Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Индексы

Доцент Терлиженко И.Н.

Минск 2010 г.

Содержание

1. Сущность индексов. Задачи, решаемые при помощи индексов

2. Принципы и методы исчисления общих индексов

3. Средние индексы

4. Индексы с различной базой сравнения и с различными весами

5. Индексы динамики средних величин (индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов)

5.1 Анализ динамики средних величин качественных показателей

5.2 Анализ динамики общего объема результативного показателя (в разрезе влияния трех факторов)

5.3 Анализ динамики средних величин на основе изучения влияния структурных сдвигов нескольких уровней

5.4 Анализ динамики средних величин в системе многофакторных индексов

5.5 Статистический анализ расхождений в системах с внутренней структурой

6. Принципы построения многофакторных индексов

6.1 Мультипликативные модели

6.2 Аддитивные модели

7. Территориальные индексы

Литература

1. Сущность индексов. Задачи, решаемые при помощи индексов

Слово индекс (index) латинское, которое означает указатель, показатель.

Индекс в статистике - это обобщающий относительный показатель, рассчитываемый по совокупности явлений и по взаимосвязи признаков. В этом случае индексы получаются в результате сравнения значений одного признака, но рассматриваемого не изолированно, не самостоятельно, а в системе взаимосвязи признаков.

При помощи индексов решается ряд задач:

1. дается сравнительная характеристика явлений во времени (динамические индексы);

2. производятся пространственные сравнения (территориальные индексы);

3. на основе моделей взаимосвязи признаков определяется роль влияния отдельных факторов на изменение сложного явления (результативного признака);

4. исследуется влияние структуры совокупности на изменение качественных показателей;

5. индексный метод анализа позволяет рассчитывать обобщающие показатели сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию;

6. индексный метод анализа сложных экономических явлений позволяет рассчитывать не только относительные величины, но и показатели абсолютных изменений (приростов).

Наряду с перечисленными положениями при помощи индексов решаются и ряд специфических задач, которые будут рассмотрены в данном тексте лекции.

Различают индексы индивидуальные и общие. Индивидуальные индексы дают сравнительную характеристику отдельных элементов той или иной совокупности. Прежде всего индекс - это относительный показатель, получающийся в результате сравнения двух абсолютных величин, характеризующих уровень изучаемого явления для двух разных периодов (в динамических индексах). Величина, которую сравнивают и которая обычно стоит в числителе индексного отношения и характеризует уровень для отчетного периода, а величина, с которой производится сравнение, обычно стоит в знаменателе индексного отношения характеризует уровень для базисного периода. Индекс как относительный показатель может быть выражен в виде коэффициентов (когда базисный уровень принят за 1) или в виде процентов (когда он принят за 100).

Индивидуальный индекс достаточно прост в своем расчете и здесь никаких методологических трудностей не возникает. Применительно к анализу динамики социально-экономических явлений индивидуальные индексы представляют собой обычные относительные показатели темпов роста.

Индивидуальные индексы физического объема рассчитываются по формуле:

,

где:

- обозначение индивидуального индекса физического объема;

q0 - физический объем продукции в базисном периоде;

q1 - физический объем продукции в текущем (отчетном) периоде;

Так, например, в 2000 г. в Республике Беларусь было произведено 812,0 тыс. шт. холодильников и морозильников, а в 2005 г. - 994,5 тыс. шт.

Следовательно,

, или 122,5%.

В 2005 г. по сравнению с 2000 г. производство холодильников и морозильников в республике Беларусь возросло на 22,5% (122,5 - 100).

Индивидуальный индекс цен вычисляется по формуле:

,

где ip - обозначение индивидуального индекса цен;

р0 - цена единицы изделия в базисном периоде;

р1 - цена единицы изделия в отчетном периоде.

Допустим, цена холодильника в 2000 г. равнялась 600 тыс. р., а в 2005 г. такой же марки - 810 тыс. р. Вычислим индивидуальный индекс цен:

, или 135,0%.

В 2005 г. по сравнению с 2000 г. цена холодильника возросла на 35% (135 - 100).

Общие индексы характеризуют изменение совокупности в целом (в среднем). Индексная система признаков включает в себя как признак, изменение которого непосредственно интересует исследователя, так и другие признаки во взаимосвязи с которым находится интересующий нас признак. При этом в индексном отношении признак, изменение которого интересует исследователя, принимается за переменную (индексируемую) величину, т.е. в числителе и знаменателе она имеет разное числовое значение, а другие признаки по каждому элементу совокупности принимаются как условно-постоянные: в числителе и знаменателе они имеют одинаковые числовые значения.

Признаки, которые в индексном отношении в числителе и знаменателе берутся условно-постоянными, называются весами факторных индексов. Так, например, при расчете общего индекса цен условно-постоянными весами выступает количество единиц соответствующих видов изделий, а при расчете общего индекса физического объема продукции в качестве условно-постоянных величин (весов) выступают уровни цен соответствующих видов продукции.

Совокупность элементов, по набору которых рассчитываются общие индексы, называется индексным набором. Так при расчете общего индекса цен в качестве индексного набора может выступать перечень видов товаров; при расчете общего индекса урожайности зерновых культур - перечень (набор) видов зерновых культур и т.д.

Основная идея расчета общих индексов состоит в том, что они строятся по схеме взаимосвязи признаков, последовательно элиминируя при этом влияние всех остальных признаков, кроме исследуемого.

2. Принципы и методы исчисления общих индексов

Общие индексы, построенные по взаимосвязи признаков, принято называть агрегатными. Они представляют основную форму экономических индексов. Система агрегатных индексов должна удовлетворять ряду условий: во-первых, связь между признаками-факторами и результативным признаком должна быть строго функциональной; во-вторых, для того, чтобы рассчитать общий индекс необходимо прежде всего преодолеть несуммарность отдельных элементов изучаемого явления; в-третьих, взаимосвязь признаков должна отражать реальные экономические явления и процессы.

Схемы построения общих индексов базируются на определенных типах моделей.

Основными из них являются:

мультипликативные модели, когда произведение признаков-факторов представляет величину результативного признака; в частности, произведение цены на количество изделий даст величину стоимости продукции;

аддитивные модели, когда сумма отдельных элементов совокупности дает значение всего объема этой совокупности; допустим, сумма отдельных элементов затрат производство соответствует общей сумме затрат; аддитивно-мультипликативные (смешанные) модели; в этом случае отдельные блоки экономического явления представлены произведением факторов, а общий результат - суммой составных частей (блоков).

В статистических исследованиях основным приемом изучения являются мультипликативные модели. На их основе определяется влияния каждого из факторов системы взаимосвязанных признаков на результативный признак.

Рассмотрим принципы и методы исчисления общих индексов на примере следующей двухфакторной мультипликативной модели взаимосвязи признаков:

Стоимость продукции=Цена 1 изделия Количество изделий;

(2.1.)

Связь между индексами (относительными величинами) выражается в тех же соотношениях, что и связь между исходными абсолютными величинами. Следовательно:

.(2.2.)

Все агрегатные индексы строятся на основе взаимосвязи исходных признаков, т.е. в нашем случае на основе произведения цен и количества продукции. Произведение агрегатных индексов цен и физического объема продукции равно индексу стоимости продукции. Это равенство выполняется только при условии, что один из факторных агрегатных индексов взят по весам отчетного (текущего) периода, а второй - по весам базисного периода. В случае индексирования по одинаковым весам (отчетного или базисного периодов) равенство во взаимосвязи агрегатных индексов не выполняется.

Вопрос о выборе периода весов при построении агрегатных факторных индексов в теории статистики решается следующим образом:

1) если в агрегатных факторных индексах сравниваемой (индексируемой) величиной выступают качественные (интенсивные) признаки, то в таких индексах веса фиксируются на уровне отчетного (текущего) периода;

2) если же агрегатных факторных индексах сравниваемой выступают объемные (экстенсивные) признаки, то в таких индексах веса закрепляются на уровне базисного периода.

В соответствии с этими рекомендациями в вышеприведённой системе агрегатных факторных индексов (2.2), выбор периода весов обозначен следующим образом: в агрегатном индексе цен (здесь индексируется качественный признак) веса взяты на уровне отчетного периода, а в агрегатном индексе физического объема (индексируется объемный признак) веса зафиксированы на уровне базисного периода.

Рассмотрим расчет агрегатных индексов товарооборота, цен и физического объема продукции на примере. Для простоты расчетов возьмем только три вида продуктов: молоко, мясо и картофель (см. табл. 2.1.):

Таблица 2.1.

Объемы продаж и цены на продукты за два смежных периода:

Продукт	Ед. измерения	Базисный период	Отчетный период	Индивидуальные индексы	p0q0	p1q1	p0q1
		Объем продаж (q0)	Цена (тыс. руб.) (р0)	Объем продаж (q1)	Цена (тыс. руб.) (р1)	объема продаж	Цен
А	Б	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Молоко	л	2000	0,7	2500	0,84	1,25	1,20	1400	2100	1750
Мясо	кг	800	9,2	900	10,0	1,125	1,087	7360	9000	8280
Картофель	кг	5000	0,5	4800	0,65	0,96	1,30	2500	3120	2400
Итого						1,104	1,144	11260	14220	12430

Индивидуальные индексы показывают, что в отчетном периоде по сравнению с базисным объем продажи молока и мяса возросли на 25 и 12,5%, а картофеля уменьшился на 4%. Цены возросли на молоко на 20%, на мясо - на 8,7%, на картофель - на 30%.

Вычислим общие индексы товарооборота (выручки), цен и физического объема продукции.

Общий индекс товарооборота вычислим на основе данных табл. 2.1. сравнения сумм гр. 8 и гр. 7.

В отчетном периоде по сравнению с базисным выручка от продажи всех трех видов продукции возросла в среднем на 26,3%.

Общий индекс цен рассчитаем сравнивая данные итогов гр. 8 и гр. 9 табл. 2.1:

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на продукты в среднем возросла на 14,4% (значение общего индекса цен приведено по итогу гр. 6 табл. 2.1).

Определим общий индекс физического объема продаж продуктов. В этом случае сравним данные итогов гр. 9 и гр. 7 табл. 2.1.:

Объем продаж продуктов в среднем возрос на 10,4% (значение общего индекса физического объема приведено в итоговой строке гр. 5 табл. 2.1).

Проверка взаимосвязи вычисленных общих индексов:

Вычитая из числителя каждого индекса его знаменатель, получим показатели абсолютных изменений (приростов). Абсолютное изменение стоимости продаж составит:

Прирост этот может быть рассчитан и по отдельным видам продуктов: по молоку он составил 700 тыс. р. (2100-1400), по мясу - 1640 тыс. р. (9000-7360), по картофелю 620 тыс. р. (3120-2500).

Определим абсолютное изменение стоимости продаж продуктов за счет изменения уровня цен:

По отдельным видам продуктов этот абсолютный прирост составит: по молоку - 350 тыс. р. (2100-1750), по мясу - 720 тыс. р. (9000-8280), по картофелю - 720 тыс. р. (3120-2400).

Абсолютный прирост стоимости продаж за счет изменения физического объема продукции получим, вычитая из числителя индекса физического объема его знаменатель:

Представим общий абсолютный прирост в разрезе отдельных видов продуктов: по молоку - 350 тыс. р. (1750-1400), по мясу - 920 тыс. р. (8280-7360), по картофелю - (-100) тыс. р. (2400-2500).

Взаимосвязь абсолютных приростов может быть представлен в таком виде:

Структуру абсолютного прироста определим по схеме:

Из общего прироста стоимости продаж продуктов 60,5% получено за счет роста цен и 39,5% - за счет увеличения объема продаж.

Поделив показатели абсолютного прироста стоимости продаж товаров на стоимость продаж базисного периода , получим схему разложения общего темпа прироста стоимости продаж по составляющим элементам (за счет изменения цен и физического объема продаж):

индекс статистический многофакторный экономический

Результаты проведенных расчетов представим в табл. 2.2

Таблица 2.2.

Анализ динамики стоимости продаж продуктов в отчетном периоде по сравнению с базисным

Показатель	Индекс,%	Абсолютное изменение стоимости продаж, тыс. р.	Абсолютное изменение стоимости продаж в % к уровню стоимости базисного периода	Структура абсолютного прироста стоимости продаж,%
Изменение стоимости продаж	126,3	2960	26,3	100,0
в том числе:
за счет изменения уровня цен	114,4	1790	15,9	60,5
за счет изменения физического объема продаж	110,4	1170	10,4	39,5

Одним из направлений в построении индексов является подход, когда все факторные индексы рассчитываются по базисным весам. В данном случае произведение факторных агрегатных индексов не даст индекс результативного показателя. Выполнение условия полной взаимосвязи индексов в этой схеме возможно в результате введения в нее дополнительного индекса ковариации В рассматриваемом нами примере таким индексом будет выступать выражение, в котором индекс цен по отчетным весам делится на индекс цен по базисным весам.

Схема взаимосвязи индексов в этом случае будет иметь вид:

Наряду с ранее уже произведенными расчетами необходимо дополнительно вычислить показатель

Определим индекс цен по базисным весам:

На основе данного индекса можно сделать вывод, что в отчетном периоде по сравнению с базисным (в случае взвешивания по базисным весам) цены на продукты возрастут в среднем на 4%. В то время как на основе индекса цен, исчисленного по отчетным весам, цены возрастают в среднем на 14,4%. Эти расхождения в результатах произошли вследствие различий в выборе периода весов при построении агрегатных индексов цен.

Влияние структуры весов при исчислении индексов цен отразится в индексе ковариации (ранее его называли индексом ассортимента):

Очевидно, что индекс цен, исчисленный по отчетным весам, усиливает динамику повышения цен.

В общей конструкции взаимосвязь индексов в изолированной схеме (по системе базисных весов) будет иметь вид:

В данной системе взаимосвязи индексов нет необходимости рассчитывать индекс ковариации для индекса физического объема продаж, поскольку этот индекс и в первом и втором вариантах построен по базисным весам.

3. Средние индексы

Агрегатные индексы можно преобразовать в средние индексы. Различают средний арифметический и средний гармонический формы индексов.

Средний арифметический индекс является формой алгебраического преобразования агрегатных факторных индексов объемных (экстенсивных) показателей. Рассмотрим как производится преобразование агрегатного индекса физического объема в индекс среднеарифметический. В качестве исходной формы общего индекса возьмем агрегатный индекс физического объема продукции:

Для преобразования используем значение индивидуального индекса объема продукции из которого следует, что q1=iqq0. Воспользуемся этим равенством и в числителе агрегатного индекса заменим q1 через iqq0. Знаменатель индекса оставим без изменения. Тогда формула индекса физического объема продукции примет такой вид:

В таком виде индекс физического объема продукции выступает как среднеарифметическая величина из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базисного периода (q0p0). Только при этой системе весов средний арифметический индекс продукции будет тождественен исходному агрегатному индексу и даст количественно тот же результат. Любая другая система весов (допустим, q1p1, если q1p0, или q0p1) неприменима в среднем арифметическом индексе объема продукции.

Среднеарифметический индекс объема продукции можно вычислить и по удельным весам стоимости продукции базисного периода, т.е.

После соответствующих преобразований получим такую формулу расчета среднего арифметического индекса объема продукции:

Если выполняется условие, что то формула расчета среднего арифметического индекса физического объема примет вид:

Так как то получим формулу среднеарифметического не взвешенного индекса физического объема продукции, а именно:

Покажем расчет среднего арифметического индекса физического объема продукции на примере (табл. 3.1.).

Таблица 3.1.

Исходные данные для расчета среднего арифметического индекса физического объема продукции

Вид продукта	Выручка от реализации продуктов в базисном периоде, млн. р. (q0p0)	Изменение физического объема продаж в отчетном периоде по сравнению с базисным, %	Индивидуальные индексы физического объема
А	1	2	3
Молоко	300	+20	1,20
Мясо	600	+15	1,15
Картофель	100	-2	0,98
Итого	1000	14,8	1,148

В отчетном периоде по сравнению с базисным объем продаж возрос в среднем на 14,8% (114,8-100).

Предположим, что выручка от продаж продуктов возросла на 35%. Определить, как изменились цены за этот же период? Будем исходить из взаимосвязи индексов:

Отсюда

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на продукты в среднем возросли на 17,6% (117,6-100). Значения расчетов среднего арифметического индекса объема продукции приведены в итоговой строке табл. 3.1. (гр. 2 и 3).

Агрегатный индекс может быть преобразован не только в средней арифметической, но и в средний гармонический. Эта форма индекса получается в результате алгебраического преобразования агрегатных факторных индексов качественных (интенсивных) показателей. В этом случае необходимо, допустим, иметь данные об индивидуальных индексах цен Из формулы расчета индивидуального индекса цен узнаем, чему равняется цена базисного периода:

Воспользуемся этим равенством и в знаменателе агрегатного индекса цен заменим Р0 через Числитель индекса оставим без изменения. Тогда формула индекса цен примет такой вид:

Выведенная формула индекса цен выступает как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов цен, взвешенная по величине фактического товарооборота отчетного периода (p1q1). По такой системе весов средний гармонический индекс будет тождественен агрегатному индексу. Применение других систем весов здесь неприемлемо, так как в этих случаях не получим количественный результат, аналогичный агрегатному факторному индексу качественного показателя (цен, себестоимости, урожайности и т.д.).

Таблица 3.2.

Исходные данные для расчета среднего гармонического индекса цен

Вид продукта	Выручка от реализации продуктов в отчетном периоде, млн. р. (p1q1)	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %	Индивидуальные индексы цен
А	1	2	3
Молоко	500	без изменения	1,0
Мясо	600	+20	1,20
Картофель	190	-5	0,95
Итого	1290	6,7	1,067

Вычислим общий индекс цен:

, или 106,7%

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на продукты возросли в среднем на 6,7% (106,7 - 100). Значения расчета среднего гармонического индекса цен приведены по итоговой строке табл. 3.2. (гр. 2 и 3).

4. Индексы с различной базой сравнения и с различными весами

Индексы, как и относительные показатели динамики, могут быть цепными и базисными. В этом случае используется система индексов, которая последовательно характеризует изменения, происходящие в течение избранного интервала времени. Если показатели (уровни) каждого периода, включенного в рассматриваемый интервал, сравниваются с уровнями одного периода, то такие индексы, входящие в данную систему, будут именоваться базисными. Если же показатели (уровни) сравниваются между собой последовательно, т.е. каждый уровень сравнивается с примыкающим к нему предшествующим уровнем, то в этом случае индексы называются цепными.

В индексном ряду, где индексы исчисляются по весам отчетного периода, веса будут переменными, потому что отчетный период для каждого индекса различный. Поскольку индексы цен исчисляются только по весам отчетного периода, то индексы цен за несколько лет будут индексным рядом с переменными весами.

Цепные индексы цен по текущим (переменным) весам представим в виде схемы:

Базисные индексы цен по текущим весам запишем в таком виде:

.

В индексах объемных показателей взвешивание производится по весам базисного периода. Здесь имеется возможность для всего индексного ряда закрепить веса на уровне какого-то одного периода, образовав, таким образом, индексный ряд с постоянными весами. Цепные индексы физического объема продукции с постоянными весами представим в таком виде

.

Базисные индексы физического объема продукции с постоянными весами представим выражением:

.

Индексы с постоянными весами имеют то преимущество, что для них действует правило, согласно которому произведение цепных индексов равно индексу базисному. Поэтому в индексном ряду с постоянными весами значительно легче изменять базу расчета.

В ряде случаев приходится прибегать к перемножению цепных индексов с переменными весами для того, чтобы получить индекс базисный. Но при этом надо иметь в виду, что при системе переменных весов не соблюдается строгое алгебраическое равенство. Известно, что индексы, рассчитанные по разным системам весов, содержат определенную ошибку погрешности. Величина этой погрешности определяется расхождением двух равновзвешенных индексов. Подобная проблема возникает в случае построения индексных рядов качественных показателей. Проф. Л.С. Казинец показал, что величина этой ошибки определяется равенством:

,

т.е. ошибка определяется произведением коэффициента корреляции между индивидуальными индексами цен и количества товаров на коэффициенты вариации индивидуальных индексов цен и индивидуальных индексов количеств. (См. Л.С. Казинец. Теория индексов. М., 1963 г., стр. 59). Если одна из величин произведения обращается в нуль, то ошибка исчезает.

5. Индексы динамики средних величин (индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов)

5.1 Анализ динамики средних величин качественных показателей

Анализ динамики средних величин имеет свои особенности: при их сравнении за два смежных периода получают индекс, который в статистике называют индексом переменного состава. Это связано с особенностями формирования самих уровней средних величин. Средний уровень определяется как вариацией значений осредняемого признака, так удельным весом единиц совокупности с данным значением признака в общей их численности, т.е.:

.(5.1.)

где - доля единиц совокупности каждого из вариантов осредняемого признака в общей их численности

Сравнивая средний уровень признака отчетного периода со средним уровнем признака базисного периода, вычисляют индекс переменного состава:

.(5.2.)

Принимая во внимание условия формирования средних величин, отметим, что на индекс переменного состава (динамику средних величин) оказывают влияние два фактора: во-первых, изменение уровней самого осредняемого признака и, во-вторых, изменение долей единиц совокупности с различными значениями признака (структурные сдвиги). Об этом более наглядно можно судить, если в формуле (5.2.) при расчете средних заменить частоты (fi) их удельными весами (di) (отношение единиц совокупности каждого из вариантов к общему итогу единиц совокупности), а именно:

(5.3.)

В аналитическом плане важно влияние каждой из компонент динамики средней величины (индекс переменного состава) выразить через систему соответствующих частных индексов. Влияние первой компоненты - вариации значений осредняемого признака - на динамику средней величины выразим при помощи индекса фиксированного (постоянного) состава:

.(5.4.)

Поскольку здесь в качестве индексируемой величины выступает качественный признак, то условно-постоянные веса фиксируются на уровне отчетного периода. Индекс фиксированного состава, в котором в качестве условно-постоянных весов выступают показатели долей (d), примет вид:

(5.5.)

Влияние второй компоненты - изменение структуры весов - на динамику средней величины выразим через индекс структурных сдвигов:

(5.6.)

Этот же индекс построенный по удельным весам (d), примет вид:

(5.7.)

В данном случае индекс структурных сдвигов служит показатель влияния сдвигов в структуре совокупности на изменение среднего значения конкретного качественного показателя. Индекс структурных сдвигов (5.7.) построен по весам базисного периода (полагаем, что структуру совокупности можно классифицировать как объемный показатель). Смысл индекса структурных сдвигов, взвешенного по весам базисного периода, состоит в том, что он измеряет степень изменения средней в результате сдвигов в удельных весах отдельных групп единиц, имеющих различные значения качественного показателя в базисном периоде, независимо от того, каковы значения качественного показателя у этих групп единиц в текущем периоде.

Наряду с общепризнанной методикой построения индекса структурных сдвигов по базисным весам, можно исчислить индекс структурных сдвигов и по весам отчетного периода вида:

(5.8.)

В этом случае, как уже было отмечено выше, возникают расхождения, связанные с различным подходом при выборе периода весов.

Уяснив методологию расчета индексов переменного и постоянного состава, а также индекса структурных сдвигов, покажем взаимосвязь этих индексов:



(5.9.)

Вычитая из числителя каждого из приведенной системы индексов его знаменатель, получим значения абсолютного прироста средней величины в целом и в разрезе влияния отдельных элементов динамики среднего уровня качественного признака:

(5.10)

- общее изменение средней величины;

- изменение средней величины за счет вариации уровней осредняемого признака;

- изменение средней величины за счет структурных сдвигов.

На основе взаимосвязи системы индексов (5.9.) индекс структурных сдвигов определяют:

.(5.11)_

Рассмотрим вычисление системы индексов (5.9.) на примере анализа динамики средней себестоимости I тыс. силикатного кирпича

Таблица 5.1.

Количество и себестоимость произведенного силикатного кирпича в базисном и отчетном периодах:

№ заводов	Произведено кирпича, тыс. шт.	Себестоимость 1 тыс. кирпича, тыс. р.	Индексы себестоимости продукции	Индексы физического объема продукции
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период z0	Отчетный период z1
	Кол-во q0	Уд. вес d0(q)	Кол-во q1	Уд. вес d1(q)
№1	1000	0,50	1500	0,60	400	380	0,95	1,5
№2	1000	0,50	1000	0,40	250	240	0,96	1,0
Итого	2000	1,00	2500	1,00	32,5	32,4	0,977	1,25

Вычислим общий индекс себестоимости переменного состава:

Средняя себестоимость I тыс. кирпича снизилась на 0,3%, т.е. меньше, чем по каждому из заводов в отдельности (5% и 4%).

На динамику средней себестоимости по двум заводам одновременно повлияли два фактора: изменение себестоимости единицы продукции и изменение доли отдельных заводов в общем объеме выпускаемой продукции, в частности увеличение выпуска продукции с более высоким уровнем себестоимости на первом заводе в общем выпуске возрос с 50% в базисном периоде до 60% - в отчетном.

Для того, чтобы установить, как изменилась средняя себестоимость за счет изменения только уровней себестоимости единицы продукции при постоянной структуре весов, исчислим индекс постоянного (фиксированного) состава:



По двум заводам себестоимость силикатного кирпича снизилась в среднем на 4,7%, причем за счет изменения только одного фактора, а именно уровней себестоимости единицы продукции при фиксированной структуре весов.

Степень влияния структурных сдвигов на изменение себестоимости можно определить при помощи индекса структурных сдвигов:

В результате того, что доля первого завода в общем объеме выпуска продукции (с более высоким уровнем себестоимости, чем на втором заводе) возросла во втором периоде по сравнению с базисным с 50 до 60%, средняя себестоимость одной тысячи кирпича возросла на 4,6%.

Взаимосвязь индексов:

Разности численностей и знаменателей приведенной системы взаимосвязанных индексов позволяет показать общее изменение средней себестоимости 1 тыс. кирпича в разрезе влияния отдельных факторов:

Общее изменение средней

себестоимости 1 тыс. кирпича

в том числе:

а) Изменение средней себестоимости

за счет изменения уровней себестоимости

единицы продукции

б) Изменение средней себестоимости

за счет влияния структурных сдвигов

Разложение общих индексов на факторные также дает возможность определить роль отдельных факторов в общем изменении явления. Так, в нашем примере общая экономия за счет двух факторов составляет:

в том числе: а) за счет изменения уровней себестоимости продукции:

б) за счет изменения структуры выпускаемой продукции

 (перерасход).

Отметим, что изучение динамики средних показателей индексным методом возможно лишь после группировки данных совокупности по признакам, характеризующим структурные сдвиги, и вычисления групповых средних.

5.2 Анализ динамики общего объема результативного показателя (в разрезе влияния трех факторов)

В целях детализации индексного анализа рассмотрим схему определения влияния трех факторов на динамику общего объема результативного признака (в нашем примере на изменение затрат на производство).

На динамику затрат на производство оказывают влияние факторы: во-первых, изменение уровней себестоимости единицы продукции по каждому из предприятий; во-вторых, изменение общего размера выпуска продукции по изучаемому кругу предприятий и, в-третьих, изменение структуры выпуска продукции (удельных весов объема выпуска продукции каждого предприятия в общем их выпуске).

Индексная модель взаимосвязи трех факторов выглядит примерно что так:

(5.12.)

На основе представленной схемы взаимосвязи индексов можно исчислить не только относительные показатели (значения общих индексов), но и абсолютные значения изменений (приростов) затрат на производство за счет влияния каждого из факторов, т.е.:

;(5.13.)

,

где:

- общий абсолютный прирост затрат на производство продукции

- абсолютный прирост за счет изменения уровней себестоимости продукции;

- абсолютный прирост за счет изменения объема продукции;

- абсолютный прирост затрат на производство влияния структурных сдвигов.

Взаимосвязь индексов:

Разложение абсолютного прироста затрат на производство в разрезе влияния отдельных факторов взаимосвязи индексов в окончательном варианте представим так:

Относительную величину значимости абсолютного прироста затрат на производство за счет каждого из факторов в общей величине абсолютного прироста затрат на производство получим:

;

;

100%=(-25,0%)+101,6%+23,4%.

5.3 Анализ динамики средних величин на основе изучения влияния структурных сдвигов нескольких уровней

В статистической практике важное значение имеет анализ структурных факторов, определяющих динамику средних величин качественных показателей, относящихся к разным уровням хозяйственного управления или территориальной иерархии. Так, например, возникают ситуации, когда динамика производительности труда по промышленности в целом может рассматриваться с учетом изменений в уровнях соответствующих показателей по соответствующим отраслям и подотраслям промышленности. Специфика проблемы заключается в том, что структурные сдвиги, подлежащие отражению в соответствующих индексах относятся к разным уровням управления (овощеводческие хозяйства пригородной зоны, объединения, главк, министерство).

Методика подобного анализа четко изложена проф. Адамовым В.Е. в книге "Факторный индексный анализ". В лекции приведем адаптированный к учебным целям порядок расчета индексов с многоуровневой структурой.

Динамика среднего уровня выработки по объединению будет зависеть от двух факторов: изменения уровня выработки по каждому из хозяйств объединения и от изменения доли каждого из хозяйств в общей численности работников объединения. Влияние изменений каждого их этих факторов на динамику средней выработки будет оценено обычными индексами фиксированного состава и влияния структурных сдвигов. Исходной для анализа моделью будет формула:

(5.14.)

где: х - уровень выработки в каждом из хозяйств;

dc - доля работников отдельных хозяйств в общей их численности по объединению;

- средняя по объединению выработка на одного работника.

Динамика средней выработки по главку зависит от изменения средней выработки по объединениям, входящим в состав главка, и от изменения доли численности работников этих объединений в общей численности работников по главку. Исходная модель средней для анализа на этом уровне обобщения будет иметь вид:

(5.15)

где d0 - доля работников объединения в общей их численности по главку;

- средняя выработка на одного работника по главку.

Подставив в формулу (5.15.) вместо средней ее развернутое выражение из формулы (5.14), получим модель, в которой учтено влияние структурных факторов на двух уровнях управления:

(5.16.)

Динамика средней выработки по отрасли (министерству) в целом зависит от изменения средней выработки по каждому из главков и от изменения долей численности работников каждого главка в общей их численности по отрасли. На этом уровне исходная модель имеет вид:

(5.17.)

где dr - доля численности работников по каждому из главков в общей их численности по отрасли;

- средняя выработка по отрасли.

Подставив в формулу (5.17.) развернутое выражение, по которому определяется средняя по главку (5.16.) получим исходную для анализа модель, которая содержит три уровня структурного фактора:

(5.18.)

Динамика средней выработки в целом по отрасли (министерству) может быть представлена следующей системой индексов:

(5.19.)

В результате замены в ряде индексов системы развернутых выражений соответствующими средними получим более удобные для практических целей формулы:

(5.20.)

Покажем технику расчета индексов и смысл полученных в их результате выводов на примере исходных данных (табл. 5.2.).

Таблица 5.2.

Исходные данные анализа многоуровневой структуры

Структурные подразделения	Базисный период	Отчетный период	Темп роста средней выработки
	Объем продукции, млн. р. Q0	Числ. работников, чел. T0	Выработка на I работника, млн. р. W0	Объем продукции, млн. р. Q1	Числ. работников, чел. T1	Выработка на I работника, млн. р. W1
1	2	3	4	5	6	7	8
№ хозяйств 1	2000	500	4,00	2400	500	4,80	120,0
2	5200	1000	5,20	6000	1200	5,00	96,2
3	13500	2000	6,75	12960	1800	7,20	106,7
4	4800	1500	3,20	5250	1500	3,50	109,4
Итого по объединению 1	25500	5000	5,10	26610	5000	5,322	104,4
№ хозяйств 1	7000	2000	3,50	4890	1500	3,26	93,1
2	33000	6000	5,50	53210	8500	6,26	113,8
Итого по объединению 2	40000	8000	5,00	58100	10000	5,81	116,2
Всего по главному управлению А	65500	13000	5,038	84710	15000	5,647	112,1
№ хозяйств 1	2750	1000	2,75	2964	950	3,12	113,4
2	6750	1500	4,50	11250	2250	5,00	111,1
3	12750	2500	5,10	11016	1800	6,12	120,0
Итого по объединению 3	22250	5000	4,45	25230	5000	5,046	113,4
№ хозяйств 1	19500	3000	6,50	14400	2000	7,20	110,8
2	5450	1000	5,45	165,00	3000	5,50	100,9
Итого по объединению 4	24950	4000	6,238	30900	5000	6,18	99,1
Всего по главному управлению Б	47200	9000	5,244	56130	10000	5,613	107,0
Всего по отрасли (министерству)	112700	22000	5,123	140840	25000	5,634	109,9

Таблица 5.3.

Расчетные показатели анализа многоуровневой структуры

Структурные подразделения	Доли	Расчетные значения
	dc1	d01	dr1	w0dc1d01dr1	w0d01dr1
№ предприятия 1	0,100	х	х	0,0799	х	х
2	0,240	х	х	0,2494	х	х
3	0,360	х	х	0,4855	х	х
4	0,300	х	х	0,1915	х	х
Итого по объединению 1	1,000	0,333	х	1,0066	1,0190	х
№ предприятия 1	0,150	х	х	0,2101	х	х
2	0,850	х	х	1,8709	х	х
Итого по объединению 2	1,000	0,657	х	2,0810	2,0010	х
Всего по главку А	х	1,000	0,600	3,0206	3,020	3,0228
№ предприятия 1	0,190	х	х	0,1045	х	х
2	0,450	х	х	0,4050	х	х
3	0,350	х	х	0,3672	х	х
Итого по объединению 3	1,000	0,500	х	0,8767	0,8900	х
№ предприятия 1	0,400	х	х	0,5200	х	х
2	0,600	х	х	0,6540	х	х
Итого по объединению 4	1,000	0,500	х	1,1740	1,2476	х
Всего по главку Б	х	1,000	0,400	2,0507	2,1376	0,6976
Всего по отрасли (министерству)	х	х	1,000	5,1383	5,1575	5,1204

Запишем по данным итоговой строки систему индексов, используя формулу (5.20.):



Разность числителей и знаменателей факторных индексов позволяют разложить общий абсолютный прирост выработки по отрасли в целом 514 тыс. на сумму абсолютных приростов выработки за счет влияния каждого из факторов:

влияние изменения выработки на каждом из хозяйств отрасли	495
влияние изменения структуры численности работников в пределах объединения (изменение долей хозяйств)	-19
влияние изменения структуры численности работников в пределах главков (изменение долей объединений)	37
влияние изменения структуры численности работников отрасли (изменение долей главков)	-2

Отметим, что на увеличение средней выработки работников по отрасли в целом оказали влияние два фактора: повышение выработки работников по хозяйствам и более благоприятные структурные сдвиги в распределении работников между объединениями. В результате неблагоприятной структуры работников по хозяйствам объединений средняя выработка несколько снизилась.

Влияние же структуры работников главков на изменение средней выработки практически не отразилась.

Аналогично решается и задача выявления влияния на динамику качественных показателей территориальных сдвигов.

Например, по приведенной схеме индексного анализа (5.20.) можем определить влияние на динамику средней урожайности по республике факторов:

изменения уровня урожайности отдельных хозяйств района;

изменения доли посевных площадей хозяйств в общей посевной площади района;

изменения доли посевных площадей хозяйств в общей посевной площади района;

изменения доли посевов районов в посевной площади области и изменение доли посевов областей в общей посевной площади республики.

5.4 Анализ динамики средних величин в системе многофакторных индексов

Рассмотрим взаимосвязь индексов переменного, постоянного составов и структурных сдвигов в системе многофакторных индексов. Многофакторные индексы, рассчитанные в целом по совокупности объектов, следует интерпретировать как индексы переменного состава. Тогда закономерно встает вопрос о необходимости исчисления по каждому факторному индексу переменного состава его составляющих взаимосвязанных индексов: индексы постоянного (фиксированного) состава и индекса структурных сдвигов.

В качестве примера приведем следующую схему взаимосвязи факторов уровня среднегодовой выработки на одного работающего:

(5.21.)

где Q - объем произведенной продукции за год;

Тчел.-ч - отработанные за год рабочими человеко-часы;

Тчел.дн. - отработанные за год рабочими человеко-дни;

Т - среднегодовая численность работающих;

Тр - среднегодовая численность рабочих.

Обозначим факторы уровня среднегодовой выработки на одного работающего последовательно буквами русского алфавита:

- среднечасовая выработка (а);

- средняя продолжительность рабочего дня, час ;

- средняя продолжительность рабочего периода (года), дн. (в);

- доля рабочих в общей численности работающих (г).

Последовательное перемножение показателей-факторов дает показатель уровня среднегодовой выработки на одного работающего:

Общая схема взаимосвязи многофакторных индексов среднегодовой выработки переменного состава может быть записана так:

Следовательно:

Для исчисления в представленной схеме индексов постоянного состава необходимо по каждому из объектов определить соответствующие индивидуальные индексы, а затем взвесить эти индексы по численности работников отчетного периода:

	общий индекс производительности труда влияния четырех факторов постоянного состава;
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора а (среднечасовой выработки);
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора б (среднечасовой продолжительности рабочего дня);
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора в (средней продолжительности рабочего периода в днях;
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора г (доля рабочих в общей численности работающих).

Произведение факторных индексов производительности труда постоянного состава даст общий индекс производительности труда:

Поделив индексы производительности труда переменного состава на соответствующие индексы производительности труда постоянного состава получим индексы влияния структурных. Подобный подход позволяет на основе многофакторных индексных моделей значительно расширить рамки экономико-статистического анализа.

5.5 Статистический анализ расхождений в системах с внутренней структурой

В статистической практике приходится иметь дело с хозяйственными системами, обладающими внутренней структурой. В качестве примера может выступать объединение, включающее совокупность предприятий сходного производственного направления.

При рассмотрении данных по такой совокупности хозяйствующих субъектов приходится рассчитывать показатели, относящиеся как к каждой структурной единице (допустим предприятию), так и к сводным показателям, относящихся к системе в целом. В этом случае возможны два подхода к анализу статистических показателей: либо сводный объемный показатель представляет собой арифметическую или алгебраическую сумму соответствующих объемных показателей по структурным единицам совокупности; либо сводный качественный показатель представляет собой среднюю из соответствующих качественных показателей, характеризующих каждую структурную единицу.

В данном случае нас будут интересовать специфические проблемы оценки расхождений абсолютных приростов (допустим затрат на производство силикатного кирпича, полученное вследствие изменения уровней себестоимости продукции между данными по сумме предприятий и в целом по совокупности предприятий .

Рассмотрим разность указанных формул и произведем некоторые преобразования:

где iq - темп роста объема продукции по каждому предприятию;

Iq - средний темп роста объема продукции в целом по совокупности предприятий; в преобразованиях учитывается, что

Из выражения (5.22.) видно, что расхождение между данными по сумме предприятий и в целом по объединению по величине прироста затрат на производство, полученного вследствие изменения уровня себестоимости, определяется затратами на производство продукции базисного периода (З0) и разностью в темпах роста объема продукции по каждому предприятию iq и в целом по объединению Iq. Суммирование в этой формуле производится по каждому предприятию, что позволяет сразу установить роль каждого из них в формирование общей величины расхождения.

Используя приведенную формулу (5.22.) и на основе данных табл. 5.7. получим (тыс. р.):

№ предприятия	З0(Iq-iq)
1	40000(1,25-1,5)=- 100000
2	250000(1,25-1,0)=62500
Итого	- 37500

Аналогично можно рассмотреть разность величин прироста затрат на производство, полученного вследствие изменения физического объема, по сумме данных предприятий и по объединению в целом

(5.23.)

Из формулы (5.23.) видно, что расхождение между данными о величине прироста затрат на производство продукции вследствие изменения физического объема по сумме данных предприятий в целом по объединению связан с теми же факторами и отличается от рассмотренного выше только знаком. Таким образом, в рассматриваемом примере расхождения в расчетах по сумме данных предприятий и по объединению в целом связаны только с различиями в темпах изменения физического объема продукции по отдельным предприятиям со средним темпом роста этого показателя в целом.

Сказанное подтвердим расчетом по формуле (5.23.), тыс. р.:

№ предприятия	З0(iq-Iq)
1	400000 (1,5-1,25)=100000
2	25000(1,00-1,25)=62500
Итого	37500

Аналогичные ситуации возникают при анализе двухфакторных моделей, связывающих между собой объем произведенной продукции, среднюю выработку и среднюю списочную численность работников; массу прибыли, уровень рентабельности предприятия и среднюю годовую стоимость производственных фондов; и вообще в любых полных моделях, где результативный объемный показатель представлен произведением качественного показателя-фактора на другой объемный показатель-фактор. Во всех этих случаях расхождения будут определяться различиями в индивидуальных и среднем темпах роста объемного показателя-фактора. Очевидно, что расхождения в абсолютных приростах связаны с воздействием структурного фактора, так как объемный показатель-фактор находится в знаменателе отношения, которым определяется средняя величина.

6. Принципы построения многофакторных индексов

6.1 Мультипликативные модели

Многофакторные индексные экономико-статистические модели служат важным аналитическим средством проведения комплексных исследований экономических явлений и процес...