Развитие современной экономической системы

Стоит оговорить пару важных условий. Основное условие применимости теста Грейнджера - стационарность проверяемых временных рядов. Однако, коинтегрированные нестационарные временные ряды также могут быть проанализированы, но только будучи внутри определённого коинтеграционного соотношения.

Также тест Грейнджера является высокочувствительным к количеству лагов и необходимо брать разное их количество, однако по нашему мнению и ссылаясь на работы [21] [6] [7], число лагов следует брать равным пяти, а в нашем случае (с учётом проблемы асинхронности торгов) даже четыре. Большее количество лагов не несёт в себе экономического смысла [6, стр. 249].

Чтобы получить дополнительный критерий оценки зависимости между переменными, обратимся к анализу функций импульсного отклика (IRF). В экономике, и особенно в современном макроэкономическом моделировании, импульсные функции отклика используются для описания того, как экономика реагирует в течение долгого времени на экзогенные импульсы, которые экономисты обычно называют шоками, и часто моделируют в контексте векторной авторегрессии. Например, импульсы, которые часто рассматриваются как экзогенные с макроэкономической точки зрения, включают изменения в государственных расходах, налоговых ставках и других параметрах фискальной политики. Импульсные функции отклика также могут описывать реакцию эндогенных макроэкономических переменных, таких как объем производства, потребления, инвестиций и занятости в момент шока и в последующих моментах времени [22].

Каузальный анализ не может оценить степень и силу взаимовлияния индексов, однако укажет на причинно-следственную связь. Для оценки степени и силы этого влияния обратимся к векторной авторегрессии.

Модель векторной авторегрессии

Математическая форма VAR-модели - это система n уравнений, которые можно представить в матричном виде в уравнении (1.4):

(1.4)

Где, - вектор констант; - матрицы коэффициентов;

- вектор серийно некоррелированных ошибок с нулевым средним значением и матрицей ковариаций ошибок - .

В уравнении (1.4) представлена «замкнутая модель» векторной авторегрессии порядка p лагов эндогенных (объясняемых) факторов, т.е. «VAR(p)». «Открытую модель» можно представить в уравнении (1.5), в ней модель дополняется экзогенными переменными и их лагами, например, до порядка q [66].

(1.5)

Оценка параметров модели может проводиться с помощью обычного метода наименьших квадратов, а матрица ковариаций ошибок оценивается состоятельно с помощью выборочной ковариационной матрицы остатков, полученных из МНК [39, стр. 2]. Оценку адекватности модели можно провести, проверив матричные коэффициенты на стационарность. У стационарной модели корни уравнения (1.6) будут находиться за пределами единичной окружности:

(1.6)

Оценочные значения матриц коэффициентов VAR модели трудно интерпретировать напрямую, поэтому основные результаты описывают определёнными функциями этих матриц [39, стр. 2]. Например, в [29, стр. 19] используются уже знакомые нам функции реакции на импульсы.

Если гипотеза о стационарности наших временных рядов не отвергается, можно воспользоваться обычной VAR моделью. Если наши временные ряды интегрированы, но нет коинтеграции, то опять же можно воспользоваться VAR для разностей соответствующего порядка. Если в модели обнаружится коинтеграция, то предлагается использовать модель векторной коррекции ошибками - VECM.

Тестирование на наличие коинтеграции временных рядов

Чаще всего финансовые данные, такого типа как индексы, могут содержать в себе единичный корень. При такой ситуации следует применять инструментарий анализа нестационарных временных рядов. В 1987 году Энгель и Грейнджер доказали [74], что линейная комбинация нестационарных временных рядов (двух и более) может быть стационарной. Если такая комбинация существует, то такие нестационарные временные ряды называются коинтегрированными. Если ряды получаются первого порядка интеграции, а их линейная комбинация нулевого, то мы получаем порядок коинтеграции - (1;1). Порядок интеграции обычно в данном случае опускают, т.к. это наиболее часто встречающийся случай.

Линейную комбинацию принято называть «коинтеграционным соотношением» или «коинтеграционным уравнением». Существование вышеуказанной линейной комбинации описывает долгосрочную взаимосвязь между исследуемыми факторами.

Чтобы определить, коинтегрированы ли наши нестационарные временные ряды, мы воспользуемся методологией Йохансена [75], [76].

Условия применимости теста Йохансена:

Нестационарность процессов;

Интегрированность одинакового порядка (I(1));

Гомоскедастичные и некоррелированные остатки;

Подобие остатков Гауссову шуму (упрощения условия нормальности).

Логика теста состоит в том, чтобы определить коинтегрирующий ранг матрицы П (см. 1.8) из модели коррекции ошибками.

Шаг первый - оценивается классическая VAR-модель. Далее определятся оптимальное число лагов модели с помощью информационных критериев Шварца (SIC) [17] и Акаике (AIC) [18]. Стоит учесть, что оптимальное число лагов для VAR-модели на один лаг больше оптимального числа лагов для теста Йохансена. Это происходит из-за того, что модель представлена в разностях. Далее определяется, включать ли константу и(или) тренд в модель. Выводы делаются как визуально, так и с помощью информационных критериев.

Следующий шаг - определение ранга матрицы П. Основной гипотезой является предположение о том, что ранг не превышает некоторого числа r < k, где k - размерность процесса . Критерий отвержения основной гипотезы: rankП = k или rankП < k+1. Статистики имеют разное распределение. Название первой статистики - «trace statistic», название второй статистики - «maximum eigenvalue». Происходит последовательный перебор r от 0 до k. При отвержении основной гипотезы на первом шаге мы получаем нулевой ранг матрицы П, коинтеграционное уравнение отсутствует. При не отвержении гипотезы значение r увеличивается на 1 и продолжается анализ.

Критические значения статистик зависят от использования в модели константы и трендовой составляющей. Их можно включать в VAR модель и в коинтеграционное уравнение.

Подтверждение наличия коинтегрирующего уравнения формирует предпосылку использования модели векторной коррекции ошибками.

Построение модели векторной коррекции ошибками

Модель коррекции ошибками - это, как мы уже упоминали выше, частный случай модели векторной авторегрессии для стационарных процессов. С помощью преобразования (1.7) можно представить модель (1.4) в форме модели коррекции ошибками (проигнорируем константу и тренд).

(1.7)

Представим её в математической форме:

(1.8)

Где , а .

Все члены уравнения (1.8) стационарны, кроме переменной, её стационарность зависит от матрицы П.

Если =0, то слагаемое примет вид П^*=0, что означает долгосрочное равновесие. Матрицу П можно представить в виде П=lk', где столбцы k содержат m коинтеграционных векторов, а столбцы l содержат m корректирующих векторов. В равновесном состоянии k'^*=0, но в момент (t-1) k' отклоняется от нуля, а коэффициенты l корректируют это отклонение так, чтобы в долгосрочном периоде k' стремилось к нулю. Отсюда и название модели.

Получается, что «m» коинтеграционных векторов, создающих матрицу «k», позволяют оценивать долгосрочные соотношения, а соотношение lk' _t-1 отражает отклонение многомерного процесса x от этого динамического равновесного состояния, когда компонент модели позволяет оценивать краткосрочные изменения предыдущих периодов. Получается, что _t зависит от отклонений от долгосрочного равновесия в период t-1 и от краткосрочных колебаний в предыдущие периоды.

Проверка выполнения условий теоремы Гаусса-Маркова

Чтобы не прийти в завершающей части исследования к ложным выводам, необходимо также проверить все исследованные модели на отсутствие в них классических эконометрических проблем.

Рассмотрим наиболее простой, классический случай. При выборке размерности N мы оцениваем параметры существующей в генеральной совокупности многофакторной линейной зависимости:

(1.9)

Где - временные ряды. В случае (1.9) классическая теорема Гаусса-Маркова должна быть скорректирована, так как случайные величины, формирующие временной ряд, не обязаны быть независимыми («допускается коррелированность элементов временного ряда в разные моменты времени» [63, стр. 162]).

Запишем уравнение (1.9) в матричном виде:

(1.10)

Тогда, для ошибок регрессии мы будет требовать соблюдения условий:

;

;

;

.

В этом случае, если соблюдается условие №1, оценки МНК несмещенные. Если выполнены условия №1-№3, и ни один из регрессоров не выражается линейно через остальные, то мы получаем BLUE-оценки (т.е. среди несмещенных линейных (относительно ) оценок они имеют наименьшую дисперсию). Если выполнены условия №1-№4, то для МНК-оценок параметров модели (1.10) верны статистические выводы для пространственных выборок.

Условие второе - постоянство дисперсий ошибок во времени и пространстве называется гомоскедастичностью. Несоблюдение условия №2 приводит к тому, что ошибки модели регрессии становятся неоднородными (гетероскадастичными), а оценки МНК перестают быть наилучшими.

В нашем исследовании мы предлагаем использовать тест Уайта (White Heteroskedasticity Test) для тестирования в модели отсутствия гетероскедастичности ошибок [77, стр. 178].

Модель: (1.11)

Гипотезы:

Статистика: , где - коэффициент детерминации вспомогательной регрессии из модели (1.11)

Выводы: Если основная гипотеза не отвергается, то ошибки модели гомоскедастичны. Если основная гипотеза отвергается, то ошибки модели гетероскедастичны.

Также в модель (1.11) принято добавлять перекрёстные произведения регрессоров. При выполнении альтернативной гипотезы, устранение гетероскедастичности проводиться с помощью использования взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК) и взвешивания всей модели на остатки по Уайту.

Третье условие, некоррелируемость ошибок, что означает следующее: «данные одного наблюдения не влияют на данные других наблюдений. Это может быть связано с тем, что на зависимую переменную влияют не только значения регрессоров в соответствующий период времени, но и их значения в прошлые периоды времени (т.н. «эффект памяти»)» [63, стр. 138]. В случае несоблюдения условия №3 оценки дисперсий коэффициентов регрессии будут смещены вниз.

В нашем исследовании, мы предлагаем использовать тест на серийную коррелированность остатков Бройша-Годфри (Serial Correlation LM Test) для тестирования в модели отсутствия автокорреляции ошибок [77, стр. 272].

Данный тест позволяет проверить гипотезу о том, что остатки модели описываются моделью авторегрессии порядка p. Предположим, что ошибки в нашей модели (1.9) подчиняются авторегрессионной схеме AR(:

(1.12)

Чтобы провести тест Бройша-Годфри, нужно первым делом извлечь из модели (1.9) оценку ошибок , далее тестируется следующая модель:

(1.13)

Гипотезы:

Статистика: , где - кол-во наблюдений, p - порядок автокорреляции, - коэффициент детерминации из модели (1.13).

Выводы: Если основная гипотеза не отвергается, серийной автокорреляции порядка p не обнаружено. Если основная гипотеза отвергается - в модели присутствует автокорреляция порядка p.

Если в модели будет обнаружена автокорреляция, предлагается её устранить с помощью итерационной процедуры Кокрейн-Оркута с поправкой Прайса-Винстона для первого наблюдения.

Соблюдение четвёртого условия проверяется с помощью теста Харке-Бера на нормальность распределения ошибок модели.

Используя модель (1.9), проведём тест Харке-Бера:

Статистика: ~, (1.14)

где ~N(0;), ~N(3;), а =

Используем статистику JB, проверяем гипотезу о том, что асимметрия равна 0, а эксцесс равен 3, что соответствует нормальному распределению.

Гипотезы:

Выводы: Если основная гипотеза не отвергается, ошибки в модели (1.9) распределены нормально. Из нормальности ошибок будет следовать то, что у нас нормально распределены также и а это значит, что мы можем тестировать различные гипотезы, так как t, F и распределения являются функциями от нормального распределения.

Если основная гипотеза отвергается, нет оснований полагать, что ошибки в модели (1.9) распределены не нормально и мы не можем тестировать гипотезы, однако используя центральную предельную теорему, можно обойти эту проблему. финансовый ряд авторегрессия индекс

На этом раздел, посвящённый методологии исследования, заканчивается. В завершении эмпирической части исследования планируется выделить отдельный раздел, посвящённый описанию исследуемых периодов и широкому резюмированию полученных результатов по всем использованным методикам анализа характера изменения текущих взаимосвязей национальных фондовых индексов и попыткой экономической интерпретации полученных результатов.

Выводы по первой главе

Теперь кратко резюмируем полученные результаты по первой главе. Проведён анализ и систематизация предыдущих исследований в области анализа взаимовлияния национальных фондовых индексов. Выявлен ряд закономерностей, которые наиболее часто возникают в исследованной литературе: американский фондовый рынок прямо влияет на национальные мировые фондовые индексы; индексы близкорасположенных друг к другу стран чаще всего хорошо коррелируют между собой; чем крепче торговая связь между странами, тем выше взаимозависимость их фондовых рынков; в кризисные периоды взаимозависимость между рынками растёт. Однако, присутствует большое количество статей, где не подтверждается зависимость определённых рынков от ряда факторов.

По результатам систематизации обзора отечественной и зарубежной литературы можно судить, что данный вопрос является актуальным для научного сообщества, но за всё время исследования этого вопроса ещё не сложилось единое мнение по исследуемому вопросу, поэтому мы проведём собственную оценку взаимовлияния национального и мирового фондового рынка.

Описана подробная экономическая интуиция и характеристика включаемых в исследование индексов. Анализируется текущее экономическое взаимодействие ряда стран и основные драйверы, повышающие и понижающие динамику финансовой интеграции исследуемых стран. Выявлено возможное влияние на российский национальный индекс биржи ММВБ - MICEX: валютного кризиса (укрепления доллара), цен на нефть, политических показателей (санкций) и влияние ухудшения ряда макроэкономических показателей. Задаётся основной временной период исследования и предлагается оценивать взаимовлияние национальных индексов в призме их влияния на индекс MICEX.

Рассматривается историческая ретроспектива наиболее часто используемой методологии и приводится систематизация и подробное описание методов, используемых в нашем исследовании. Далее в исследовании предлагается использовать методологию визуального и корреляционного анализа; протестировать коинтеграцию и стационарность временных рядов; провести каузальный анализ с использованием теста на причинность по Грейнджеру и анализ функций импульсного отклика; построить модели векторной авторегрессии и модель коррекции ошибками. Проверить соблюдение теоремы Гаусса-Маркова для получения правомочных выводов. В заключении всей работы предлагается отдельный блок для анализа взаимовлияния индексов, с разбивкой по периодам. Принято решение, для анализа данных использовать программы: Excel, STATA, Eviews.



2. Эмпирический анализ

Вторая глава делится на девять разделов. В первом разделе описываются оцениваемые данные. Второй раздел посвящён визуальному анализу данных. В третьем разделе приводится корреляционный анализ. В четвёртом разделе данные тестируются на наличие стационарности временных рядов с помощью теста Дикки-Фуллера. В пятом разделе определяется связь между переменными с помощью теста Грейнджера и проводится анализ функций импульсного отклика. В шестом разделе проводится тестирование на наличие коинтеграции временных рядов и оценивается модель векторной авторегрессии. Седьмой раздел посвящён построению модели векторной коррекции ошибок. Восьмой раздел проверяет соблюдения стандартных предпосылок ТГМ. Раздел номер девять посвящён анализу характера изменения текущих взаимосвязей индексов. Завершает главу резюмирование полученных результатов.

2.1 Описание данных

Проведя систематизацию научных работ по теме исследования были выбраны наиболее значимые переменные, которые использовались для анализа взаимовлияния национальных индексов в этих работах. Рассмотрим основные переменные нашего исследования в таблице №2.1.

Таблица №2.1: Описание исследуемых переменных:

Название переменной:	Описание переменной:
Объясняемая переменная
	Индекс московской биржи ММВБ - MICEX (Российская Федерация)
Объясняющие переменные
	Индекс биржи Праги - PX (Чехия)
	Индекс биржи Франкфурта на Майне - DAX (Германия)
	Индекс биржи Парижа - CAC 40 (Франция)
	Индекс Лондонской биржи - FTSE 100 (Великобритания)
	Индикатор «уровня страха» мировых инвесторов - VIX, чикагская биржа (США)
	Индекс биржи Нью-Йорка - S&P 500 (США)
	Индекс токийской биржи - NIKKEI 225 (Япония)
	Индекс биржи Гонконга - HSI (Китай)

Более подробная экономическая интуиция и характеристика используемых индексов описываются в разделе «анализ текущего взаимодействия и финансовой интеграции стран».

Для анализа используются дневные данные торгов с 3 января 2013 года по 30 апреля 2015 года, они получены из открытых баз данных, доступных в сети интернет: [4], [5]. Исследование дневных массивов данных наиболее точно отражает взаимосвязи мировых фондовых рынков в сравнении с недельными и месячными массивами, однако такой анализ создаёт некоторое количество проблем, для исследователя, которые в процессе их устранения могут показать насколько внимательно и компетентно (или наоборот) он подходит к их решению.

Первая проблема - пропуски наблюдений (активных торговых дней) у определённых индексов из-за праздников и прочих событий. Было решено, для повышения точности оценки взаимозависимостей, пропущенные наблюдения восстановить с помощью дублирования значения индекса предыдущего дня. Однако не всегда праздники длятся один день, в нашей выборке есть также двух и трёх дневные окна с неработающими биржами для одного или группы индексов, процедура для них повторяется по такой же схеме: находятся ближайший предыдущий активный торговый день и все пропущенные значения восстанавливаются этим значением. Стоит учесть, что выходные дни и общие для всех торговых площадок праздники, когда все торговые площадки не работают - не восстанавливаются. Итого, получено 599 наблюдений (активных торговых дней на всех торговых площадках - 497 наблюдения и восстановленных 102 наблюдения) для анализа.

Далее все наблюдения логарифмируются для получения более наглядной связи между переменными, так как логарифмические ряды расположены в пределах единого диапазона.

Вторая проблема - так называемый «эффект асинхронности торгов», когда торги на разных торговых площадках начинаются и заканчиваются в разное время, а также накладываются друг на друга и отклик на новости и события происходит по всем биржам в разное время. Это приводит к тому, что использование ежедневных данных национальных индексов по цене закрытия для стран, сильно удалённых территориально друг от друга, приводит к смещённым и неэффективным оценкам взаимосвязей между ними [1], более того, полученные результаты при учёте данного эффекта на эквивалентных выборках могут привести исследователя к полностью противоречивым результатам [1, p. 423]. Именно эту проблему чаще всего исследователи игнорируют при анализе взаимосвязей национальных индексов и просто оценивают цены закрытия исследуемых индексов [1, p. 415].

Для примера, рассмотрим обычный торговый день, только с середины. В 10:00 по московскому времени открывается биржа ММВБ, и на нашей торговой площадке за два часа после открытия сразу отыгрывается цепочка финансовых событий, таких как экономические новости и т.п., далее примерно в 12:00 часов по московскому времени открываются торговые площадки Европы, а в 17:00 открываются американские торговые площадки. Исходя из того, что торговые сессии в Европе и Америке открываются уже после начала торговой сессии в Москве, они отражают уже последствия взаимодействия, реальное воздействие могут показать лишь значение торгов этих регионов в предыдущем периоде (лаг индексов Европы и США). На следующий день в 3:00 открывается Японская биржа, а в 4:00 уже открывается китайская биржа, которые торгуют ближе к открытию московской биржи и ещё не успели оказать на неё влияние, поэтому значения азиатского рынка стоит оценивать в текущем периоде. Далее азиатские рынки закрываются и снова открывается российская биржа ММВБ, на которой отражается вчерашние торги Европы и Америки и сегодняшние торги в Азии [2, p. 8].

Резюмируя вышесказанное, в нашем случае стоит оценивать зависимость индекса MICEX по цене открытия в периоде t, а объяснять национальный индекс России стоит индексами S&P500, VIX, FTSE, CAC, DAX, PX в периоде t-1 (т.е. оценивая их лаг), когда индексы NIKKEI и HSI, которые находятся ближе всего к цене открытия ММВБ, стоит оценивать в периоде t, т.е. в текущем периоде. Проведя корректировку, чтобы учесть эффект асинхронности торгов, мы потеряем первое наблюдение по лагированным индексам Европы и Америки [3, стр. 271-272].

Далее предлагается оценивать значения доходности по соответствующим индексам, как первые разности логарифмов индексов. Они могут выступить качественной аппроксимацией темпа прироста и позволяют оценивать волатильность для обоснования периодизации выборки на разные временные периоды и оценки взаимовлияния индексов в этих подвыборках [6, стр. 247]. Например, для индекса ММВБ можно получить уравнение 2.1:

(2.1)

В нашем случае, для оценки периодизации исследования можно обратиться к динамике доходности индекса ММВБ, представленным в периоде с 17 декабря 2013 года по 30 апреля 2015 года на графике №2.2 (с доходностью по полному периоду можно ознакомиться в приложении №4).



График №2.2: Доходность индекса ММВБ:

Классификация, используемая в нашем исследовании, предлагает разделение всей выборки из 599 наблюдений на три периода: «докризисный период» с 09 января 2013 г. по 28 февраля 2014 г. состоящий из 296 наблюдений и отличающийся относительно низкой волатильностью показателя; далее следует период начала финансово-экономического кризиса с 03 марта 2014 г. по 28 ноября 2014 г., состоящий из 195 наблюдений и отличающийся периодом стабильного укрепления курса доллара, падением цен на нефть; последний период «высокой волатильности» на российском финансовом рынке с 01 декабря 2014 г. по 30 апреля 2015 г., состоящий из 108 наблюдений, приходится на период бурной волатильности на финансовых рынках и ухудшению экономического положения в стране.

Данный выбор сделан для того, чтобы пошагово оценить изменение в взаимосвязи национальных индексов. Также в подтверждение можно рассмотреть динамику логарифмов: цены на нефть марки Brent ($/баррель), логарифм индекса ММВБ российской биржи, логарифм валютного курса доллара к рублю (рублей за 1 доллар), логарифм индекса VIX чикагской биржи на графике №2.3 (см. также приложение №5).

График №2.3: Логарифмы валютного курса, цены на нефть, индекса MICEX и VIX:

Как можно видеть на графике, наша периодизация подтверждается визуальным анализом, однако при анализе отдельного взаимодействия цены на нефть, валютного курса и индикатора VIX, который отражает уровень страха инвесторов, можно заключить, что стоило разделить центральный период финансово-экономического кризиса на период с 3 марта по 31 августа и на период с 1 сентября по 28 ноября, чтобы более качественно отразить периоды изменения волатильности на рынках. Схожий визуальный анализ можно найти в статье [7, стр. 31] для анализа последствий кризиса 2008-2009 гг. для российского фондового рынка. Однако, анализируя доходность по индексу ММВБ и учитывая низкую скорость нарастания последствий ухудшения экономической конъюнктуры и то, что сокращение количества наблюдений может плохо сказаться на переменных, было решено, что выборка не будет разделяться дополнительно в период с 3 марта по 28 ноября, так как вполне вероятно, что будут получены однородные результаты.

После оценки данных, устранения ряда проблем и выбора периодизации исследования, можно представить нашу полную модель в виде:

. (2.2)

По результатам описания данных, в таблице №2.4.1 ниже, можно оценить описательные статистики по используемым переменным.

Таблица №2.4.1: Описательная статистика для всего периода исследования

Переме-нная	LNMICEX	LNPX	LNCAC	LNFTSE	LNDAX	LNSP500	LNVIX	LNNIKKEI	LNHSI
Наблю-дений	599	599	599	599	599	599	599	599	599
Среднее	7,2885	6,8920	8,3489	8,7966	9,1251	7,5052	2,6557	9,6133	10,0514
Медиана	7,2885	6,8935	8,3542	8,7994	9,1382	7,5205	2,6265	9,6114	10,0498
Ст. отклоне-ние	0,0710	0,0397	0,0835	0,0322	0,1161	0,1040	0,1499	0,1379	0,0538
Минимум	7,1200	6,7486	8,1875	8,7041	8,9173	7,2842	2,3341	9,2579	9,8941
Максимум	7,5168	6,9718	8,5696	8,8684	9,4234	7,6581	3,2677	9,9128	10,2557
Дисперсия	0,0050	0,0016	0,0070	0,0010	0,0135	0,0108	0,0225	0,0190	0,0029
Асимме-трия	0,7263	-0,7417	0,3354	-0,4148	0,3950	-0,3576	0,9607	-0,2064	0,7106
Эксцесс	3,7025	4,0743	3,0539	2,8467	2,8864	1,9623	4,1371	3,2966	5,3224
Тест Харке-Бера	65,5272	84,4210	11,3943	17,9118	16,0322	39,9713	125,4564	6,5014	186,5680
P-value	0,0000	0,0000	0,0034	0,0001	0,0003	0,0000	0,0000	0,0387	0,0000

Гипотеза о нормальном распределении оцениваемой величины, проверяемая тестом Харке-Бера на 5% уровне значимости, отвергается для всех переменных. Стандартные отклонения относительно небольшие. Относительные средние уровни индексов не несут содержательного смысла.

Ознакомиться с описательной статистикой по основным исследуемым периодам можно в приложении №6.1-№6.3. По результатам анализа стандартного отклонения во всех периодах выведена таблица №2.4.2 ниже.

Таблица №2.4.2: Стандартное отклонение для периода исследования:

Переменная	LNMICEX	LNPX	LNCAC	LNFTSE	LNDAX	LNSP500	LNVIX	LNNIKKEI	LNHSI
Общая станд. ошибка	0,0710	0,0397	0,0835	0,0322	0,1161	0,1040	0,1499	0,1379	0,0538
Станд. ошибка 1 периода	0,0453	0,0449	0,0569	0,0290	0,0760	0,0670	0,1201	0,1114	0,0375
Станд. ошибка 2 периода	0,0488	0,0267	0,0316	0,0218	0,0336	0,0312	0,1596	0,0540	0,0402
Станд. ошибка 3 периода	0,0734	0,0394	0,0796	0,0313	0,0847	0,0166	0,1625	0,0558	0,0562

По росту стандартного отклонения в России и Китае можно судить, что стабильность на этих фондовых рынках уменьшается в большей степени для России. Хоть и стандартное отклонение по индексу S&P 500 падает, стандартное отклонение по индексу VIX растёт. Остальные европейские площадки тоже в большинстве случаев показывают уменьшение стабильности, однако японский индекс во втором и третьем периоде явно стабильнее, чем в первом, возможно, это связано с преодолением проблемы укрепления йены.

Предполагается, что восстановление пропущенных наблюдений позволило передать правильную структуру работы мирового фондового рынка и получить более качественные данные. Рассмотрим следующий блок нашего исследования - визуальный анализ временных рядов.

2.2 Визуальный анализ

Первичный шаг любого исследования - определение характера взаимодействия переменных и определение тенденций, которые визуально прослеживаются в оцениваемых данных.

В нашем случае мы оцениваем логарифмы переменных, представленных в модели 2.2. С графиками логарифмов всех переменных, используемых в исследовании, можно ознакомиться в приложении №7.

По результатам визуального анализа можно заключить, что характер графиков NIKKEI и S&P 500 показывают одинаковую динамику, далее выявляется схожесть графиков индексов CAC и DAX. Также на них похоже группа индексов FTSE, HIS, PX образующая отдельную группу индексов. Однако визуально отдельно обособлены индекс MICEX и индикатор VIX. Но индикатор VIX отражает уверенность инвесторов насчёт состояния рынка: чем ниже уверенность, темы выше индикатор VIX и при прочих равных ниже другие индексы. Также этот индекс имеет асимметричное воздействие - инвесторы больше реагируют на негативные новости о тенденции VIX [8, стр. 32], поэтому, если отразить график индекса по оси абсцисс, то можно заметить прямую корреляцию падений (в неотражённом виде - роста) индикатора VIX и падений индекса S&P 500 и ряда других индексов, например, индекса NIKKEI. Стоило это ожидать, так как индикатор VIX высчитывается на основе индекса S&P 500.

Рассмотрим поведение индексов в призме выделенных нами периодов. Третьего марта 2014 года начинается второй кризисный период, а 1 декабря начинается третий период пика кризиса и последующей стабилизации ситуации, этим точкам соответствуют наблюдения под номером 296 и 491 соответственно. На большинстве графиков ясно видны три обвала на рынках. Первый произошёл примерно 20-27 июня 2013 года (116-120 наблюдения), что соответствуют укреплению йены и ряду неблагоприятных природных катаклизмов. Он затрагивает в большей части азиатские рынки, но его влияние оказывается на все остальные рынки и выражается всплеском индикатора VIX.

Следующий провал затрагивает большей частью Россию и приходится на период после 3 марта (296 наблюдение) в связи с событиями на Украине, замечается лёгкое проседание европейских индексов, Америка и Азия практически не реагируют, как и индикатор VIX. Последний относительно общий и значимый провал котировок приходится на 10-17 октября 2014 года (456-460 наблюдения), который отразился на Американском и Европейском рынке в большей степени и в особенности он сказался на показателе VIX. Однако он слабо отразился на японском рынке и не нашел отклика на китайском рынке.

Индексы S&P 500, DAX, CAC, NIKKEI имеют выраженный восходящий тренд, они перечислены по убыванию степени выраженности этого тренда. Есть подозрение на наличие восходящего тренда у FTSE. Нисходящие тренды не обнаружены. PX, MICEX и VIX трендов не имеют и наиболее волатильны. У всех 8 индексов и перевёрнутого индикатора VIX практически все практически все спады и подъёмы совпадают, однако их волатильность зависит от развитости рынка, чем менее развит рынок, тем выше волатильность. Закономерностей во временном распределении подъёмов и спадов не выявлено. Квартальной сезонности в движениях рынка не наблюдается, однако всплески в индикаторе VIX чаще всего приходятся на середину кварталов.

Резюмируя, можно предположить наличие нестационарности и повышающихся трендов в оцениваемых временных рядах. Перейдём к следующему разделу нашего исследования - корреляционному анализу.



2.3 Корреляционный анализ

Корреляционный анализ послужит базой для последующего выявления математической формы и вида связи, существующей между индексами [7, стр. 31]. Оценим существование линейной зависимости между нашими индексами, теснота связи между которыми будет оценена с помощью парного коэффициента корреляции, однако он не будет учитывать опосредованное или совместное влияние других индексов и будет вычисляться по указанной паре.

Результаты анализа парной корреляции индекса ММВБ и остальных национальных индексов можно рассмотреть в таблице №2.4 (с полными матрицами корреляций можно ознакомиться в приложении №8).

Таблица №2.5: Корреляционный анализ:

Вся выборка: с 09.01.2013 по 30.05.2015 г. - 599 наблюдения
Индексы:	PX	CAC	FTSE	DAX	SP500	VIX	NIKKEI	HSI
MICEX	0.4997	0.5279	0.4111	0.5710	0.3774	-0.0698	0.4719	0.6756
«Докризисный период» с 09.01.2013 г. по 28.02.2014 г. - 296 наблюдение
Индексы:	PX	CAC	FTSE	DAX	SP500	VIX	NIKKEI	HSI
MICEX	0.7458	0.3214	0.1824	0.3141	0.1190	-0.3826	-0.1112	0.7583
Период «Начало кризиса» с 03.03.2014 г. по 28.11.2014 г. -195 наблюдений
Индексы:	PX	CAC	FTSE	DAX	SP500	VIX	NIKKEI	HSI
MICEX	0.0730	0.1266	0.2936	0.4677	0.7892	-0.4902	0.6734	0.5171
«Период высокой волатильности» с 01.12.2014 г. по 30.05.2015 г. - 108 наблюдений
Индексы:	PX	CAC	FTSE	DAX	SP500	VIX	NIKKEI	HSI
MICEX	0.6080	0.7258	0.7600	0.6821	0.4791	-0.3717	0.5025	0.5050

Как видно, корреляционная матрица логарифмов показывает, что и в общей выборке по всем показателям достигается достаточно высокая положительная теснота связи, кроме индикатора VIX, который показывает отрицательную корреляцию по всем периодам и слабую тесноту связи в общей выборке, однако отдельно в подвыборках показывает хорошую корреляцию. В докризисном, наблюдается низкая отрицательная корреляция индекса ММВБ с японским индексом NIKKEI и рост корреляции с чешским индексом PX и китайским HSI при падении корреляции с другими индексами. В период начала кризиса наблюдается повышенная положительная корреляция с азиатскими и американскими индексами и низкая корреляция с Европейскими рынками, кроме высоко связанного с нашим рынком - рынка Германии. В период сильной волатильности наблюдается высокая положительная корреляция всех переменных и хорошая отрицательная корреляция по индикатору VIX. На возрастающей характер парной связи факторов указывают положительные значения коэффициентов корреляции, а на убывающий характер - отрицательные значения.

Как мы уже указывали выше, некоторые временные ряды обладают повышающимися трендами: CAC, DAX, NIKKEI, S&P500. Это делает выводы, полученные в таблице №2.5, не достаточно корректными. Однако в нашем инструментарии уже есть метод устранения трендовой составляющей - переход к первым разностям логарифмов (см. уравнение 2.1). Применим его и оценим соответствующие результаты в таблице №2.6 и в приложении №9.

Таблица №2.6: Корреляционный анализ без трендовой составляющей:

Вся выборка: с 09.01.2013 по 30.05.2015 г. - 599 наблюдения
	D_LNPX	D_LNCAC	D_LNFTSE	D_LNDAX	D_LNSP500	D_LNVIX	D_LNNIKKEI	D_LNHSI
D_LNMICEX	0.2705	0.3205	0.3288	0.3284	0.2783	-0.2590	0.2466	0.1888
«Докризисный период» с 09.01.2013 г. по 28.02.2014 г. - 296 наблюдение
	D_LNPX	D_LNCAC	D_LNFTSE	D_LNDAX	D_LNSP500	D_LNVIX	D_LNNIKKEI	D_LNHSI
D_LNMICEX	0.3337	0.4212	0.4041	0.4400	0.3470	-0.2768	0.3531	0.2244
Период «Начало кризиса» с 03.03.2014 г. по 28.11.2014 г. -195 наблюдений
	D_LNPX	D_LNCAC	D_LNFTSE	D_LNDAX	D_LNSP500	D_LNVIX	D_LNNIKKEI	D_LNHSI
D_LNMICEX	0.2584	0.3059	0.3566	0.3610	0.2877	-0.3269	0.2268	0.1362
«Период высокой волатильности» с 01.12.2014 г. по 30.05.2015 г. - 108 наблюдений
	D_LNPX	D_LNCAC	D_LNFTSE	D_LNDAX	D_LNSP500	D_LNVIX	D_LNNIKKEI	D_LNHSI
D_LNMICEX	0.2258	0.2355	0.2505	0.1761	0.2118	-0.1681	0.1622	0.2254

Обнаруживаются интересные и адекватные с экономической точки зрения результаты: корреляция по всем индексам, кроме индикатора VIX и индекса HSI, падает с докризисного периода и до периода пика волатильности на российском рынке, что, скорее всего, связано с постепенным ухудшением отношений с указанными странами и их присоединению к антироссийским санкциям, т.е. степень интеграции падает. Примерно также ведётся себя и индикатор VIX, однако корреляция с ним возрастает в периоде начала кризиса. Также логична степень тесноты связи российского индекса и китайского индекса, до кризиса мы поддерживали тесные экономические связи, и хотя во время его начала эта связь временно ослабла, но после подписания ряда межнациональных контрактов и ряда успешных предложений китайским компаниям на выгодных условиях инвестировать в российскую экономику теснота связи выросла. Как видно, результаты таблицы №2.6 сильно различаются с результатами таблицы №2.5.

Необходимо учитывать, что корреляционный анализ может показать только степень тесноты взаимозависимостей индексов, но он не может показать причинно-следственную зависимость, а также не может отвергнуть существование некой иной переменной, которая вызывает ложную корреляцию.

К вопросу об использовании более качественного инструмента, отражающего взаимовлияние индексов, мы ещё вернёмся позже в нашем исследовании. В следующем разделе мы, учитывая результаты визуального и корреляционного анализа и учитывая возникшие подозрения на наличия трендов у ряда переменных, проверим соблюдение условия стационарности временных рядов.

2.4 Тестирование на наличие стационарности временных рядов

Для адекватного использования эконометрического инструментария требуется проверить соответствие наших временных рядов свойству стационарности, которое выражается в неизменности некоторых свойств случайного процесса с течением времени. Под параметрами понимается независимость математического ожидания, дисперсии и ковариации от времени [9, стр. 90].

Чтобы протестировать стационарность оцениваемых временных рядов, применим процедуру Доладо-Дженкинсона и Сосвилла-Ривера (D-J-S-R) и установим вид данных: стационарные в разностях (DS) или стационарные вокруг тренда (TS). Полученные результаты представлены в таблице №2.7, а в приложении №14 можно ознакомиться с расчётными таблицами по процедуре D-J-S-R.

Таблица №2.7: Тестирование стационарности временных рядов:

Индекс или индикатор	Период	Описание типа
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	DS UR DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	DS UR DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	DS UR DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	TS C T DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	TS C T DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	TS C T TS C DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	TS C T DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	DS UR DS UR DS UR
	«Докризисный» «Начало кризиса» «Высокая волатильность»	DS UR DS UR DS UR

Оптимальное число лагов, для используемого расширенного теста Дикки-Фуллера вычисляется автоматически по критерию BIC (максимальное значение задаётся равным 25). «DS UR» - временной ряд имеет единичный корень и стационарен в разностях; «TS» - стационарен в уровнях; «С» и «T» константа и тренд соответственно.

Оценивая результаты, можно подтвердить полученные ранее выводы визуального анализа - временные ряды ; ; нестационарные и имеют первый порядок интеграции во всех исследуемых периодах. Временные ряды: стационарные в уровнях в докризисном периоде, а в остальные периоды стационарные в разностях, кроме ряда , который стационарен в уровнях также и в период начала кризиса. Оцениваемые индексы, которые имеют единичный корень и не стационарны, легко приводятся к стационарному виду с помощью взятия первых разностей.

Если наши ряды вида I(1) и коинтегрированы, то возможно имеет место причинность по Грейнджеру (granger causality), хотя бы в одном направлении. Результаты полученные в этом разделе, будут использованы в коинтеграционном анализе. Перейдём к следующему разделу нашего исследования - каузальному анализу.

2.5 Каузальный анализ

Как было выше указано, корреляция далеко не всегда подразумевает причинность, поэтому причинно-следственные связи в модели были оценены с помощью теста причинности по Грейнджеру и функции импульсных откликов. Первым делом рассмотрим выводы по тесту на причинность по Грейнджеру.

Спецификация следующая: ряды DS UR приводятся к стационарному виду и оцениваются тестом. Число лагов взято равным пяти - по числу активных торговых дней. На рисунке №2.8 представлены факторы, у которых связь с другим фактором оказалась значимой на 5% уровне значимости, в трёх и более лагах теста. Причинно-следственные связи представлены для первого периода, соответствующему 09 января 2013 года - 03 марта 2014 года.

Рисунок №2.8: Причинно-следственные связи по Грейнджеру для докризисного периода:

С исходными таблицами по тесту можно ознакомиться в приложениях №15-17. Рассмотрим результаты анализа по докризисному периоду.

В первом периоде не обнаружено влияния американского фондового индекса на российский. Значения почти всех показателей предсказывают чешский индекс PX, но он сам не вносит значимого вклада в прогноз других индексов; не подтверждается его влияния на MICEX. Возможно, причина в том, что фондовый рынок Чехии менее развит, чем рынки тех стран, которые являются причинами его волатильности.

Обнаруживается прямое влияние индикатора VIX на индексы европейских стран. Значения HSI позволяют лучше предсказать значение индикатора VIX. Можно предположить, что эта связь возникает из-за того, что торговая сессия на фондовом рынке Китая закрывается раньше, чем начинаются торги на чикагской бирже. По той же причине - из-за разницы во времени проведения торговых сессий - Nikkei 225 хорошо объясняет европейские индексы.

Для первого периода все европейские фондовые рынки являются следствиями, а не причинами связи по Грейнджеру. Исключение составляет разве что французский индекс CAC 40, который влияет на PX.

Обнаружено прямое влияние азиатских рынков на российский, а также прямое влияние российского индекса на английский и немецкий фондовые рынки. В призме торгового дня это является логичным выводом, так как азиатские рынки открываются раньше, чем российский, а российский рынок, в свою очередь - раньше, чем европейские.

На лондонской бирже котируется много российских акций (листинг), а немецкий фондовый рынок тесно связан с российским, как уже указывалось в разделе анализа текущего взаимодействия и финансовой интеграции стран. Эти факты объясняют значимый вклад индекса MICEX в прогноз фондовых индексы Великобритании и Германии.

Рассмотрим рисунок №2.9. В период начала кризиса 2014-2015 года, который начался с мартовского обвала российского фондового рынка, связи между показателями явно ослабли, но все еще наблюдается прямое влияние азиатских рынков на европейские. Как и в предыдущем периоде, остается прямое влияние американского рынка на английский, немецкий и чешский рынки. Также сохраняется влияние индикатора VIX на европейские фондовые индексы. Потеряна связь российского рынка с FTSE 100 и DAX, однако связь с индексом HSI остается.

Рисунок №2.9: Причинно-следственные связи по Грейнджеру для начального периода кризиса:

Анализируя период наибольшей волатильности доходности по индексу ММВБ на рисунке №2.10, можно отметить, что явно потеряны связи азиатских и европейских рынков. Российский рынок предсказывает только поведение индекса S&P 500, правда, только на 10% уровне значимости. Связи между индексами, значимые на 5%, не наблюдаются вообще.

Обнаруживается необычное поведение индикатора VIX. Он теряет свое влияние на предсказание доходности европейских рынков и теперь является следствием волатильности на азиатских рынках, а также предсказывается индексом CAC 40. Французский рынок теперь предсказывает еще и индекс S&P 500, что также с трудом поддается объяснению. А немецкий индекс стал причиной японского индекса.

Можно сделать вывод, что степень взаимовлияния всех показателей с приближением к кризисному периоду падала, а связь европейских и азиатских рынков с российским в период высокой волатильности не наблюдается. Однако знание доходности азиатских рынков повышает предсказательную силу MICEX в первом и втором периоде, когда знание доходностей российского рынка не является причинами по Грейнджеру ни для одного индекса во втором и третьем периоде.

Таблица №2.10: Причинно-следственные связи по Грейнджеру для периода высокой волатильности:

Стоит также учесть, что причинность про Грейнджеру является лишь необходимым, но не достаточным условием наличия между оцениваемыми параметрами причинно-следственной связи. Но этот метод не требователен к соблюдению условий нормальности в распределении исследуемых величин, а учитывая, что подавляющее большинство наших переменных в исследуемых периодах лишь асимптотически нормальны, этот метод особенно интересен.

Чтобы получить дополнительный критерий оценки зависимости между переменными, можно обратиться к анализу функций импульсного отклика по VAR-модели, однако этот анализ нельзя провести, пока мы не специфицируем оцениваемую модель.

Каузальный анализ позволил нам оценить характер взаимодействия национальных индексов и направление причинно-следственной связи между ними в разные периоды кризиса и ранжировать их, однако результаты теста не говорят нам о степени взаимовлияния национальных индексов и о качестве силы этого взаимодействия [7, стр. 32]. Именно поэтому следующим разделом исследования будет оценка степени взаимовлияния исследуемых факторов.

2.6 Построение модели векторной авторегрессии

Промежуточным инструментом оценки степени взаимовлияния исследуемых в работе факторов может стать модель векторной авторегрессии (VAR). Применение данной модели позволяет провести анализ взаимовлияния различных факторов друг на друга без выделения экзогенной переменной и позволяет оценивать сразу несколько временных рядов учитывая лаговую структуру оцениваемых факторов.

Стоит отметить, что использование VAR модели требует стационарности изучаемых временных рядов. Предлагается оценить следующие факторы в наших основных временных периодах в соответствии с их типом. Представлены они в таблице № 2.11.

Таблица №2.11: Исследуемые факторы:

Период исследования	Исследуемые факторы класса DS UR
«Докризисный» (1)
«Начало кризиса» (2)
«Высокая волатильность» (3)

В рассмотренных источниках нету чёткого формального метода выбора порядка VAR-модели. Был проведён итерационный алгоритм выбора наиболее качественной модели, начиная с максимально разумного лага. В процессе выбора количества лагов в модели векторной авторегрессии мы оценили варианты модели с количеством от 2 до 6, так как с экономической точки зрения большее количество лагов не обосновано, а меньше двух не позволяет адекватно оценивать VECM модель.

Первым делом оценим определим количество лагов, для VAR модели каждого периода. Для первого периода по критерию Шварца (он признаётся наиболее адекватным в случае подбора оптимального количества лагов для модели [80, стр. 584]). Также будет уточняться оптимальное число лагов по критериям Акаике.

Однако при построение VAR модели с одним лагом, мы автоматически обрекаем VECM модель на и автокорреляцию остатков, что не есть хорошо. Было принято решение строить VAR модели с как промежуточный шаг для построения VECM модели с , так как по нашим данным предлагается наличии коинтеграции и возможности нахождения долгосрочных соотношений среди оцениваемых факторов.

Результаты оценки можно представить в таблице №2.12:

Таблица №2.12: Исследуемые факторы:

Максимальный лаг	2	3	4	5	6
Период №1
AIC	-32,5787	-32,4655	-32,4441	-32,3650	-32,3186
BIC	-31,8844	-31,4557	-31,1187	-30,7240	-30,3620
Период №2
AIC	-57,0700	-56,8019	-56,5035	-56,2175	-56,0147
BIC	-54,7287	-53,3589	-51,9587	-50,5710	-49,2664
Период №3
AIC	-56,9623	-56,8720	-56,8689	-56,8810	-57,5156
BIC	-52,5616	-50,3868	-48,2991	-46,2267	-44,7768

По результатам анализа, для первого и второго периода оптимальное число лагов равно двум, однако для третьего периода нужна дополнительная проверка. К выводу об использовании двух-лаговой структуры нас также могут привести результаты проверки матричных коэффициентов VAR-модели на предмет выполнения условий стационарности. Результаты для этой проверки по третьему периоду представлены на рисунке №2.13 для двух и шести лагов.

Таблица №2.13: Графики инверсных корней полинома для p=2(слева) и p=6(справа):

Рассматривая графики корней обратного характеристического полинома лагового оператора, можно судить о стационарности полученной модели. Как упоминалось в (1.6), для подтверждения стационарности инверсные корни полинома не должны покидать единичную окружность. Видно, что для модели с максимальной величиной лага, равной двум, инверсные корни находятся ближе к центру единичной окружности, чем в случае длины лага, равной шести, что явно лучше.

Рассмотрим ...