Дослідження чисельності населення України на основі спектрального аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1 ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ ЧИСЕЛЬНОСТІ НАСЕЛЕННЯ

1.1 Чисельність населення, як об'єкт статистичного вивчення

1.2 Дослідження стаціонарності динамічного ряду, розклад динамічного ряду в ряд Фур'є

1.3 Перетворення нестаціонарного динамічного ряду в стаціонарний, знаходження циклічної компоненти динамічного ряду

1.4 Застосування спектрального аналізу при дослідженні руху населення

РОЗДІЛ 2 СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ ЧИСЕЛЬНОСТІ НАСЕЛЕННЯ УКРАЇНИ

2.1 Дослідження динаміки чисельності населення на стаціонарність

2.2 Дослідження чисельності населення України на основі спектрального аналізу

2.3 Шляхи вдосконалення вивчення чисельності населення

ВИСНОВКИ

ДОДАТКИ

ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАННЯ



ВСТУП

аналіз спектральний населення чисельність

Актуальність дослідження. Безумовно, що демографічні процеси мають значний вплив на соціальну, економічну та політичну ситуацію в державі.

На сьогоднішній день в Україні спостерігається погіршення демографічної ситуації і відплив робочої сили за кордон. Оскільки, в силу різних факторів, на даний момент важко оцінювати демографічну ситуацію в країні, необхідно створити принципово новий підхід до вивчення процесів відтворення і руху населення, що в свою чергу дасть змогу краще розуміти основні тенденції і закономірності демографічних процесів України і в кінцевому результаті розробити нову соціально-демографічну політику, яка б сприяла виходу нашої держави з демографічної кризи, що стане поштовхом для покращення ситуації і в інших сферах життя суспільства.

Мета дослідження. Метою дослідження є вивчення циклічних коливань чисельності населення України, за допомогою циклічного аналізу здійснити пошук періодичних моделей або моделей, що повторюються в даних. Та, на завершальному етапі, спрогнозувати перспективну чисельність населення на основі отриманої спектральної моделі.

Дослідженнями циклічності займалися та продовжують займатися багато науковців. Серед їх основоположників можна виділити Дж. Кітчина, К. Жугляра, С. Кузнеця, М. Д. Кондратьєва, Й. А. Шумпетера, У. К. Мітчелла, М. І. Туган-Барановського.

Сучасні тенденції у розвитку циклічних процесів розглядаються у роботах таких науковців: Н. С. Нарвацка,Н. М. Куніцина, І. В. Тараненко, Т. П. Близнюк, О. О. Замулін, Л. О. Клименко, К. В. Рудий, Ю. В. Яковець, А. С. Гальчинський [5].

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є чисельність наявного та постійного населення України, в розрізі місцевості проживання за період з 1999 до 2017 років.

Предмет дослідження. Циклічні коливання чисельності населення України за період з 1999 до 2017 років і основні компоненти побудованого на основі вхідних даних ряду Фур'є.

Завдання дослідження. Основним завданням дослідження є знаходження циклічної компоненти чисельності населення України, розклад вхідного часового ряду в ряд Фур'є і здійснення, на основі отриманої спектральної моделі, статистичного прогнозу, щодо коливання чисельності населення в майбутньому.

Основні джерела інформації. В дослідженні застосовуються статистичні дані щодо чисельності наявного та постійного населення України за період з 1999 до 2017 років, взяті з сайту державної служби статистики України. Також використовуються теоретичні засади використання спектрального аналізу при дослідженні чисельності населення взяті з статті кандидата економічних наук Л.О. Ященка. В роботі наявні посилання на підручники з демографічної статистики та теорії статистики таких авторів як: С.С. Герасименка, А.Т. Мармоза, А.З. Підгорний, К.В. Вітковська. Також в дослідженні використовується інформація взята з підручника по статистичному моделювання процесів та систем в механіці Струтинського В.Б.



РОЗДІЛ 1 ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ ЧИСЕЛЬНОСТІ НАСЕЛЕННЯ

1.1 Чисельність населення, як об'єкт статистичного вивчення

Населення - це сукупність людей, які проживають на даній території у даний момент часу. Чисельність населення є найпростішим демографічним показником, який характеризує величину цієї сукупності і вимірюється кількістю осіб (тисяч або мільйонів)[9].

Чисельність населення є об`єктом вивчення демографічної статистики. Демографічна статистика - це галузь статистичної науки, яка вивчає народонаселення. В сучасних умовах демографічні процеси, що відбуваються у суспільстві, впливають на розвиток майже всіх соціально-економічних процесів. У той же час, розвиток країни обумовлює протікання демографічних процесів.

Демографічна статистика досліджує вплив різних чинників на соціальні та демографічні процеси, які визначають склад та якісні характеристики населення, а також досліджує рух та відтворення населення.

Сучасна демографічна ситуація в Україні та в більшості європейських країн характеризується поглибленням світової демографічної кризи, переходом до якісного нового типу відтворення населення. Це стосується всіх демографічних процесів - народжуваності, смертності, шлюбності та розлучуваності. В результаті зміни параметрів цих процесів в багатьох країнах Європи, у тому числі й в Україні, розпочався процес депопуляції, тобто скорочення чисельності населення в результаті перевищення кількості померлих над кількістю народжених. Так, в Україні в результаті падіння народжуваності та підвищення смертності втрати населення за останні двадцять років становили близько семи мільйонів осіб. Така ситуація негативно впливає на всі сторони життя суспільства: соціальні, економічні, політичні та інші процеси. Перш за все це негативно відбивається на формуванні статево-вікової структури населення і як результат на скороченні трудових ресурсів, контингенту жінок репродуктивного віку, посиленню процесу старіння населення. Від розвитку демографічних процесів в значній мірі залежить майбутнє життя суспільства. Вихід із ситуації, що склалася в країні потребує розробки та впровадження активної демографічної політики, спрямованої на підвищення народжуваності, скорочення смертності населення, формування в суспільстві нових стандартів шлюбних і сімейних відносин[9].

Предметом статистики населення є закономірності відтворення населення, що мешкає на певній території, які відшукуються з допомогою аналізу кількісних характеристик. Як об'єкт дослідження населення має універсальну статистичну природу, оскільки є масовою сукупністю, в якій реалізується закон великих чисел та формуються процеси випадкового характеру.

Основним первинним показником в статистиці населення є наявне населення на певну дату. Згідно з методологічними поясненнями державної служби статистики наявне населення це населення, яке на момент перепису перебуває на певній території, враховуючи тимчасово проживаючих (за умови їхньої відсутності у постійному місці проживання не більше ніж 12 місяців).

Тимчасово проживаючими вважаються особи, які на момент перепису населення перебувають на території певного населеного пункту, але постійно проживають в іншому населеному пункті (за умови відсутності у постійному місці проживання не більше ніж 12 місяців).

До постійного населення відносять населення, яке постійно проживає на момент перепису на певній території, ураховуючи тимчасово відсутніх, якщо їхня відсутність у місці постійного проживання не перевищувала 12 місяців.

Тимчасово відсутніми вважаються особи, які постійно проживають у цьому населеному пункті, але на момент перепису населення перебувають за його межами (за умови, якщо термін їх відсутності не перевищує 12 місяців).

Зміна чисельності людей на певній території називається рухом населення. В статистиці рух населення поділяється на три види [15]:

Природний рух населення ? процес, що змінює чисельність та склад населення шляхом його оновлення (смертність та народжуваність) або сприяє цій зміні (шлюбність та розлучуваність);

Механічний рух населення ? процес зміни чисельності та складу населення за рахунок його територіального переміщення (урбанізація, еміграція, імміграція);

Соціальний рух населення ? процес зміни складу населення внаслідок його соціально-економічного та культурного розвитку (зникнення одних верств населення та поява інших).

При досліджені структури населення використовують різні групувальні ознаки, відтак структуру населення досліджують в розрізі різних категорій. За місцем проживання розрізняють міське та сільське населення,за статтю чоловіче і жіноче,згідно з методичними вказівками державної служби статистики за віком населення розподіляють на такі групи: 0-14 років; 0-15 років; 0-17 років; 16-59 років; 15-64 роки; 18 і старше; 60 і старше; 65 і старше.

Окрім абсолютних показників чисельності населення в демографічній статистиці широко використовують відносні показники динаміки, структури, відносні показники порівняння, координації тощо.

Окрім загально-статистичних відносних показників в статистиці населення також використовують систему специфічних коефіцієнтів, таких як: коефіцієнт народжуваності, смертності, коефіцієнт Покровського, коефіцієнт шлюбності, фертильності тощо .

Одним з узагальнюючих понять демографічної статистики є демографічна подія. Під демографічною подією розуміють будь-який випадок народження, смерті, шлюбу чи розлучення.

Основними джерелами даних про демографічні події є [2]:

1) Переписи населення;

2) Поточна реєстрація демографічних подій (реєстрація народжуваності, смертності, шлюбів, розлучень)

3) Спеціально організоване демографічне спостереження

Перепис населення - це періодичне суцільне державне статистичне спостереження, що включає в себе збирання демографічних і соціально-економічних даних, які на встановлену дату характеризують чисельність та склад населення країни, а також оброблення, узагальнення, поширення та використання його результатів.

Міжнародний досвід проведення переписів населення переконливо свідчить, що це статистичне спостереження є чи не єдиним засобом отримання найбільш повних і об'єктивних даних про населення. Дані перепису щодо чисельності населення, його територіального розміщення, національного, мовного, сімейного складу, розподілу за віком, статтю, громадянством, рівнем освіти, джерелами засобів існування, професійною належністю, становищем у занятті, міграційною активністю тощо, у будь-якій країні використовуються як надійне джерело інформаційного забезпечення прогнозування і управління соціально-економічним розвитком, реалізації бюджетного процесу, проведення адміністративно-територіальних реформ, здійснення демографічної політики, регулювання міграційних процесів тощо. В Україні перший за часів незалежності перепис населення був проведений в грудні 2001 року [11].

Реєстри передбачають безперервне спостереження за рухом населення шляхом фіксування усіх демографічних подій.

Основною інформаційною базою для фіксування демографічних подій (народження, смерті, шлюби, розлучення) в Україні є акти цивільного стану, які надходять від органів державної реєстрації актів цивільного стану. Дані щодо причин, обставин та характеру смерті зазначаються в медичних документах, що засвідчують випадки смерті та надходять до органів державної статистики разом з актовими записами про смерть.

Правові та організаційні засади державної реєстрації актів цивільного стану визначені Законом України "Про державну реєстрацію актів цивільного стану".

1.2 Дослідження стаціонарності динамічного ряду, розклад динамічного ряду в ряд Фур'є

Суспільні явища безперервно змінюються. Протягом певного часу - місяць за місяцем, рік за роком ? змінюються кількість населення, обсяг і структура суспільного виробництва, рівень продуктивності праці тощо. Аналіз соціально-економічного розвитку - одне з важливих завдань статистики. Інформаційною базою для цього слугують динамічні (часові, хронологічні) ряди.

Динамічний ряд ? це послідовність чисел, які характеризують зміну того чи іншого соціально-економічного явища. Елементами динамічного ряду є перелік хронологічних дат (моментів) або інтервалів часу і конкретні значення відповідних статистичних показників, які називаються рівнями ряду.

Будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів, тобто загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тенденція до зростання, іншим до зниження рівнів. Зростання чи зниження рівнів динамічного ряду, у свою чергу, відбувається по-різному: рівномірно, прискорено чи уповільнено. Нерідко ряди динаміки через коливання рівнів не виявляють чітко вираженої тенденції [15].

Кожен рівень часового ряду формується під впливом великої кількості факторів, які умовно можна поділити на 3 групи [1]:

1) фактори, що формують тенденцію ряду;

2) фактори, що формують циклічні коливання ряду;

3) випадкові фактори.

При різних сполученнях цих факторів залежність рівнів ряду від часу може приймати різні форми.

По-перше, більшість часових рядів демографічних показників мають тенденцію, що характеризує сукупну довгочасну дію множини факторів на динаміку показника, що вивчається. Швидше за все, ці фактори, взяті окремо, можуть спричиняти різноспрямовану дію на показник, що досліджується. Однак у сукупності вони формують його зростаючу або спадну тенденцію.

По-друге, для показника, що вивчається, можуть бути характерні циклічні коливання.

Циклічність ? це періодичні коливання, що виходять за межі одного року. Проміжок часу між двома сусідніми піками в масштабах року вважається довжиною циклу. Циклічна (сезонна для місячних та квартальних даних) компонента є обов'язковою складовою будь-якого часового ряду [5].

При наявності великих масивів даних за тривалі проміжки часу можна виявити циклічні коливання, пов'язані із загальною динамікою явища, яке досліджують, а також з фазою, в якій знаходиться це явище.

Деякі часові ряди не містять тенденції та циклічну компоненту, а кожен наступний їх рівень утворюється як сума середнього рівня ряду і деякої (додатної або від'ємної) випадкової компоненти.

Очевидно, що реальні дані не відповідають повністю жодній з описаних вище моделей. Частіше за все, вони містять усі три компоненти. Кожен їх рівень формується під впливом тенденції, сезонних коливань і випадкової компоненти.

У більшості випадків фактичний рівень часового ряду можна представити як суму або добуток трендової, циклічної та випадкової компонент. Модель, у якій часовий ряд представлений як сума перерахованих компонент, називається адитивною моделлю часового ряду. Модель, в якій часовий ряд представлений як добуток перерахованих компонент, називається мультиплікативною моделлю [1].

Характер основної тенденції досліджуваних процесів, представлених у вигляді динамічних рядів, ділить їх на стаціонарні та нестаціонарні. Якщо математично очікувані (прогнозовані) значення ознак та параметри їх стабільності (середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації) є постійними, не залежать від часу, то такий процес є стаціонарним [14].

Інакше кажучи, стаціонарні динамічні ряди не мають загальної тенденції свого розвитку, а нестаціонарним притаманна певна тенденція. Зрозуміло, що більшість демографічних процесів є нестаціонарними.

Варто зауважити, що спектральний аналіз можна використовувати тільки для стаціонарних часових рядів. Для визначення стаціонарності ряду використовують графік автокоррелограми та тест Діккі - Фуллера. Також для цього можна дослідити часовий ряд на наявність лінійного тренду або проаналізувати графік часового ряду. Тест Діккі - Фуллера полягає у прийнятті нульової гіпотези Н₀ (ряд нестаціонарний, тобто середня та дисперсія залежать від часу (наявність тренду)) або альтернативної гіпотези Н1 (ряд стаціонарний - часовий ряд даних, основні статистичні характеристики якого (середнє значення і дисперсія) залишаються постійними). Якщо ряд нестаціонарний, тоді його потрібно привести до стаціонарного виду шляхом перетворень (першої різниці тощо) [5].

Тобто, для того, щоб перевірити динамічний ряд на стаціонарність потрібно визначити, чи присутня в цьому ряді тенденція. Найпростішим способом виявлення тенденції в динамічному ряді є обчислення коефіцієнта кореляції. Формула для розрахунку коефіцієнта кореляції має вигляд:

(1. 1)

Чим ближче значення цього коефіцієнта до одиниці, тим тісніший взаємозв'язок між змінними. Якщо значення цього коефіцієнта близьке до нуля, то взаємозв'язок між змінними слабкий. Якщо обчислити значення цього коефіцієнта для динамічного ряду, то можна визначити, чи присутня в ньому тенденція. Так як незалежною змінною в динамічному ряді є часова компонента, тобто момент часу, то при слабкому взаємозв'язку між змінними можна зробити висновок, що рівень ряду не залежить від часу, отже тенденція відсутня.

Існують також інші методи виявлення тенденції в динамічному ряді. До таких методів відносяться укрупнення періодів, згладжування ряду динаміки способом ковзної середньої, вирівнювання ряду динаміки по середньому абсолютному приросту, середньому коефіцієнту зростання і способу найменших квадратів (аналітичне вирівнювання рядів динаміки) .

Одним з найпростіших прийомів виявлення тенденції розвитку є прийом укрупнення періодів. Суть його полягає в тому, що абсолютні або середні рівні ряду динаміки за короткі інтервали (рік, місяць, декаду, день тощо), що зазнають випадкових коливань, замінюють узагальнюючим (звичайно середнім) значенням за триваліший період (триріччя, п'ятиріччя тощо).

По суті спосіб укрупнення періодів являє собою типологічне групування рівнів ряду динаміки, тому при його застосуванні необхідно дотримуватись наукових основ побудови статистичних групувань.

При укрупненні періодів дуже важливо науково обґрунтовано і правильно виділити періоди часу для укрупнення. Періоди, що їх виділяють, мають бути однорідними в якісному відношенні і досить тривалими за часом, щоб відбулося погашення випадкових коливань явища.

Застосування цього прийому, як правило, пов'язується з використанням рівних за тривалістю періодів. Проте тривалість періодів може бути різною. Виділення нерівних періодів зумовлюється наявністю якісних специфічних періодів в розвитку того або іншого соціально-економічного явища.

При укрупненні періодів число членів динамічного ряду дуже скорочується. Цей істотний недолік значною мірою усувається при використанні прийому вирівнювання динамічних рядів способом ковзних середніх.

Цей спосіб також ґрунтується на укрупненні періодів. Суть розрахунку ковзних середніх полягає в тому, що склад періоду безперервно і постійно змінюється ? відбувається зсув на одну дату при збереженні постійного інтервалу періоду (триріччя, п'ятиріччя тощо).

Ковзна середня ? це середня укрупнених періодів, створених послідовним виключенням кожного початкового рівня інтервалу і заміни його черговим наступним рівнем ряду. Таким чином, відбувається ніби ковзання періоду і отриманої середньої по динамічному ряду [8].

Цей прийом, як і попередній, ґрунтується на відомому теоретичному положенні про те, що в середніх величинах взаємно погашаються випадкові відхилення і виявляється типове, закономірне.

При виявленні тенденції прийомом ковзних середніх, так само як і при використанні прийому укрупнення періодів, одним з важливих питань є питання щодо тривалості періодів. Інтервал має бути досить великим і забезпечити взаємне погашення випадкових відхилень рівнів. Якщо в розвитку явища має місце циклічність (періодичність), то інтервал ковзання слід брати рівним тривалості циклу. Чим довше інтервал ковзання, тим більшою мірою вирівнюється ряд в результаті усереднення вихідних рівнів.

Ковзна середня згладжує варіацію рівнів, але не дає ряду динаміки, в якому всі вихідні рівні були б замінені вирівняними. Це пояснюється недоліком вирівнювання ряду способом ковзної середньої, при якому вирівняний ряд "скорочується" порівняно з вихідним на (n - m₁)/2 члена з одного та другого кінця (під п розуміють число членів, з яких визначають ковзні середні).

Прагнення в процесі вирівнювання ряду замінити всі вихідні рівні вирівняними зумовлює застосування досконаліших прийомів вирівнювання рядів динаміки. До таких прийомів належать: вирівнювання по середньому абсолютному приросту, середньому коефіцієнту зростання і способу найменших квадратів.

В основі застосування способу вирівнювання ряду динаміки по середньому абсолютному приросту лежить припущення, що кожен наступний рівень змінюється порівняно з попереднім приблизно на однакову величину, що дорівнює середньому абсолютному приросту.

Рівняння, що відображає тенденцію розвитку явища за цим способом вирівнювання ряду динаміки, має вигляд:

----(1.2)

Де: ? вирівняні рівні ряду динаміки;

y₀ ? початковий рівень ряду динаміки;

? середній абсолютний приріст;

t ? порядковий номер дати (t = 1,2,3...n).

Вирівняний по середньому абсолютному приросту ряд динаміки на графіку являє собою пряму лінію, яка з'єднує мінімальне і максимальне значення. Отже, вирівнювання ряду динаміки по середньому абсолютному приросту дає змогу точніше відобразити тенденцію зміни явища.

Водночас необхідно відмітити, що теоретична лінія, яка вирівнює ряд динаміки, цілком залежить тільки від двох крайніх значень рівнів ряду динаміки (початкового і кінцевого), які можуть суттєво змінюватись під впливом випадкових коливань. Відповідно тенденція, яка дійсно має місце в досліджуваному явищі, буде спотворена. В зв'язку з цим прийом вирівнювання рядів динаміки по середньому абсолютному приросту доцільно використовувати лише для рядів, що мають стабільні щорічні абсолютні прирости. Практично цей прийом використовується в динамічних рядах, які охоплюють нетривалий період часу, протягом якого не відбувається суттєвих якісних змін у рівнях факторів, що визначають тенденцію, і ступеня їх впливу на досліджувану ознаку.

Вирівнювання ряду динаміки по середньому коефіцієнту зростання застосовується в тих випадках, коли в досліджуваному ряду кожен наступний рівень змінюється порівняно з попереднім приблизно в одну і ту саму кількість разів, що дорівнює величині середнього коефіцієнта зростання, тобто коли фактори, що визначають основну тенденцію, зумовлюють від періоду до періоду однакові коефіцієнти зростання досліджуваного явища.

Вирівняні значення рівнів ряду динаміки, в цьому випадку, визначають за формулою:

--(1. 3)

Де: ? середній коефіцієнт зростання.

Слід мати на увазі, що при визначенні вирівняних значень рівнів ряду динаміки по середньому коефіцієнту зростання, так само як і при вирівнюванні по середньому абсолютному приросту, у вихідному і вирівняному рядах динаміки початкові і кінцеві рівні збігаються.

Вирівняний по середньому коефіцієнту зростання ряд динаміки являє собою показникову криву. Цьому способу вирівнювання рядів динаміки притаманний той самий недолік, що й вирівнюванню по середньому абсолютному приросту. Тут при визначенні вирівняних значень використовуються тільки два крайніх рівні динамічного ряду (початковий і кінцевий), які внаслідок впливу випадкових факторів можуть бути нехарактерними для досліджуваного суспільного явища.

Досконалішим і точнішим прийомом вирівнювання рядів динаміки, який враховує всі рівні вихідного ряду, є аналітичне вирівнювання по способу найменших квадратів.

Вирівнювання по цьому способу ґрунтується на припущенні, що зміни досліджуваного ряду динаміки можуть бути наближено виражені певним математичним рівнянням (апроксимуючою функцією), за яким і визначають вирівняні рівні динамічного ряду. Іншими словами, рівні ряду динаміки розглядаються як функція часу , де ? рівні динамічного ряду визначені за допомогою рівняння на момент часу t.

Аналітичне вирівнювання можна провести з використанням різних типів функцій: прямої лінії, параболи другого порядку, показникової кривої (експоненти), гіперболи тощо.

Рівняння, що виражає рівні ряду динаміки як деяку функцію часу t, називають трендом. Поняття про рівняння тенденції було введене в статистику англійським вченим Гукером у 1902 р. Він запропонував називати таке рівняння трендом [8].

Суть аналітичного вирівнювання динамічних рядів полягає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються рядом рівнів, які змінюються плавно (теоретичними рівнями), обчисленими на основі певної кривої, вибраної в припущенні, що вона найточніше відображає загальну тенденцію зміни досліджуваного соціально-економічного явища у часі.

Підбір найбільш придатної функції є важливим і відповідальним завданням, від якого в остаточному підсумку залежать результати вирівнювання. В основі вирішення його має бути змістовний теоретичний аналіз істотності досліджуваного явища і законів його розвитку. Треба підібрати таку криву, яка б максимально близько проходила до фактичних рівнів. Добитися цього можна за умови, що сума квадратів відхилень фактичних рівнів від розрахованих за рівнянням, буде мінімальною [8].

Математично метод найменших квадратів можна описати так:

--(1. 4)

Де y_t ? фактичний рівень ряду динаміки.

Вирівнювання динамічних рядів способом найменших квадратів, як і вирівнювання за допомогою інших прийомів, має здійснюватись в межах одноякісних періодів. Якщо в динамічному ряду є якісно специфічні періоди, то виявляти тенденцію доцільно в межах кожного з них.

Залежно від вихідних даних для вирівнювання рядів динаміки можуть бути вибрані різні типи кривих або пряма лінія. Аналіз динаміки соціально-економічних явищ показує, що їхня зміна супроводжується постійними зростаючими і спадаючими абсолютними приростами, постійними темпами зростання і приросту, прискоренням або уповільненням, тобто їхнє вирівнювання слід здійснювати за рівнянням прямої лінії, парболи другого порядку або показникової кривої.

Основна тенденція (тренд) показує, як впливають систематичні фактори на рівні ряду динаміки, а відхилення фактичних рівнів від вирівняних характеризує варіацію рівнів, викликану індивідуальними особливостями кожного періоду. Випадкова (залишкова) варіація в рядах динаміки може бути виміряна способами, якими вимірюється звичайна варіація, наприклад за допомогою залишкового середнього квадратичного відхилення або коефіцієнта варіації.

Показники варіації рівнів динамічних рядів можуть бути використані для оцінки правильності вибору апроксимуючої функції (рівняння) для вирівнювання, а також оцінки порівняльної стійкості окремих динамічних рядів. Очевидно, що чим показники варіації менше, тим вирівнювання здійснене точніше, а ряди динаміки стійкіші.

Вирівнювання динамічних рядів за рівнянням прямої лінії доцільно проводити тоді, коли для емпіричного ряду характерні більш або менш постійні ланцюгові абсолютні прирости, тобто тоді, коли рівні ряду змінюються приблизно в арифметичній прогресії.

Для того, щоб знайти значення параметрів рівняння тренду треба побудувати систему рівнянь. Техніка утворення системи рівнянь така. Перше рівняння дістають множенням всіх членів вихідного рівняння () на коефіцієнт при a₀ (на одиницю) і підсумовування знайдених добутків. Щоб мати друге рівняння, всі члени вихідного рівняння необхідно помножити на коефіцієнт при a₁ (на t) і знайдені добутки підсумувати. Аналогічно будують систему нормальних рівнянь і для інших кривих (параболи другого порядку, гіперболи тощо).

Розрахунок параметрів рівняння (a₁;a₀) можна значно спростити, якщо відлік часу (t) проводити так, щоб сума показників часу дорівнювала нулю (). Цього досягають так. Рівень, що знаходиться в середині ряду динаміки, беруть за умовний початок відліку, або нульове значення. Для того, щоб сума показників часу дорівнювала нулю, умовні позначення дат потрібно давати так [8]:

1) при непарному числі рівнів ряду динаміки для отримання рівень, що знаходиться в середині ряду, прирівнюють до нуля, а рівні, розташовані вище його позначають числами із знаком мінус -1, -2, -3 і т.д., а нижче ? числами із знаком плюс +1, +2, +3 і т. д.

2) при парному числі рівнів ряду динаміки рівні, що лежать вище серединного значення (воно знаходиться в середині між двома серединними датами), позначають натуральними числами із знаком мінус - 1, - 3, - 5 і т.д., а рівні, що лежать нижче серединного значення - натуральними числами із знаком плюс +1, +3, +5 і т.д.

Для точнішого результату параметри рівняння можна шукати способом визначників. До прикладу, для моделі лінійного тренду знаходження параметрів рівняння виглядатиме так:

(1. 5)

(1. 6)

Після того як взяти часткові похідні ця система зводиться до такого вигляду:

(1. 7)

Потім, за методом Крамера можна вивести формули для знаходження параметрів рівняння прямої:

-- (1. 8)

(1. 9)

У випадку, якщо значення параметру а₁ не дорівнює нулю, між змінними існує лінійна залежність, отже можна зробити висновок, що ряд не стаціонарний.

Виявити наявність тренду в числовому ряді можна також шляхом порівняння середніх величин і дисперсій, оскільки для стаціонарних рядів середнє значення і дисперсія є сталими величинами і не залежать від часового параметру. Тому для з'ясування того чи ряд є стаціонарним використовують також методи перевірки різниць середніх рівнів і метод Форстера-Стюарта.

Реалізація методу перевірки різниць середніх здійснюється в чотири етапи. На першому етапі вхідний часовий ряд розподіляють на декілька приблизно однакових за кількістю спостережень частини. На другому етапі для кожної з цих частин розраховують середні значення та дисперсії. Третій етап передбачає перевірку рівності (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F-критерію, що порівнює розрахункове значення цього критерію із табличним (критичним) значенням критерію Фішера із заданим рівнем значущості б. Формула розрахунку цього критерію має вигляд [10]:

(1. 10)

Якщо розрахункове значення F менше за табличне F , то гіпотезу про рівність дисперсій приймають, і можна переходити до четвертого етапу. Якщо F більше або дорівнює F, гіпотезу про рівність дисперсій відхиляють і доходять висновку, що цей метод не дає відповіді щодо наявності тренду. На четвертому етапі перевіряють гіпотезу про відсутність тренду за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього визначають розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

(1. 11)

Якщо розрахункове значення t менше за табличне t , то нульову гіпотезу не відхиляють, тобто тренд відсутній, в іншому випадку тренд є. Варто зазначити, що в цьому разі табличне значення t приймають для числа ступенів свободи, яке дорівнює (n₁ ? n₂ ? 2), до того ж цей метод застосовують суто для рядів із монотонною тенденцією. Недолік методу полягає у неможливості правильно визначити існування тренду в тому разі, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції у середині ряду.

Метод Форстера-Стюарта має більші можливості та дає надійніші результати, ніж попередній. Окрім тренду самого ряду (тренду в середньому), він дає змогу встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується». Реалізація цього методу також передбачає чотири етапи. На першому етапі порівнюють кожен рівень вхідного часового ряду, починаючи з другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначають дві числові послідовності [10]:

(1. 12)

(1. 13)

Другий етап полягає в розрахунку величини с і d:

(1. 14)

(1. 15)

Величина c, яка характеризує зміну рівнів часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові) до (п - 1) (ряд монотонний). Величина d характеризує зміну дисперсії часового ряду та змінюється від [-(п - 1)] ? ряд поступово згасає, до (п - 1) -- ряд поступово розхитується. Третій етап це перевірка гіпотеза стосовно того, чи можна вважати випадковими:

1) відхилення величини c від математичного сподівання ряду, в якому рівні розташовані випадково;

2) відхилення величини d від нуля.

Цю перевірку здійснюють на підставі обчислення t-відношення відповідно для середньої та для дисперсії за такими формулами [10]:

(1. 16)

(1. 17)

(1. 18)

(1. 19)

Де м ? оцінка математичного сподівання ряду;

?₁ ? оцінка середньоквадратичного відхилення для величини c;

?₂ ? оцінка середньоквадратичного відхилення для величини d.

На четвертому етапі розрахункові значення t_c i t_d порівнюють із табличним значенням t-критерію із заданим рівнем значущості t. Якщо розрахункове значення t менше за табличне t, то гіпотезу про відсутність відповідного тренду приймають, в іншому разі тренд існує. Наприклад, якщо t_c більше табличного значення t, a t_d менше t, то для заданого часового ряду існує тренд у середньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Вище були наведені способи перевірки динамічного ряду на стаціонарність, що є важливим етапом спектрального аналізу. Іншим, не менш важливим етапом спектрального аналізу є розклад динамічного ряду в ряд Фур'є.

Будь-яку циклічну функцію, що відповідає умовам Діріхле, можна представити сумою гармонійних функцій або комплексних експонент. Такий розклад отримав назву розклад в ряд Фур'є. Умови Діріхіле полягають в наступному [16]:

1) Функція повинна бути однозначна, обмежена і частково-неперервна;

2) Функція має певне обмежене число максимумів і мінімумів.

Однозначною називається функція, яка для кожного значення аргументу приймає лише одне значення. Наприклад функція є однозначною, бо кожному значенню аргументу відповідає одне значення функції, а функція є неоднозначною, так як одному значенню аргументу відповідає декілька значень функції.

Функція називається обмеженою , якщо значення функції коливаються в інтервалі від m до M. Наприклад функція y = sin(x) є обмеженою оскільки на всій числовій прямі її значення коливаються в інтервалі від -1 до 1 [17].

Іншими словами умови Діріхіле можна інтерпретувати так: функція не повинна мати розривів другого роду, а кількість розривів першого роду та екстремумів повинна бути кінцевою.

Розрив першого роду виникає тоді, коли існують скінчені ліва і права границі, тобто ( та ), але вони нерівні між собою. Наприклад функція , має при x=2 розрив першого роду тому, що існують скінченні границі f(x)= ?1 та f(x)= 1.

Розрив першого роду виникає також якщо лівостороння і правостороння границі = f(x₀ ? 0) та = f(x₀ + 0) в точці x₀ рівні між собою, тобто

f(x₀ ? 0) = f(x₀ + 0), але не дорівнюють значенню функції в точці x₀, тобто

f(x₀ ? 0) = f(x₀ + 0) ? f(x₀).

Наприклад, функція f(x) = , має в точці x=0 розрив, тому що f(x)=f(x), але ці границі не дорівнюють значенню f(0)=2 в точці x=0.

Якщо лівостороння або правостороння границі функції f ( x ) у точці x₀ дорівнюють ± ? , то кажуть, що функція f ( x ) має в точці x₀ розрив другого роду.

Наприклад функція f(x) = , має в точці x = 1 розрив другого роду , тому що границя функції f(x)= ?? та f(x)= +? [17].

Ряди Фур'є надзвичайно широко використовуються в математичному моделюванні. Це, зокрема, гармонійний аналіз детермінований та стохастичних процесів, спектральний аналіз явищ різного роду. Теорія випадкових процесів, а також багато задач теорії ймовірності базуються на використанні рядів Фур'є.

Ряди Фур'є є функціональними рядами, складеними із гармонійних функцій

Періодом циклу називається час, за який певний демографічний процес повертається до свого початкового стану. Математично це можна записати так: f ( x +T ) = f ( x ) для всіх x?( ??,+? ), де Т це період функції [17].

Для періодичних функцій f(x) з періодом 2р нескінченний ряд Фур'є має вигляд:

(1. 20)

Ряд Фур'є в кожній точці інтервалу 0 ? x ? 2р збігається до значень функції f(x) в усіх точках неперервності. В точках розриву функції (x = a) ряд збігається до значень: .

Постійні коефіцієнти ряду a_k , b_k (k = 1,2,3...?) не залежать від t і зв'язані із функціональною залежністю f(t) наступним інтегральним співвідношенням, що отримало назву інтеграл Коші:

(1. 21)

(1. 22)

Ряд Фур'є виду 1.8 точно описує функцію f(t) при нескінченній кількості складових ряду. Практичне застосування ряду вимагає обмеженого числа його складових.

1.3 Перетворення нестаціонарного динамічного ряду в стаціонарний, знаходження циклічної компоненти динамічного ряду

Як уже було сказано вище, спектральний аналіз можна застосовувати лише до стаціонарних процесів. Тому, у випадку якщо вхідними даними є нестаціонарний числовий ряд, то для того щоб його аналізувати за допомогою спектрального аналізу, такий ряд обов'язково треба привести до стаціонарного вигляду.

За видом нестаціонарні часові ряди, що застосовують в економічній практиці, розподіляють на ряди типу: TS, DS, тренд-сезонні та нелінійні. Часовий ряд типу TS (trend stationary process). До цього типу відносять нестаціонарні часові ряди із детермінованим поліноміальним трендом:

yt = Pk (t) + еt (1. 23)

Де: P_k (t) ? поліном ступеня k від t;

е_t ? стаціонарний процес, який не обов'язково є білим шумом.

Білим шумом називають часові ряди, рівні яких мають середню, що дорівнює нулю, сталу дисперсію та нульову коваріацію послідовних спостережень, тобто нульову автокореляцію.

Наприклад, простий лінійний тренд y_t = a + b*t + е_t. Тут нестаціонарна змінна y_t виражена через детермінований, тобто невипадковий тренд. Попри те, що додавання стаціонарної змінної призводить до коливань навколо тренду й робить y_t випадковою, ми, власне, маємо інформацію тільки про середнє значення y_t = a +b*t , тобто часовий ряд характеризується наявністю тренду в середньому значенні. Отже, ані поточна, ані минулі події не змінюють довготермінових прогнозів цього процесу. Вплив випадкових чинників е_t (поточний шок) забувається одразу на наступному кроці (t+1). Похибка довготермінового прогнозу буде мати обмежену дисперсію д², тому невизначеність є обмеженою навіть у далекому майбутньому. Нестаціонарний процес типу TS зводять до стаціонарного за допомогою кількох методів [10].

Наприклад, для лінійного тренду перехід до стаціонарності може відбуватися: шляхом виділення лінійного тренду: будують лінійну регресію за часом і розглядають стаціонарний залишок y_t ? .

Інший спосіб перетворення нестаціонарного ряду в стаціонарний полягає у взятті перших різниць. Для цього треба обчислити різниці між значеннями двох сусідніх рівнів ряду: y_t ? y_t-1.

Різниці між двома суміжними рівнями ряду є першими різницями ряду y_t, або:

Д¹yt = a + b*t ? [a + b*(t ? 1)] + (еt ? еt-1) (1. 24)

Звідси випливає, що:

Д¹yt = b+ut (1. 25)

Причому: u_t = е_t ? е_t-1 ? випадкова величина, розподіл якої цілком визначається розподілом величини е_t . Окрім того, перші різниці часового ряду з лінійною тенденцією мають постійне математичне сподівання, що дорівнює певній константі, не залежній від часового параметру t. Загалом якщо часовий ряд має тенденцію, що виражається через поліном ступеня n, то різниці певного порядку n: (Дⁿy_t = Д^n-1y_t ? Д^n-1y_t-1) є випадковими величинами з постійним математичним сподіванням. У цьому разі M(Дⁿ⁺¹y_t) = 0.

Якщо тенденція часового ряду відповідає експоненціальному або степеневому тренду, то метод послідовних різниць слід застосовувати не до початкового ряду, а до його логарифмів. Наприклад, процес у своєму розвитку наближається до певної величини a та може бути представлений у вигляді:

Yt = a*e^b*t + еt (1. 26)

Тоді процес, утворений із величин z_t = ln(y_t) ? ln(y_t-1), має постійне середнє значення (b) і може бути зведений до стаціонарного процесу авторегресії [10].

Часовий ряд типу DS (differencing stationary process). Це ряди без періодичної складової та тенденції зростання, але наявність тренду в дисперсії засвідчує їхню нестаціонарність. Прикладом таких рядів є процес випадкового блукання y_t = y_t-1 + е_t . Як уже зазначалося, цей процес накопичує випадкові збурення від усіх попередніх шоків, тобто має нескінченну пам'ять. Такий процес описують стохастичним трендом і зводять до стаціонарного шляхом узяття першої різниці, звідси й відповідна назва.

Тренд-сезонні часові ряди окрім тренду містять чітко виражені сезонні коливання, які, своєю чергою, спричинюють нестаціонарність. Якщо процес включає періодичні (сезонні) коливання навколо середнього значення з періодом T, тобто y_t+T ? y_t, із точністю до випадкової складової, то, в цьому разі, різниці через T часових інтервалів представляють стаціонарний процес:

ДTyt = yt+m ? yt, t=0,1,2... , T ? const (1. 27)

Середнє значення цього процесу збігається із середнім значенням початкового ряду.

Амплітуда сезонних коливань може зростати з часом і не обов'язково лінійно. Ці ряди характеризуються наявністю тренду в середньому значенні й дисперсії.

До нелінійних динамічних процесів відносять часові ряди зі складною структурою, вони мають тренд і містять різні види коливань, зокрема сезонні та циклічні. Структуру таких рядів узагалі не можна описати за допомогою відомих функцій, оскільки для різних ділянок часового ряду набір цих функцій буде різним, тобто в цьому разі можна говорити про ряди зі змінною структурою, які характерні для нелінійних динамічних процесів. Вони спостерігаються в динаміці цін на ринках капіталу тощо [10].

Лише в останні роки завдяки розвитку математичних методів нелінійної динаміки та комп'ютерних технологій з'явилася можливість досліджувати такі процеси. У певному аспекті будь-який динамічний процес зрештою є детермінованим, і моделювання його як реалізації випадкового процесу є зручним спрощенням. Невипадковий часовий ряд відображає невипадкову природу впливів. Стрибки даних відповідають стрибкам впливових чинників і відбивають властиву їм кореляцію. Детерміновані процеси, що виглядають як випадкові, у теорії нелінійностей називають детермінованим хаосом. Добре відомо, що просте детерміноване нелінійне різницеве рівняння може породжувати надзвичайно складні часові траєкторії, які видаються випадковими.

Наприклад, рівняння, яке трапляється в аналізі фінансових ринків:

yt+1 = б yt(1 ? yt) (1. 28)

Де y_t є ціною облігацій. У багатьох економічних застосуваннях значення параметру б лежить між 1 та 4, таким чином виключають від'ємні значення рівноваги для y_t і уникають прямування процесу до нескінченності. За зміни б від 1 до 4 динаміка системи зазнає суттєвих змін. Наприклад, для 1 < б < 3, за будь-яким відхиленням від y_t = 0 , динаміка процесу прямує до рівноваги

yt=1? (1. 29)

Разом із тим для 3,75 < б < 4 спостерігатиметься нескінченна кількість циклів із різною періодичністю і нескінченне число положень рівноваги з еволюцією процесу залежно від початкового його стану. Такий тип поведінки називають «хаосом». Властивістю цього процесу є те, що хоча він детермінований, випадкове блукання є задовільною моделлю для описання механізму породження даних. У цьому випадку зміни y_t неможливо передбачити, хоча, з іншого боку, всю траєкторію перебігу процесу цілком можна передбачити [10].

Отож, для опрацювання економічної інформації та її детального аналізу з метою вироблення рішень слід зводити нестаціонарні ряди до стаціонарних. Спосіб зведення нестаціонарного ряду до стаціонарного залежить від того, з яким типом нестаціонарності ми маємо справу.

Якщо часовий ряд має детерміністичний тренд, то для досягнення стаціонарності ряду необхідно просто видалити тренд з даних. Після цього з рядом можна працювати звичайними методами, які використовуються для стаціонарних часових рядів [1].

Якщо ряд має стохастичний тренд, то до нього застосовується метод взяття різниць (k-кратне), тобто з первісних рівнів ряду yt беруться різниці Дyt, якщо різниці не становлять стаціонарного ряду, то між ними беруться різниці доти, доки не буде утворено стаціонарний ряд, який утворює клас стаціонарних різниць.

Відомо декілька підходів до аналізу структури часових рядів, що містять сезонні або циклічні коливання. Найпростіший підхід - розрахунок значень сезонної компоненти методом ковзного середнього та побудови адитивної або мультиплікативної моделі часового ряду.

Загальний вигляд адитивної моделі такий:

Y=T+S+E (1. 30)

Ця модель передбачає, що кожен рівень часового ряду може бути представлений як сума трендової Т, сезонної S та випадкової Е компонент. Загальний вигляд мультиплікативної моделі виглядає так:

Y=T*S*E (1. 31)

Дана модель передбачає, що кожен рівень часового ряду може бути представлений як добуток трендової Т, сезонної S та випадкової Е компонент. Вибір однієї з двох моделей відбувається на основі аналізу структури сезонних коливань. Якщо амплітуда коливань приблизно постійна, будують адитивну модель часового ряду, в якій значення сезонної компоненти передбачаються постійними для різних циклів. Якщо амплітуда сезонних коливань зростає або зменшується, будуть мультиплікативну модель часового ряду, яка ставить рівні ряду в залежність від значень сезонної компоненти [1].

...