Построение и исследование стохастической модели управления поставками

Таким образом, на периоде (производственном цикле), [t_n ,t_( n)^( 0) ) , на котором остаточный объем запаса был равен x_n=x , множество допустимых решений U= U_( x)^((j)) зависит от начального (остаточного) объема запаса x, объема поступившего требования a_kj и представляет собой совокупность пар целых чисел, определяемых следующим образом:

U_( x)^((j))={( l ,i ) ? a_kj ? ф_( i)^((l) )+ x ?A ;i ?{1,2,…,n_l } ,l ?{1,2,…,m}}.

При выполнении условия (1) множество допустимых решений не пусто: U_( x)^((l)) ?Ш.

Поскольку по предположению на n -м цикле будет израсходовано a_kj единиц ресурса, остаток этого ресурса на момент окончания данного цикла составит x_(n+1)= x_n+ ф_( i)^((l))- a_kj=x+ ф_( i)^((l) )- a_kj при условиях, что x_n=x , объем поступившего требования равен a_kj , а параметр управления u_n=(l,i), то есть закупается ресурс в объеме ф_( i)^((l)) .

Заметим, что значение остаточного ресурса в момент окончания n -го цикла x_(n+1) при условии, что x_n=x фиксировано, зависит от объема требования a_kj и принимаемого решения (l,i) , то есть не зависит от значений x_0,x_1,…,x_(n-1) , а также от объемов поступавших требований на предыдущих циклах.

Будем предполагать, что все возможные значения параметров ф_( i)^((l)),i=1,2,…,n_l;l=1,2,…,m кратны величине a, то есть выполняются равенства:

ф_( i)^((l))= z_( i)^((l))?a ,

где z_( i)^((l)) ,i=1,2,…,n_l;l=1,2,…,m - целые положительные числа.

При выполнении этого условия можно записать соотношение для изменения остаточного объема ресурса:

x_(n+1)- x_n= ф_( i)^((l) )- a_kj= z_( i)^((l) )?a- k_j?a= ?(z?_( i)^((l) )- k_j)?a



Тогда любое изменение объема ресурса кратно величине a, и все возможные значения остаточных объемов запаса ресурса так же будут кратны этой величине.

Определение случайного процесса, описывающего функционирование рассматриваемой системы.

Обозначим ? н?_n - объем поступившего требования в момент ? t?_n, ? x?_n - остаточный объем ресурса в момент ? t?_n. Рассмотрим двумерную случайную последовательность ?{ н?_n ,? x?_n }, n=0,1,2,… При введенных выше предположениях о характере модели данная последовательность образует двумерную цепь Маркова.

Если зафиксировать состояние цепи в момент ? t?_n, то есть событие (? н?_n=j,x_n=x), то управление (решение) на n -ом производственном цикле определяется парой чисел ? u?_n=(l,i) и зависит от состояния (j,x).

На рис. 2.1 изображен пример возможного поведения процесса на одном производственном цикле.

Рисунок 2.1

t_0^ - начальный момент времени; t_0^ =0 и {t_0^ =0 ,t_1^ ,t_2^ ,… } - моменты поступления требований.

x_0^ - начальный объём запаса ресурса.

(x_0^ + ф_( i)^((l))) - объем ресурса после пополнения при условии, что о_0^ =k_j^ (вид требования) ,

x_0^ =x - начальный объем ресурса.

(l ,i) - решение (управление) на данном цикле.

Время выполнения поступившего требования в данном случае равно д_j= a_kj/б

Остаточный объем ресурса в момент окончания цикла x_1^ = x_0^ + ф_( i)^((l))- a_kj при указанных условиях.

Введем стоимостные характеристики модели.

Пусть:

d_j - доход ( плата за выполнение требования типа j, то есть оплата за выполнение соответствующего заказа; j=1,2,…,N;

C_ ^((1) ) (x) - затраты, связанные с хранением x единиц ресурса за единицу времени;

C_( j)^((2) )= C_ ^((2) ) (k_j) - затраты, связанные с выполнением требования j - го типа ( непосредственные затраты на производство), j=1,2,…,N;

C_ ^((3) ) - накладные расходы в единицу времени, то есть расходы на обеспечение работоспособности системы в период времени, когда система не занята выполнением очередного заказа;

C_( j)^((4) ) - затраты в единицу времени, связанные с анализом рынка и планированием работ по выполнению очередного требования j -го типа; j=1,2,…,N;

S_( i)^((l) ) - рыночная цена единицы ресурса у поставщика с номером l при заказе вида i, то есть приобретение у него ресурса в объеме ф_( i)^((l))=z_( i)^((l) )?a,

i=1,2,…,n_l; l=1,2,…,m.

Все указанные стоимостные характеристики предполагаются известными.



2.3 Аналитическое представление стационарного стоимостного функционала

Определение случайного процесса, описывающего функционирование рассматриваемой системы.

Обозначим ? н?_n - объем поступившего требования в момент ? t?_n, ? x?_n - остаточный объем ресурса в момент ? t?_n. Рассмотрим двумерную случайную последовательность ?{ н?_n ,? x?_n }, n=0,1,2,… При введенных выше предположениях о характере модели данная последовательность образует двумерную цепь Маркова.

Если зафиксировать состояние цепи в момент ? t?_n, то есть событие (? н?_n=j,x_n=x), то управление (решение) на n -ом производственном цикле определяется парой чисел ? u?_n=(l,i) и зависит от состояния (j,x).

Показатель качества управления и проблема выбора оптимальных решений.

Определим показатель качества управления в данной модели как математическое ожидание прибыли, полученной на некотором производственном цикле. Обозначим через C((k_j,x);(l,i)) условное математическое ожидание прибыли, полученной на одном производственном цикле при условиях, что состояние системы фиксировано ?(н?_n= k_j,x_n=x), а управление задается парой (l,i) ? u_n=(l,i).

Зафиксируем детерминированную стратегию управления, то есть сопоставим каждому состоянию (k_j,x) пару чисел, определяющих управление и обозначим такую пару чисел через ? ((k_j,x))=(?_1 (k_j,x); ?_2 (k_j,x)),?_1 ((k_j,x))?{1,2,…,m};?_2 ((k_j,x))?{1,2,…,n_l }, если ?_1 ((k_j,x))=l. Фактически стратегия управления представляет собой функцию ? ((k_j,x)), заданную на множестве возможных состояний и принимающих значения во множестве допустимых управлений U_( x)^((j)). Совокупность всех стратегий управления обозначим через Г.

Для каждой фиксированной стратегии управления ? (j,x)? Г можно выписать переходные характеристики двумерной цепи Маркова {? н?_n ,? x?_n} и уравнения для стационарных вероятностей этой цепи. Обозначим через р((k_j,x);?(k_j,x)) стационарное распределение управляемой цепи Маркова ?{н?_n ,? x?_n}. Данное стационарное распределение определяется вероятностями перехода цепи Маркова ?{н?_n ,? x?_n} и зависит от принятой стратегии управления.

Теперь сформулируем и докажем основной результат данной работы о представлении стационарного показателя средней прибыли, полученной на одном производственном цикле.

Теорема 1(представление стационарного показателя средней прибыли):

Стационарный показатель средней прибыли в рассматриваемой модели имеет следующий вид:

C(?(.))= УT((k_j,x) ) C((k_j,x);(?_1 (k_j,x); ?_2 (k_j,x)))р((k_j,x);(?_1 (k_j,x); ?_2 (k_j,x))), (2)

где величины C((k_j,x);(?_1 (k_j,x); ?_2 (k_j,x))),(k_j,x) определяются формулами:

С((k_j,z);(?_1 (k_j,z),?_2 (k_j,z)))=

?= d?_j- C_ ^((1) ) (z)?E[з_( n)^((1) )+ з_( n)^((2) ) ]- C_ ^((3) )?E[з_( n)^((1) )+ з_( n)^((2) ) ]- C_( j)^((4) )- C_( j)^((2) )- ?_0^(?_j)-?C_ ^((1) ) (z- бt) ? dt-S_( i)^((l) )?ф_( i)^((l) ), j=1,2,…,N;z = 0,1,…,r_0 ,

а величины р((k_j,x);(?_1 (.); ?_2 (.))),(k_j,x) - стационарные вероятности вложенной цепи Маркова, являются решениями следующей системы уравнений:

р((k_s,y);(?_1 (s,y);?_2 (s,y)))=



P_s УT((k_j?N_ ^((0) ) ) ) УT((z?X_ ^((0) ) ) ) р((k_j,z);(?_1 (j,z);?_2 (j,z)))ЧI(y= z+ z_( ?_1)^((?_2 ) )-k_j ), (4)

k_s ?N_ ^((0) )={k_1,k_2,…,k_N };y?X_ ^((0) )={0,1,…,r_0}

УT((k_s?N_ ^((0) ) ) ) УT((y?X_ ^((0) ) ) ) р((k_s,y);(?_1 (s,y);?_2 (s,y)))=1 (5)

Суммирование в правой части формулы (2) производится по множеству состояний марковской цепи.

Величина C(?(.)) есть математическое ожидание прибыли на одном производственном цикле (в стационарном режиме) при фиксированной стратегии управления ?.

Доказательство теоремы 1

Получим соотношения, необходимые для определения стационарного распределения цепи Маркова ?{ н?_n ,? x?_n }. Предварительно запишем выражения для переходных вероятностей этой цепи.

В соответствии с принятыми ранее предположениями все возможные значения случайных величин н_n ,? x?_n кратны a. Но тогда без ограничения общности можно считать, что указанные случайные величины принимают значения из конечных множеств целых чисел:

н_n? N_ ^((0) )={k_1,k_2,…,k_N } ; x_n?X_ ^((0) )={0,1,…,r_0 },r_0< ?

Заметим, что множество X_ ^((0) ), в котором принимают значения остаточные объемы ресурса ? x?_n,n=0,1,2,… ограничено в силу условия ограниченности объема склада: ? x?_n ?A ,n=0,1,2,… Полагая, что величина A кратна a : A=r_0 ?a,r_0 - заданное целое положительное число, получаем, что величину x_n можно задавать целым положительным числом z, принимающим значения в конечном множестве X_ ^((0) )={0,1,…,r_0}.

Таким образом, если выполняются условия:



н_n= k_j ,? x?_n=z ,

то объем поступившего требования равен k_j?a= a_kj, а остаточный объем ресурса равен z?a, где k_j? N_ ^((0) ),z ? X_ ^((0) ).

Зафиксируем состояние (н_n= k_j,? x?_n=z) и некоторое решение ? u?_n=(l,i). Заметим, что объемы поступающих требований не зависят от состояния системы и принимаемых решений. В то же время, величина остаточного объема x_(n+1)^ полностью определяется значениями ? x?_n,н_n и управлением ? u?_n. Тогда имеем следующее соотношение для вероятности перехода управляемой марковской цепи ?{ н?_n ,? x?_n }:

P ((н_(n+1),? x?_(n+1) )=(k_s,y) |?(н?_n ,x_n )= ?(k?_j ,z),u_n=(l,i)) = P_s I(y=z+ z_( i)^((l) )-k_j ),s=1,2,…,N,

где величина I(y=z+ z_( i)^((l) )-k_j ) представляет собой индикатор условия (y=z+ z_( i)^((l) )-k_j ) и определяется равенством:

I(y=z+ z_( i)^((l) )-k_j )={ (1,если y=z+ z_( i)^((l) )-k_j@ 0,в остальных случаях )+ (7)

Из соотношений (6), (7) можно получить уравнения для стационарных вероятностей управляемой марковской цепи ?{ н?_n ,? x?_n }.

Обозначим, как и ранее, через ?(k_j,z),k_j ? N_ ^((0) ),z ? X_ ^((0) ) функцию, определяющую стратегию управления, то есть такую, которая сопоставляет каждому возможному состоянию (k_j,z) некоторое решение: (l,i),i?{ 1,2,…,n_l };l?{ 1,2,…,m }.

Обозначим через ?_1 (k_j,z);?_2 (k_j,z)=?(??_1 ((j_ ,z);?_2 (j,z))) значения этой функции, соответствующие значениям аргументов (k_j,z).

Тогда имеем с учетом (6):

р((k_s,y);(?_1 (s,y);?_2 (s,y)))=



P_s УT((k_j?N_ ^((0) ) ) ) УT((z?X_ ^((0) ) ) ) р((k_j,z);(?_1 (j,z);?_2 (j,z)))ЧI(y= z+ z_( ?_1)^((?_2 ) )-k_j ), (8)

k_s ?N_ ^((0) )={k_1,k_2,…,k_N };y?X_ ^((0) )={0,1,…,r_0}

УT((k_s?N_ ^((0) ) ) ) УT((y?X_ ^((0) ) ) ) р((k_s,y);(?_1 (s,y);?_2 (s,y)))=1 (9)

Система уравнений (8), (9) состоит из системы линейных однородных уравнений (8) и линейно независимого от нее условия нормировки (9). Данную систему необходимо решить для любой заданной функции управления ?, определяемой набором своих значений:

(?_1 (j,z);?_2 (j,z)),j?{ 1,2,…,N},z ? {0,1,…,r_0}.

Решение этой системы будет представлять собой вектор стационарного распределения управляемой цепи Маркова ?{ н?_n ,? x?_n }, соответствующий функции управления ?(.)=(?_1 (.),?_2 (.)).

Перейдём к нахождению представления для стационарного показателя качества управления в рассматриваемой марковской модели.

При данных предположениях можно выписать явное представления для условных математических ожиданий прибыли на одном производственном цикле при условиях, что состояние процесса фиксировано и задана стратегия управления или принятия решения в каждом состоянии.

Обозначим через:

С((k_j,z);(?_1 (k_j,z),?_2 (k_j,z))) - условное математическое ожидание величины прибыли, связанной с одним производственным циклом, определяемое при условии, что состояние системы в начале цикла равно (k_j,z), а принятая стратегия управления в данном состоянии определяет решения ?_1,?_2, то есть закупку ресурса у поставщика с номером ?_1 (k_j,z) и вид закупки ?_2 (k_j,z).

Тогда для величины С((k_j,z);(?_1 (k_j,z),?_2 (k_j,z))) можно получить следующее аналитическое представление:

С((k_j,z);(?_1 (k_j,z),?_2 (k_j,z)))=

?= d?_j- C_ ^((1) ) (z)?E[з_( n)^((1) )+ з_( n)^((2) ) ]- C_ ^((3) )?E[з_( n)^((1) )+ з_( n)^((2) ) ]- C_( j)^((4) )- C_( j)^((2) )- ?_0^(?_j)-?C_ ^((1) ) (z- бt) ? dt-S_( i)^((l) )?ф_( i)^((l) ),

j=1,2,…,N;z = 0,1,…,r_0 .

Теорема 1 доказана.

Оптимальная стратегия управления ?= ?_ ^* определяется как решение экстремальной задачи:

?C(?(.))?T ( @? ?Г) >max

Заметим, что показатель C(?) получен в явном виде. При некоторых дополнительных предположениях на характер модели можно получить, что множество состояний системы (j,x) будет конечным. Множество возможных стратегий управления Г также будет конечным. Таким образом, задача оптимального управления будет иметь единственное решение, которое может быть определено численным методом.

2.4 Алгоритм численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождение оптимальной стратегии управления

Зафиксируем некоторое состояние марковского процесса (н_n,? x?_n )= (j_1?a,? j?_2?a) , где j_1 ? {1,2,…,N_1} характеризует объем поступившего требования; j_2 ? {0,1,…,N_2} характеризует остаточную величину ресурса в системе. Таким образом, a?N_1 - максимально возможный объем поступающего ресурса, a?N_2 - максимально возможный объем остаточного ресурса. Величины a>0,N_1?1,N_2?1 должны быть заданы. Величина a>0 - характеризует единичный объем ресурса (все возможные значения ресурса должны быть кратны a). По условию N_1,N_2 - заданные целые положительные числа. Необходимо организовать внешний цикл по j_1,j_2, перебирая все возможные состояния системы. Таких состояний (пар чисел) (j_1,j_2) будет конечное число, а именно: ?N=N?_1 (N_2+1).

Для фиксированного состояния (j_1?a,? j?_2?a) определяем некоторое управление из множества допустимых управлений (решений) в данном состоянии. Фактически управление задается как некоторая двумерная функция от состояния. Если состояние фиксировано ?(н?_n ,x_n)=(j_1?a,? j?_2?a), ?(j_1?a,? j?_2?a)=(?_1 (j_1?a,? j?_2?a),?_2 (j_1?a,? j?_2?a)).

Значения функции ? представляют собой пары чисел l_1=?_1 (j_1?a,? j?_2?a), l_2=?_2 (j_1?a,? j?_2?a), где l_1 - номер поставщика, l_1? {1,2,…,n_l }; l_2 - вид заказа у выбранного поставщика. В частности, если l_1=l, то l_2?{1,2,…,n_l }. В этом случае ресурс будет заказан у поставщика с номером l, а объем приобретаемого ресурса составит величину l_2?a.

Необходимо сформировать конкретный набор управлений для всех возможных состояний. Иначе говоря, необходимо для каждого состояния зафиксировать свое управление, определяемое по правилу указанному в п.2. Полученный набор управлений и называется стратегией управления. Формально стратегия представляет собой двумерный массив, состоящий из пар управлений, соответствующих каждому состоянию (l_1,? l?_2 )=(?_1 (j_1?a,? j?_2?a),?_2 (j_1?a,? j?_2?a)), где j_1 ? {1,2,…,N_1 },? j?_2 ? {1,2,…,N_2 }. Таким образом, необходимо зафиксировать данный массив. При этом каждой паре (j_1?a,? j?_2?a), характеризующей состояние, соответствует единственная пара (l_1,? l?_2 ), l_1=?_1 (j_1?a,? j?_2?a), l_2=?_2 (j_1?a,? j?_2?a), характеризующая управление. Совокупность пар (l_1,? l?_2 ) и определяет конкретную стратегию управления. Общее число состояний N_1 (? N?_2+1), для каждого состояния выбирается одна пара управлений (l_1,? l?_2 ). Следовательно, каждая стратегия управления содержит N_1 (? N?_2+1) пар чисел.

После того как стратегия управления зафиксирована, можно составить систему уравнений для нахождения стационарного распределения. Это система линейных однородных уравнений (4) с дополнительным условием нормировки (5). Для заданной стратегии управления указанная система состоит из N_1 Ч? N?_2+1 уравнения. Одно из уравнений линейной однородной системы (4) можно исключить. Оставшиеся уравнения образуют линейную неоднородную систему, которая имеет единственное решение. Указанное решение находится стандартным численным методом. Таким образом, для заданной стратегии управления получен набор стационарных вероятностей состояний:

р ((j_1?a,? j?_2?a);( ?_1 (j_1?a,? j?_2?a);(?_2 (j_1?a,? j?_2?a))), где j_1 ? {1,2,…,N_1}, j_2 ? {1,2,…,N_2}.

Для той же фиксированной стратегии управления определяется набор стоимостных характеристик С ((j_1?a,? j?_2?a);( ?_1 (j_1?a,? j?_2?a);(?_2 (j_1?a,? j?_2?a))), которые представляют собой математическое ожидание прибыли полученной за время пребывания в состоянии (j_1?a,? j?_2?a). Этот массив состоит из N_1 Ч? N?_2 чисел (по числу состояний). Данные величины вычисляются по формуле (3).

Для фиксированной стратегии управления, по формуле (8), вычисляется стационарный стоимостной показатель (средняя удельная прибыль в стационарном режиме). Полученное значение показателя С(?_ (.))=С(?_1 (.),?_2 (.)) сохраняется.

Производится возвращение к пунктам 2,3 и формируется новая стратегия управления, то есть набор значений управлений (решений) для каждого состояния системы (l_1,? l?_2 )= ( ?_1 (j_1?a,? j?_2?a);?_2 (j_1?a,? j?_2?a)), где j_1 ?{1,2,…,N_1} , j_2 ?{1,2,…,N_2}. Для новой стратегии управления производятся действия, описанные в п. 4,5. В результате вычисляется значение стационарного стоимостного показателя качества управления С(?_ (.))=С(?_1 (.),?_2 (.)), соответствующего новой стратегии управления.

Производится сравнение значений показателя С(?_ (.))=С(?_1 (.),?_2 (.)) для стратегии управления, заданной на предыдущем шаге, и для новой стратегии управления определяется наибольшее из них. Наибольшее значение показателя и соответствующая ему стратегия сохраняются.

Производится следующее возвращение к пунктам 2,3 и формирование следующей стратегии управления. После этого повторяются действия, описанные в пунктах 4,5,6. В результате вычисляется значение стационарного показателя качества управления С(?_ (.))=С(?_1 (.),?_2 (.)), которое сравнивается с предшествующим в соответствии с пунктом 8.

После завершения цикла по перебору всех допустимых стратегий управления окажется сохраненным максимальное значение стационарного показателя качества управления С(?_ (.))=С(?_1 (.),?_2 (.)) и соответствующая ему стратегия управления. Данная стратегия и является оптимальной.

2.5 Описание блок-схемы алгоритма и программы для нахождения оптимального значения

В данном подпункте второй главы представлено описание численного решения задачи оптимального управления поставками. Поиск решения основывается на алгоритме численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождения оптимальной стратегии управления. Данный алгоритм изложен в разделе 2.4 настоящей главы. Для численного решения задачи была разработана блок-схема алгоритма с подробным описанием блоков.

Блок-схема алгоритма:



Рисунок 2.2

Описание блок-схемы алгоритма:

Перед тем, как выбрать поставщика для выполнения требования, необходимо просчитать все возможные сценарии эволюции процесса. Для этого необходимо указать вместимость склада с необходимой кратностью. Далее с фиксированным шагом будут просчитаны стратегии управления. Для этого необходимо зафиксировать начальное состояние системы, а именно, необходимо зафиксировать пару значений, состоящую из поступающего от поставщика ресурса и остатка ресурса на складе от выполнения предшествующего требования.

Заданной паре из блока 1 (состояние системы) необходимо сопоставить пару значений, состоящую из номера поставщика, который собирается поставить ресурс и номера требования, поступившего в систему (управление системой).

Теперь необходимо сформировать набор управлений, то есть каждой паре значений из блока 1 необходимо сопоставить пару значений из блока 2. Такой набор называется стратегией управления.

Далее необходимо определить вероятности перехода для фиксированной стратегии управления. Найденное стационарное распределение зависит от стратегии управления.

В данном шаге составляется система линейных уравнений для нахождения стационарного распределения и выполняется поиск решения системы.

После нахождения решения системы уравнений необходимо определить стоимостные характеристики для каждого фиксированного состояния и соответствующего управления. Это необходимо для расчёта стационарного стоимостного показателя.

Рассчитывается стационарный стоимостный показатель в стационарном режиме, который представляет собой удельную прибыль в рассматриваемой системе.

После расчёта стационарного стоимостного показателя для заданной стратегии управления необходимо проверить, завершен ли перебор всех возможных стратегий. Если да, то необходимо перейти к блоку 9. Если нет, то необходимо возвратиться в начало процедуры, в блок 1 и начать формирование следующей стратегии управления и вычисление соответствующего ей стационарного стоимостного показателя.

После того, как завершатся работы в блоке 8, заполнится массив, состоящий из значений стационарных стоимостных показателей для всех возможных стратегий управления. Выполняется поиск максимального значения из массива.

Максимальное значение стационарного стоимостного показателя соответствует оптимальной стратегии управления.

На основании алгоритма, подробно изложенного в пункте 2.4, а также блок-схемы, представленной в пункте 2.5 второй главы, разработана программа для поиска оптимальной стратегии управления. Программный код представлен в Приложении А. Программа в автоматическом режиме выполняет набор действий, изложенных в пункте 2.5.

В результате работы программы рассчитывается средний показатель прибыли в стационарном режиме и определяется оптимальное управление для выполнения требования.

Результат работы программы представлен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3

На рисунке 2.3 кратко изложены полученные данные, в результате работы программы. Полный результат выполнения программы представлен в Приложении Б.

В качестве входных данных выступают:

1) Ресурс, который необходим для выполнения требования

2) Стоимостные характеристики требований

3) Вместимость склада

4) Ресурс, который могут предоставить поставщики для выполнения требований

После успешного завершения работы программы получаются выходные данные:

Средний стоимостный показатель в стационарном режиме

Оптимальное управление для выполнения требования

Как можно заметить на рисунке 2.3, средний стоимостный показатель для требования 1 равен 549995 рублям. Данный показатель является максимальным и представляет собой прибыль от выполнения требования 1, с учетом выбора оптимальной стратегии управления, а именно, при выборе поставщика 1 и предлагаемого им объема ресурса в 375 единиц. Аналогично для требования 2, максимальная прибыль, равная 570308 рублям, достигается при выборе первого поставщика и поставляемого им ресурса в 375 единиц. В результате получается, что для достижения максимальной прибыли, при выполнении требований, необходимо выбрать одинаковую стратегию управлению, при том, что стоимостный показатель получен разный.

Разработанное программное обеспечение подтверждает практическую значимость модели управления поставками, а также возможность внедрения данных исследований на предприятие с целью оптимизации издержек.



Заключение

В результате проведенного исследования построена математическая модель управления запасом и поставками ресурса, описывающая функционирование реальной производственной системы. Такая модель представляет собой двумерную управляемую цепь Маркова.

Получено представление стационарного стоимостного функционала. Разработан алгоритм численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождение оптимальной стратегии управления. Данный алгоритм позволит определить оптимальную стратегию для выполнения текущего требования на предприятии, то есть определить номер поставщика и объем поставки для каждого возможного состояния системы. Основные теоретические результаты, связанные с решением поставленной задачи оптимального управления поставками в стохастической марковской модели, приведены в пунктах 2.2 - 2.4 второй главы. Таким образом, поставленная проблема оптимального управления поставками теоретически решена. Более того, полученные результаты можно использовать для решения аналогичных задач оптимального управления поставками.

Работа является актуальной и имеет важное прикладное значение в связи с ростом государственных заказов на предприятии, увеличением номенклатуры закупок и их динамики. Целесообразно продолжить исследование предложенной математической модели на основе более глубокого учета реальных особенностей процесса производства с целью совершенствования стратегии управления закупками и внедрения разработанной модели на предприятие для снижения издержек, связанными с поставками ресурса на склад. При наличии реальных данных могут быть оценены необходимые исходные характеристики реальной системы и проведен расчет численных значений оптимальных параметров управления поставками. Также при наличии необходимых данных с предприятия более точно могут быть оценены стоимостные характеристики модели, что позволит получить реальные данные прибыли. Учитывая положительные практики предприятий появляется возможность доработать программное обеспечение с целью получения наиболее эффективного результата.



Список литературы

1. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управления запасами. - М.: Питер, 2001. - 384 с.

2. Рыжиков Ю.И. Управление запасами. - М.: Наука, 1969 - 344 с.

3. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. - М.: Наука, 1991. - 188с.

4. Афанасьева, Л.Г. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. / Л.Г. Афанасьева, Е.В. Булинская -- Изд-во МГУ Москва, 1980. -- 110 с.

5. Бродецкий Г.Л. Управление запасами // Учебное пособие. - 2007. - 400с.

6. Боровков, А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. / А.А. Боровков -- М.: Эдиториал УРСС, 1999 -- 450 с.

7. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации. / Ф.П. Васильев. -- М.: Факториал Пресс, 2002. -- 824 с.

8. Вопросы математической теории надежности. / Барзилович Е.Ю. [и др.]; под ред. Б. В. Гнеденко. -- М.: Изд-во Радио и связь, 1983. -- 376 с.

9. Губенко, Л.Г. Об управляемых полумарковских процессах. / Л.Г. Губенко, Э.С. Штатланд // Кибернетика. -- 1972. -- №2. -- С. 26 - 29.

10. Демченко, С.С. Оптимальные стратегии для полумарковской системы запасов. / С.С. Демченко, П.С. Кнопов, Р.К. Чорней // Кибернетика и системный анализ. -- 2002. -- Вып. 1. -- С. 146 - 160.

11. Калиткин, Н.Н. Численные методы. / Н.Н. Калиткин. -- М.: Наука, 1978. -- 512 с.

12. Каштанов, В.А. Об одном классе оптимальных дискретных управлений полумарковским процессом / В.А. Каштанов // Труды МИЭМ. Некоторые теоретические и прикладные вопросы теории вероятностей. -- М.: МИЭМ, 1975. -- Вып. 44. -- С. 67 - 76.

13. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации. / Ф.П. Васильев. -- М.: Факториал Пресс, 2002. -- 824 с.

14. Рубальский, Г.Б. Управление запасами при случайном спросе (модели с непрерывным временем) / Г.Б. Рубальский, ред. И.А. Ушаков. -- М.: Советское радио, 1977 -- 160 с.

15. Джевелл, В.С. Управляемые полумарковские процессы // Кибернетический сборник. Новая серия. / Под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. -- М.: Мир, 1967. -- Вып. 4. -- С. 97-137.

16. Майн Х., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М.: Наука, 1977.

17. Прабху, Н.У. Методы теории массового обслуживания и управления запасами. / Перевод с английского Е.Г. Коваленко; под редакцией И.Н. Коваленко. -- М.: Машиностроение, 1969. -- 355 с.

18. Porteus E. Foundations of stochastic inventory theory. - М.: Stanford University Press, 2002. - 299 p.

19. Bertsekas, D.P. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic models / D.P. Bertsekas. -- New Jersey: Prentice-Hall, 1987. -- 376 p.

20. Buzacott, J.A. 1993. Stochastic models of manufactoring systems / J.A. Buzacott, J.G. Shanthikumar. -- New Jersey: Prentice-Hall, 1993. -- 553 p.

21. Шнурков П.В., Иванов А.В. Анализ дискретной полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта при периодическом прекращении потребления. - Дискретная математика, 2014, т.26, №1, с. 143-152.

22. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки. - Автоматика и телемеханика. 2008. № 10. С. 93-113.

23. Шнурков, П.В. Анализ дискретной полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта при периодическом прекращении потребления / П.В. Шнурков, А.В. Иванов // Дискретная математика. -- 2014. -- Т.26, №1. -- С. 143-154.

24. Шнурков, П.В. Стохастическая модель планового технического обслуживания // Стохастические системы и их приложения. Сб. научн. тр. / Институт математики АН УССР -- Киев: 1990, -- С. 98 - 105.

25. Шнурков, П.В. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации / П.В. Шнурков, Р.В. Мельников // Обозрение прикладной и промышленной математики. -- 2006. -- Вып. 3. -- С. 434 - 452.

26. Шнурков П. В., Горшенин А. К., Белоусов В. В. Аналитическое решение задачи оптимального управления полумарковским процессом с конечным множеством состояний. - М.: Информатика и ее применения, 2016 Т.10. Вып. 4. С. 27-88.

27. Шнурков, П.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки / П.В. Шнурков, Р.В. Мельников // Автоматика и телемеханика. -- 2008. -- Вып. 10. -- С. 93 - 113.

28. Шнурков, П.В. Исследование задачи оптимизации в дискретной полумарковской модели управления непрерывным запасом / П.В. Шнурков, А.В. Иванов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. -- 2013. -- № 3, С. 62 - 87.

29. Шнурков П.В. О решении задачи безусловного экстремума для дробно-линейного интегрального функционала на множестве вероятностных мер. - Доклады академии наук, 2016, том 470, № 4, с. 387-392.

30. Мельников, Р.В. Исследование проблем управления запасом в стохастической модели регенерации: дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.05 / Мельников Роман Витальевич. -- М., 2010. -- 133 с.

31. Иванов А.В. Анализ дискретной полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта при периодическом прекращении потребления: дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.05 / Иванов Алексей Валерьевич. -- М., 2014. -- 117 с.

32. Шнурков П.В., Беляков П.С. Исследование стохастической марковской модели управления поставками, связанной с реальной производственной системой - МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2017 г.

33. Шнурков П.В., Пименова Е.Ю. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в схеме регенерации с детерминированной задержкой поставки и периодом реального пополнения - МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2015 г.



Аннотация

В работе проведен анализ функционирования технических систем, организации процедур закупок и поставок сырьевых ресурсов, предназначенных для производства определенного вида изделий на предприятии АО «Серпуховский завод «Металлист». На основе проведенного анализа построена математическая модель, описывающая динамику запаса ресурса и процедуру поставок, которая понимается как управление. Построенная модель имеет вероятностный характер. Получены представления для основных характеристик модели. Разработан алгоритм, который осуществляет поиск решения проблемы оптимальной организации процедуры поставок.

Ключевые слова: управление запасом, управление закупками и поставками, марковская модель управления запасом, средняя удельная прибыль, стационарный показатель качества управления.

The operation of technical systems, procurement procedures and the supply of raw materials intended for the production of certain types of products in the enterprise JSC «Serpukhovskiy plant «Metallist» are analyzed. Based on above materials the mathematical model was created, which describes the dynamics of the resource in stock and supply procedure, that is understood as a control. The developed model is probabilistic in nature. Basic ideas for the main characteristics of the model were found. Algorithm for solving problem of optimal organization of supply procedure was developed.

Keywords: inventory control, purchases and supplies control, inventory control Markov model, average specific profit, stationary quality score of control.



Приложение

Код программы, реализующей алгоритм численного исследования стационарного показателя качества управления и нахождение оптимальной стратегии управления.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.IO;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

namespace ProgForDipCons

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

int Dj = 1000000; //Оплата за заказ. Данная сумма приходит в заявке на завод.

int C1 = 17500; //затраты, связанные с хранением ресурса во время производства товара.

int C1t = 12300; //Затраты связанные с ожиданием ресурса к поставке для начала выполнения требования.

int C2 = 370000; //Затраты, связанные с выполнением требования.

int C3 = 23900; //Расходы на обеспечение работоспособности системы.

int C4 = 12300; //Затраты, связанные с анализом рынка.

int S = 37; //Рыночная цена ресурса.

int treb = 12; //Сколько нужно сырья для заказа

int new_max = 0;

int max = 0;

int postavshik = 0;

int postavka = 0;

int zakaz = 0;

int ostatok = 0;

int srednee = 0;

int strateg_pribul = 0;

string max_strategia;

string strategia;

int[,] zakaz_ostatki = new int[2, 10]; //Массив номеров заказов и остатков

for (int a = 0; a < 2; a++)

for (int b = 0; b < 10; b++)

{

zakaz_ostatki[a, b] = b;

}

int[,] postavshik_postavki = new int[,] { { 1, 380 }, { 1, 400 }, { 2, 375 }, { 2, 430 }, { 2, 450 } }; //Массив номеров поставщиков и поставляемых ресурсов

int n = zakaz_ostatki.Length / zakaz_ostatki.GetLength(0); //Кол-во остатков

int m = postavshik_postavki.Length / postavshik_postavki.GetLength(1); //Кол-во стратегий управления

int k = zakaz_ostatki.GetLength(0); //Кол-во заказов

string[,] znach = new string[n, m];

for (int s = 0; s < k; s++) //Заказы

{

for (int j = 0; j < m; j++) //Поставщики

{

srednee = 0;

strateg_pribul = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) //Запасы

{

new_max = Dj - C1 - C3 - C4 - C2 - C1t - S * (zakaz_ostatki[0, i] + postavshik_postavki[j, 1]) * treb;

znach[i, j] = "[Состояние]: Заказ № : " + (zakaz_ostatki[s, s] + 1).ToString() +

", остаток: " + zakaz_ostatki[0, i].ToString() +

".[Управление]: поставщик № : " + postavshik_postavki[j, 0].ToString() +

" ресурс: " + postavshik_postavki[j, 1].ToString();

srednee += new_max;

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", znach[i, j], Environment.NewLine));

}

strateg_pribul = srednee / n;

//Средняя удельная прибыль для одного заказа

if (strateg_pribul > max)

{

max = strateg_pribul;

postavshik = postavshik_postavki[j, 0];

postavka = postavshik_postavki[j, 1];

zakaz = zakaz_ostatki[0, j] + 1;

ostatok = zakaz_ostatki[0, j];

}

strategia = " Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: " + strateg_pribul.ToString();

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", " ", Environment.NewLine));

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", strategia, Environment.NewLine));

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", " ", Environment.NewLine)); ;

}

max_strategia = " Оптимальная средняя удельная прибыль: " + max.ToString() + //Оптимальная стратегия

" для [Управления] Поставщик - " + postavshik +

" Ресурс - " + postavka;

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", max_strategia, Environment.NewLine));

File.AppendAllText(@"D:\out.txt", String.Join(" ", " ", Environment.NewLine)); ;

}

}

}

}

Результат работы программы:

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 549995

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 549070

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 547960

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 549440

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 1, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 547220

Оптимальная средняя удельная прибыль: 549995 для [Управления] Поставщик - 1 Ресурс - 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 375

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 570308

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 1 ресурс: 400

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 569383

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 430

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 568273

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 390

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 569753

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 0.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 1.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 2.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 3.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 4.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 5.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 6.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 7.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 8.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

[Состояние]: Заказ № : 2, остаток: 9.[Управление]: поставщик № : 2 ресурс: 450

Средняя удельная прибыль для текущего состояния с управлением: 567533

Размещено на Allbest.ru

...