокутника на криволінійний чотирикутник з допомогою ПК.

1. Введення вихідних даних.

2. Завдання межі області G.

3. Вибір початкових n і m.

4. Обчислення початкових наближень координат “плаваючих” вузлів на межі Г області G.

5. Вибір початкових наближень x_ij⁽⁰⁾, y_ij⁽⁰⁾ координат внутрішніх вузлів сітки.

6. Обчислення координат внутрішніх вузлів x_ij, y_ij різницевої сітки.

7. Уточнення координат “плаваючих” вузлів межі Г.

8. Якщо відхилення s на межі області перевищує задану точність, то іти в п. 6.

9. Обчислення відношення довжин криволінійних комірок с₁, с₂ для всієї сітки.

10. Якщо |с₁-1| < д і |с₂-1| < д, то переходимо до п. 4, в іншому випадку вибираємо нові m і n.

11. Виводимо координати отриманої різницевої сітки.

Література

1. Веригин Н.Н., Шержуков Б.С. Диффузия и масообмен при фильтрации жидкостей в пористых средах. // Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 - 1967). - М.: Наука, 1969. - с.237-313.

2. Власюк А.П. Математичне моделювання процесів масопереносу в областях з криволінійними фіксованими границями // Вісник Української державної академії водного господарства. Збірник наукових праць. Випуск 1. Част. 1. - Рівне. - 1998. - С.203-207.

3. Герасимчук А.А., Палеха Ю.І. Основи екології - соціальні, прикладні аспекти. - К.: 2001 р.

4. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереноса в пористых средах.-К.: Наук.думка,1991р.-262 с.

5. Мартинюк П.М., Власюк А.П. Дослідження існування та єдності розв'язку однієї квазілінійної параболічної системи диференційних рівнянь другого порядку // Препр. НАН України. Ін-т математики; 2001.03.-К.:2001.-20 с.

Размещено на Allbest.ru