Основы статистической теории

Существуют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

1) индивидуальный отбор -- в выборку отбираются отдельные единицы;

2) групповой отбор -- в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

3) комбинированный отбор -- это комбинация индивидуального и группового отбора.

Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности.

Выборка может быть:

- собственно-случайная;

- механическая;

- типическая;

- серийная;

- комбинированная.

Собственно-случайная выборка состоит в том, что выборочная совокупность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N, т.е.

.

Так, при 5%-ной выборке из партии товара в 2 000 ед. численность выборки n составляет 100 ед. (5*2000:100), а при 20%-ной выборке она составит 400 ед. (20*2000:100) и т.д.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.

Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке -- каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.

Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации.

Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.

Для определения средней ошибки типической выборки используются формулы:

повторный отбор

,

бесповторный отбор

,

Дисперсия определяется по следующим формулам:

,

При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной и серийной выборке.

При многоступенчатой выборке производят подбор из генеральной совокупности отдельных групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типическая выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность.

Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.

Задача №1. Из 1000 отобранных изделий соответствовали высшему сорту 80 %. Определите среднюю ошибку выборки и границы, в которых находится доля продукции высшего сорта во всей партии, с вероятностью 0,954 (t=2).

Решение:

Для нахождения средней ошибки выборки используем формулу

,

где =80%, n=1000, значит,

= 0,012= 1,2%.

Для определения границ необходимо определить предельную ошибку выборки:

= 2* 0,012= 0,024 (2,4%),

следовательно, границы равны:

p= w±= 80±2,4 %.

Задача №2. Распределение 10 обследованных ящиков с изделиями в порядке бесповторного отбора по проценту бракованных изделий:

Процент брака	1-3	3-5	5-7
Число ящиков	6	3	1

Можно ли принять всю партию из 100 ящиков при условии, что процент брака должен быть не больше 2,5 % с вероятностью 0,954 (t=2)?

Решение:

1) Для решения задачи нам необходимы следующие формулы:

, , =+

2) Запишем условия задачи символами: N=100, n=10, ?2,5%, t=2. Необходимо найти

3) Найдем

= (2*6+4*3+6*1)/ 10= 3 %

4) Найдем дисперсию:

= =1,8%

5) Рассчитаем среднюю ошибку:

= 0,4 %

6) Предельная ошибка равна:

=0,8 %

7) Значит, = 3±0,8 %. Так как верхняя граница данного показателя превышает 2,5%, следовательно, нельзя принять всю партию.

Задача №3. Численность выборки равна 600, предельная ошибка выборки равна 5 %, выборочная доля 0,4. Определить критерий Стьюдента t.

Решение:

Воспользуемся формулами

, .

Средняя ошибка выборки равна:

= 0,02 (2%),

следовательно,

= 0,05,

значит, t=2,5.

8. Статистическое изучение взаимосвязи социально - экономических явлений

При функциональной связи изменение результативного признака у всецело обусловлено действием факторного признака х:

y = f (x).

При корреляционной связи изменение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х не всецело, а лишь частично, так как возможно влияние прочих факторов е:

.

Характерной особенностью функциональной связи является то, что она проявляется с одинаковой силой у каждой единицы изучаемой совокупности. Иное дело при корреляционных связях. Здесь при одном и том же значении учтенного факторного признака возможны различные значения результативного признака. Это обусловлено наличием других факторов, которые могут быть различными по составу, направлению и силе действия на отдельные индивидуальные единицы статистической совокупности. Поэтому для изучаемой статистической совокупности в целом здесь устанавливается такое соотношение, в котором определенному изменению факторного признака соответствует среднее изменение признака результативного.

Следовательно, характерной особенностью корреляционных связей является то, что они проявляются не в единичных случаях, а в массе. Поэтому изучаются корреляционные связи по так называемым эмпирическим данным, полученным в статистическом наблюдении. В таких данных отображается совокупное действие всех причин и условий на изучаемый показатель.

Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака х на результативный у.

Решение математических уравнений связи предполагает вычисление по исходным данным их параметров. Это осуществляется способом выравнивания эмпирических данных методом наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выровненных y_xi:

= min.

По проверенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится построение математической модели связи. При этом параметры примененной в анализе математической функции получают соответствующие количественные значения.

Для статистической оценки тесноты связи между признаками х и у применяются различные коэффициенты корреляции (R).

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r:

Для получения выводов о практической значимости синтезированных в анализе моделей показаниям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока:

Показания тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма высокая

При значениях показателей тесноты связи, превышающих 0,7, зависимость результативного признака у от факторного х является высокой, а при значениях более 0,9 - весьма высокой. Это означает, что более половины общей вариации результативного признака у объясняется влиянием изучаемого фактора х. Последнее позволяет считать оправданным применение метода функционального анализа для изучения корреляционной связи, а синтезированные при этом математические модели признаются пригодными для их практического использования.

При показаниях тесноты связи ниже 0,7 величина индекса детерминации R всегда будет меньше 50%. Это означает, что на долю вариации факторного признака х приходится меньшая часть по сравнению с прочими признаками, влияющими на изменение общей дисперсии результативного признака. Синтезированные при таких условиях математические модели связи практического значения не имеют.

Значимые величины коэффициента корреляции (R) зависят от объёма выборки (N) и заданной вероятности получения результата. Для оценки значимости R можно использовать следующую шкалу (для вероятности 95%):

Объём выборки, ед.	3	4	5	10	15	20	50	100
Значение R	0,997	0,95	0,878	0,632	0,51	0,44	0,35	0,19

Если R = 0,3-0,5, его трудно истолковать и требуется проведение дополнительных исследований.

Коэффициент знаков Фехнера К_ф -- один из простейших показателей оценки тесноты связи между двумя признаками:

К_ф=(С -Н) / (С + Н),

где С -- число совпадений, Н -- число несовпадений знаков отклонений значений X и Y от среднего значения.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, что значения этих признаков могут быть упорядочены или проранжированы по степени убывания или возрастания признака, может быть использован коэффициент корреляции рангов Спирмена

,

где n - число наблюдений (число пар рангов); d²_i - квадраты разности рангов связанных величин x и y.

При исследовании степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, возможно использование так называемых тетрахорических показателей. Расчетная таблица состоит из четырех ячеек (обозначаемых буквами а, b, с, d). Каждая из клеток соответствует известной альтернативе того и другого признака.

	Да	Нет
Да	a	b
Нет	c	d

По этим данным рассчитываются коэффициенты ассоциации (К_а) и контингенции (К_к):

,

где a, b, с, d - числа в четырехклеточной таблице.

Связь считается подтвержденной, если К_а 0,5, K_к 0,3.

Когда каждый качественный признак состоит из более двух групп, то для определения тесноты связи применяют коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Коэффициент Пирсона вычисляется по формуле

,

где -- критерий взаимной сопряженности, определяется суммой квадратов частот каждой клетки таблицы f_ij² к произведению частот итоговых соответствующего столбца m_j и строки n_i минус единица:

.

Коэффициент Чупрова вычисляется по формуле

,

где К₁ -- число значений (групп) первого признака; К₂ -- число значений (групп) второго признака.

Показатели вариации результативного признака используются и при выборе наиболее соответствующего эмпирическим данным уравнения регрессии. В изучении корреляционной связи это наиболее важный и ответственный этап анализа. Именно от адекватности примененного уравнения регрессии зависит правильность выводов корреляционно-регрессионного анализа.

Прямолинейная форма зависимости между признаками х и у выражается уравнением:

y = a_o + a₁x.

Для определения параметров уравнения на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

.

Решение системы:

a₁=, a₀ =y - a₁x .

На практике часто приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. В этом случае статистическая модель может быть представлена уравнением регрессии с несколькими переменными величинами. Такая регрессия называется множественной.

Например, линейная регрессия с т независимыми переменными имеет вид:

y = a₀·x₀ + a₁·x₁ + a₂·x₂ +…+ a_m·x_m

При анализе экономических явлений множественная регрессия и корреляция применяются одновременно. С помощью регрессии определяется форма связи и оцениваются параметры регрессионной модели. Посредством корреляционного анализа определяется сила связи между факторами.

Задача №1. 1. Определите с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена тесноту связи между объемом реализации продукции (X, млн.руб.) и накладными расходами по реализации этой продукции (Y, тыс.руб.):

Х	12	19	10	30	17
Y	46	93	50	110	87

Решение:

1) Строим новую таблицу следующего вида:

X	Y	ранжирование	сравнение	Rx - Ry	Di^2 = (Rx - Ry)^2
		x	Rx	y	Ry	Rx	Ry
12	46	10	1	46	1	2	1	1	1
19	93	12	2	50	2	4	4	0	0
10	50	17	3	87	3	1	2	-1	1
30	110	19	4	93	4	5	5	0	0
17	87	30	5	110	5	3	3	0	0

2) Заносим данные в таблицу

3) Упорядочиваем ряды X и Y по возрастанию в столбцы x и y соответственно

4) Присваиваем ранги (порядковые номера) ранжированным рядам в столбцы Rx и Ry соответственно

5) Сравниваем ряды X и Y с ранжированными и записываем их порядковые номера

6) Рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

= = 1 - 12/ 5*24 = 0,9.

Следовательно, связь между этими показателями по шкале Чеддока очень тесная.

Задача №2. Экзаменационная сессия студентов-заочников по специальным дисциплинам характеризуется следующими данными:

Студенты	Получившие только положительные оценки	Получившие неудовлетворительные оценки
Работающие по специальности	78	22
Не работающие по специальности	32	68

Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции.

Решение:

Связь считается подтвержденной, если К_а 0,5, K_к 0,3. Рассчитаем коэффициенты:

1) = = 0,76

2)

K_к = 0,46

Задача №3. Написать уравнение регрессии для данных:

y	19	58	35	89	36	79	35	39	24
x	22	40	35	56	31	45	31	40	20

Решение:

Для решения будем использовать таблицу:

y	x	x^2	x*y
19	22	361	418
58	40	3364	2320
35	35	1225	1220
89	56	7921	4984
36	31	1296	1116
79	45	6241	3555
35	31	1225	1085
39	40	1521	1560
24	20	576	480
У=414	У=320	У=12749	У=16743

Уравнение регрессии имеет вид:

y = a_o + a₁x

a_o = = = 40,2

a₁ x = = = 0,16

Значит, уравнение регрессии для данной задачи выглядит следующим образом:

y = 40,2 + 0,16x

9. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и показатели времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (периоды времени). Уровни ряда обычно обозначаются через у, моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, -- через i.

В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояния явления на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т. п.) или его величину за определенные интервалы времени (за сутки, месяц, год и т. п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.

Уровни интервального ряда динамики абсолютных величин характеризуют собой суммарный итог какого-либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, и поэтому их можно суммировать как не содержащие повторного счета.

Отдельные же уровни моментного ряда динамики абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Все это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов динамики.

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Следовательно, прежде чем анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедиться в сопоставимости уровней ряда. При отсутствии сопоставимости необходимо провести пересчет уровней.

Для того чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который называется смыканием рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах). Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, как до изменений, так и после изменений принимаются за 100 %, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно. В результате получается сомкнутый ряд динамики.

Показатели ряда динамики

Показатели ряда динамики можно рассчитать двумя методами: цепным и базисным. При расчете цепным методом сравнение всегда осуществляется с предыдущим уровнем у_i-1, а базисный метод основан на сравнении с постоянным уровнем y_o.

Абсолютный прирост (_у) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

= y_i - y_i-1 (цепной), = y_i - y_o (базисный).

Коэффициент роста (К_р) показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы):

(цепной), (базисный).

Темп роста -- это коэффициент роста, выраженный в процентах:

Т_р = К_р 100%.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня:

Т_пр = Т_р - 100%.

Абсолютное значение одного процента прироста (А) представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста:

,

Абсолютным ускорением в статистике называется разность между последующим и предыдущим абсолютными приростами:

A = A_i - A_i-1.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных равноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле средней арифметической простой, а для неравноотстоящих рядов -- по средней арифметической взвешенной:

, .

где t - длительность интервала времени между уровнями.

Средний уровень моментного ряда динамики так исчислить нельзя из-за того, что отдельные уровни содержат элементы повторного счета. Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической простой:

.

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

.

Средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

, , .

Анализ рядов динамики предполагает выявление тренда -- долговременной компоненты ряда динамики, которая характеризует основную тенденцию его развития, при этом остальные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения. Для этого находят подходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания. После установления наличия тенденции в ряду динамики производится ее описание с помощью методов сглаживания.

Методы сглаживания разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

При методе усреднения по левой и правой половине ряд динамики разделяют на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда.

В методе простой скользящей средней вычисляется средний уровень из определенного числа (3-7) первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее, начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Каждое звено скользящей средней -- это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Требуется выполнение дополнительного расчета -- центрирования, которое заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате.

Выравнивание по уравнению кривой

Упрощенный расчет параметров уравнений заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики (t=0). В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой (у = a₀+a₁t) примут вид:

Решая систему относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_S). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (не менее трех) используются для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года (у_i), затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда (у) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т. е.

I_S = (у_i / у) 100%.

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то, прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики. По уравнению вычисляются для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени t. Затем определяются отношения фактических данных за месяц (квартал) к соответствующим выровненным данным: I_i = (y_i/ y_t) 100%. И находят средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах:

I_S = (I₁ + I₂ +…+ I_n) : n,

где n -- число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

I_S = [У (y_i /y_t)] : n.

Основы прогнозирования

Исследование динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития и моделей взаимосвязи дают основание для прогнозирования -- определения будущих размеров уровня экономического явления.

Выделяют следующие элементарные методы прогнозирования: по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста и на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту () основано на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов). Экстраполяцию можно сделать по следующей формуле:

у_i+t = y_i + * t,

гдеу_i+t -- экстраполируемый уровень; (i+t) -- номер этого уровня; i -- номер последнего уровня исследуемого периода, за который рассчитан* t -- срок прогноза (период упреждения).

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста (), возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции, т. е. по формуле:

у_i+t = у_i ,

где у_i -- последний уровень ряда динамики; t -- срок прогноза;

Наиболее распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, т. е. у = f (t).

При выборе типа линии можно учитывать следующее:

§ прямая линия, если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины;

§ парабола второго порядка (полином), если приросты приростов уровней (ускорения) колеблются около постоянной величины;

§ показательная функция (экспонента), если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом.

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность.

Любой статистический прогноз носит приближенный характер. Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза.

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра

t=n+1, …, n+k.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

верхняя граница прогноза Y_p(n+k) + U(k),

нижняя граница прогноза Y_p(n+k) - U(k).

Величина U(k) для линейной модели имеет следующий вид:

, ,

где -- средняя квадратическая ошибка тренда; Y_p -- расчетное значение уровня (по уравнению); m -- число параметров уравнения (для линейного m = 2); n -- количество исходных уровней; t -- среднее значение параметра t (для имеющихся данных); k_p -- доверительная величина.

Задача №1. Рассчитать цепные показатели ряда динамики для следующих данных: число работающих на предприятии в 2007 году было 2179, в 2008 - 2195, в 2009 - 2200, в 2010 - 2181 человек.

Решение:

Составим таблицу

Показатель	2007 год	2008 год	2009 год	2010 год
yi, чел.	2179	2195	2200	2181
у = yi - yi-1, чел.	-	16	5	-19
Тр =*100%, %	-	100,73	100,22	99,13
ТТпр = Тр - 100%, %	-	0,73	0,22	-0,87
,	-	21,9	22,72	21,83

Задача №2. Приведите уровни следующего ряда динамики, характеризующего численность (Ч) работников фирмы, к сопоставимому виду:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Ч на 1 января	320	329	337	331	-	-	-	-
Ч среднегодовая	-	-	-	335	342	350	360	365

Решение:

Исходя из данных задачи, видно, что в четвертом периоде есть данные, исчисленные по разной методологии. Для приведения воспользуемся коэффициентом перехода:

К=335/331=1,012.

Следовательно, поправив данные на получившийся коэффициент, мы можем восстановить все данные:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Ч на 1 января	320	329	337	331	336	345	355	360
Ч среднегодовая ( Ч на 1 января * К)	323	332	341	335	342	350	360	365

Задача №3. Для задачи №1 рассчитать средний уровень ряда динамики.

Решение:

Данный ряд - ряд с равноотстоящими датами интервальный, следовательно,

= 8755/ 4 = 2188 чел.

10. Индексный метод анализа. Понятие индексов. Сфера их применения и классификация

В статистике под индексом понимается относительный показатель, который выражает соотношение величин какого-либо явления во времени, в пространстве, а также сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т. д.).

В международной практике индексы принято обозначать символами i и I (начальная буква латинского слова index). Буквой "i" обозначаются индивидуальные (частные) индексы, буквой "I" -- общие индексы. Знак внизу справа означает период: 0 -- базисный (i₀), 1 -- отчетный (i₁). Помимо этого используются определенные символы для обозначения индексируемых показателей: q -- количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении; р -- цена единицы товара; z -- себестоимость единицы продукции; t -- затраты времени на производство единицы продукции; w -- выработка продукции в стоимостном выражении на одного рабочего или в единицу времени; v -- выработка продукции в натуральном выражении на одного рабочего или в единицу времени; Т -- общие затраты времени (tq) или численность рабочих; pq -- стоимость продукции или товарооборот; zq -- издержки производства.

По степени охвата явления индексы бывают индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления. Для измерения динамики сложного явления, составные части которого непосредственно несоизмеримы (изменения физического объема продукции, включающей разноименные товары, индекса цен акций предприятий региона и т. п.), рассчитывают сводные, или общие индексы. В зависимости от формы построения различаются индексы агрегатные и средние. Последние делятся на арифметические и гармонические. Агрегатная форма общих индексов является основной формой экономических индексов. Средние индексы -- производные, они получаются в результате преобразования агрегатных индексов.

По характеру объекта исследования общие индексы подразделяются на индексы количественных (объемных) и качественных показателей. В основе такого деления индексов лежит вид индексируемой величины.

По составу явления можно выделить две группы индексов: постоянного (фиксированного) состава и переменного состава. Деление индексов на эти две группы используется для анализа динамики средних показателей.

Индивидуальные индексы представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения, и их расчет не требует знания специальных правил. В зависимости от экономического назначения индивидуальные индексы бывают: физического объема продукции, себестоимости, цен, трудоемкости и т. д. Индекс физического объема продукции рассчитывается по формуле:

i_q=q₁/q₀.

Индексы других показателей строятся аналогично.

Производительность труда может быть измерена количеством продукции, производимой в единицу времени (v), или затратами рабочего времени на производство единицы продукции (t). Поэтому можно построить:

* индекс количества продукции, произведенной в единицу времени:

i_v=V₁/V₀=(q₁/T₁):(q₀/T₀) ;

* индекс затрат времени на производство единицы продукции:

i_t = t₀/t₁ .

Так как между количеством продукции, произведенной в единицу времени, и затратами рабочего времени на производство единицы продукции существует обратно пропорциональная зависимость, т. е. t = 1/V, индекс i_t получается в результате деления величины показателя в базисном периоде на величину в текущем периоде.

Для характеристики производительности труда часто используется индивидуальный индекс выработки продукции в стоимостном выражении на одного рабочего:

i_w=W₁/W₀=(q₁p/T₁):(q₀p/T₀),

где p -- сопоставимые цены.

Индивидуальный индекс стоимости продукции отражает, во сколько раз изменилась стоимость какого-либо товара в текущем периоде по сравнению с базисным или сколько процентов составляет рост (снижение) стоимости товара, и определяется по формуле:

i_pq = p₁q₁ / p₀q₀.

В экономических расчетах чаще всего используются общие индексы, которые характеризуют изменение совокупности в целом. Построение этих индексов и является содержанием индексной методологии. Поэтому индексная методология предусматривает определение влияния каждого из факторов путем элиминирования влияния других факторов на уровень изучаемого явления. Общие индексы строят для количественных (объемных) и качественных показателей. В зависимости от цели исследования и наличия исходных данных используют различные формы построения общих индексов -- агрегатная или средневзвешенная. Агрегатный индекс -- сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.

Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается (цена товаров, затраты времени, количество проданных товаров и т. д.). Вес индекса -- это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

За каждым экономическим индексом стоят определенные экономические категории. Экономическое содержание индекса предопределяет методику их расчета. Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:

§ какая величина будет индексируемой?

§ по какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс?

§ что будет служить весом при расчете индекса?

При выборе веса индекса принято руководствоваться следующим правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода.

Индекс стоимости продукции или товарооборота (I_pq) представляет собой отношение стоимости продукции текущего периода (Уp₁q₁) к стоимости продукции в базисном периоде (Уp₀q₀) и определяется по формуле

I_pq = Уp₁q₁ / Уp₀q₀ .

Значение индекса стоимости продукции (товарооборота) зависит от двух факторов: изменения количества продукции и цен, что обусловливает возможность и необходимость построения еще двух индексов: физического объема продукции и цен. Индекс физического объема продукции -- это индекс количественного показателя. В этом индексе индексируемой величиной будет количество продукции в натуральном выражении, а весом -- цена. Только умножив несоизмеримые между собой количества разнородной продукции на их цены, можно перейти к стоимостям продукции, которые будут уже величинами соизмеримыми. Так как индекс физического объема -- индекс количественного показателя, то весами будут цены базисного периода. Тогда формула индекса примет следующий вид:

I_q = Уp₀q₁ / Уp₀q₀.

Индекс цен -- это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, так как этот индекс характеризует изменение цен. Весом будет выступать количество произведенных товаров. Индекс цен определяется по следующей формуле:

I_p = Уp₁q₁ / Уp₀q₁.

Стоимость продукции можно представить как произведение количества товара на его цену. Такая же связь существует и между индексом стоимости, физического объема и цен, т. е.

I_pq = I_p I_q.

Помимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма -- средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Средний индекс -- это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Агрегатный индекс является основной формой общего индекса, поэтому средний индекс должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.

Среднеарифметический индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:

I_q = Уi_qp₀q₀ / Уp₀q₀.

Среднеарифметический индекс трудоемкости производства продукции определяется следующим образом:

I_t = Уi_tt₁q₁ / Уt₁q₁ = Уi_tT₁ / УT₁.

Индексы других качественных показателей (цен, себестоимости и т.д.) определяются по формуле среднегармонической взвешенной величины. Например, индекс себестоимости можно исчислить так:

I_z = Уz₁q₁ / Уz₁q₁ / i_z,

а индекс цен:

I_p = Уp₁q₁ / Уp₁q₁ / i_p.

При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов -- изменением значения индексируемого показателя у отдельных групп единиц и изменением структуры явления. Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности. Так, средняя заработная плата на предприятии может вырасти в результате роста оплаты труда работников или увеличения доли высокооплачиваемых сотрудников. Так как на изменение среднего значения показателя оказывают воздействие два фактора, возникает задача определить степень влияния каждого из факторов на общую динамику средней.

Эта задача решается с помощью индексного метода, т. е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени. Например, индекс переменного состава себестоимости продукции одного и того же вида рассчитывается по формуле:

I_пс = Z₁ / Z₀ = (Уz₁q₁ / Уq₁):( Уz₀q₀ / Уq₀).

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов).

Индекс постоянного (фиксированного) состава -- это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Индекс фиксированного состава определяется как агрегатный индекс. Так, индекс фиксированного состава себестоимости продукции рассчитывают по формуле:

I_фс = (Уz₁q₁ / Уq₁) : (Уz₀q₁ / Уq₁) =Уz₁q₁ / Уz₀q₁.

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Индекс определяется по формуле (при изучении изменения среднего уровня себестоимости):

I_сс = (Уz₀q₁ / Уq₁) : (Уz₀q₀ / Уq₀) =(Уz₀q₁ / Уz₀q₀) : (Уq₁ / Уq₀).

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средней себестоимости имеет следующий вид:

I_пс = I_фс I_сс.

Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов за какой-либо период времени, можно рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные индексы, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.

Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления, например связь между индексом стоимости продукции, физического объема продукции и цен. Другие индексы также связаны между собой. Так, индекс издержек производства -- это произведение индекса себестоимости продукции и индекса физического объема продукции:

I_zq = I_z I_q.

Отсюда если себестоимость увеличилась на 10%, а количество продукции снизилось на 8%, то индекс издержек на производство равен:

1,10 0,92 = 1,012, или 101,2%.

Индекс затрат времени на производство продукции может быть получен в результате умножения индекса физического объема продукции индекса трудоемкости, т. е.

I_tq = I_q I_t.

При увеличении физического объема продукции в текущем периоде на 15% по сравнению с базисным трудоемкость производства продукции повысилась на 18%, поэтому индекс затрат времени на производство продукции равен:

1,15 1,18 = 1,357, или 135,7%.

Существует важная взаимосвязь между индексами физического объема продукции и индексами производительности труда.

Индекс производительности труда рассчитывается на основе следующей формулы:

I_w = (Уp₀q₁ / УT₁) : (Уp₀q₀ / УT₀).

Индекс физического объема продукции равен произведению индекса производительности труда на индекс затрат рабочего времени (или численности занятых):

Уp₀q₁ / Уp₀q₀ = (УT₁ / УT₀) [(Уp₀q₁ / УT₁) : (Уp₀q₀ / УT₀)] .

Таким образом, если численность рабочих возросла на 12%, а производительность труда -- на 7%, то индекс физического объема продукции равен:

1,12 1,07 = 1,20, или 120%.

Задача №1. Данные по производству приборов на заводе:

Вид прибора	1-й год	2-й год
	себестоимость, руб./ед. (z0)	Количество единиц (q0)	себестоимость, руб./ед. (z1)	Количество единиц (q1)
А	100	20	98	22
Б	95	25	93	14
В	98	40	96	50

Вычислите: а) индивидуальный и сводный индексы себестоимости; б) сводный индекс физического объема продукции (взвешенный по себестоимости).

Решение:

1) Товар А:

i_z = z_1/ z₀ = 98/100 = 0,98

(себестоимость товара А снизилась на 2%)

Товар Б:

i_z = z_1/ z₀ = 93/95 = 0,978

(себестоимость товара Б снизилась на 2,2%)

Товар В:

i_z = z_1/ z₀ = 96/98 = 0,979

(себестоимость товара Г снизилась на 2,1%)

2) I_z = Уz₁q₁ / Уz₀q₁ = (98*22 + 93*14 + 96*50) / (100*22 + 95*14 + 98*50) = 8258/8430 = 0,98

(общая себестоимость снизилась на 2%)

3) I_q = Уz₀q₁ / Уz₀q₀ = (100*22 + 95*14 + 98*50) / (100*20 + 95*25 + 98*40) 8430/8295 = 1,02

(общий объем повысился на 2%)

11. Задания для самоподготовки

Группировка статистических материалов

1. Данные о распределении заводов отрасли по объёму реализованной продукции:

Группы заводов по стоимости реализованной продукции, млн. руб.	Число предприятий	Стоимость реализованной продукции, % к итогу
До 10	60	17,9
10-30	30	42,4
Свыше 30	10	39,7
Итого	100	100,0

Применяя метод вторичной группировки, образуйте группы заводов по объему реализованной продукции (млн. руб.): до 1,0; 1,0 - 5,0; 5,0 - 10,0; 10,0 - 25,0; свыше 25,0. По каждой группе рассчитайте оба показателя. Результаты представьте в табличной форме.

2. По приведенным данным постройте ряд распределения предприятий по проектной мощности:

Номер завода	Проектная мощность	Номер завода	Проектная мощность	Номер завода	Проектная мощность
1	25,0	10	35,0	19	68,0
2	14,0	11	46,5	20	20,0
3	65,0	12	120,0	21	75,0
4	70,0	13	125,0	22	40,0
5	30,0	14	125,0	23	145,0
6	18,5	15	200,0	24	35,0
7	14,0	16	14,0	25	87,0
8	55,0	17	88,0
9	40,0	18	119,0

3. Перегруппируйте данные о численности работающих на 55 пр...