Государственное прогнозирование социально-экономического развития

1. Важным моментом при исследовании динамики процесса является выбор интервалов между соседними уровнями ряда. Удобнее всего иметь дело с равноотстоящими друг от друга уровнями ряда. При этом, если выбрать слишком большой интервал времени, можно упустить существенные закономерности в динамике показателя. Например, по квартальным данным невозможно судить о месячных сезонных колебаниях. Информация может также оказаться слишком "короткой" для использования некоторых методов анализа и прогнозирования динамики, предъявляющих "жесткие" требования к длине рядов. В то же время, слишком малые интервалы между наблюдениями увеличивают объем вычислений, а также могут приводить к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию. Вопрос о выборе интервала времени между уровнями ряда должен решаться исходя из целей каждого конкретного исследования.

2. Одним из важнейших условий, необходимых для правильного отражения временным рядом реального процесса развития, является сопоставимость уровней ряда. Для несопоставимых величин неправомерно проводить исследование динамики. Появление несопоставимых уровней может быть вызвано разными причинами: изменением методики расчета показателя, изменением классификаций, терминологии и т.д. Например, уровни временного ряда, характеризующие количество малых предприятий, могут оказаться несопоставимыми из-за изменения самого понятия "малое предприятие". В большинстве случаев удается устранить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчета более ранних значений показателей с помощью формальных методов. Хотя далеко не всегда проведение такой обработки обеспечивает требуемую точность, что может привести к снижению ценности исходной информации, а, следовательно, и к затруднению дальнейшего анализа.

3. Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину. Например, при изучении сезонных колебаний на базе месячных или квартальных данных желательно иметь информацию не менее, чем за 3 года.

Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.

4. Временные ряды не должны иметь пропущенные наблюдения. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда).

5. Если в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.

6. Уровни временных рядов могут содержать аномальные значения или “выбросы". Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т.д. Выявление, исключение таких значений, замена их истинными или расчетными является необходимым этапом первичной обработки данных, т.к.

Применение математических методов к "засоренной" информации приводит к искажению результатов анализа. Однако, аномальные значения могут отражать реальное развитие процесса, например, "скачок" курса доллара в "черный вторник". Как правило, эти значения также заменяются расчетными при построении моделей, но учитываются при расчете возможной величины отклонений фактических значений от полученных по модели.

Соответствие исходной информации всем указанным требованиям проверяется на этапе предварительного анализа временных рядов. Лишь после этого переходят к расчету и анализу основных показателей динамики развития, построению моделей прогнозирования, получению прогнозных оценок.

Предварительный анализ данных.

В ходе предварительного анализа определяют соответствие имеющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими методами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции).

Для получения общего представления о динамике исследуемого показателя целесообразно построить его график. При графическом отображении динамики показателя во времени по оси абсцисс откладываются значения переменной t, а по оси ординат - соответствующие значения показателя Y(t).

К процедурам предварительного анализа относятся:

выявление аномальных наблюдений;

проверка наличия тренда;

сглаживание временных рядов;

расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Поэтому процедура выявления аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина [3 Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Федосеева. М.: ЮНИТИ, 1999.] Для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина :

Если рассчитанная величина превышает табличный уровень (например, для 10 наблюдений значение критерия Ирвина равно 1,5), то уровень считается аномальным. Аномальные наблюдения необходимо исключить из временного ряда и заменить их расчетными значениями (самый простой способ замены - в качестве нового значения принять среднее из двух соседних значений).

Следующая процедура этапа предварительного анализа данных - выявление наличия тенденций в развитии исследуемого показателя. Отметим, что тенденция прослеживается не только в увеличении или уменьшении среднего текущего значения временного ряда, но она присуща и другим его характеристикам: дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими показателями и т.д. тенденцию среднего визуально можно определить из графика исходных данных. Процедура проверки наличия или отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей по существу, состоит в статистической проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда:

Эта процедура может быть осуществлена с помощью различных критериев [Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998] приведем некоторые из них.

* ^ Критерий серий, основанный на медиане. Расположим члены анализируемого временного ряда в порядке возрастания, т.е. образуем ряд:

Определим выборочную медиану по формуле

После этого мы образуем «серии» из плюсов и минусов, на статистическом анализе которых основана процедура проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда.

По исходному временному ряду, построим последовательность из плюсов и минусов следующим образом: вместо xt ставится «+», если , и «-», если (члены временного ряда, равные , в полученной таким образом последовательности плюсов и минусов не учитываются).

Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется общим числом серий n(n) и протяженностью самой длинной серии t(n). При этом под «серией» понимается последовательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов. Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня (т.е. справедлива гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда), то чередование «+» и «-» в построенной последовательности должно быть случайным, т.е. эта последовательность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» или «-», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целесообразно рассматривать одновременно пару критических статистик (n(n); t(n)).

Справедлив следующий приближенный статистический критерия проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда:

окажется нарушенным, то гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки a, такой, что 0,05 < a < 0,0975 и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении Y(t) =f(t)+ S(t)+U(t)+(t).

* Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера.

Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако правило образования этой последовательности в данном критерии иное. Здесь на i-ом месте вспомогательной последовательности ставится «+», если yi+1 - yi > 0, и «-», если yi+1 - yi < 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них). Последовательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать возрастанию результатов наблюдения, а последовательность «-» (нисходящая серия) - их убыванию. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их протяженность - слишком большой.

При уровне значимости 0,05 < a < 0,0975 критерий вид:

где величина t0(n) определяется следующим образом:

n

nЈ 26

26 < nЈ 153

153 < nЈ 1170

t0(n)

t0 = 5

t0 = 6

t0 = 7

Если хотя бы одно из неравенств (3.4.6) окажется нарушенным, то гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда следует отвергнуть.

* ^ Один из способов проверки обнаружения тренда основан на сравнении средних уровней ряда: временной ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение незначительно, несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия тренда в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.

Сглаживание временных рядов. Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития. Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко.

Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда.

Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений.

Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.

Существующие методы сглаживания делят на две группы:

^ Методы первого типа (аналитические). Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей.

^ Методы механического сглаживания. При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней. Для сглаживания временных рядов часто используются методы простой и взвешенной скользящей средней, экспоненциального сглаживания.

^ Метод простой скользящей средней.

1. Согласно этому методу определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом используют правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляций уровней.

2. Вычисляется среднее значение наблюдений, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что m - нечетное число, по формуле:

При нечетном m значение параметра значение параметра p вычисляют следующим образом:

- среднее значение наблюдения , которое одновременно является сглаженным значением наблюдения, находящегося в центре интервала сглаживания при нечетном m.

p - количество наблюдений, стоящих по разные стороны от сглаживаемого.

Первым сглаженным будет наблюдение , где t=p+1.

3. Интервал сглаживания сдвигается на один член вправо и по формуле (3.4.8) находится сглаженное значение для t+1 наблюдения. Затем снова производят сдвиг и т.д.

Процедура продолжается до тех пор, пока в интервал сглаживания не войдет последнее наблюдение временного ряда.

Недостатком метода является невключение в процедуру сглаживания первых и последних p наблюдений временного ряда.

Метод простой скользящей средней возможно использовать, если графическое изображение ряда напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика развития исследуемого процесса. Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же желательно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, поскольку при этом:

выравниваются и выпуклые, и вогнутые линии;

происходит сдвиг волны вдоль ряда;

изменяется знак волны, т.е. на кривой, соединяющей сглаженные точки, вместо выпуклого участка образуется вогнутый и наоборот. Последнее имеет место в случаях, когда интервал сглаживания в полтора раза превышает длину волны.

Таким образом, если развитие процесса носит нелинейный характер, то применение метода простой скользящей средней может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование других методов сглаживания, например, метода взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней.

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:

для m=5 - веса (-3; 12; 17; 12; -3);

для m=7 - веса (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) .

Особенности весов:

1) симметричны относительно центрального члена;

2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1.

Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными.

^ Метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса. Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда St на момент времени t определяется по формуле:

St = ?yt + (1-?) St-1,

где ? - сглаживающий параметр, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем 0???1.

Величину St-1 представить в виде суммы фактического значения уровня yt-1 и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения St-2, взятых с соответствующими весами. Процесс такого разложения можно продолжить для членов St-2, St-3 и т.д. В результате получится следующее выражение:

St = ?yt + (1-?) St-1 = ?yt + (1-?) {?yt-1 + (1-?) St-2} =

= ?yt + ?(1-?) yt-1 + (1-?)2 {?yt-2 + (1-?) St-3} = (3.4.10)

= ?yt + ?(1-?) yt-1 + (1-?)2 yt-2 + ... + ?(1-?)k yt-k +...+ (1-?)ty0,

в котором среднее сглаженное значение является комбинацией всех предшествующих уровней ряда. Величина y0 характеризует начало условия процесса.

Формулу можно переписать короче через знак суммы:

St = ? ? (1-?)k yt-k + (1-?)t y0 (3.4.11)

где 0 ? k ? t-1 - число периодов отставания от момента t.

Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра ? и определение начального условия y0. От численного значения параметра ? зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра ?, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Задачу выбора параметра y0, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве y0, если таких сведений нет, то в качестве y0 используют исходное (первое) значение наблюдения временного ряда y1.

Расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста.

Показатель среднего абсолютного прироста используется для построения простейших так называемых наивных прогнозов.

Прогноз на k- шагов вперед на момент времени t=n+1получается по формуле:

Этот способ является очень привлекательным для многих экономистов и практических работников статистических органов ввиду своей простоты и легкости реализации. Однако, кроме указанных достоинств он имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, все фактические наблюдения являются результатом закономерности и случайности. Следовательно, "отталкиваться" от последнего наблюдения неправомерно. Во-вторых, нет возможности оценить правомерность использования среднего прироста в каждом конкретном случае. В-третьих, данный подход не позволяет сформировать интервал, внутрь которого попадет прогнозируемая величина и указать степень уверенности в этом. В этой связи данный подход используется лишь как первый ориентир будущего развития или же в условиях очень малого объема наблюдений при невозможности использования описываемых ниже статистических методов.

Автокорреляция во временных рядах.

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на ? единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом длину временного смещения называют обычно лагом (?).

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле

Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при ?= 1), второго порядка (при ?= 2) и т. д.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что = -. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34. Тогда коэффициент автокорреляции равен:

=КОРРЕЛ(А1:А33;А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка ?, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в ? моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Валовой внутренний продукт (ВВП) - представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования - стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) - квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 График.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

11. Основные показатели динамики экономических показателей

Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, которые могут быть цепными, базисными или средними.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда.

Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными.

Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста есть отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах. Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах, темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице 2.4 приведены формулы для вычисления базисных, цепных и средних показателей динамики. Средние показатели: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста определяются для получения обобщающих показателей динамики развития.

В таблице использованы следующие обозначения:

y1,y2, ... ,yt, ..., yn - уровни временного ряда в моменты времени t = 1, 2, ... , n;

n - длина временного ряда; yб - уровень временного ряда, принятый за базу.

Описание динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста:

- прогнозная оценка значения уровня в точке n+1;

- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда .

Чтобы получить прогноз на К шагов вперед, нужно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста, умноженное на К:

Такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Использование этого показателя для прогноза целесообразно для процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на К шагов вперед может быть получено по формуле:

К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияние промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

Прогнозирование по методу экспоненциальных средних

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов являются адаптивные методы.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень "устаревания" данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением "свежих" фактических данных параметры кривых пересчитываются заново.

Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается "весомость" каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их "возраста" можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Примером простейшей адаптивной модели является экспоненциальная средняя. Экспоненциальное сглаживание временного ряда производится итеративно (пошагово), причем массив прошлой информации представлен единственным значением сглаженного уровня ряда в предыдущий момент времени.

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула

Если последовательно использовать соотношение (2.10), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При

Таким образом, величина St является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом, веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от "возраста" наблюдений). Поэтому величина St названа экспоненциальной средней.

Например, если б = 0,3, то вес текущего наблюдения yt будет равен 0,3; вес предыдущего уровня yt-1 будет соответствовать б*в = 0,3*0,7=0,21; для уровня yt-2 вес составит б*в2 = 0,3*0,72=0,147; для yt-3 вес б*в3 = 0,3*0,73 = 0,1029 и т.д.

Пусть модель временного ряда имеет вид:

Английский математик Р. Браун показал, что дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда

Из следует, что при высоком значении б дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением б дисперсия экспоненциальной средней уменьшается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, необходимо увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением б, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину б нужно уменьшить.

Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания б составляет задачу оптимизации модели.

Часто поиск оптимального значения б осуществляется путем перебора и в качестве оптимального выбирается такое значение, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Обычно параметр сглаживания принимается равным в интервале от 0,1 до 0,3.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид: yt = a1,t + et, где a1,t - варьирующий во времени средний уровень ряда, et - случайные не автокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Прогнозная модель определяется равенством

где - прогноз, сделанный в момент t на ф единиц времени (шагов) вперед; - оценка параметра в момент времени t.

Единственный параметр модели a1,t определяется экспоненциальной средней: a 1,1 = St ; a 1,0 = S0.

Величину можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St-1.

12. Временный ряд

Временным рядом называется ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.

Отдельно взятый временной ряд можно представить как выборочную совокупность из бесконечного ряда значений показателей во времени.

Уровнями временного ряда называются наблюдения из которых состоит данный ряд.

Временной ряд называется моментным рядом, если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.

Временной ряд называется интервальным рядом, если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.

Временной ряд называется производным рядом, если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).

Исследование данных, представленных в виде временных рядов, преследует две основные цели:

1) характеристика структуры временного ряда;

2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.

Достижение поставленных целей возможно с помощью идентификации модели временного ряда.

Идентификацией модели временного ряда называется процесс выявления основных компонент, которые содержит изучаемый временной ряд.

Временные ряды могут содержать два вида компонент - систематическую и случайную составляющие.

Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.

Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:

1) тренд;

2) сезонность;

3) цикличность.

Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.

Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.

Систематические составляющие характеризуются тем, что они могут одновременно присутствовать во временном ряду.

Случайной составляющей называется случайный шум или ошибка, которая воздействует на временной ряд нерегулярно.

К основным причинам, по которым возникает случайный шум, относят факторы резкого и внезапного действия, а также действия текущих факторов.

Катастрофическими колебаниями называется случайный шум, в основе возникновения которого лежат факторы резкого и внезапного действия.

Шум, в основе возникновения которого лежит действие текущих факторов, может быть связан также с ошибками наблюдений.

Отдельный уровень временного ряда обозначается как yt. Его можно представить в виде функции от основных компонент временного ряда следующим образом:

yt=f(T,S,C,?),

где T - это трендовая компонента,

S - это сезонная компонента,

C - это циклическая компонента,

? - случайный шум.

Существует несколько основных моделей временных рядов, к которым относятся:

1) аддитивная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой слагаемые:

yt=Tt+St+Ct+?t;

2) мультипликативная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой сомножители:

yt=Tt*St*Ct*?t;

3) комбинированная модель временного ряда:

yt=Tt*St*Ct+?t.

13. Прогнозирование с помощью моделей кривых роста

Удобным средством описания одномерных временных рядов является их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выравненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1. Выбор одного или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временных рядов.

2. Оценка параметров выбранных кривых.

3. Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста.

4. Расчет точечного и интервального прогнозов.

5. Оценка прогноза.

Кривые роста могут быть разделены на 3 класса. К первому классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Ко 2 классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. Эти функции называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то они относятся к 3 классу - к S-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных процесса, когда прирост зависит уже от достигнутого уровня. Причем один развивается с ускорением, другой - с замедлением.

Среди кривых роста 1-го класса выделяют класс полиномов:

Yt=a0+a1t+a2t+…aptp

ao…p - параметры (коэффициенты) полинома.

t - время.

Параметры полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания временного ряда. Например, параметр а0 - это начальный уровень ряда при t=0. Параметр а1 можно трактовать как скорость роста, а2 как ускорение роста.

Полином первой степени - это прямая:

Yt=a0+a1t

Основные свойства тренда в форме прямой:

1) равные изменения за равные промежутки времени (цепные приросты = изменению);

2) если средний абсолютный прирост - положительная величина, то относительные приросты (темпы прироста) постепенно уменьшаются;

3) если средние абсолютные изменения - отрицательная величина, то относительные изменения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

4) если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее значение параметра а1 не может быть больше среднего уровня (т.е. «а0»);

5) при линейном тренде ускорение (т.е. разность абсолютных значений за последовательные периоды)=0

Полином 2-ой степени:

Yt=a0+a1t+a2t2

Парабола применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.

Параболический тренд обладает следующими свойствами:

1) неравные, но равномерно возрастающие или убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени;

2) поскольку а0 как правило величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров а1 и а2.

При а1>0 и а2>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию с ускоренному росту уровней.

При а1<0 и а2<0 имеем нисходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному сокращению уровней.

При а1>0 и а2<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, если их по существу можно считать единым процессом.

При а1<0 и а2>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви, если их можно считать единым процессом.

3) В зависимости от соотношения между параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время увеличиваться. Но при достаточно длительном периоде темпы роста начинают изменяться, а темпы сокращения уровней начинают возрастать.

Полином 3-й степени:

Yt=a0+a1t+a2t2+a3t3

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться 1 или 2 раза.

Отличительная черта полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат.

Нахождение параметров полиномов определяется методом наименьших квадратов. С учетом переноса начала координат в середину ряда параметры для уравнения прямой определяются по следующему алгоритму:

а0= а1=

Для параболы:

а0=-

а1=

а2=

К первому классу кривых роста относятся также экспоненциальные кривые. Для них характерным является зависимость приростов от величины самой функции..

Наиболее часто применяется простая экспоненциальная кривая, которая имеет вид yt=abt

Если b>1, то кривая растет вместе с ростом t.

Если b<1, то тренд отражает замедляющиеся неравномерно уменьшение уровней.

Для нахождения параметров экспоненты данное выражение логарифмируют.

Существует другая разновидность экспоненциальных кривых - логарифмическая парабола:

Yt= abtct

Ко второму классу кривых относят модифицированную экспоненту:

yt=к+abt

Она описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор (асимптота).

При решении экономических задач значение асимптоты можно определить исходя из свойств прогнозируемого явления. Иногда значение асимптоты задается экспертным путем.

Наиболее часто применяемыми кривыми 3-го класса является кривая Гомперца:

yt=к+abt

Логистическая кривая:

к+abt

Основные типы кривых роста подробно описаны и иллюстрированы графически в монографии Е.М. Четырки- на (9):

1. Полиномы (многочлены).

2. Экспоненты.

3. Логистические кривы

14. Методы определения параметров отобранных кривых роста

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых. Для полинома первой степени система нормальных уравнений имеет вид: , ; где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени имеет вид (48) ; и т.д. Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному): т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели. При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой. Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.

Наиболее простой метод - визуальный, опирающийся на графическое изображение временных рядов. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если тенденция на графике просматривается недостаточно четко, то проводят преобразование исходного ряда. В литературе описан также метод последовательных разностей (помогает в выборе кривых параболического типа).

Этот метод применяют при выполнении следующих предположений:

1) уровни ряда могут быть представлены в виде суммы трендовой составляющей и случайной компоненты, подчиненной закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю и постоянной дисперсией; метод последующих разностей предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда:

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Этот прием можно использовать для преобразования временного ряда. При равных или равных первых разностях можно рассчитать теоретические значения уровней ряда:

Утеор =у+

В отдельных случаях используют метод характеристик прироста. Процедура выбора кривых роста с использованием этого метода включает:

1) выравнивание ряда по скользящей средней;

2) определение средних приростов;

3) вычисление производных характеристик прироста

Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов.

Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей.

Однако, чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т.к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений.

Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m точек. Кроме того, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста.

В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:

Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора.

В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде.

Для многих процессов в экономике характерно наличие связи между значениями исследуемого показателя в предпро- гнозном и прогнозном периодах. Зависимость от времени проявляется в данном случае через характеристики внутренней структуры процесса в предшествующем периоде.

Уравнение, выражающее величину переменной yt в момент t через значения этой переменной в моменты (t -\),(t ~2),...,(t-р), называется уравнением авторегрессии. В линейной форме уравнение имеет вид:

Уг = «1^-1 + «2^-2 + * * * + aPyt-P + et>

где st - случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием и дисперсией сг?

Применение авторегрессионных моделей основано на предварительном экономическом анализе, когда известно, что изучаемый процесс в значительной степени зависит от его развития в прошлые периоды. В некоторых случаях они используются для нахождения простого преобразования, приводящего к последовательности независимых случайных величин.

Существует другое определение авторегрессионной модели: модель стационарного процесса, выражающего значение показателя в виде линейной комбинации конечного числа предшествующих значений этого показателя и аддитивной случайной составляющей.

В процессе анализа реальных экономических явлений понятие стационарности может быть лишь удобной абстракцией для применения статистических моделей.

Количество уровней, включенных в правую часть уравнения авторегрессии, определяет порядок уравнения.

Для предварительного изучения особенностей автокорреляционного взаимодействия элементов ряда целесообразно проводить графический анализ исходных данных путем нанесения на координатные поля пар значений (У,,У,-МУ{>У{-2\->(У,,У,-Р)- Интервалы времени (t,i -k),k = 1,2,3,...,р, характеризующие удаленность сопоставляемых уровней ряда друг от друга, называются периодом запаздывания. Он показывает, через какой промежуток времени изменение переменной yt_k окажет воздей- ствие на yt. Изучение графических построений для различных к позволяет приближенно оценить направление и силу связи между близлежащими членами ряда.

Для оценки тесноты связи используется коэффициент автокорреляции, определяемый по формуле:

2 п-к ^ п

П t=1 п t=l

Определив гк для нескольких интервалов запаздывания в диапазоне 1 < к < п / 4 , можно получить так называемую автокорреляционную функцию, показывающую, как изменяется коэффициент автокорреляции по мере увеличения расстояния между сопоставляемыми уровнями временного ряда.

Автокорреляционная функция характеризуется тенденцией к затуханию колебаний, т.е. уменьшению абсолютной величины коэффициента. Вследствие этого для ее анализа используются такие характеристики, как период колебаний, частота колебаний, амплитуда колебаний, фаза, т.е угловая величина отклонения автокорреляционной функции от нулевого состояния.

Оценка параметров уравнений авторегрессии выполняется методом наименьших квадратов. Прогнозирование на основе авторегрессионной модели представляет многоэтапную процедуру, каждая стадия которой позволяет определить величину показателя на очередной единичный отрезок времени.

В качестве простейшего критерия адекватности уравнения авторегрессии исходному временному ряду может использоваться показатель абсолютного среднего отклонения, определяемый по формуле:

Z к-яI= n-p-l + l

Сферой применения моделей авторегрессии является моделирование спроса на предметы текущего потребления, изменение складских запасов и другие составляющие логистических процессов.

15. Определения доверительных интервалов прогноза

Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень -- время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

...