Экономико-математические методы и модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Строительный факультет

Кафедра "Экономика строительства"

Контрольная работа

по дисциплине "Экономика строительства"

Экономико-математические методы и модели"

Вариант 5

Исполнитель:

студент гр. 31207112 Сандович А.А.

Преподаватель:

доцент к.т.н. Романовский В.И.

Минск

2015



Содержание

1. Структура и классификация систем массового обслуживания

2. Свойства оценок МНК для модели множественной регрессии и показатели качества подбора регрессии: коэффициент множественной корреляции, коэффициенты частной корреляции, коэффициент множественной детерминации

3. Модель прогнозирования отраслевых цен в системе межотраслевого баланса

4. Построение модели межотраслевого баланса

5. Построение моделей производственной функции, решение задачи потребительского выбора

1. Структура и классификация систем массового обслуживания

Система массового обслуживания - это абстрактный объект, в котором выполняется последовательность операций и включает в себя совокупность приборов обслуживания, которые связаны в определенном логическом порядке. В соответствии с этой логикой происходит движение материальных носителей - заявок на обслуживание. Структура системы массового обслуживания представлена на рис.1.

Рис. 1. Структура системы массового обслуживания

Заявка характеризуется моментом появления на входе системы, статусом по отношению к другим заявкам и некоторыми параметрами, определяющими потребности во временных ресурсах на обслуживание.

Постоянно поступающие заявки на обслуживание образуют поток заявок - совокупность заявок, распределенную во времени.

Поток заявок может быть однородным (с точки зрения обслуживания все заявки равноправны) инеоднородным.

Основной параметр потока заявок - промежуток времени между моментами поступления двух соседних заявок.

Поток заявок может быть стационарным и нестационарным (изменяться во времени).

Поток заявок рассматривается как случайный процесс, характеризующийся функцией распределения периода поступления заявок (например, простейший поток, поток Эрланга).

Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим устройством (ОУ). В момент выполнения операций оно занято, в противном случае - свободно. Если обслуживающее устройство свободно, то заявка принимается к обслуживанию.

Обслуживание каждой заявки каналом означает задержку в нем заявки на время, равное периоду обслуживания. После обслуживания заявка покидает прибор обслуживания. Таким образом, обслуживающее устройство характеризуется временем обслуживания заявки. При случайном характере поступления заявок образуются очереди.

Классификация систем массового обслуживания.

Большинство экономических задач связано с системами массового обслуживания. Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания. Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований. Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. К таким признакам относятся условия ожидания требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды: - системы массового обслуживания с потерями (отказами); - системы массового обслуживания с ожиданием; - системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди; - системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами. Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называютсясистемами с ожиданием. Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди. Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания. По числу каналов или приборов системы делятся на одноканальные и многоканальные. По месту нахождения источника требований системы массового обслуживания делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, изамкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание. Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д.Кендалла. При этой классификации характеристику системы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А \ В\ S, где А -- тип распределения входящего потока требований, В -- тип распределения времени обслуживания, S -- число каналов обслуживания. Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произвольного) распределения -- символ G. Запись G / М / 3 означает, что входящий поток требований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, в системе имеется три канала обслуживания. Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый -- порядок отбора (приоритета) требований.

2. Свойства оценок МНК для модели множественной регрессии и показатели качества подбора регрессии: коэффициент множественной корреляции, коэффициенты частной корреляции, коэффициент множественной детерминации

Возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используется линейная функция. В линейной множественной регрессии

параметры при называются коэффициентами "чистой" регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне. Рассмотрим линейную модель множественной регрессии

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных минимальна

: .

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, надо вычислить частные производные первого порядка по каждому из параметров и приравнять их к нулю. Имеем функцию аргумента:

Находим частные производные первого порядка:

После элементарных преобразований приходим к системе линейных нормальных уравнений для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:

Метод наименьших квадратов применим и к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

где - стандартизированные переменные:

,

для которых среднее значение равно нулю: а среднее квадратическое отклонение равно единице: ; - стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов "чистой" регрессии, которые несравнимы между собой.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе, получим систему нормальных уравнений вида

где и - коэффициенты парной и межфакторной корреляции. Коэффициенты "чистой" регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии следующим образом:

. (2.6)

Поэтому можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе (2.4) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных (2.1), при этом параметр определяется как

.

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов - из модели исключаются факторы с наименьшим значением .

На основе линейного уравнения множественной регрессии

(2.7)

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

(2.8)

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором при закреплении остальных факторов на среднем уровне. В развернутом виде систему (2.8) можно переписать в виде:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем

(2.9)

Где

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

, (2.10)

где - коэффициент регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии,

- частное уравнение регрессии.

Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены средние по совокупности показатели эластичности:

(2.11)

которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата - показателя детерминации.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

. (2.12)

Границы изменения индекса множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

.

Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной детерминации:

. (2.13)

При линейной зависимости признаков формула индекса множественной корреляции может быть представлена следующим выражением:

, (2.14)

Где

- стандартизованные коэффициенты регрессии;

- парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:

, (2.15)

Где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

В рассмотренных показателях множественной корреляции (индекс и коэффициент) используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону преуменьшения, тем более значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии при заданном объеме наблюдений . Если число параметров при равно и приближается к объему наблюдений, то остаточная дисперсия будет близка к нулю и коэффициент (индекс) корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции.

Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов

делится на число степеней свободы остаточной вариации , а общая сумма квадратов отклонений на число степеней свободы в целом по совокупности .

Формула скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид:

, (2.16)

где - число параметров при переменных ; - число наблюдений.

Поскольку

,

то величину скорректированного индекса детерминации можно представить в виде:

. (2.17)

Чем больше величина , тем сильнее различия и .

Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Эта же цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции (для линейных связей). Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель можно доказать величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

В общем виде при наличии факторов для уравнения

коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на фактора , при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

, (2.18)

где - множественный коэффициент детер

минации всех факторов с результатом;

- тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора .

При двух факторах формула (2.18) примет вид:

; . (2.18а)

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

. (2.19)

При двух факторах данная формула примет вид:

; . (2.19а)

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка. Так, по уравнению возможно исчисление трех частных коэффициентов корреляции второго порядка:

, , ,

каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при имеем формулу для расчета :

. (2.20)

Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации - от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии

следует, что , т.е. no силе влияния на результат порядок факторов таков: , , , то этот же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции,

.

Из приведенных выше формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

. (2.21)

В частности, для двухфакторного уравнения формула (2.21) принимает вид:

. (2.21)

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной вариации результативного признака , обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью -критерия Фишера:

, (2.22)

где - факторная сумма квадратов на одну степень свободы; - остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; - коэффициент (индекс) множественной детерминации; - число параметров при переменных (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); - число наблюдений.

Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный -критерий, т.е. .

Частный -критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

, (2.23)

где - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов, - тот же показатель, но без включения в модель фактора,

- число наблюдений, - число параметров в модели (без свободного члена).

Фактическое значение частного -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и . Если фактическое значение превышает

, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим.

Если же фактическое значение меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака , следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

, . (2.23а)

С помощью частного -критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводился в уравнение множественной регрессии последним.

Частный -критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии. Зная величину , можно определить и -критерий для коэффициента регрессии при -м факторе, , а именно:

. (2.24)

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных

-критериев.

В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

, (2.25)

где - коэффициент чистой регрессии при факторе

, - средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии . обслуживание подбор межотраслевой баланс

Для уравнения множественной регрессии

средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:

, (2.26)

где - среднее квадратическое отклонение для признака , - среднее квадратическое отклонение для признака , - коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии, - коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии; - число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

3. Модель прогнозирования отраслевых цен в системе межотраслевого баланса

Модели межотраслевого баланса (МОБ) используются для анализа и планирования обмена продукцией между отраслями народного хозяйства.

В модели МОБ рассматривается система, которая состоит из нескольких экономических объектов, называемых отраслями. Например, все народное хозяйство может быть представлено в виде системы двух отраслей - промышленности и сельского хозяйства. Сельское хозяйство можно представить как совокупность растениеводства и животноводства. Деление на отрасли можно выполнить и для более мелких систем, таких как некоторое конкретное производство. Каждая отрасль выпускает продукцию, часть которой потребляется другими отраслями, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного результата. Таким образом, каждая отрасль рассматривается одновременно и как производящая, и как потребляющая. Баланс производимой продукции представляется в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1. Общая схема межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
		…	N
	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	Yn	Xn

Валовой продукцией отрасли называется вся произведенная этой отраслью продукция. Обозначим ее X₁, X₂, …, X_n. Валовую продукцию каждой отрасли можно представить как сумму двух составляющих: промежуточной и конечной продукции.

Промежуточную продукцию потребляют все отрасли для нужд своего производства.Обозначим x_ij - объем продукции, произведенной в i - ой отрасли и потребленной в j -ой отрасли.Например, x₂₁ - количество продукции второй производящей отрасли, которое потребила первая отрасль. Таким образом, продукция второй отрасли явилась ресурсом для первой.

Конечной продукцией отрасли называется та часть произведенной ею продукции, которая выходит за пределы системы отраслей (на внешнее потребление, на рынок, в другие системы). Обозначим ее Y₁, Y₂ ,…, Yn.

Раздел конечной продукции в этой схеме дан в укрупненном виде одного столбца величин Y_i. В развернутой схеме баланса конечная продукция каждой отрасли может быть показана дифференцировано по направлениям использования (на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, экспорт и др). Этот столбец характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде также и распределение национального дохода.

Анализ межотраслевого баланса позволяет количественно решать следующие экономические задачи:

1) Определить изменение объема выпуска валовой продукции отраслей в зависимости от изменения конечного спроса на товары и услуги. (Т.е., изменяем конечную продукцию - как изменится валовая).

Например, актуальная для белорусской экономики задача: как повлияет увеличение платежеспособного спроса на строительную продукцию на темпы роста производства в других отраслях.

2) Оценить изменение объема и структуры национального дохода при изменении выпуска валовой продукции в отраслях (Изменяем валовую продукцию - как изменится конечная).

Например, как повлияет изменение темпов роста валового выпуска в отраслях на темпы роста инвестиционной активности в экономике.

3) Определение динамики цен во всех отраслях при изменении индекса цен на продукцию в некоторой отрасли.

Например, как повлияет изменение цен на энергоресурсы на динамику цен в других отраслях.

Рассмотрим балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева - так называемую модель равновесных цен.

Пусть, как и прежде, А - матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т - вектор валового выпуска.

Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей.

Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ - норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т - вектор норм добавленной стоимости.

Полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у - на v, А - на А^Т.



4. Построение модели межотраслевого баланса

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод - взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть - идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через X_i (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; x_ij - стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью X_j; Y_i - конечный продукт i-й отрасли.

Критерии продуктивности матрицы А

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

3. Определитель матрицы

(E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.

4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения

|лE - A| = 0 строго меньше единицы.

5. Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ?a_ij ? 1.

I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

б) Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

II. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)^-1:

Запишем матрицу в виде:

Главный определить

? = 0.6 * (0.6 * 0.6-(-0.1 * (-0.1)))-(-0.2 * (-0.3 * 0.6-(-0.1 * (-0.2))))+(-0.2 * (-0.3 * (-0.1)-0.6 * (-0.2))) = 0.14

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

?_1,1 = (0.6 * 0.6-(-0.1 * (-0.1))) = 0.35

?_1,2 = -(-0.3 * 0.6-(-0.2 * (-0.1))) = 0.2

?_1,3 = (-0.3 * (-0.1)-(-0.2 * 0.6)) = 0.15

?_2,1 = -(-0.2 * 0.6-(-0.1 * (-0.2))) = 0.14

?_2,2 = (0.6 * 0.6-(-0.2 * (-0.2))) = 0.32

?_2,3 = -(0.6 * (-0.1)-(-0.2 * (-0.2))) = 0.1

?_3,1 = (-0.2 * (-0.1)-0.6 * (-0.2)) = 0.14

?_3,2 = -(0.6 * (-0.1)-(-0.3 * (-0.2))) = 0.12

?_3,3 = (0.6 * 0.6-(-0.3 * (-0.2))) = 0.3

Обратная матрица

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой

x_ij = a_ij * X_j.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции

(Z_j), равной сумме амортизации (c_j), оплаты труда (v_j) и чистого дохода j-й отрасли (m_j). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3
1	5831.43	3511.71	2475.43	2760	14578.57
2	2915.71	4682.29	1237.71	2870	11705.71
3	2915.71	1170.57	4950.86	3340	12377.14
Чистый доход	2915.71	2341.14	3713.14	8970
Валовый продукт	14578.57	11705.71	12377.14		38661.43

Применение межотраслевого баланса для анализа экономического показателя труда.

Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью.



5. Построение моделей производственной функции, решение задачи потребительского выбора

Исходные данные для построения ПФ

Годы	Y, Валовая стоимость продукции, млн. руб.	K, Капитал, млн. руб.	L, Расходы по з/п, млн. руб.
1987	3,626	12,021	1,251
1988	4,014	13,787	1,321
1989	4,453	15,429	1,392
1990	4,869	17,212	1,454
1991	5,296	19,042	1,507
1992	5,798	20,79	1,568
1993	6,233	23,097	1,598
1994	6,641	25,108	1,626
1995	7,241	27,097	1,667
1996	7,854	29,627	1,706
1997	8,09	32,362	1,753
1998	8,504	35,391	1,778
1999	8,879	38,474	1,806
2000	9,053	41,779	1,813
2001	9,11	45,976	1,855
2002	9,321	50,354	1,878
2003	9,545	55,018	1,898
2004	9,539	58,733	1,906
2005	9,774	61,935	1,911
2006	9,955	66,467	1,926
2007	10,1	69,488	1,939

Построение производственной функции

Линейная производственная функция

Построим линейную производственную функцию вида:

(1)

где K - затраты капитала; L - расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью "Поиск решения" Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели: Функция неувязок

достигает минимума при

a0	a1	a2
-8,384563	0,0112465	9,15343789

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,201583	0,180130129
1988	13,787	1,321	4,014	3,862185	0,023047917
1989	15,429	1,392	4,453	4,530545	0,006013299
1990	17,212	1,454	4,869	5,118111	0,062056363
1991	19,042	1,507	5,296	5,623824	0,107468886
1992	20,79	1,568	5,798	6,201843	0,163089243
1993	23,097	1,598	6,233	6,502392	0,072572016
1994	25,108	1,626	6,641	6,781305	0,019685475
1995	27,097	1,667	7,241	7,178965	0,003848315
1996	29,627	1,706	7,854	7,564403	0,083866442
1997	32,362	1,753	8,09	8,025374	0,004176551
1998	35,391	1,778	8,504	8,288275	0,046537103
1999	38,474	1,806	8,879	8,579245	0,089853262
2000	41,779	1,813	9,053	8,680488	0,138764849
2001	45,976	1,855	9,11	9,112134	4,55595E-06
2002	50,354	1,878	9,321	9,371901	0,002590889
2003	55,018	1,898	9,545	9,607423	0,003896665
2004	58,733	1,906	9,539	9,722432	0,033647144
2005	61,935	1,911	9,774	9,80421	0,00091265
2006	66,467	1,926	9,955	9,992481	0,001404816
2007	69,488	1,939	10,1	10,14545	0,002065819

Следовательно, теперь мы можем построить ПФ:

Y^ = -8,384563 + 0,0112465*K +9,15343789*L

Рис.1 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

Квадратичная производственная функция

Построим квадратичную производственную функцию вида:

(2)

где K - затраты капитала; L - расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью "Поиск решения" Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок

достигает минимума при:

a0	a1	a2	a3	a4
10,65719	-0,02671	-16,62825	-0,00006	8,9660141

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,556971	0,004765067
1988	13,787	1,321	4,014	3,957216	0,003224444
1989	15,429	1,392	4,453	4,456814	1,45478E-05
1990	17,212	1,454	4,869	4,956672	0,007686313
1991	19,042	1,507	5,296	5,429411	0,017798428
1992	20,79	1,568	5,798	6,045845	0,06142728
1993	23,097	1,598	6,233	6,330639	0,009533385
1994	25,108	1,626	6,641	6,614652	0,000694191
1995	27,097	1,667	7,241	7,083803	0,024710798
1996	29,627	1,706	7,854	7,538203	0,099727837
1997	32,362	1,753	8,09	8,130652	0,001652609
1998	35,391	1,778	8,504	8,412681	0,00833908
1999	38,474	1,806	8,879	8,750258	0,016574426
2000	41,779	1,813	9,053	8,756131	0,08813129
2001	45,976	1,855	9,11	9,303874	0,037587284
2002	50,354	1,878	9,321	9,547923	0,051493886
2003	55,018	1,898	9,545	9,737155	0,036923633
2004	58,733	1,906	9,539	9,751322	0,045080747
2005	61,935	1,911	9,774	9,729603	0,001971064
2006	66,467	1,926	9,955	9,838768	0,013509783
2007	69,488	1,939	10,1	9,966716	0,017764679

Следовательно, ПФ имеет вид:

Y^ = 10,65719 - 0,02671*K - 16,62825*L - 0,00006*K² + 8,9660141*L²

Рис.2 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа при

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

, (3)

где K - затраты капитала; L - расходы по заработной плате, при б+в=1. И функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью "Поиск решения" Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

A
1,51428	0,358355	0,641646

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	4,261998	0,404493704
1988	13,787	1,321	4,014	4,635727	0,386545002
1989	15,429	1,392	4,453	4,991358	0,289829368
1990	17,212	1,454	4,869	5,338037	0,219995285
1991	19,042	1,507	5,296	5,663481	0,135042394
1992	20,79	1,568	5,798	5,995276	0,038917787
1993	23,097	1,598	6,233	6,301843	0,004739403
1994	25,108	1,626	6,641	6,565998	0,005625294
1995	27,097	1,667	7,241	6,85654	0,147809652
1996	29,627	1,706	7,854	7,185243	0,447235307
1997	32,362	1,753	8,09	7,546696	0,295179318
1998	35,391	1,778	8,504	7,863713	0,409967528
1999	38,474	1,806	8,879	8,18429	0,482621959
2000	41,779	1,813	9,053	8,450547	0,36295021
2001	45,976	1,855	9,11	8,874924	0,055260868
2002	50,354	1,878	9,321	9,241757	0,006279478
2003	55,018	1,898	9,545	9,604897	0,003587687
2004	58,733	1,906	9,539	9,859026	0,102416413
2005	61,935	1,911	9,774	10,06527	0,084839983
2006	66,467	1,926	9,955	10,37517	0,176539605
2007	69,488	1,939	10,1	10,58735	0,237509292

ПФ примет следующий вид:

Y^ = 1,51428*K ^0,358355 *L ^0,641646

Риc. 3 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

Производственная функция Кобба-Дугласа при

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

, (4)

где K - затраты капитала; L - расходы по заработной плате, при б+в?1.

и функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью "Поиск решения" Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок

достигает минимума при:

A
1,897142	0,00058832	2,549475

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,362716	0,069318534
1988	13,787	1,321	4,014	3,863748	0,022575574
1989	15,429	1,392	4,453	4,41574	0,001388299
1990	17,212	1,454	4,869	4,934927	0,004346316
1991	19,042	1,507	5,296	5,406895	0,012297621
1992	20,79	1,568	5,798	5,982806	0,03415343
1993	23,097	1,598	6,233	6,279367	0,002149873
1994	25,108	1,626	6,641	6,564019	0,005926094
1995	27,097	1,667	7,241	6,994586	0,060719804
1996	29,627	1,706	7,854	7,419767	0,1885579
1997	32,362	1,753	8,09	7,952506	0,018904497
1998	35,391	1,778	8,504	8,245287	0,06693267
1999	38,474	1,806	8,879	8,5808	0,088922973
2000	41,779	1,813	9,053	8,666268	0,149561493
2001	45,976	1,855	9,11	9,187851	0,006060771
2002	50,354	1,878	9,321	9,481589	0,025788929
2003	55,018	1,898	9,545	9,741659	0,038674906
2004	58,733	1,906	9,539	9,847063	0,094903007
2005	61,935	1,911

Подобные документы

• Эконометрическое моделирование и прогнозирование фондового индекса РТС

  Теоретичские основы работы фондовой биржи. Общетеоретические основы множественного корреляционно-регрессионного метода анализа. Оценка качества модели множественной регрессии. Апробирование модели для прогнозирования фондового индекса РТС на 2014 год.
  
  курсовая работа [1,8 M], добавлен 10.05.2015
  

• Межотраслевой баланс

  Основы межотраслевого баланса, как центрального элемента матричных моделей. Общая структура межотраслевого баланса: связи между различными отраслями экономики страны. Модель межотраслевого баланса затрат труда. Пример расчета межотраслевого баланса.
  
  реферат [83,4 K], добавлен 18.04.2010
  

• Разработка экономико-математической модели оптимизации производственной структуры сельскохозяйственного предприятия

  Методы разработки экономико-математической модели: постановка задачи, система переменных и ограничений. Виды решения экономико-математической модели оптимизации производственной структуры сельскохозяйственного предприятия, анализ двойственных оценок.
  
  курсовая работа [60,3 K], добавлен 21.02.2010
  

• Василий Леонтьев и его вклад в экономическую науку

  Биография американского экономиста Василия Леонтьева. Характеристика способов составления межотраслевого баланса (МОБ, метода "затраты-выпуск") как экономико-математической балансовой модели. Особенности модели МОБ "З–В", ее недостатки и пути оптимизации.
  
  реферат [95,0 K], добавлен 03.11.2013
  

• Прогнозирование изменения цены акций

  Основные общепринятые стратегии. Факторы комбинированной модели. Формула и коэффициент прогнозирования. Регрессии комбинированной модели. Итоговый вид комбинированной торговой модели. Проверка коэффициентов прогнозирования, стратегии минимизации рисков.
  
  курсовая работа [2,0 M], добавлен 27.04.2016
  

• Экономический рост

  Характеристика сущности деловых циклов: понятия, модели. Показатели и факторы, проблемы и перспективы экономического роста в Республике Беларусь. Неоклассические и классические модели роста. Модель Р. Солоу, Харрода, Домара. Модель межотраслевого баланса.
  
  реферат [96,4 K], добавлен 16.12.2010
  

• Моделирование развития рыночной экономики методом межотраслевого баланса

  Сущность моделирования развития и функционирования национальной экономики. Системный подход как методологическая основа моделирования и прогнозирования национальной экономики. Методология построения межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
  
  курсовая работа [74,2 K], добавлен 25.04.2016
  

• Нобелевские лауреаты по экономической теории - В.В. Леонтьев

  Биография лауреата Нобелевской премии Василия Васильевича Леонтьева и его вклад в развитие экономики в России и других странах. Разработка метода "затраты - выпуск". Расчеты по методу Леонтьева - экономико-математические методы межотраслевого баланса.
  
  эссе [15,0 K], добавлен 21.06.2012
  

• Определение экономических показателей матричным методом. Анализ экономико-математической модели двойственной задачи

  Расчет планового межотраслевого баланса, валового выпуска продукции. Определение плана выпуска продукции, обеспечивающего предприятию максимальный доход. Экономико-математическая модель двойственной задачи. Функции спроса и предложения, равновесная цена.
  
  контрольная работа [1,4 M], добавлен 28.03.2012
  

• Корреляционно-регрессионный анализ

  Классическая линейную модель множественной регрессии. Значимость уравнения регрессии и его коэффициентов. Доверительный интервал. Матрица парных коэффициентов корреляции. Модель множественной регрессии. Автокорреляция.
  
  контрольная работа [172,9 K], добавлен 17.01.2004
  

• Функции экономической теории

  Производственная функция и ее экономическая интерпретация. Характерные черты монополистической конкуренции. Потребительские предпочтения, аксиома рационального выбора. Модели поведения олигополии. Эффективность рыночной структуры совершенной конкуренции.
  
  презентация [534,1 K], добавлен 13.02.2013
  

• Количественные методы в бизнесе

  Временные ряды и прогнозирование. Сетевой анализ и планирование проектов. Модели кривых роста. Статистические критерии сезонности: дисперсионный, автокорреляционный, гармонический. Модели, которые используются для прогнозирования сезонных процессов.
  
  контрольная работа [285,1 K], добавлен 15.07.2010
  

• Межотраслевой баланс: структура, назначение. Прогнозирование и планирование трудовых ресурсов и занятости

  Уровень и динамика изменения реальных доходов населения с помощью укрупненного метода с учетом национального дохода. Показатели межотраслевого баланса для международных сравнений производственных структур и результатов. Состав трудовых ресурсов.
  
  контрольная работа [415,3 K], добавлен 25.03.2009
  

• Общая теория экономического роста

  Сущность и значение экономического роста. Типы и способы измерения экономического роста. Основные свойства функции Кобба-Дугласа. Показатели и модели экономического роста. Факторы, сдерживающие экономический рост. Производная функция и ее свойства.
  
  курсовая работа [166,6 K], добавлен 26.06.2012
  

• Основы прогнозирования и планирования

  Прогнозирование и планирование при рыночных отношениях и в условиях неопределенности. Специфика эвристических и экономико-математические методов прогнозирования. Цель и принципы планирования деятельности предприятия. Структура и содержание годового плана.
  
  курс лекций [33,6 K], добавлен 03.02.2010
  

• Система национальных счетов и межотраслевой баланс Леонтьева

  Национальный продукт и его категории в системе национальных счетов, основы разработки межотраслевого баланса Леонтьева. Анализ состояния экономики на основе конкретных данных национальных счетов и межотраслевого баланса, достоинства и недостатки СНС.
  
  курсовая работа [242,0 K], добавлен 03.08.2010
  

• Прогнозирование вероятности банкротства по модели Сайфулина–Кадыкова

  Понятие банкротства, его причины и способы диагностирования. Модели экспресс-диагностирования банкротства. Прогнозирование вероятности банкротства ФГУП "Кирпичный завод" по модели Сайфулина-Кадыкова, основные направления антикризисного управления.
  
  курсовая работа [101,1 K], добавлен 30.09.2009
  

• Теория потребительского поведения

  Теоретические аспекты потребительского поведения, его определение и типы. Факторы воздействия производителя на потребительский выбор. Бюджетное ограничение покупателя и взаимосвязь рекламы и качества обслуживания на поддержку бренда целевой аудиторией.
  
  курсовая работа [2,8 M], добавлен 22.11.2010
  

• Экономический рост и его модели

  Проблема темпов экономического роста. Модели экономического роста: многофакторная и двухфакторная. Цикличность экономического развития. Модель межотраслевого баланса национальной экономики. Условия стабильности и цели эффективности экономического роста.
  
  дипломная работа [44,2 K], добавлен 24.01.2008
  

• Основные модели экономического роста (неоклассические и неокейнсианские)

  Типы и классификация факторов экономического роста. Эволюция неоклассических теорий экономического роста. Модель межотраслевого баланса. Проблемы динамики эффективного спроса, понятие мультипликатора. Концепция эндогенного роста (новая теория роста).
  
  контрольная работа [40,7 K], добавлен 17.12.2014
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам