Динамические ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

на тему: «Динамические ряды»

по дисциплине: Общая теория статистики

Разработал: Терлиженко И.Н.

Минск 2005 г.

Содержание

1. Динамические ряды, их виды

2. Правила формирования динамических рядов

3. Производные показатели динамического ряда

4. Динамические (хронологические) средние

5. Статистическая характеристика тенденции в развитии явлений

6. Аналитическое выравнивание динамических рядов

7. Интерполяция и экстраполяция (прогнозирование) уровней динамического ряда

8. Статистический анализ и прогнозирование сезонных явлений

9. Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

Литература

1. Динамические ряды, их виды

Изучая экономические явления, статистику приходится иметь дело с динамическими (хронологическими, временными) рядами.

Динамическим рядом называется ряд статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

Цифры (показатели), из которых состоит динамический ряд, называется уровнями ряда.

Имеются разные виды динамических рядов, отличается друг от друга по характеру составляющих их уровней. Основными видами рядов динамики являются интервальные и моментные. Наряду с этим ряды динамики могут быть составлены из расчетных статистических характеристик (из средних и относительных величин и др.).

Интервальный динамический ряд состоит из показателей, характеризующих изучаемые явления за определенные промежутки (интервалы) времени.

Примером такого ряда могут служить сведения о производстве холодильников и морозильников в Республике Беларусь.

Таблица 1.1 Производство холодильников и морозильников в Республике Беларусь в 2000-2004 гг., (тыс. шт.)

Год Показатель	2000	2001	2002	2003	2004
Производство холодильников и морозильников	812,0	836,5	868,7	885,8	953,3

В интервальном ряду динамики каждый уровень является итогом какого-то процесса именно за тот период, к которому он отнесен. Так, производство холодильников и морозильников в объеме 953,3 тыс. шт. полностью отнесен к 2004 г., как это и показано в динамическом ряду.

Отмеченное свойство интервального динамического ряда дает возможность суммирования уровней этого ряда, в результате чего получаются новые уровни, имеющие реальный экономический смысл. Например, суммирование производства холодильников и морозильников за 2000-2004 гг. дает уровень этого показателя за пятилетку. Это означает, сто в рассматриваемых рядах можно производить укрупнение интервалов -месячные интервалы преобразовывать в квартальные и годовые, годовые - в пятилетние и т.д. На указанном свойстве основано применение так называемых нарастающих итогов. Существенной особенностью интервальных рядов динамики является то, что величина их уровней зависит не только от размера исследуемого признака, но и от величины интервалов времени: годовые уровни больше квартальных, квартальные - больше месячных и т.д.

Моментный ряд динамики состоит из показателей, характеризующих изучаемые явления по признаку состояния на определенные моменты времени. Примером такого ряда динамики могут служить приведенные в табл. 1.2 данные о поголовье крупного рогатого скота во всех категориях хозяйств Республики Беларусь.

Таблица 1.2 Поголовье крупного рогатого скота в хозяйствах всех категорий Республики Беларусь (на начало года, тыс. голов)

Год Показатель	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Поголовье крупного рогатого скота	4686	4326	4221	4085	4005	3924

Для моментного ряда характерно, что одни и те же слагаемые могут последовательно повторяться в различных уровнях ряда. Так, большая часть крупного рогатого скота, имевшегося на 1 января 2002 г., войдет в последующий смежный уровень на 1 января 2003 г.; большая часть поголовья бывшего на 1 января 2003 г., войдет в уровень - на 1 января 2004 г. и т.д. Каждый последующий уровень по сравнению с предыдущим обновляется здесь за счет поголовья, родившегося в текущем году и с учетом выбывшего поголовья. Поэтому суммирование уровней моментного ряда не дает экономически значимых итогов, оно производится не в целях получения реальных сумм, а лишь как промежуточный этап в исчислении средних уровней.

Моментные и интервальные ряды составляются из объемных статистических показателей . Но динамические ряды могут быть составлены и из качественных статистических показателей - средних и относительных величин. Например, могут быть построены ряды среднемесячных уровней заработной платы рабочих и служащих, удельных весов продукции первого сорта, процентов издержек обращения в торговле и т.д. Отдельные составляющие таких рядов, хотя они и выражаются различными средними и относительными величинами, с точки зрения теории динамических рядов являются абсолютными уровнями ряда.

2. Правила формирования динамических рядов

Статистические материалы, получаемые в результате их собирания, по мере накопления систематизируются в виде динамических рядов. Задача формирования динамических рядов может быть успешно выполнена лишь при наличии хорошо разработанных научных правил. Научное построение динамических рядов является необходимой предпосылкой их последующего анализа.

Основные правила формирования динамических рядов включают в себя ряд последовательных этапов.

Периодизация динамики. В процессе развития во времени происходят количественные изменения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются и качественные скачки, приводящие к изменению закономерности явления. Поэтому научный подход к изучению динамических процессов заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, расчленять на такие, которые объединяли лишь однокачественные, периоды развития совокупностей явлений, характеризующиеся одним законом развития.

Например, нецелесообразно изучать изменение объема производства ВВП в Республике Беларусь за 1990-2004 гг., так как сразу после распада СССР (с 1991 г) произошло резкое снижение его объемов (вплоть до 1997 г.), затем объем ВВП в Республике стал резко возрастать. Это значит, что для познания закономерностей развития ВВП в Республике Беларусь в 1991-2004 гг. необходимо выделить два динамических ряда:1991-1996 гг. и 1997-2004 гг.

Процесс выделения однородных этапов развития, расчленения динамических рядов на однородные этапы носит название периодизации динамики.

Периодизация динамики дает не только важную информацию об изучаемой действительности, но и закладывает основы для последующего анализа динамики, так как подлинно научную характеристику динамических процессов можно дать лишь в рамках однородных периодов.

Вопрос о том, какие этапы развития прошло то или иное явление за определенный исторический отрезок, решается теорией той науки, к области которой относится совокупность изучаемых явлений.

Необходимость формировать динамические ряды по строго однородным периодам или этапам не означает отрицания возможности построения и изучения динамических рядов, охватывающих длительные отрезки времени, включающие различные этапы развития явления. Например, определенный познавательный интерес представляют динамические ряды производства отдельных видов сельскохозяйственной продукции в Республике Беларусь (зерна, картофеля, мяса, молока и т.д.) за 1980 - 2004 гг.

Сопоставимость уровней динамического ряда.

Для научного формирования динамических рядов необходима сопоставимость уровней ряда. Это означает, что уровни должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, подсчитаны по единой методологии, включать одинаковый круг объектов, относиться к одинаковой территории.

Важно, чтобы в динамическом ряду интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл. Так, например, при изучении роста поголовья скота неправомерно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1.10 и 1.1, так как первая цифра включает не только скот, оставленный на зимовку, но и скот, предназначенный к убою, а вторая цифра, за небольшими исключениями, включает только скот, оставшийся на зимовку.

Одним из условий сопоставимости уровней интервального ряда является наличие равных интервалов. Очевидно, что нельзя сопоставлять продукцию, произведенную за квартал с годовой. Возможны случаи, когда нельзя непосредственно сопоставлять уровни, относящиеся, казалось бы к одинаковым по названию периодам времени. Так, например, сравнивать, допустим, месячную продукцию с месячной, если продолжительность месяцев по числу рабочих дней была неодинаковой. Для правильных выводов о динамике явления необходимо рассчитать средние дневные показатели по месяцам.

Последовательность и непрерывность во времени уровней динамического ряда.

Существенным правилом построения динамических рядов выступает необходимость обеспечения последовательности и непрерывности уровней во времени. В данном случае уровни динамического ряда должны последовательно охватывать весь этап развития явления от начала до конца. Отсутствие данных за те или иные промежутки времени (или те или иные моменты времени) может исказить представления о динамике. Так, например, отсутствие данных о надое молока за май и июнь при изучении его производства по месячным данным за год исказит исследуемый процесс и приведет к неправильным выводам.

Решение вопроса о величине интервалов и расстоянии между моментами в динамическом ряду решается в зависимости от скорости изменения изучаемого процесса. Чем более изменчиво явление, тем меньшую величину интервала (или расстояние между моментами) нужно брать. И наоборот, чем медленнее изменяется явление, тем шире взять интервал.

Зависимость выбора интервала от содержания изучаемого процесса можно подтвердить следующим примером. Основные показатели продукции земледелия даются только в годовых интервалах, так как в наших условиях урожай снимается один раз в году, и показать его в меньших интервалах, чем годовой, не имеет смысла.

Однокачественность отдельных уровней динамического ряда.

При построении динамического ряда необходимо стремиться, чтобы уровни ряда объединяли явления одного качества, то есть в пределах каждого интервала или на определенный момент, к которому относятся уровни ряда, предварительно должна быть произведена типологическая или структурная группировка материала. После выделения однородных групп и типов явлений могут быть образованы соответствующие уровни динамического ряда. Например, нельзя пользоваться динамическим рядом среднего дохода различных социальных групп населения, так как среди жителей страны доходы значительно разнятся. В данном случае необходимо провести типологическую группировку, выделив показатели динамического ряда с различным уровнем доходности.

Таким образом, при построении динамических рядов производится и своеобразная группировка во времени (периодизация во времени), и обычная группировка в пространстве (выделение однородных явлений в пределах интервала или на определенный момент времени).

Система динамических рядов.

Отдельный динамический ряд отражает изменение лишь одной стороны явления, он не дает возможности решить задачу выявления факторов изменения явлений. В связи с этим необходимо добиваться построения не только отдельных изолированных динамических рядов, а динамических рядов взаимосвязанных показателей, то есть системы их. Именно система динамических рядов в состоянии дать полную характеристику совокупности явлений, что позволит выявить причины происходящих изменений.

Например, поставлена задача - изучить динамику валового сбора зерновых. Очевидно, построение одного ряда валовых сборов будет еще далеко недостаточным для решения названной задачи, так как не раскроет причин изменения валового сбора. Для выявления этих причин нужно одновременно изучить и динамику определяющих валовой сбор основных факторов - посевной площади и урожайности. Совместное изучение трех динамических рядов - валового сбора, посевной площади и урожайности - позволит глубже раскрыть закономерности по интересующему вопросу.

3. Производные показатели динамического ряда

Важнейшей целью изучения динамических рядов является получение различных показателей, характеризующих процесс развития с различных точек зрения. Исходным показателем динамического ряда является его уровень, показывающий, на каком уровне протекает развитие. Но взятый изолированно от других сам уровень динамического ряда не отражает динамики развития, интенсивности изменения уровней. Для выявления динамики явлений уровни надо рассматривать совместно, сопоставляя один с другим. В результате такого сопоставления получаются различные производные показатели ряда.

Главными из них являются:

абсолютный прирост, темп роста, темп прироста и абсолютный размер 1% прироста. Эти показатели могут быть подсчитаны по двум принципам - цепному и базисному.

Абсолютный прирост - это разность между данным и уровнем принятым за базу. Абсолютные приросты цепным способом рассчитываются как разность между каждым последующим (У_i) и предыдущим (у_i-1) уровнями ряда динамики, то есть у_i-y_i-1.

Абсолютные приросты базисным способом исчисляются как разность между каждым последующим уровнем ряда (Y_i) и начальным (Y₁), то есть Y_i-Y₁. Абсолютный прирост показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, взятый для сравнения. Абсолютный прирост может быть положительным и отрицательным.

На основе цепных абсолютных приростов можно рассчитать базисные абсолютные приросты. Для этого необходимо последовательно их просуммировать.

Темп роста - это отношение данного уровня к уровню, принятому за базу сравнения. При расчете цепных темпов роста производится сравнение каждого последующего уровня с предыдущим, то есть При исчислении базисных темпов роста сравниваются каждый последующий уровень с начальным, то есть

Темп роста выражается как в коэффициентах, так и в процентах и показывает, во сколько раз уровень данного периода превышает уровень базы сравнения.

На основе цепных темпов роста можно рассчитать базисные темпы роста. Для этого необходимо их последовательно перемножить. А от базисных темпов к цепным перейдем, если поделим каждый последующий базисный темп на предыдущий.

Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу. При цепном подходе имеем:



При базисном способе расчета темпа прироста будем иметь:

Темп прироста, как и абсолютный прирост может быть и положительным и отрицательным.

Абсолютный размер 1% прироста - это отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в процентах. Он показывает, какое содержание имеется в 1% прироста, насколько весом один процент прироста. Этот показатель целесообразно рассчитывать только по цепному методу, а именно:

Абсолютный размер 1% прироста =

Таким образом, абсолютный размер 1% прироста равен одной сотой от уровня базы сравнения (0,01 У_i-1). Вычисление показателей абсолютного значения 1% прироста базисным способом не имеет смысла, так как в этом случае исходная база сравнения остается неизменной, (начальный уровень ряда) и тогда абсолютный размер 1% прироста будет во всех случаях сравнений одинаков (0,01У₁).

Для примера в табл. 3.1 приведем результаты расчета рассмотренных производных показателей по динамическому ряду производства холодильников в Республике Беларусь.

Таблица 3.1 Динамика производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 1999-2004 гг.

Год	Произведено холодильников и морозильников, тыс. шт.	Абсолютный прирост, тыс. шт.	Темпы роста, %	Темпы прироста	Абсолютный размер 1% прироста, тыс. шт.
		Цепные (по годам)	Базисные (к 1999)	Цепные (по годам)	Базисные (к 1999)	Цепные (по годам)	Базисные (к 1999)
1999	802,0	-	-	-	100,0	-	-	-
2000	812,0	10,0	10,0	101,2	101,2	1,2	1,2	8,02
2001	836,5	24,5	34,5	103,0	104,3	3,0	4,3	8,12
2002	868,7	32,2	66,7	103,8	108,3	3,8	8,3	8,37
2003	885,8	17,1	83,8	102,0	110,4	2,0	10,4	8,69
2004	953,3	67,5	151,3	107,6	118,9	7,6	18,9	8,86

Производные показатели динамического ряда должны рассчитываться не в отрыве друг от друга, а взаимосвязано. Относительные показатели не должны отрываться от абсолютных. При этом необходимо отметить, что производные показатели динамического ряда должны рассчитываться для каждого однородного периода отдельно.

В аналитических расчетах используются и некоторые другие производные показатели динамических рядов, например, коэффициенты опережения (замедления).

Коэффициент опережения (замедления) исчисляется как отношение темпов роста за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам. Так, за 2000-2004 гг. темп роста валового внутреннего продукта в Республике Беларусь составил 1,381, а производства холодильников и морозильников - 1,189. Следовательно, коэффициент опережения роста валового внутреннего продукта по сравнению с ростом производства холодильников и морозильников за 2000-2004 гг. составил:



Это опережение отражает закономерность, согласно которой темпы роста ВВП в Республике Беларусь значительно выше темпов роста производства холодильников и морозильников.

Коэффициенты опережения (замедления) могут рассчитываться как по абсолютным приростам, так и темпам прироста (коэффициенты эластичности).

4. Динамические (хронологические) средние

динамический ряд статистический прогнозирование

Важнейшими обобщающими показателями динамического ряда выступают различного рода средние, рассчитываемые как по уровням, так и по производным показателям ряда. Они дают в той или иной степени количественную характеристику действующих в явлениях закономерностей.

Средние, подсчитанные по смежным уровням динамического ряда, называются динамическими или хронологическими.

Хронологическая средняя отличается от обычной средней тем, что она характеризует явление, относящееся к различным периодам времени, а обычная - к одному периоду времени. Динамические средние должны рассчитываться в пределах качественно однородных периодов: при этом как обычные средние рассчитываются по всей совокупности явлений в целом, так хронологические средние должны исчисляться на основе исчерпывающих данных за весь однородный период.

Рассмотрим способы расчета средних абсолютных уровней, средних абсолютных приростов, средних темпов роста и прироста.

Средние показатели абсолютных уровней по интервальным и моментным динамическим рядам рассчитываются по-разному.

Средний уровень интервального ряда динамики можно подсчитать по формуле:

где у - уровни интервального динамического ряда;

t - длительность отдельных интервалов времени.

Если интервалы в ряду динамики равные, то формула расчета среднего уровня принимает вид:

где n - число равных промежутков или интервалов.

Вычислим по данным табл. 1.1 среднегодовой уровень производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 1999-2004 гг.

По моментным рядам динамики средний абсолютный уровень рассчитывается по-разному, в зависимости от характера исходных данных. Если уровни моментного ряда динамики даны на даты равноудаленные друг от друга, то в этом случае используется формула расчета среднего уровня вида:



Пример. Имеются следующие данные о наличии товарно-материальных ценностей на начало каждого квартала года:

на 01.01.2004 г. - 280 млн. р.; на 1.04. - 300 млн. р.; на 1.07. - 340 млн. р.; на 1.10. - 300 млн. р.; на 1.01.2005 г. - 360 млн. р.

Вычислим средний размер остатков товарно-материальных ценностей за 2004 г.:

В данной формуле расчета среднего абсолютного уровня знаменатель совпадает с числом интервалов (кварталов), охватываемых рядом. Он меньше на единицу количества данных уровней, так как первый и последний уровни входят в расчет с половинными весами.

В тех случаях, когда уровни моментного ряда отстоят друг от друга на разном расстоянии (во времени), то в этих случаях необходимо полусуммы уровней взвешивать по величине интервалов времени между ними:

,

где k = n-1.

Пример. В результате инвентаризации на заводе установлены следующие остатки товарно-материальных ценностей:

на 01.01.2004 г. - 400 млн. р.; на 1.05. - 420 млн. р.; на 1.10. - 440 млн. р.; на 1.01.2005 г. - 430 млн. р.

Определим средний размер остатков товарно-материальных ценностей на заводе за 2004 год:

,

Если располагаем исчерпывающими данными об изменении изучаемых явлений, то расчет среднего абсолютного уровня по таким моментным рядам рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где у - уровень моментного ряда динамики;

t - интервалы (промежутки) времени между ними.

Пример. В течение первых пяти дней апреля - с 1 по 5 число включительно - было 1200 человек, в следующие десять дней - с 6 по 15 апреля - 1250 человек и последующие 15 дней, с 16 по 30 апреля - 1300 человек. По этим данным определим среднюю численность рабочих за апрель:

,

Расчет среднего абсолютного прироста. Средний абсолютный прирост можно рассчитать по формулам:



где m = n-1

В обоих случаях получим идентичный результат. Вычислим среднегодовой абсолютный прирост производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 2000-2004 гг. (по данным табл. 3.1):

Расчет среднего темпа роста и прироста.

Средние темпы роста рассчитываются по формуле средней геометрической:

где m - число равных интервалов времени в периоде;

Т₁, Т₂, …, Т_m - темпы роста, исчисленные цепным способом.

Средний годовой темп роста производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 2000-2004 гг. можно получить из следующего расчета (табл. 3.1):



Среднегодовой темп прироста составил:

Когда известны уровни динамического ряда, то расчет среднего темпа роста можно произвести по преобразовательной формуле. Подставив в подкоренное выражение вместо Т₁, Т₂, … их исходные значения формула расчета среднего темпа роста примет вид:

В нашем примере среднегодовой темп роста холодильников и морозильников вычислим так:

Результаты расчета в обоих случаях идентичны.

Наряду с формулой средней геометрической простой применяется и формула средней геометрической взвешенной:



Пример. За первые два года пятилетки производство продукции возрастало по 5% в год, а за оставшиеся три года - по 4%.Вычислим среднегодовой темп роста производства продукции за пятилетку в целом:

Расчет средней геометрической на основе суммы членов ряда. В тех случаях, когда известны только базисный уровень и сумма уровней за весь изучаемый период, расчет средней геометрической изменяется по сравнению с ранее рассмотренным случаем.

Средний темп роста, определяемый по сумме уровней, назван проф. Казинцом Л.С. параболическим темпом роста. Он исчисляется следующим образом:

1) определяется отношение суммы уровней за период без базисного к уровню, принятому за базу сравнения (у₀):

2) по таблице, приведенной в книге Л.С. Казинца «Темпы роста и абсолютные приросты» М.: 1975 г. находим столбец, равный числу уровней в периоде (n), в котором величина Н приближается к исчисленному ранее значению. В первом столбце таблицы по этой строке и находим значение параболического среднегодового темпа роста.

Пример. Допустим, в 2000 г. было произведено продукции на 114,9 млрд. руб. За 2001-2005 гг. предусматривается произвести продукции в сопоставимых ценах на 621,4 млрд. руб. Каким должен быть среднегодовой темп роста объема продукции, с тем чтобы за пятилетку был достигнут намеченный количественный объем производства продукции?

1) Вычислим отношение суммы уровней за 2001-2005 гг. к уровню 2000 г.:

2) найдем по таблице расчета параболического темпа роста столбец со значением равным в нашем случае 5 число близкое к 5,408. Это будет 5,404. В первом столбце таблицы определим число, стоящее в той же строке, что и 5,404. Оно равно 1,026, или 102,6%. Это число и представляет собой искомый среднегодовой темп роста производства продукции за 2001-2005 гг.

3) вычислим объемы производства продукции по каждому году пятилетки (2001-2005 гг.):

Год	Объем продукции, млрд. руб.
2001	114,91,026=117,9;
2002	114,9(1,026)2=121,0;
2003	114,9(1,026)3=124,1;
2004	114,9(1,026)4=127,3;
2005	114,9(1,026)5=130,7;
Итого	621,0

Расхождение с ранее обозначенным объемом производства за 2001-2005 гг. и рассчитанным по годам пятилетки по значению параболического среднегодового темпа роста связаны с ошибками округления.

5. Статистическая характеристика тенденции в развитии явлений

Тенденции в развитии явлений выявляют уже производные показатели динамического ряда и динамические средние. Если уровни динамического ряда ежегодно возрастают на одинаковую абсолютную величину (арифметическая прогрессия), то это свидетельствует об равномерном поступательном развитии; при относительно одинаковых темпах роста (геометрическая прогрессия) имеет место характеристика равноускоренного развития.

Для более детального изучения тенденций в развитии явлений необходимо использовать специальные приемы исследования. Многие из них сводятся к нахождению особых уровней или средних, рассчитываемых за такие периоды времени, которые обеспечивали бы погашение случайных колебаний. В результате приведения рядов динамики к одному основанию и их смыкание тенденции в развитии явлений удается выявить элементарным преобразованием рядов.

Приведение рядов динамики к одному основанию осуществляется в результате приведения уровней изучаемых рядов к одной базе, принимаемой за 1 или 100%. За базу сравнения может быть принят либо начальный или средний уровень ряда. Так, например, при изучении тенденции в производстве ВВП в Белоруссии и России за 2001-2005 гг. в качестве исходной базы для расчета темпов роста следует взять уровни производства ВВП в каждой из стран за 2000 г. Приведение к одному основанию уровней взаимосвязанных рядов дает возможность не только сравнить и оценить отдельные ряды, но и выявить причинную связь между ними.

В том случае, когда вывод о правильности развития в динамическом ряду мешает его несопоставимость, возникающая вследствие организационных изменений в течение изучаемого отрезка времени, допустим, территориальных, прибегают к смыканию динамического ряда. Для получения сомкнутого ряда, отражающего динамику изучаемого явления, принимаем за 100% данные как для последующих, так и предыдущих лет.

Приведем пример смыкания динамического ряда, при котором абсолютные уровни заменяются относительными величинами (темпами динамики).

Таблица 5.1 Поголовье крупного рогатого скота в районе (на конец года, тыс. голов)

Год	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Поголовье крупного рогатого скота (до реорганизации)	50	54	58	60
Поголовье крупного рогатого скота (после реорганизации)				40	46	50	52	56

Примем данные 2001 г. за 100% и исчислим относительные величины динамики по отношению к уровню 2001 г. Результаты произведенных расчетов представим в табл. 5.2.

Таблица 5.2 Динамика поголовья крупного рогатого скота в районе

Год	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Относительный уровень в % к 2001 г.	83,3	90,0	96,7	100	115,0	125,0	130,0	140,0

Показатели сомкнутого ряда позволяют сделать вывод о динамике поголовья крупного рогатого скота в районе за весь период 1998-2005 гг. Поголовье скота систематически росло, хотя абсолютные цифры 2002-2005 гг. значительно меньше цифр 1998-2000 гг.

Относительно простым способом выявления тенденций развития является укрупнение интервалов.

Возьмем следующий динамический ряд.

Таблица 5.3 Производство холодильников и морозильников в Республике Беларусь

Год Показатель	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Производство холодильников и морозильников, тыс. шт.	753,1	795,0	801,8	802,0	812,0	836,5	868,7	885,8	953,3

Из приведенной таблицы видно, что производство холодильников и морозильников в 1996-2004 гг. увеличивалось. Но картина развития станет четче, если взять не годовые, а, допустим, трехлетние интервалы:

1996-1998 гг. - 2349,9 тыс. шт.

1999-2001 гг. - 2450,5 тыс. шт.

2002-2004 гг. - 2707,8 тыс. шт.

Укрупнение интервалов обычно начинают с наименьшего возможного укрупненного интервала (для нашего примера - двухгодичного). Если же первый укрупненный интервал не дает ясной картины, переходят к следующему возможному интервалу. Если в исследуемой совокупности наблюдается периодическое колебание, укрупненный интервал следует брать равным периоду колебания.

Разновидностью рассмотренного приема является способ ступенчатой средней, который заключается в том, что по каждому укрупненному интервалу дается не итог, а средняя, рассчитанная на предыдущий интервал. Так, в нашем примере следует исчислить годовые средние по каждому трехлетию. Они последовательно составляют 783,3 тыс. шт., 816,8 тыс. шт. и 902,6 тыс. шт.

Недостатком рассмотренных способов выявления тенденций является то, что при их использовании из поля зрения исследователя выпадает процесс изменения внутри укрупненных интервалов.

Одним из наиболее широко известных методов сглаживания временных рядов является метод скользящих средних. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие того, что первоначальные уровни временного ряда заменяются средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного периода. Затем период сдвигается на одно наблюдение и расчет средней повторяется, причем периоды средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом случае средняя центрирована. При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал скольжения, тем более плавным получается тренд (линия выравнивания значений). Сглаженный ряд короче первоначального на к-1 наблюдений (к - величина интервала сглаживания).

Порядок расчета скользящих средних производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь по трехлетнему периоду показан в табл. 5.4. (гр. 3-4).

При расчете скользящей средней по четному периоду возникает затруднение с определением даты, к которой следует отнести полученную среднюю. Технически этот вопрос можно решить следующим образом: сначала определяются скользящие средние уровни, допустим, по четырехлетнему периоду (табл. 5.4, гр. 5-7), которые проставляются между серединами периодов; затем находятся новые подвижные средние из уже ранее исчисленных (повторное сглаживание по двум смежным уровням). Такой способ расчета скользящих средних называется центрированием.

В тех случаях, когда известно, что внутри интервалов сглаживания имеет место нелинейная тенденция, для сглаживания временных рядов используются взвешенные скользящие средние. Так, если в интервал сглаживания входят пять уровней, а тенденция может быть представлена параболой второго порядка, то сглаженный серединный уровень во взятом интервале будет выражать значение тенденции в начале ряда. Для расчета сглаженных уровней в этом случае используется формула:

,

где соответствует первому уровню во взятом интервале сглаживания.

Пари расчете скользящих средних по семи членам в интервале сглаживания воспользуемся формулой:

,

где соответствует первому уровню во взятом интервале сглаживания.

Рассчитанные таким способом в приведенных формулах веса обладают свойствами:

1) веса симметричны относительно середины интервала ;

2) их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице;

3) в системе весов кроме положительных величин содержатся и отрицательные. Это обстоятельство приводит к тому, что сглаженная кривая в значительной мере сохраняет различные изгибы кривой тренда.

Достоинством метода скользящих средних является наглядность при определении вида тренда и простота в истолковании скользящей средней.

В то же время скользящая средняя имеет ряд недостатков:

1) при малом числе наблюдений этот метод часто приводит к искажению тенденции;

2) при определении скользящей средней для дальнейших расчетов теряются начальные и конечные уровни ряда;

3) выбор величины интервала сглаживания часто трудно обосновать, а от этого зависит форма кривой.

Кроме того, тренд, полученный с помощью скользящих средних, не имеет количественного выражения.

6. Аналитическое выравнивание динамических рядов

Посредством аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов устанавливается не только общая тенденция развития явления, но и дается количественная характеристика изменения уровней ряда. В основе этого способа лежит предположение о том, что зависимость между уровнями ряда и фактором времени может быть аналитически описана соответствующим уравнением. Уравнение, в котором в качестве независимой переменной берется фактор времени , называется уравнением тренда.

В том случае, когда развитие происходит по закону равномерного движения (возрастания или убывания), то такой тип зависимости можно выразить уравнением тренда прямой. Исходный уровень ряда динамики аналитически представим:

где y_t - уровень ряда динамики;

- основная тенденция ряда;

- случайная компонента.

Уравнение тренда отражает влияние главных факторов на динамику явлений. Случайная компонента определяется действием случайных причин.

Выравнивание начинается с теоретического анализа динамического ряда, в результате которого устанавливается характер динамики и тип уравнения тренда.

Применительно к динамическим рядам уравнение тренда прямой запишем в таком виде:

- уровень изучаемого явления в момент времени t;

t - порядковый номер времени;

а₀ и а₁ - параметры уравнения.

Параметр а₀ означает осредненное значение начальной точки отсчета; а₁ - коэффициент регрессии, показывающий на какую величину в среднем изменится (увеличится или уменьшится) значение уровня ряда динамики при изменении фактора времени на единицу периода.

Параметры уравнения а₀ и а₁ находятся по способу наименьших квадратов:

Поскольку, то

В результате математических преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:

В целях облегчения нахождения параметров а₀ и а₁ систему можно упростить; для этого отсчет времени следует вести так, чтобы

,

При таком обозначении фактора времени в рядах динамики с нечетным числом уровней отсчета ведется от центра, взятого за ноль. Вверх пойдут номера -1, -2, - 3 и т.д. вниз симметрично - со знаком полюс +1, +2, +3 и т.д. В рядах динамики с четным числом уровней будем иметь: вверх от центра ряда -1, -3, -5 и т.д.; вниз соответственно +1, +3, +5 и т.д.

В результате такой преобразовательной нумерации фактора времени параметры уравнения тренда прямой вычислим по формулам:

; .

Выравняем ряд производства холодильников в Республике Беларусь за 1990 - 2004 гг. (табл. 5.4, гр. 9-12). Подставив найденные значения в формулы определения a₀ и a₁, получим:

;

.

Искомое уравнение тренда производства холодильников и морозильников примет вид:

.

Подставив в уравнение значений фактора времени , получим выравненные (сглаженные) значения уровней ряда . При этом следует иметь в виду, что a₀ - уровень производства холодильников и морозильников при , то есть в 1997 г., a₁ - среднегодовой абсолютный прирост

Совпадение итогов эмпирических и теоретических уровней свидетельствует о правильности произведенных расчетов, т.е. (несовпадение на 0,7 тыс. шт. произошло за счет округлений).

В математической статистике доказано, что в рядах динамики с нечетным числом уровней значение можно вычислить по формуле:

,

а в рядах динамики с четным числом уровней - по формуле:

.

Мерой оценки колеблемости эмпирических уровней ряда динамики от теоретических выступает среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по формуле:

,

где n - число уровней ряда;

m - число параметров уравнения тренда.

Относительным показателем оценки колеблемости выступает коэффициент вариации:

.

Вычислим приведенные показатели колеблемости по данным табл. 5.34 (гр. 13 - 14):

;

.

Выбор уравнения тренда для оценки характера развития того или иного процесса в экономике может быть дан на основе сравнения фактических уровней динамического ряда с эталонами, используя которые можно различать типы развития процессов во времени.

По определенности экономического смысла и возможности последующей содержательной интерпретации результатов математических расчетов целесообразно выделить четыре типа развития экономических явлений во времени, каждому из которых соответствует определенная математическая модель (уравнение тренда).

Равномерное развитие, то есть движение осуществляется по закону арифметической прогрессии с постоянным абсолютным изменением уровней динамического ряда. Эталонной моделью развития этого типа служит уравнение равномерного движения. Этому типу движения соответствует уравнение тренда прямой:



.

Порядок расчета параметров уравнения тренда прямой a₀ и a₁ рассмотрен выше. Если , то уровни динамического ряда возрастают, а при они снижаются во времени.

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие, т.е. с постоянным во времени ускорением (замедлением). Эталонной моделью служит уравнение параболы второго порядка:

.

При имеет место наличие ускорения развития процесса, а при - его замедление.

Параметры уравнения a₀ , a₁ и a₂ найдем из системы нормальных уравнений:

При условии, что значения параметров уравнения параболы определим:

,

а значения параметров a₀ и a₂ - из системы уравнений:

Развитие с переменным ускорением (замедлением). Эталонной моделью его считается уравнение развития с переменным ускорением (замедлением), выраженное трендом параболы третьего порядка:

.

Если , то имеем эффект возрастания ускорения; - его замедления во времени.

Для нахождения параметров уравнения необходимо решить систему нормальных уравнений:

Приняв, что , получим следующие две системы преобразовательных уравнений определения параметров тренда параболы третьего порядка:



Развитие по закону с постоянным темпом роста, т.е. в геометрической прогрессии. Эталонной моделью развития этого типа является уравнение степенной зависимости:

.

Параметр k в этом уравнении соответствует среднему темпу роста.

Если , то темпы роста возрастают, а при - снижаются.

Для нахождения параметров уравнения степенной зависимости a₀ и k необходимо произвести линеаризацию, т.е. привести это уравнение к линейному виду. Достигнем этого путем логарифмирования исходного уравнения:

.

Параметры логарифмического уравнения lg_a и lg_k определим на основе системы нормальных уравнений:

Если , то значения параметров уравнения исчислим по формулам:



Исходные значения параметров а₀ и к получим, взяв антилогарифмы параметров lga₀ и lgk.

Рассчитывая теоретические уровни анализируемого динамического ряда при помощи эталонных моделей, можно установить, какому из названных выше типов развития в большей мере соответствует изучаемый процесс. Подобная задача решается на основе определения средней квадратической ошибки аппроксимации, исчисляемой по формуле:

Сравнивая результаты выравнивания, полученные для различных моделей, по минимальной величине определяют, какая из моделей типа развития наиболее подходит для данного динамического ряда.

Кроме того, полученные модели могут быть использованы и в прогностических целях, а их сопоставление за несколько смежных периодов времени (например, за два пятилетия) позволяет выявить смену типов развития, если она имеет место в действительности.

7. Интерполяция и экстраполяция (прогнозирование) уровней ряда динамики

Интерполяцией называется приблизительный расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны уровни по обе стороны неизвестного.

Интерполяция производится исходя из предположения, что изменения в пределах периода, выражающее закономерность развития, относительно устойчивы. Для этого необходимо установить характер динамики, т.е. найти относительно устойчивые производные (средние) показатели: абсолютный прирост, темп роста и др.

Возможны различные варианты интерполяции:

1) рассчитывается средняя арифметическая из прилегающих пропущенному уровней ряда;

2) при относительной стабильности абсолютных приростов интерполяция уровней ряда осуществляется прибавлением среднего абсолютного прироста к уровню предшествующему пропущенному;

3) при относительной стабильности темпов роста необходимо уровень предшествующей пропущенному умножить на величину среднего темпа роста.

Рассмотрим пример

Таблица 6.1

Год Показатель	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Производство холодильников и морозильников, тыс. шт.	802,0	812,0	836,5	868,7	885,8	953,3
Абсолютный прирост	-	10,0	24,5	32,2	17,1	67,5
темп роста, %	-	101,2	103,0	103,8	102,0	107,6

Допустим, пропущен уровень 2002 г.

Используя первый способ интерполяции, определим его как среднюю арифметическую из уровней 2001 и 2003 гг.:

Произведем интерполяцию по второму способу расчета. Для этого необходимо вычислить среднегодовой абсолютный прирост за 2000-2004 г.:

Уровень 2002 г. определим:

Интерполяция по третьему способу требует предварительного расчета среднегодового темпа роста за 2000-2004 гг.:

Уровень 2002 г. составит:

Сравнивая три способа интерполяции уровня производства холодильников и морозильников для 2002 г., отметим, что наилучшее приближение к фактическому уровню дает расчет по величине среднегодового абсолютного прироста.

Экстраполяцией называется приблизительный расчет недостающего уровня по одну сторону неизвестного. Если расчет уровней осуществляется на перспективу, то такой способ представляет собой прогнозирование.

Прогноз уровней осуществляется на основе исходного ряда динамики (база прогноза). К нему предъявляется ряд требований:

1) полнота и непрерывность уровней исходного ряда динамики;

2) качественная его однородность с точки зрения наличия общей закономерности развития явлений;

3) число уровней, входящих в исходный ряд динамики должно быть достаточно значительным, с тем чтобы закономерность развития явлений была достаточно четкой и поддавалась количественному измерению.

Идея прогноза базируется на том постулате, что закономерности развития явлений, присущие исходному ряду динамики, сохраняются и в прогнозируемом периоде. При среднесрочном прогнозе рекомендуется прогноз уровней осуществлять не более чем на одну треть длины исходного ряда динамики. Используется дискретные и интервальные методы прогноза уровней социально-экономических явлений. В первом случае для каждого периода времени определяется одно значение прогнозного уровня. Во втором случае, наряду с основными оценками прогноза дается вероятностная интерпретация нижних и верхних границ прогнозных уровней.

Дискретный (точечный) прогноз уровней базируется на характере закономерностей развития явлений в исходном ряду динамики. Если развитие процесса идет по закону арифметической прогрессии (с относительно стабильными абсолютными приростами), то уровни прогноза (точечные) определим по формуле:

где У_i - последний уровень в исходном ряду динамики; t_i - порядковый номер периода прогноза (t_i=1,2…n); - средний абсолютный прирост в исходном ряду динамики.

По данным табл. 6.1 вычислим прогноз производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь 2005-2006 гг.:



В рядах динамики, где развитие явлений происходит по закону геометрической прогрессии (с относительно стабильными темпами роста), то уровни прогноза вычислим по формуле:

где - средний темп роста в исходном ряду динамики.

Применительно к нашему примеру (табл. 6.1) будем иметь следующие прогнозные значения производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь:

Сравнивая первый и второй способы расчета дискретных прогнозных уровней, можно сделать, что прогноз по величине среднегодового абсолютного прироста является более корректным, так как исходит из принципа равномерного возрастания уровней производства холодильников и морозильников в прогнозном периоде.

Особенность интервального метода прогнозирования состоит в том, что он осуществляется на основе расчета соответствующих уравнений тренда. При этом определяется прогноз уровней по самому уравнению тренда (основная составляющая тренда), а также с доверительным уровнем значимости вычисляются прогнозные значения случайной компоненты. Они то и служат основанием для интервальных оценок прогнозных уравнений (находятся нижние и верхние границы прогноза показателей ряда динамики).

Если t=i +L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L едини времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но и возможность отклонения от тренда, т.е.

где

Значение критерия t определяется на основе данных таблицы Стьюдента по параметрам доверительной значимости и числу степеней свободы (n-число уровней в исходном ряду динамики, m - число параметров в уравнении тренда).

Для определения вариации случайной компоненты при обозначении границ прогнозных уровней необходимо вычислить значение по формуле (для случая линейного уравнения тренда):

где - среднее квадратическое отклонение тренда в исходном ряду динамики; n - число наблюдений (длина исходного ряда динамики); L - порядковый номер периода упреждения (прогнозного периода).

Рассмотрим процедуру интервального прогноза производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь по данным исходного динамического ряда за 1990-2004 гг. (табл. 5.4). Уравнение тренда прямой имеет вид:

Осуществим основной прогноз на 2005 г. и 2006 г. по вышеприведенному уравнению тренда:

для 2005 г. значение тогда

для 2006 г. , а

Вычислим прогнозные значения для 2005 и 2006 гг. и на их основе предельные величины случайной компоненты. :

Для 2005 г. L=1;

Для 2006 г. L=2.

Относительная ошибка прогноза случайной компоненты определяется по формуле:

Результаты произведенных расчетов оформим в табл. 6.2.

Таблица 6.2 Прогноз холодильников и морозильников в Республике Беларусь на 2005 и 2006 гг.

Год	Нижняя граница прогноза, тыс. шт.	Прогноз по тренду, тыс. шт.	Верхняя граница прогноза, тыс. шт.	Относительная ошибка прогноза, %
2005	846,4	909,2	972	6,9
2006	858,9	923,3	987,8	7,0

Прогноз уровней может осуществляться и по другим, отличной от линейной, типам уравнений тренда. Выбор того или иного уравнения тренда зависит от характера закономерностей, присущих исходным рядам динамики. Так, по программе «Статистика» на ПЭВМ рассчитываются тренды уравнений прямой, параболы второго порядка, степенной и логарифмической зависимости. По оценочной процедуре выбирается уравнение тренда с наибольшим коэффициентом детерминации.

8. Статистический анализ и прогнозирование сезонных явлений

К сезонным относят такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности, регулярно повторяющиеся через определенные промежутки времени. В торговле, например, сезонность возникает из-за сезонного спроса на товары, производимые промышленностью (плодоовощные консервы, определенные виды обуви, одежды и т.п.).

Статистическое изучение сезонности ставит следующие задачи: численно выразить проявление сезонных колебаний, выявить их силу, вскрыть факторы, вызывающие сезонные колебания, выяснить экономические последствия проявления сезонности.

В статистике используются различные приемы исследования сезонных колебаний. Числовым выражением измерения сезонности являются индексы сезонности. Наиболее доступным способом исчисления индексов сезонности являются результаты сравнения средних, исчисленных по годовым данным для каждого сезонного периода (месяца или квартала), с общей средней, т.е.:

Для определения индексов сезонности широко используется способ скользящих средних. В этом случае фактические уровни (У_i) сравнивается со сглаженными средними:

Такие индексы сезонности рассчитываются по всем сезонным периодам (допустим кварталам) каждого года, а затем на их основе определяются общие индексы сезонности, а именно:

i_s - индивидуальные индексы сезонности;

n - число лет, данные которых используются в исследовании сезонности.

Если при изучении сезонных колебаний четко проступает тенденция в развитии явлений, то в подобных случаях индексы сезонности рассчитываются в результате сравнения уровней данного месяца или квартала с уровнями, исчисленными при выявлении основной тенденции для того же месяца или квартала:

общие индексы сезонности для каждого квартала вычислим:

Уровни тренда данного ряда определяют методом наименьших квадратов.

Рассмотрим методику анализа прогноза сезонных колебаний по данным реализации верхнего трикотажа.

Таблица 8.1 Реализация верхнего трикотажа

Год	Квартал	ti	Фактически реализовано трикотажа, тыс.р. Yti	Выравненные уровни, тыс. р.	Индексы сезонности, %
1	2	3	4	5	6
2001	I	1	8568	8602	99,60
	II	2	7970	8764	90,94
	III	3	9549	8926	106,98
	IV	4	10560	9088	116,20
2002	I	5	8960	9250	96,86
	II	6	8044	9412	85,46
	III	7	9306	9574	97,20
	IV	8	10347	9736	100,27
2003	I	9	9862	9898	99,26
	II	10	9407	10060	93,51
	III	11	11499	10222	112,49
	IV	12	10689	10384	102,94
2004	I	13	10534	10546	99,89
	II	14	9238	10708	86,27
	III	15	10724	10870	98,66
	IV	16	11831	11032	107,24

На основе данных временного ряда видно, что спрос на изделия верхнего трикотажа подвергается колебаниям, связанным со сменой сезонов. Минимальный объем реализации приходится на второй квартал (летние месяцы). Максимальный объем реализации трикотажа приходится на IV квартал (осенние и зимние месяцы). При этом наблюдается четкая тенденция роста реализации трикотажа по соответствующим кварталам год от года, что дает основание применить уравнение тренда прямой.

Уравнение тренда, рассчитанное по данным табл. 8.1, имеет вид:

Подставив в уравнение тренда порядковые номера кварталов, получим выровненные (расчетные) значения уровней. Отношением фактических значений (Y_ti) к расче...