Построение и исследование стохастической модели управления поставками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Основы математической теории управления запасами

1.1 Общая характеристика и классификация моделей управления запасами

1.2 Стохастическая модель управляемого регенерирующего процесса и ее теоретическое исследование

1.3 Исследование некоторых конкретных систем управления запасами, описываемых моделями регенерации

Глава 2. Построение и исследование стохастической модели управления поставками

2.1 Общее описание функционирования производственной системы, связанной с поставками ресурса

2.2 Основные характеристики системы управления поставками

2.3 Аналитическое представление стационарного стоимостного функционала

2.4 Алгоритм численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождение оптимальной стратегии управления

2.5 Описание блок-схемы алгоритма и программы для нахождения оптимального значения

Заключение

Список литературы

Аннотация

Приложение



Введение

Теория оптимального управления запасами и поставками является одним из наиболее важных и перспективных направлений логистики. Математические модели, используемые в теории оптимального управления запасами, ежедневно исследуются, усложняются и позволяют упростить множество задач. Благодаря данным исследованиям у предприятий появляется возможность сэкономить ресурсы в условиях современной рыночной экономики. Проанализированные математические модели представлены в научной литературе. В данной научной сфере имеются фундаментальные издания, которые позволяются изучить логистику и теорию оптимального управления запасами и поставками. Отметим фундаментальные монографии российских ученых [1-14], в которых представлены результаты исследования классических математических моделей, а так же, которые позволяют изучить актуальные проблемы в теории управления запасами. Отметим учебное пособие Бродецкого Г.Л., в котором изложены современные модели и методы, которые широко применяются в логистике. Отдельные главы данного издания посвящены разнообразным, наиболее используемым, моделям управления запасами и подробно описаны алгоритмы использования данных моделей на практике. Современные проблематики в мире представлены в переводах зарубежных изданий [15-17]. В современной зарубежной научной литературе отметим работы [18-20], в которых изложены классические результаты, современные стохастические модели и разнообразные методики. Множество примеров прикладных математических моделей управления изучены и опубликованы в статьях Шнуркова П.В. и его соавторов [21-29]. Результаты данных исследований были использованы для построения новой математической модели на основании данных с предприятия.

Магистерская выпускная квалификационная работа посвящена исследованию математической модели функционирования системы, предназначенной для закупки и хранения некоторого материального ресурса, необходимого для производства определенного продукта. Модель разработана на основе анализа реального производственного процесса, происходящего на заводе АО «Серпуховский завод «Металлист», однако она имеет общий характер и может быть использована для анализа целого класса систем закупки и хранения ресурсов.

В настоящем исследовании предлагается математическая стохастическая модель в форме двумерной цепи Маркова, имеющей двумерный параметр управления. Для изучения данной уникальной модели были использованы работы [21], [23], [26], [28], в которых изложена классическая теория управляемых марковских и полумарковских процессов.

Новый подход к решению таких задач управления предложен П. В. Шнурковым. Этот подход основан на использовании теоремы о безусловном экстремуме дробно-линейного интегрального функционала и впервые изложен в работе [29]. Доказательство соответствующих утверждений и общая схема решения задачи управления подробно изложены в статье Шнуркова П.В. и его соавторов [26].

Указанная теория имеет общий характер, однако для анализа рассматриваемой системы потребовалась специальная версия общей модели управления цепью Маркова. Таким образом, настоящее исследование обладает актуальностью и имеет самостоятельное теоретическое значение.

Для данного исследования был изучен реальный процесс производства изделий на предприятии. После анализа данных, полученных с предприятия, была построена и изучена математическая модель, которая имеет применения на практике и может быть внедрена на производство.

Для подтверждения практического значения теоретических результатов, связанных с нахождением оптимальной стратегии управления, в проведенном исследовании разработана программа, наглядно демонстрирующая работоспособность модели. Данная программа позволяет по заданным исходным характеристикам модели с предприятия осуществлять поиск оптимального значения в реальных условиях.

Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся исследованием теоретических результатов, а так же разработкой приложений теоретико-вероятностных методов в экономических, технических и других областях. Полученные уникальные теоретические и практические результаты могут являться основой для будущих исследований, связанных с моделями управления поставками на предприятиях. Также стоит отметить, что программа, предназначенная для поиска оптимальной стратегии управления, может быть полезна специалистам, которые занимаются разработкой программного обеспечения для анализа систем управления запасами.В завершение вводного раздела приведем краткую характеристику особенностей проведенного исследования. Целью данного исследования является разработка и исследование математической модели управления поставками, связанной с реальным производством изделий на предприятии, основанной на данных с предприятия. Отразим также научную новизну и основные результаты исследования.

1. Разработана стохастическая модель управления поставками, характеризующая реальный производственный процесс в форме двумерного управляемого марковского процесса.

2. Получены явные представления для вероятностных характеристик исследуемой модели, а также для характеристик стоимостного функционала.

3. Разработан алгоритм численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождение оптимальной стратегии управления процесса.



Глава 1. Основы математической теории управления запасами

1.1 Общая характеристика и классификация моделей управления запасами

Основные определения

Общее описание моделей и проблем теории управления запасами изложено во многих научных изданиях. В данной работе использованы материалы книг [7 - 13].

Сведения о стохастических моделях управления запасами и, в частности, моделях управляемых регенерирующих процессов, изложены в работах Шнуркова П.В. и его соавторов [21 - 33].

В логистике оптимальное управления запасами преследует две цели, а точнее занимается поиском ответа на два важнейших для этой области вопроса:

Какое количество продукции заказывать?

В какой момент времени заказывать?

Для ответа на первый вопрос необходимо разобраться с таким определением, как размер заказа. Размер заказа - оптимальная величина некоторого ресурса, которую необходимо заказываться каждый раз, когда происходит истощение запаса. Определив данную величину вопрос с количеством продукции отпадает.

Чтобы получить ответ на второй вопрос необходимо определить тип модели оптимального управления запасами. Система может включать периодический контроль состояния запасенного продукта через фиксированные интервалы времени (например, ежедневно или ежеквартально), момент истощения и формирования заказа на поставку, чаще всего, совпадает с началом нового временного промежутка. В случае, когда система включает непрерывный контроль состояния запасенного продукта, точкой заказа является уровень запаса и в этот момент необходимо сформировать новый заказ на поставку.

Следовательно, решение общей проблемы управления запасами сводится к рассмотрению двух случаев.

В первом случае, в случае периодического контроля состояния запаса требуется формировать заказ на поставку продукции через равные промежутки времени, а именно в моменты истощения запаса.

В случае непрерывного контроля состояния запаса формировать заказ на поставку следует в момент времени, когда запас истощается до определенной отметки, названной точкой заказа.

Общие издержки схемы управления запасами выражаются в виде суммы составляющих:

Издержки приобретения являются ключевым пунктом, в том случае, когда средняя цена единицы товара определяется размером заказа. Такое возможно при предоставлении оптовых скидок, когда при увеличении размера заказа уменьшается цена единицы товара.

Издержки формирования заказа являются расходами, связанными с размещением. То есть, удовлетворяя спрос в течение фиксированного интервала времени методом размещения меньших заказов (т.е. чаще) издержки растут, сравнивая с ситуацией, когда спрос удовлетворяется методом больших заказов (т.е. реже).

Издержки хранения являются расходами, связанные с хранением запаса на складе (например, издержки переработки и амортизация). Уровень таких издержек возрастает с увеличением уровня запаса.

Дефицит - издержки, связанные с отсутствием нужной продукции. Чаще всего такие издержки изменяются из-за отношений потребителя и поставщика.

На рисунке 1.1 изображена зависимость всех четырех составляющих издержек общей модели оптимального управления запасами от уровня запасенной продукции. Оптимальный уровень запаса соответствует минимальной величине суммы составляющих. Данная модель может включать не все компоненты, так-как в некоторых случаях схема управления значительно усложниться. На практике некоторыми составляющими можно пренебречь как бесконечно малыми величинами.

Рисунок 1.1

Типы схем управления запасами

Простейшим примером является общий вид схемы управления запасом. Разнообразие таких схем вытекает из различных способов решения задач, используя разнообразные математические вычисления таких как: дифференциальных схем, интегрального исчисления, алгоритмы математического и динамического программирования и др.

Поскольку тип моделей управления определяется характером спроса, получаем два типа схем: детерминированный (известный) или стохастический (задаваемый некоторым распределением).

Рисунок 1.2 является схемой, классифицирующей спрос.

Детерминированный спрос бывает статическим и динамическим. Статический спрос - интенсивность потребления не изменяется со временем. Динамический - спрос известен, но изменения происходят в зависимости от времени.

Стохастический спрос бывает стационарным и не стационарным. Стационарный спрос - функция плотности вероятности не изменяется со временем. Не стационарный спрос - функция плотности вероятности изменяется со временем.

Рисунок 1.2

Характер спроса является определяющим определением, влияющих на схему управления, но также существуют другие факторы, влияющие на данные модели управления запасами.

Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов.

Пополнение запаса.

Период времени.

Число пунктов накопления запаса.

Число видов продукции.

1.2 Стохастическая модель управляемого регенерирующего процесса и ее теоретическое исследование

Стохастические модели

Заметим, что стохастическая модель, рассматриваемая в настоящей главе, была предложена и исследована в работах П.В. Шнуркова и Р.В. Мельникова [22], [25], [27], [30].

Стохастические схемы используются в основном в случаях, когда параметры системы носят вероятностный характер. Рассматриваемые модели могут применяться в самых различных случаях. Например, спрос на какой-либо продукт или ресурс.

В стохастической схеме управления запасами интенсивность потребления какого-либо продукта или ресурса задается распределением случайной величины. Учитывая это в данных схемах вводится новый параметр - бездефицитной работы.

В данной схеме учитывается изменение интенсивности ресурса. Исследуется как эти изменения влияют на схему и на производственную деятельность. Важной частью исследования является параметр дефицита, а именно отсутствие дефицита ресурсов во время задержек продукции.

Стохастические схемы управления с фиксированным ритмом поставки.

Этот вариант схемы исследует такие возможности как бездефицитная работа и переполнение складского помещения в неизменных временных интервалах между восполнениями. Подразумевается, что продукции должно хватить при росте потребления и издержки компании, связанные с хранением продукции, не должны возрасти, если потребление снизится.

То есть размер заказа определяется таким образом, чтобы ресурсов на складе хватало даже при увеличении интенсивности потребления, но предприятие не несло дополнительных потерь при размещении и хранении излишних объемов сырья. В детерминированных же системах с фиксированным ритмом поставки величина заказываемой партии рассчитывается из предположения, что интенсивность потребления ресурса будет равномерной, без существенных колебаний, что не соответствует реальным условиям деятельности предприятий.

Рисунок 1.3 иллюстрирует как изменяются модели управления запасами, типов, рассмотренных выше, при разных уровнях интенсивности в зависимости от изменения уровня запаса ко времени.



Рисунок 1.3

Комбинированные стохастические схемы управления.

Из понятия комбинированной схемы очевидно, что данная схема является комбинацией предыдущих схем управления. Отличительным фактором данной модели является то, что заказ формируется на определённом уровне истощения, то есть при достижении точки заказа, не учитывая время (рисунок 1.4). Количество заказываемой продукции зависит от размера поставки при отсутствии дефицита. Данная схема также исследует изменения интенсивности потребления. Рассматриваемая схема является наиболее удобной для предприятий, так как заказ формируется в фиксированный момент времени и в фиксированном количестве, наиболее устраивающее предприятие.

Рисунок 1.4

Важную роль в теории управления запасами играет понятие параметра управления или принимаемого решение. Чаще всего в качестве таких параметров выступают время от момента очередного пополнения до заказа следующей партии продукта и размер заказываемой партии.

Регенерирующий процесс

В первую очередь, дадим описание модели регенерирующего процесса.

Пусть о(t) - некоторый случайный процесс, t?[0;?).

Е - множество состояний процесса о(t). Оно может представлять собой некоторое подмножество множества R, то есть может быть, как дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим фиксированное состояние х??E.

Обозначим через t_n=t_n (щ) случайные моменты времени, в которых процесс возвращается в состояние х?; о(t_n )=х?, n=0,1….

Предположим, что случайный процесс о(t) также обладает свойствами:

случайные моменты {t_n (щ)} образуют простой процесс восстановления;

зафиксируем условие о(t_n )=х? (это наиболее эффективно) и рассмотрим поведение процесса о(t) при t на интервале времени (t_n<t<t_(n+1)). Тогда эволюция процесса о(t) происходит независимо от прошлого (от поведения до момента t_n);

произвольное конечномерное распределение процесса о(t) на интервале [t_n<t_(n+1)] при фиксированном условии о(t_0 )=х? совпадает с конечномерным распределением на предыдущем интервале.

Если выполняются все из указанных выше свойств, то случайный процесс о(t) называется регенерирующим процессом, а моменты времени {t_n,n=0,1,2…} - моментами регенерации.

Дадим определение управляемого регенерирующего процесса.

Пусть о(t) - регенерирующий процесс;

{t_n,n=0,1,2…} - моменты регенерации; t_0=0.

U - некоторое заданное множество допустимых управлений (решений)

U - у-алгебра подмножеств множества U.

Пара (U,U) - измеримое пространство

Обозначим через Ш некоторую вероятностную меру (вероятность), заданную на у-алгебре U. Тогда тройка объектов (U,U,Ш) называется вероятностным пространством.

Будем полагать, что управление регенерирующим процессом о(t) определяется на каждом периоде регенерации [t_n,t_(n+1)] в начальный момент t_n и представляет собой реализацию случайного эксперимента на вероятностном пространстве (U,U,Ш). Обозначим эту реализацию u_n,n=0,1,2… .

В дальнейшем будем полагать, что U есть некоторое подмножество множества вещественных чисел R (в частности U=[0,+ ?)). Вероятностная мера Ш задается через функцию распределения. Таким образом, можно считать, что u_n есть случайная величина, принимающая значения во множестве U, для которой Ш представляет собой функцию распределения:

Ш(u)=P(u_n<u),u?U [33]

Ш(•) является управляющим распределением или распределением, задающим управление в данной модели регенерации.

Таким образом, если для случайного регенерирующего процесса о(t), будут введены и определены все описанные выше понятия, то такой процесс будет назваться управляемым регенерирующим процессом.

Рассматривается некоторый управляемый регенерирующий случайный процесс о(t). Случайные моменты t_0,t_1,t_2,…,t_n,t_(n+1),… - есть моменты регенерации этого процесса.

Предположим, что с данным процессом связан некоторый аддитивный стоимостной функционал. Зададим его.

Определяется некоторая функция, описывающая полученную прибыль (стоимостная характеристика) на каждом интервале регенерации.

Пусть r(t,ф,u) - заданная функция, принимающая значения в R, 0?t?ф; ф>0;u?U .

Причем

t - время, прошедшее с момента начала периода регенерации;

ф - общая длительность периода регенерации;

u - параметр управления, u?U (решение, принимаемое на периоде регенерации);

Аддитивный стоимостной функционал обозначен как V_n :

V_n=V(t_n )=V(t_n+0),n=0,1,2… .

V_0 - фиксированное значение в момент регенерации.

Значение стоимостного аддитивного функционала в момент времени t как V(t). По определению, V(t) является случайной величиной, зависящей от исходного процесса о(t). Необходимо определить значение функционала V(t) в любой момент времени t?0.

Предполагается, что известно начальное значение V_0=V(0). Обычно полагают, что V_0=0. Будем считать, что задано значение функционала V(•) в некоторый момент регенерации t_n: V_n=V(t_n ),n=0,1,2,… .

Тогда значение V(t) в произвольный момент времени t на периоде регенерации [t_n,t_(n+1)] определяется соотношением, которое использовала Пименова Е.Ю. в своей работе [33]:

V(t)=V_n+r(t-t_n,и_n,u_n ),t_n?t?t_(n+1),

где

t-t_n - время, прошедшее с начала периода регенерации,

и_n=t_(n+1)-t_n - случайная длительность периода регенерации,

u_n - управление (решение), принимаемое в момент t_n.

Таким образом, случайная функция r(t-t_n,и_n,u_n ) может пониматься, как приращение стоимостного аддитивного функционала V(•) за время от начального момента периода регенерации t_n до произвольного фиксированного момента времени t, t_n?t?t_(n+1).

Как следствие, соотношение (1.1) определяет значение стоимостного аддитивного функционала V(•) в любой момент времени t>0.

Постановка задачи оптимального управления для управляемого регенерирующего процесса

Приведем некоторые известные сведения, которые будут использоваться в ходе дальнейшей работы.

Стационарный стоимостной показатель, связанный с регенерирующим процессом, при достаточно общих условиях имеет вид (эргодическая теорема) и описан в работе Пименовой Е.Ю. [33]:

I=limT(t>?)??(MV(t))/t=(M?V_n)/(M?t_n )=V/T?,(1.2)

где

V=MДV_n=M[V_(n+1)-V_n ] - математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала на периоде регенерации;

T=MДt_n=M[t_(n+1)-t_n ] - математическое ожидание длительности периода регенерации. [33]

Предполагается, что задан некоторый управляемый регенерирующий процесс, для которого верны все теоретические данные и утверждения, приведенные ранее. Тогда можно доказать утверждение, что стационарный функционал I имеет вид:

I=V/T=(?_u-?A(u)dШ(u)?)/(?_u-?B(u)dШ(u)?)

где A(u) - условное математическое ожидание приращения стоимостного функционала на периоде регенерации при условии, что на данном периоде принято решение u?U;



A(u)=E[?V_n¦u_n=u]

B(u) - условное математическое ожидание длительности периода регенерации при условии, что на данном периоде принято решение u?U;

B(u)=E[?t_n |u_n=u]

Формально, задача оптимального управления регенерирующим процессом принимает вид экстремальной задачи:

I=I(Ш)>extr,Ш?Г,

где

Г - множество всех управляющих вероятностных распределений, заданных на пространстве U.

В конкретной, рассматриваемой в работе, задаче управления запасом величины U и Г будут определяться как:

U=[0,?),

Г - множество вероятностных распределений неотрицательных случайных величин.

Экстремальная задача для дробно-линейного функционала

Некоторые теоретические сведения, которые будем использовать в дальнейшем для исследования стоимостного дробно-линейного функционала на поиск экстремума.

Каштановым В.А. была получена следующая теорема: (теорема была опубликована в книге Каштанова В.А. и его соавторов [12])

Теорема 1.1

Пусть A(u) ограниченная функция и B(u)>0 при u?R, тогда, если существует максимум функционала (1.2) по множеству Г функций распределения, то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения:

maxT(Ш?Г) I(Ш)=maxT(Ш?Г) (?_u-A(u)dШ(u) )/(?_u-B(u)dШ(u) )=maxT(Ш?Г^* ) I(Ш)=maxT(u?R) (A(u))/(B(u))

Позже Шнурковым П.В. было получено, что для дробно-линейного функционала имеет место следующий результат [29]:

I(Ш)==(?_0^?-?A(u)dШ(u)?)/(?_0^?-?B(u)dШ(u)?)

U=[0,?),Ш(•) - функция распределения, задающая вероятностную меру на U.

Г - множество всех распределений на U;

Г^* - множество вырожденных распределений на U; Г^*?Г

Основной функцией функционала I(Ш) будем называть

C(u)=(A(u))/(B(u))

Рассматривается экстремальная задача:

I=I(Ш)>extr

Ш?Г

Предполагается, что выполняются следующие условия на функционал (1.6):

1) Функционал I(Ш) определен для всех Ш?Г, то есть



?_0^?-?B(u)dШ(u)?0,? Ш?Г

2) B(u)?0,u?U

Основной результат для экстремальной задачи (1.8) может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1.2

Пусть основная функция дробно-линейного функционала (1.7) достигает глобального экстремума в точке u_*?U. Тогда решение экстремальной задачи (1.8) существует и достигается на вырожденном распределении, сосредоточенном в

точке u_*.

Ш^* (u)={ (0,u?u_*@1,u>u_* )+

1.3 Исследование некоторых конкретных систем управления запасами, описываемых моделями регенерации

Обзор основных характеристик построенной модели

В качестве примера математического исследования конкретной модели управления запасом рассмотрим работу Шнуркова П.В. и Пименовой Е.Ю. [33]. В этом параграфе приведены все основные теоретические результаты данной работы. Отметим, что аналогичные исследования проведены в работах [25], [30].

Экономическая система, представляет собой отдельный (изолированный) склад, в котором хранится один вид продукта. Объём запаса данного продукта на складе в момент времени t обозначается через x(t). Этот параметр может принимать значения на множестве вещественных чисел (-?; ф], где ф>0 - заданная величина (максимальная вместимость склада). Этот параметр непрерывен.

Спрос на товар является детерминированной величиной. Скорость потребления продукции определяется постоянным параметром б,б>0. Заказ на поставку данного товара происходит через случайное время з, то есть з играет здесь роль параметра управления. Если же случайная величина з принимает некоторое фиксированное значение u: з=u, то величина u является решением (управлением). И тогда функция распределения G(u):P{з<u} является управляющим распределением. Поставка продукции на склад, пополняет уровень запаса до уровня ф,ф>0,ф?R. В момент заказа начинается, так называемый, период задержки поставки, то есть время, в течение которого выполняется заказ на пополнение запаса. Период задержки является заданной детерминированной величиной ?_0. В этот период потребление продукта продолжается с той же заданной скоростью б>0.

В момент окончания периода задержки поступает заказанная партия продукта и начинается, так называемый, период непосредственного пополнения. В этот период потребление прекращается, а пополнение производится со скоростью л>0.

Нетрудно заметить, что если время до момента заказа равно u, а длительность периода задержки рана ?_0, то длительность периода непосредственного пополнения запаса равна величине ?_1=б/л (u+ ?_0 ).

В момент окончания периода непосредственного пополнения запас продукта в системе принимает значение ф. После этого вновь планируется момент следующего заказа на пополнение. Эволюция системы после пополнения и достижения уровня ф происходит независимо от прошлого и по тем же самым закономерностям.

Пример возможного поведения процесса x(t):

u- время до момента заказа, реализация случайной величины, имеющей распределение G(u).

?_0- неслучайная длительность задержки поставки(известная величина).

?_1- длительность непосредственного пополнения

ф- лu=x - случайный уровень заказа

б - скорость потребления

л- скорость пополнения

Рисунок 1.5

x(t) - случайный процесс. Тогда момент t является объемом запаса в системе, а t_n,n=0,1,2…,t_0=0 моменты пополнения запаса в системе до максимального уровня ф. Зафиксируем момент t_n. Случайное время на периоде от момента t_n до момента следующего пополнения как з_n, P{з<u}=G(u).

Тогда выполняются следующие равенства:

t_n^'=t_n+з_n - момент следующего заказа,

(t_n ) Ю=t_n+з_n+?_0 - момент начала непосредственного пополнения,

t_(n+1)= t_n+з_n+?_0+?_1 - момент следующего пополнения запаса.

Траектория случайного процесса x(t) определяется соотношением:

x(t)= х(t_n)-б(t-t_n), t_n?t?t_n+з_n+?_0=(t_n ) Ю,

x(t)=x((t_n ) Ю )+л(t-(t_n ) Ю), (t_n ) Ю?t?(t_n ) Ю+?_1=t_(n+1),

Случайный процесс x(t) является управляемым регенерирующим процессом, моментами регенерации которого являются моменты {t_n,n=0,1,2…}. Случайная величина з_n=u_n представляет собой управление на интервале регенерации [t_n;t_(n+1)]. Распределение G(u)= P{з<u} есть управляющее вероятностное распределение.

Стратегия управления запасом заключается в выборе такой функции распределения G(u), которая при оптимальном процессе x(t) доставляет экстремум некоторому показателю качества I(G).

Стоимостные характеристики, связанные с функционированием рассматриваемой системы. с_1 (x) - затраты, связанные с хранением реального запаса, объемом x, x > 0 в единицу времени; с_1 (x)=0,x<0;

с_2 (x) - штрафы (потери), связанные с дефицитом продукта объема x, x<0, в единицу времени, с_2 (u)=0,x?0;

с_3 (б(u+?_0)) - фиксированная плата за поставку продукта объема б(u+?_0).

d_1(x) - цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что объем имеющегося запаса равен x > 0;

d_2(x) - цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что в системе имеется дефицит объема x, x < 0.

Функции с_1 (x),с_2 (x),с_3 (б(u+?_0 )),d_1(x), d_2(x) предполагаются заданными. В дальнейшем эти функции будут входить в представление для целевого функционала - показателя качества управления в рассматриваемой модели.

Оптимальная стратегия управления запасом определяется функцией распределения G^* (u), которая доставляет экстремум выбранному показателю качества управления, т.е. функционалу средней удельной прибыли на преиоде регенерации.

Представлении стационарного стоимостного показателя

В данной модели необходимо доказать основное утверждение о представлении стационарного показателя I в форме дробно-линейного функционала, т.е. найти явно функции A(u), B(u). Сформулируем основное утверждение.

Теорема 2.1

В рассматриваемой стохастической модели регенерации стационарный показатель качества управления представляется в виде дробно-линейного интегрального функционала

I(G)=(?_0^?-?A(u)dG(u)?)/(?_0^?-?B(u)dG(u)?) (2.1)

Где подынтегральные функции числителя и знаменателя задаются следующими формулами:

При ?_0<ф/б :

A(u)=?_0^(u+?_0)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)] dt-

-c_1 (ф-б(u+?_0 )) б/л (u+ ?_0 ) ?-c?_3 (б(u+?_0 )),0?u<ф/б- ?_0 (2.2)

A(u)=?_0^(ф/б)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)]dt+?_(ф/б)^(u+?_0)-[бd_2 (ф-бt)-c_2 (ф-бt)] dt-

?-c?_2 (ф-б(u+?_0 )) б/л (u+ ?_0 )-c_3 (б(u+?_0 )),u>ф/б- ?_0 (2.3)

При ?_0>ф/б:

A(u)=?_0^(ф/б)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)]dt+?_(ф/б)^(u+?_0)-[бd_2 (ф-бt)-c_2 (ф-бt)] d

-c_2 (ф-б(u+?_0 )) б/л (u+ ?_0 )-c_3 (б(u+?_0 )),u?0 (2.4)

При этом во всех вариантах функция B(u) имеет вид:

B(u)=u+?_0+б/л (u+?_0 )=(u+?_0 )(1+б/л) (2.5)

Стационарный показатель качества управления представляется в виде дробно-линейного функционала.

Необходимо получить явные представления для подынтегральных функций числителя и знаменателя A(u) и B(u).

Формула A(u) представляет собой условное математическое ожидание прибыли, полученной на одном периоде регенерации, определяемое при условии, что в начальный момент периода было принято решении u. В рассматриваемой модели, управление(решение) совпадает с длительностью времени от момента очередного пополнения (начальный момент периода регенерации) до момента заказана пополнение.

Пусть D(u) - условное математическое ожидание дохода, полученного на периоде регенерации, при условии, что принято решение u. И C(u) - условное математическое ожидание затрат.

Существует два варианта соотношения исходных параметров: 0< ?_0<ф/б и ?_0>ф/б.

Таким образом, функция условного математического ожидания дохода на периоде регенерации при условии, что принято решение u задается формулой:

D(u)={ (?_0^(u+?_0)-?бd_1 (ф-бt)dt,0<u< ф/б- ?_0 ?@?_0^(ф/б)-?бd_1 (ф-бt)dt?+?_(ф/б)^(u+?_0)-?d_2 (ф-бt)dt?,u>ф/б- ?_0 )+ (2.6)

Суммарные затраты имеют вид:

?C(u)=C?_1 (u)+ C_2 (u)+C_3 (u) (2.7)

Вычислим каждое слагаемое в правой части (2.7):

C_1 (u)={ (?_0^(u+?_0)-??[c?_1 (ф-бt) ? dt-??_1 c?_1 (ф-б(u-?_0 ))]dt,0<u< ф/б- ?_0 (2.8)@?_0^(ф/б)-[c_1 (ф-бt)]dt,u> ф/б- ?_0 ,(2.9) )+

C_2 (u)=?_(ф/б)^(u+?_0)-?[c_2 (ф-бt)]? dt-??_1 c?_2 (ф-б(u+?_0 )) (2.10)

C_3 (u)= с_3 (б(u+?_0 )) (2.11)

При этом ?_1=б/л (u+ ?_0 )

Заметим, что если выполняется условие (0<u< ф/б- ?_0 )< = >(0<u+?_0< ф/б), то за время u+?_0 запас не будет израсходован, т.е. к моменту начала пополнения остается объем реального запаса ф-б(u+?_0 ).

Тогда затраты, связанные с хранением, задаются формулой (2.8), дефицит не образуется, плата за поставку определяется формулой (2.11).

Отсюда

C(u)=?_0^(u+?_0)-?с_1 (ф-бt) ? dt?+с?_1 (ф-б(u-?_0 ))+

?+ с?_3 (б(u+?_0 )),0<u<ф/б- ?_0

Если же выполняется условие (u> ф/б- ?_0 )< = >(u+?_0> ф/б). То за время u+?_0 запас будет полностью израсходован, образуется дефицит. Штрафы, связанные с дефицитом, определяются формулой (2.10).

Суммарные затраты складываются из трех составляющих: затрат на хранение, определяемы равенством (2.9); штрафов, связанных с дефицитом, определяемых равенством (2.10) и платы за поставку определяемых формулой (2.11). В этом случае имеем:

C(u)=?_0^(ф/б)-[c_1 (ф-бt)]dt+?_0^(u+?_0)-[c_2 (ф-бt)] dt+

+?_1 c_2 (ф-б(u+?_0 ))+c_3 (б(u+?_0 )),u>ф/б- ?_0

Из (2.6), (2.12), (2.13) получаем формулы, определяющие функции прибыли:

A(u)=D(u)-C(u) =>

A(u)={ (?_0^(u+?_0)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)] dt-c_1 (ф-б(u-?_0 )) б/л (u+ ?_0 )-@ ?-c?_3 (б(u+?_0 )),@@ 0<u<ф/б- ?_0@?_0^(ф/б)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)]dt+?_(ф/б)^(u+?_0)-[бd_2 (ф-бt)-c_2 (ф-бt)] dt- @-c_2 (ф-б(u+?_0 )) б/л (u+ ?_0 )-c_3 (б(u+?_0 )),@ u>ф/б- ?_0 )+



Функцию B(u) получаем в явном виде:

B(u)=u+?_0+б/л (u+?_0 )=(u+?_0 )(1+б/л)

Таким образом, функции A(u) и B(u) определены аналитически в обоих случаях. Задача оптимального управления аналитически сводится к исследованию на глобальный экстремум функций

Решение проблемы оптимального управления запасом

Для рассмотренного класса управляющих вероятностных распределений G(u), а именно, для множества распределений неотрицательных случайных величин, заданных на множестве допустимых управлений u=[0;?), функционал I(G) определен. Иначе говоря, выполняется условие:

?_0^?-?B(u)dG(u)??0,G(u)?Г

B(u)=(u+?_0 )(1+б/л)>0,u?U=[0;?)

Теперь применим теорему о безусловном экстремуме интегрального дробно-линейного функционала в формулировке П.В. Шнуркова.

Предположим, что функция (A(u))/(B(u)) достигает глобального (абсолютного) экстремума на множестве допустимых управлений u?U в некоторой точке u_*. Тогда решение исходной экстремальной задачи для дробно-линейного интегрального функционала I(G) существует и достигается на вырожденном вероятностном распределении G_(u_* ) (u), сосредоточенном в точке u_*:

G_(u_* ) (u)={ (0,u?u_*@1,u>u_* )+

Тогда имеет место соотношение:

maxI(G)¦(G?Г )=maxI(G)¦(G?Г_0 )=(max (A(u))/(B(u) ))¦(u?U ) (2.15)



Где Г_0 - множество вырожденных распределений вида (2.14) для всех возможных точек u_*?U.

Таким образом, необходимо исследовать на глобальный экстремум основную функцию рассматриваемого дробно-линейного функционала:

(A(u))/(B(u))>maxT(u?U)? ?? (2.16)?

Достаточные условия непрерывности основной функции и существование детерминированного оптимального управления

Функция A(u) , определяемая формулой (2.2), является непрерывной в области 0?u<ф/б- ?_0.

Рассмотрим функцию A(u) при u>ф/б- ?_0, определяемую формулой (2.3).

Интеграл

?_0^(ф/б)-[бd_1 (ф-бt)-c_1 (ф-бt)]dt

является постоянной величиной; интеграл

?_(ф/б)^(u+?_0)-?[бd_2 (ф-бt)-c_2 (ф-бt)]? dt

Функция A(u) , определяемая формулой (2.3), является непрерывной функцией от u в области u>ф/б- ?_0.

Функция A(u), задаваемая формулой (2.4), является непрерывной при всех u?0.

Основываясь на утверждении леммы, можно доказать следующее утверждение относительно свойств основной функции данного дробно-линейного функционала.

Предположим, что выполнены следующие условия, связанные со стоимостными характеристиками модели:

Функция c_1 (x) непрерывна при любых значениях аргумента x?0

Функция c_2 (x) непрерывна при любых значениях аргумента x?0

Выполняется условие c_1 (0)=c_2 (0)

Функция c_3 (y) непрерывна при любых значениях y?б?_0

Для любого значения ?_0>0 выполняется условие:

limT(z>?)??1/(z+Д_0 ) ?_(ф/б)^(z+Д_0)-?[бd_2 (ф-бt)?-c_2 (ф-бt)]?t?<?

limT(z>-?)??c_2 (z)=?с_2?^((-)) ?<?

limT(z>?)??(c_3 (z))/z=?с_3?^((+)) ?<?

Тогда основная функция рассматриваемого дробно-линейного функционала (2.1), то есть функция (A(u))/(B(u)), определяемая соотношениями (2.2)-(2.4), является непрерывной при всех конечных значениях аргумента u?0 и существует конечный предел

limT(u>?)??(A(u))/(B(u))<??

Вычисляется предел

limT(u>?)??(A(u))/(B(u))?

и доказывается, что существует конечный предел:

limT(u>?)??(A(u))/(B(u))<??

Далее доказывается теорема:

Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда решение задачи оптимального управления запасом существует и достигается на детерминированном управлении u_*?U ?, которое представляет собой точку глобального максимума функции (A(u))/(B(u)) на множестве U ?=[0;?].

Анализа частного случая задачи

Рассматривается случай, при котором функции дохода и затрат задаются линейными функциями.

Затраты:

с_1 (x)={ (¦(&¦(с_1 x,&x?0,с_1>0@&))@0,x<0 )+ - затраты, связанные с хранением товара на складе;

с_2 (x)={ (¦(&¦(?-с?_2 x,&x?0,с_2>0@&))@0,x>0 )+- затраты, связанные с дефицитом товара на складе;

с_3 (x)=с_3 y,y=б(u+?_0)- плата за поставку товара (при фиксированном u).

Доходы в этом случае будут выглядеть как:

d_1 (x)=d_10+d_11 x, x>0

При чем d_1 (0)=d_10 - заданная величина

d_1 (ф)=d_ф - заданная величина

d_11?0

d_2 (x)=d_20>0;

?0<d?_20<d_10 .

Рисунок 1.6

Таким образом цена поставки минимальна при большом запасе(близком к максимальному) и максимальна при малом запасе(близком к нулю) . в частности, она может быть постоянной, если d_11=0, тогда d_1 (0)=d_10. запас стохастический регенерирующий стратегия

Цена поставки в случае дефицита одинакова при любом уровне дефицита; реального запаса нет, спрос будет удовлетворен в будущем при пополнении запаса. Возможны два случая при ?_0?ф/б и при ?_0>ф/б. Рассмотрим первый из них. Исследуется функция S(u), с помощью формул (2.2) и (2.5): Целевая функция на интервале [0; ф/б-?_0]

I_1=?_0^(u+Д_0)-(б(d_10+d_11 (ф-бt))-c_1 (ф-бt))?t-c_1 (ф-б(u+Д_0 )) б/л (u+Д_0 )-c_3 (б(u+Д_0 ))=-бc_3 (u+Д_0)-(бc_1 (u+Д_0 )(ф-б(u+Д_0 )))/л+1/2(u+Д_0)(c_1 (uб-2ф+бД_0)-б(-2d_10+d_11 (uб-2ф+бД_0)))

S_1 (u)=1/2(б+л) (c_1 (-2(б+л)ф+б(2б+л)Д_0)+бл(-2c_3+2d_10+d_11 (2ф-бД_0)))

Целевая функция на интервале [ ф/б-?_0;?)

I_2=?_0^(ф/б)- ((б(d_10+d_11 (ф-бt))-c_1 (ф-бt))?t+@ )+?_(ф/б)^(u+Д_0)-(бd_20 (ф-бt)-c_2 (ф-бt))?t-c_2 (ф-б(u+Д_0 )) б/л (u+Д_0 )-c_3 (б(u+Д_0 ))=-(ф^2 C_1)/2б+1/2 u^2 бc_2-uфc_2+(ф^2 c_2)/2б+фd_10+(ф^2 d_11)/2-1/2 u^2 б^2 d_20+uбфd_20-(ф^2 d_20)/2+uбc_2 Д_0-фc_2 Д_0-uб^2 d_20 Д_0+бфd_20 Д_0+1/2 бc_2 Д_0^2-1/2 б^2 d_20 Д_0^2-бc_3 (u+Д_0)-(бc_2 (u+Д_0)(ф-б(u+Д_0)))/л

S_2 (u)=-1/2б(б+л)(u+Д_0 ) (лф^2 c_1-c_2 (uб-ф+бД_0)(uб(2б+л)-лф+б(2б+л)Д_0)+бл(-2фd_10-ф^2 d_11+u^2 б^2 d_20-2uбфd_20+ф^2 d_20+2uб^2 d_20 Д_0-2бфd_20 Д_0+б^2 d_20 Д_0^2+2бc_3 (u+Д_0)))

В данном случае функции S_2 (u) и S_3 (u) будут одинаковыми.

Исследование целевой функции при u=ф/б-?_0



S_1 (ф/б-?_0 )=(л(-фc_1+б(-2c_3+2d_10+фd_11)))/(2(б+л))

S_2 (ф/б-?_0 )=S_3 (ф/б-?_0 )=(л(-фc_1+б(-2c_3+2d_10+фd_11)))/(2(б+л))

Резюмируя полученный результат, следует сказать, что для заданной задачи в явном виде были найдены представления целевой функции на каждом из рассматриваемых интервалов. Полученные данные, в дальнейшем, могут быть использованы для исследования модели на экстремум.



Глава 2. Построение и исследование стохастической модели управления поставками

2.1 Общее описание функционирования производственной системы, связанной с поставками ресурса

В классических моделях оптимального управления запасом рассматривается изолированное помещение складского типа с некоторым ресурсом, с которого идет прямое потребление данного вида номенклатуры. В работе рассмотрена модель управления поставками, а именно изучены этапы поступления заказа на предприятие, анализ рынка и выбор нужного поставщика, а также изготовление различных деталей с использованием одного вида номенклатуры.

Исследуемое предприятие, из-за условий кризиса, в современной рыночной экономике вынуждено работать по принципу “производства с колес”. Название принципа возникло на предприятиях. Как можно догадаться из названия принципа, заказ необходимого ресурса происходит после утверждения заказа на производство необходимого изделия.

Рассмотрим более подробно функционирование одного производственного цикла на предприятии ОАО «Серпуховский завод «Металлист».

Изначально на предприятие поступают заказы на производство некоторых изделий. Приоритет заказа определяется временем поступления, то есть изначально выполняется заказ поступивший первым. После полного выполнения заказа на производство очередь переходит к следующему заказу с наивысшим приоритетом. При отсутствии заказов в очереди предприятие вынуждено находится в режиме ожидания следующего заказа. Для удобства назовем заказы на производство требованиями.

После поступления требования на предприятие его необходимо проанализировать. Анализ покажет насколько выгодно выполнять поступившее требование и есть ли возможности для выполнения требования. После анализа, требование утверждается и происходит переход к следующей ступени производственного цикла. В случае поступления неэффективного для предприятия требования, то есть выполнение требования приведет к росту издержек или вовсе принесет заводу лишь убытки, возможен сценарий, при котором предприятие может отказать заказчику и отвергнуть поступившее требование. Также предприятие может не удовлетворить поступившее требование, поскольку не в состоянии выполнить его. Например, производственные мощности слишком велики или слишком малы для производства объема изделий в поступившем требовании. В таком случае производственный цикл считается завершенным и начинается анализ наиболее приоритетного требования в очереди.

После утверждения требования необходимо произвести все необходимые расчёты и определить, какие изделия необходимо изготовить, и какой ресурс необходим для полного выполнения требования. Такой анализ позволит получить точные цифры необходимого объема ресурса для полного обеспечения требования и необходимое время полного выполнения требования. Время выполнения требования делится на два интервала. Первый интервал включает в себя период анализа требования до утверждения, анализа требования после утверждения, анализа рынка и период задержки поставки. Рассматриваемый временной интервал имеет вероятностный характер. Второй интервал зависит от производственной мощности предприятия и является фиксированной величиной, поскольку производственные мощности не изменяются за небольшие интервалы времени. Увеличение производственной мощности происходит в случае приобретения новых технологий и современной техники, но такие изменения не могут происходить во время выполнения требования. Поломкой техники можно пренебречь, поскольку вся техника своевременно обслуживается в силу недопустимости остановки производства.

После получения всех необходимых сведений об объеме необходимого ресурса начинается анализ рынка экспертами, работающими на предприятии. Анализ рынка включает в себя поиск поставщиков, которые готовы поставить необходимый ресурс по выгодной для предприятия цене. Обычно рассматриваются два типа поставщиков: заводы-изготовители и частные компании. В большинстве случаев заводы-изготовители поставляют ресурс по цене, которая ниже средней рыночной стоимости единицы ресурса, но минимальные нормы поставки ресурса, как правило, являются слишком большими для требований, на обеспечение которых требуется небольшое количество ресурса. Поэтому, в большинстве случаев, когда минимальные нормы поставки слишком велики для обеспечения небольших требований, приходится обращаться к частным компаниям, которые готовы поставить необходимое количество ресурса или у которых минимальные нормы поставки ниже, чем на заводах-изготовителях. Недостатком частных компаний является завышенная цена на ресурс. Как правило, цена за единицу ресурса выше средней рыночной стоимости ресурса, но практика показывает, что выгоднее заказать меньший объем по завышенной цене для того, чтобы обеспечить небольшое требование, чем заказывать ресурс с большим излишком, который может не использоваться долгий период времени. Такая ситуация особенно невыгодна, когда у ресурса небольшой срок хранения и использования.

После анализа рынка происходит закупка сырья у выбранного поставщика и начинается период задержки поставки. В этот период завод ожидает заказанный ресурс. Завершение данного периода означает поставку ресурса на склад предприятия.

Далее, по заранее подготовленному плану производства, начинается изготовление изделия. Как правило, план подразумевает ежемесячное потребление ресурса со склада для изготовления изделий. То есть каждый месяц со склада происходит потребление фиксированного объёма ресурса для производства заданного объема изделий. На данном этапе производство ограничено производственными мощностями предприятия. Производство деталей продолжается до полного выполнения требования. Ситуация, при которой производство деталей остановится из-за нехватки сырья, невозможна, поскольку каждое требование изначально полностью обеспечено ресурсом. В большинстве случаев требования обеспечены ресурсом с избытком. После полного и успешного выполнения требования завершается производственный цикл по выполнению утвержденного требования и процесс начинает свою эволюцию заново.

На основе приведенного выше описания функционирования реальной производственной системы будет построена математическая модель и проведен ее анализ.

Данное описание подготовлено автором данной работы при сборе данных на предприятии для написания выпускной квалификационной работы бакалавра [32].

2.2 Основные характеристики системы управления поставками

Исследуется заводской изолированный склад, на котором хранятся различные виды ресурсов. В рамках данной работы рассмотрен тот же склад, но с одним видом ресурса, предназначенного для производства некоторого заданного вида продукции.

Поставка на склад происходит через различные временные интервалы, имеющие стохастический характер. Потребление происходит по заданному закону, который определяется производственными мощностями предприятия.

Перейдем к построению математической модели, описывающей функционирование системы-склада.

Заказы от потребителя производимой продукции назовем требованиями. Требование содержит количество необходимых изделий (целое, положительное, случайное число).

Предположим, что в систему могут поступать требования N различных типов, причем для выполнения требования j -го типа необходимо k_j условных единиц ресурса, 1 ? k_1< k_2< ...< k_N ,k_j - заданные целые числа, j=1,2,…,N.

Единицу объема ресурса обозначим через a>0. Таким образом, для выполнения требования типа j необходим ресурс в объеме a_j= k_j?a ,j=1,2,…,N. Других видов требований в данной модели не предполагается.

Каждое требование j -го типа поступает в систему с вероятностью ? P?_j= P(н=j) ,j=1,2,…,N. Требования поступают в систему через случайные независимые одинаково распределенные интервалы времени Д_n,n=1,2,… Однако предполагается, что выполнение следующего требования начинается после завершения работ по выполнению предыдущего.

В момент поступления требования начинается так называемый период задержки. В течение этого периода производится анализ рынка, определяется поставщик ресурса. Процедура выбора поставщика и объема заказа будет описана ниже. Затем в течение определенного времени выбранный поставщик выполняет заказ и осуществляет поставку. В момент поставки завершается период задержки и начинается выполнение исходного требования, то есть производство определенного изделия.

Обозначим через {t_n,n=0,1,…} моменты последовательного поступления требований. Назовем время от момента t_n до полного выполнения данного требования n-ым производственным циклом.

Пусть з_n - случайная длительность задержки на n -ом цикле. Обозначим через з_( n)^((1)) время, необходимое для анализа рынка, з_( n)^((2)) - время поставки заказанного ресурса определенным поставщиком. Распределение случайного времени з_( n)^((1)) зависит от вида требования, то есть P(з_( n)^((1)) <x)= ? B?_j (x) , если в момент t_n поступило требование вида j,j=1,2,…,N. Распределение случайного времени поставки з_( n)^((2)) зависит от выбранного поставщика и объема заказанного ресурса.

Таким образом, з_n= з_( n)^((1)) + з_( n)^((2)) - общая длительность задержки.

Обозначим также: t_( n)^( ')= t_n+ з_n - момент начала производственного процесса на n -ом цикле.

Процесс потребления ресурса происходит следующим образом. В момент поступления требования? t?_n становится известен минимально необходимый для его выполнения объем ресурса. Непосредственное выполнение работ по данному требованию начинается в момент поступления заказанного ресурса t_( n)^( ') На интервале времени [t_n ,t_( n)^( ') ) работы по данному требованию не проводятся. Если в момент t_n на складе присутствовал некоторый запас соответствующего ресурса, то он не расходуется.

Потребление запаса начинается в момент поступления ресурса t_( n)^( '). Потребление данного ресурса со склада происходит с постоянной скоростью б>0.

Потребление продолжается до полного выполнения работ по данному требованию. Если требование имеет тип j, то время его выполнения будет являться детерминированной величиной д_j= a_kj/б ,j=1,2,…,N. Оставшийся ресурс хранится на складе и может быть использован в дальнейшем. Таким образом, n -й производственный цикл, связанный с выполнением n -го требования, завершается в момент t_( n)^( 0)= t_n+ з_n+д_j.

Организация закупки ресурса происходит следующим образом.

Предположим, что всего на рынке имеется m?1 поставщиков данного вида ресурса. Каждый из них характеризуется набором параметров: он может поставить ф_( i)^((l)) единиц продукта по цене S_( i)^((l)) за единицу ; i=1,2,…,n_l ;l=1,2,…,m.

Если остаток запаса ресурса от выполнения предшествующих требований составляет величину x, то можно закупить продукт у поставщиков, которые предлагают объемы ф_( i)^((l))? a_kj-x. Таким образом определяются возможные решения - пара ( l ,i ) , где l - номер поставщика, i=i(l) - категория заказа, то есть объем закупаемого ресурса у этого поставщика. (Можно выбрать у одного и того же поставщика больший объем по меньшей цене).

Введем дополнительные обозначения:

ф= ?max?T(1 ?l ?m) ?max?T(1 ?i ?n_l ) ф_( i)^((l))

в= ?max?T(1 ?j ?N) a_kj=a??max?T(1 ?j ?N) k_j

В дальнейшем будем предполагать, что выполнено следующее условие:

ф ? в= a??max?T(1 ?j ?N) k_j (1)

Последнее условие означает, что максимально возможный объем ресурса, необходимого для выполнения поступающего требования, не превосходит максимально возможного объема поставки ресурса, предлагаемого на рынке. Таким образом, предполагается, что при любом возможном требовании существует поставщик, способный предоставить необходимый объем ресурса для производства требуемого числа изделий.

Обозначим также через A>0 максимально допустимый объем ресурса, который может храниться в данной производственной системе (максимальная вместимость склада). Тогда в соответствии с принятыми условиями функционирования системы должно выполняться дополнительное ограничение:

x+ ф_( i)^((l))?A,

для любого значения остаточного объема запаса x и любых значений i ?{1,2,…,n_l } ,l ?{1,2,…,N}.

...