Динамические ряды

Показателем колеблемости временного ряда за счет сезонности служит среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле:

Для выравненных индексов сезонности среднее квадратическое отклонение, вычисленное по вышеприведенной формуле равно 7,11, что говорит о влиянии сезонного фактора.

Определив влияние сезонного фактора, можно найденные закономерности использовать для прогнозирования развития изучаемого процесса.

Сезонный временной ряд можно разложить на следующие компоненты:

где - соответственно тенденция, сезонные волны, случайные колебания.

Тенденция отражает общий характер показателя за длительный промежуток времени: постоянное возрастание или убывание.

Сезонные волны - это более или менее регулярные изменения временного ряда, возникающие с наступлением определенного времени года, и повторяющиеся с небольшими отклонениями из года в год по определенным сезонным периодам.

Случайные колебания вызываются внешними случайными причинами. Они искажают тенденцию и сезонные колебания.

Определив все три составляющие временного ряда, можно использовать найденные закономерности для экстраполяции на перспективу. Значение тренда и краткосрочных сезонных колебаний определим, используя известные уже нам способы расчета. Случайную компоненту практически определить нельзя, ее можно оценить только вероятностным путем.

В общем виде модель прогноза уровней на любой квартал представим выражением:

где Y_t - величина фактического уровня в момент времени t;

I_k - индекс сезонности к-го квартала;

- выравненные уровни по уравнению тренда в момент времени t;

- случайная величина.

Модели товарооборота для расчета по кварталам в соответствии с вышеприведенным выражением будет:

Y_t(Iкв.)= 0,99(8440+162t₁)+;

Y_t(IIкв.)= 0,8904(8440+162t₂)+;

Y_t(IIIкв.)= 1,0383(8440+162t₃)+;

Y_t(IVкв.)= 1,0816(8440+162t₃)+;

Определив скорректированные на величину средних индексов сезонности выравненные уровни, вычислим значение случайной компоненты :

Необходимые расчеты составляющих уровней ряда представим в табл. 8.2.

Таблица 8.2 Расчет составляющих элементов уровней товарооборота

Подсчитаем по кварталам значения среднеквадратического отклонения случайной компоненты:

Средние показатели в одноименных кварталах составят: ; а показатели примут значения:

Доверительные границы случайной компоненты для каждого квартала вычислим по формуле:

При Р=0,95 (t=1,96). Значение (n) в нашем примере равно четырем (числу лет).

Доверительные границы случайной компоненты, рассчитанные по вышеприведенной формуле составят:

Используя ранее приведенные модели и значения расчетов случайной компоненты, осуществим прогноз размера товарооборота верхнего трикотажа на 2005 и 2006 гг.

Таблица 6.3 Прогноз уровней товарооборота верхнего трикотажа на 2005 и 2006 гг.

Из табл. 6.3 видно, что и в последующие годы минимум реализации трикотажа падает на второй квартал, а максимум - на четвертый. Общая тенденция роста товарооборота, которая была характерна для изучаемого периода, сохранится и на прогнозируемый период.

Гармонический анализ (модель сезонной волны)

При исследовании периодических явлений для построения модели сезонной волны может быть применен гармонический анализ. Гармонический анализ - это аппроксимация наблюдений тригонометрическими многочленами, в частности, рядами Фурье. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косиносоидальных функций. Нахождение конечной суммы членов с синусами и косинусами называется гармоническим анализом. Каждый член суммы представляет собой гармонику с определенным периодом. Первая гармоника имеет период, равный длине исследуемого периода. Вторая равна половине основного, третья - одной трети основного и т.д. Вообще, если есть Р наблюдений, то число гармоник не будет превышать

Если величину изучаемого показателя записать как:

где Р - число значений изучаемого показателя или величина периода, то есть представить как части длины окружности, то зависимость соответствующих им значений запишется суммой:

,

где Р - полный период;

i - номер гармоники;

- переменная;

а₀ - свободный член уравнения;

а_i и в_i - коэффициенты гармоник.

Приведенное выражение в развернутом виде запишется так:

Коэффициенты ряда Фурье определяются способом наименьших квадратов. Их оценками служат:

Для гармонического анализ наиболее удобным является период с 12 наблюдениями (три года по четыре квартала). Брать более 12 наблюдений не всегда оправдано, так как гармонический анализ основывается на исследовании колебаний вокруг среднего уровня. Тенденция ряда при этом не учитывается. Использование среднего уровня за три года, конечно, даст меньшие погрешности, чем замена тенденции средним уровнем за более длительный промежуток.

Проведение гармонического анализа ручным способом довольно трудно. В пакете программ «Статистика» разработан алгоритм решения показателей модели на ПЭВМ. Задача исследователя заключается в том, чтобы содержательно использовать результаты гармонического анализа. Так, например, нет необходимости рассчитывать параметры гармоник за весь период, если, допустим, первые три из них дают высокое значение сходимости ряда по величине коэффициента детерминации.

9. Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

При корреляционно-регрессионном анализе классические методы математической статистики применимы при условии, если отдельные члены статистического ряда независимы в смысле теории вероятностей (являются случайно независимыми). Поэтому при анализе временных рядов важно установить, нет ли в данном временном ряду автокорреляции. В связи с этим применение методов анализа регрессий и корреляций на основе уровней рядов динамики имеет ряд особенностей.

При коррелировании уровней рядов динамики следует иметь дело с механизмом взаимодействия различных причин: во-первых, в рядах динамики имеет место та или иная тенденция (тренд), обуславливающая общее направление в развитии явлений; во-вторых, непосредственное воздействие самих факторов на результативный признак. Влияние основной тенденции (тренда) в этом случае приводит к тому, что последующие уровни ряда зависит от предыдущих, то есть в ряду динамики имеется автокорреляция. Так, например, средняя урожайность зерновых культур зависит не только от размера внесения органических удобрений в данном году, но и в определенной мере от внесения удобрений в предыдущие годы.

Наличие автокорреляции в рядах динамики приводит к нарушению принципа независимости исходных данных при корреляционно - регрессионном анализе, а это, в свою очередь, отразится на интерпретации параметров уравнения регрессии, то есть результаты корреляции и регрессии могут быть искажены. Они будут отражать не только влияние признаков -факторов, но и влияние автокорреляции в коррелируемых рядах динамики.

При построении и решении регрессионных моделей временных рядов необходимо убедиться в наличии в них автокорреляции и принять соответствующие меры. Наличие или отсутствие автокорреляции в уровнях ряда динамики в первом приближении можно установить на основе первого эмпирического нециклического коэффициента автокорреляции. Он устанавливает тесноту связи между исходными уровнями ряда динамики с его собственными значениями, но передвинутыми на единицу времени вниз и рассчитывается по формуле:

К сожалению, распределение этого коэффициента для выборок из нормально распределенной, неавтокоррелированной исходной совокупности неизвестно. Поэтому следует воспользоваться циклическим коэффициентом корреляции, который определяется по следующей формуле:

Так для лага L=1 циклический коэффициент автокорреляции первого порядка будет коэффициентом корреляции между уровнями ряда

х₁, х₂, …, х_n-1 и х₂,х₃,… х_n, x₁.

Здесь предполагается, что уровни временных рядов снова повторяются за последним членом х_n.

Для больших выборок циклический коэффициент автокорреляции и нециклический коэффициент автокорреляции практически совпадают. Это дает нам право применить функцию распределения циклического коэффициента корреляции (приложение табл. 7.3), если даже мы исчислим и нециклический коэффициент автокорреляции, так как различия между ними при больших объемах выборки незначительны.

Стандартные программы корреляционно-регрессионного анализа (DSTAT, STATISTIKA) вычисляют первый нециклический эмпирический коэффициент автокорреляции. Для подтверждения или опровержения автокорреляции в уровнях рядов динамики необходимо сравнить первый эмпирический коэффициент автокорреляции с коэффициентом автокорреляции для выборок из нормально распределенной, неавтокоррелируемой исходной совокупности. Табличное значение коэффициента автокорреляции для лага L=1 с доверительной значимостью и определяется по показателю числа степеней свободы. В случаях коррелирования уровней временных рядов показатель числа степеней свободы определяется K=N-m, то есть число уровней ряда динамики (N) минус число параметров уравнения регрессии (m), включая и свободный член уравнения.

Если первый эмпирический коэффициент автокорреляции окажется больше подобного табличного коэффициента с принятой доверительной значимостью , то наличие автокорреляции в уровнях ряда динамики подтверждается, и наоборот.

Установив наличие автокорреляции в уровнях ряда динамики, необходимо наметить пути ее устранения, то есть устранить влияние тенденции (тренда). Устранение автокорреляции возможно различными способами: механическим и аналитическим. Сущность механического способа устранения автокорреляции сводится к нахождению первых разностей (цепных абсолютных приростов) между уровнями каждого ряда по формулам:

Сущность аналитического способа устранения автокорреляции состоит в нахождении отклонений от тренда (остатков), то есть отклонений фактических уровней от выравненных (теоретических). Отклонения фактических значений уровней ряда динамики от теоретических по результативному признаку определим по формуле , а по факторному - как

В математической статистике дано строгое доказательство того, что множественная регрессия с отклонениями от линейных тенденций (трендов) математически точно эквивалента прямому введению в уравнение регрессии фактора времени:

Включение последнего члена при корреляции уровней рядов динамики (порядкового номера фактора времени t_i) и позволяет исключить влияние линейной тенденции (автокорреляции) на устойчивость и направленность параметров уравнения множественной регрессии.

Теснота связи как между первыми разностями, так и остаточными величинами, найденными как отклонения от тренда, рассчитываются по формуле линейного коэффициента корреляции.

По первым разностям коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

а по отклонениям от тренда коэффициент корреляции определяется по формуле:

При исчислении коэффициента корреляции между остаточными величинами предполагается, что отклонения фактических уровней от выравненных, то есть являются случайными величинами, не зависящими от времени. Имеется ввиду, что между самими отклонениями (остатками) отсутствуют автокорреляция. Между тем и в остаточных величинах возможна автокорреляция по следующим причинам: 1) если в регрессионной модели не учтен существенный фактор, влияние которого сказывается на значение остаточных величин; 2) когда в регрессионной модели не учтено влияние нескольких факторов, влияние каждого из которых несущественно, но при совпадении изменения которых по направлению и форме связи в остаточных величинах может возникнуть автокорреляция; 3) при неправильно выбранной форме связи; 4) автокорреляция может возникнуть на в результате ошибок, допущенных при построении регрессионной модели, а вследствие особенностей внутренней структуры случайной компоненты.

Прежде чем коррелировать остаточные величины , необходима проверка на отсутствие автокорреляции в них. Для этого можно воспользоваться либо коэффициентом автокорреляции , либо критерием Дарбина - Уотсона .

Если обозначить отклонения от тренда в любом ряду динамики символом то коэффициент автокорреляции для остаточных величин рассчитывается по формуле:

Вывод об отсутствии или наличии автокорреляции в остаточных величинах можно сделать, сопоставив расчетное значение (r_a) с табличным (r_табл.). Если r_a< r_табл. для каждого числа наблюдений (n) и принятого уровня значимости (5% или 1%), то можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах.

Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле:

Между коэффициентом автокорреляции для остаточных величин и критерием Дарбина-Уотсона существует следующая взаимосвязь:

Очевидно, если автокорреляция отсутствует, то есть r_a=0, то значение d будет равно 2.

Соответственно, если имеет место полная автокорреляция, то вычитая из единицы значения 1 или -1, получим в первом случае d=0, а во втором случае d=4. Это можно записать так (см. табл. 7. 1).

Таблица 7.1 Оценка автокорреляции и значения критерия Дарбина-Уотсона

Для более полного и точного суждения о возможности принятия (или непринятия) гипотезы об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах составлены таблицы, в которых для разного числа наблюдений (n) и числа независимых переменных в уравнении регрессии определены верхние (d₂) и нижние (d₁) критические границы критерия d, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах эмпирическое значение (d) сравнивается с d₁ и d₂ табличными. При этом: 1) если d > d₂ (до 4 - d₂), то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; 2) если d< d₁, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается; 3) если или находится в пределах (4 - d₂) и (4 - d₁), то ничего определенного сказать нельзя и требуется дальнейшее исследование для уточнения (например, уточнение тренда или увеличение числа наблюдений); если d> 4-d, то имеет место отрицательная автокорреляция.

Основные выдержки значений критерия Дарбина-Уотсона приведем в табл. 7.2.

Таблица 7.2 Значения критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости (для положительной автокорреляции)

Величина d может принимать значения в интервале причем различные для положительных и отрицательных коэффициентов автокорреляции (для положительных - от 2 до 4, для отрицательных - от 4 до 2).

Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, нужно вычислить (4-d) . Далее проверка осуществляется аналогично тому, как и в случае положительной автокорреляции.

Распределение циклического коэффициента автокорреляции для лага L=1 приведем в таблице 7.3

Литература

1. Адамов В., Рахманов и др. Статистическая оценка степени ускорения процессов развития народного хозяйства. Вестник статистики, 1987, №1.

2. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир. 1976.

3. Кильдишев Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. Финансы и статистика. -М.: 1973

4. Казинец Л.С. Темпы роста и абсолютные приросты. - М.: 1975

5. Кимаск Г.О показателе ускорения. Вестник статистики: 1987, № 3.

6. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. Финансы и статистика. - М.: 1986

7. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. Финансы и статистика. - М.: 1977

8. Афанасьев В.А., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование. М., Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru