Использование экономико-статистических методов прогнозирования при формировании портфеля корпоративных бумаг

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование экономико-статистических методов прогнозирования при формировании портфеля корпоративных бумаг



Содержание

1. Теоретические аспекты

1.1 Рынок ценных бумаг

1.2 Определение и классификация ценных бумаг

1.3 Рыночный риск и диверсификация портфеля

1.4 Проблема эффективности рынка

1.5 Российский рынок акций

2. Методологический аппарат исследования

2.1 Портфельная теория Марковица

2.2 Портфель Тобина

2.3 Распределения

2.3.1 Нормальное распределение

2.3.2 Логистическое распределение

2.3.3 t - распределение Стьюдента

2.3.4 Непрерывное равномерное распределение

2.3.5 Треугольное распределение

2.4 Эконометрические методы моделирования и прогнозирования временных рядов

2.4.1 Линейные стохастические модели

2.4.1.1 Процессы авторегрессии

2.4.1.2 Процессы скользящего среднего

2.4.1.3 Смешанные процессы авторегрессии - скользящего среднего ARMA (модель Бокса-Дженкинса)

2.4.1.4 Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего ARIMA

2.4.1.5 Оценивание и диагностика модели ARIMA

2.4.2 Прогнозирование по модели Бокса-Дженкинса

3. Эмпирические результаты

3.1 Моделирование и прогнозирование доходности

3.2 Формирование портфеля

3.2.1 Формирование портфеля Марковица

3.2.2 Формирование портфеля Тобина



1. Теоретические аспекты

В данной главе рассматриваются основные понятия, используемы при работе на фондовом рынке и необходимые в настоящей работе. Определив базовые понятий, перейдём к общей классификации ценных бумаг, после чего, выделим из него интересующий нас объект исследования - акции. Далее приводится характеристика российского рынка акций и осуществляется выбор акций для дальнейшего формирования портфеля.

1.1 Рынок ценных бумаг

Рыночная экономика представляет собой совокупность различных рынков. Одним из них является финансовый рынок. Финансовый рынок -- это рынок, который опосредует распределение денежных средств между участниками экономических отношений. Образно его можно сравнить с сердцем экономики, так как с его помощью мобилизуются свободные финансовые ресурсы и направляются тем лицам, которые могут ими наиболее эффективно распорядиться. Главным образом на финансовом рынке изыскиваются средства для развития сферы производства и услуг.

Одним из сегментов финансового рынка выступает рынок ценных бумаг (РЦБ) или фондовый рынок. РЦБ -- это рынок, который опосредует кредитные отношения и отношения совладения с помощью ценных бумаг. [буренин, рцб].

Виды рынка ценных бумаг представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 Виды рынка ценных бумаг

Классификационный признак	Вид рынка ценных бумаг
По принципу возвратности	Долевой рынок (рынок собственности), долговой рынок (рынок займов)
По стадии обращения	Первичный рынок (первичное размещение ЦБ), вторичный рынок (обращение ранее выпущенных ЦБ)
По сектору (эмитенту ЦБ)	Государственные ЦБ (федеральные, субфедеральные, муниципальные и приравненные к государственным), корпоративные ЦБ (ценные бумаги юридических лиц), частные ЦБ (ценные бумаги физических лиц)
По форме организации	Организованный рынок (биржевые и иные организованные рынки), неорганизованный рынок (частные сделки)
По месту торговли	Биржевой рынок (торговля ЦБ на бирже), внебиржевой рынок (торговля ЦБ вне биржи)
По форме торговли	Традиционный рынок (торговля «на полу» или «с голоса»), компьютеризированный рынок (электронные торги)
По сроку заключения и исполнения сделок	Кассовый рынок, или рынок «спот» (одновременное заключение и исполнение сделок), срочный рынок (заключение и исполнение сделок разнесено во времени)
По сроку предоставления инвестиций	Денежный рынок (ЦБ, осуществляющие расчетные функции - обычно со сроком обращения менее года), рынок капиталов (ЦБ, осуществляющие инвестиционные функции - обычно ЦБ со сроком обращения более года)

1.2 Определение и классификация ценных бумаг

Объектом сделок на РЦБ является ценная бумага, которую можно определить как денежный документ, удостоверяющий отношения совладения или займа между ее владельцем и эмитентом. В Гражданском кодексе (ст. 142) ценная бумага определяется следующим образом: «Ценной бумагой является документ, удостоверяющий с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественные права, осуществление и передача которых возможны только при его предъявлении».

Основными видами ценных бумаг являются:

акция,

облигация,

вексель,

чек,

сберегательная книжка на предъявителя,

депозитный сертификат,

опцион,

фьючерс,

коносамент и др.

Ценные бумаги делятся на два больших класса -- основные и производные. [бердникова]

Основные ценные бумаги -- это ценные бумаги, в основе которых лежат имущественные права на какой-либо актив (обычно на товар, деньги, капитал, имущество, различного рода ресурсы и др.).

Производные ценные бумаги -- это бездокументарные формы выражения имущественного права (обязательства), возникающего в связи с изменением цены базисного актива, т.е. актива, лежащего в основе данной ценной бумаги. В качестве базисных активов могут рассматриваться товары (зерно, мясо, нефть, золото и т.д.), основные ценные бумаги (акции и облигации) и т.п. К производным ценным бумагам относятся фьючерсные контракты (товарные, валютные, процентные, индексные и др.) и свободно обращающиеся опционы.

Ценные бумаги могут выпускаться как в индивидуальном порядке, например, вексель, так и сериями, например, акции. В последнем случае законодательство говорит об эмиссионной ценной бумаге.

Эмиссионная ценная бумага -- это бумага, которая одновременно характеризуется следующими признаками:

закрепляет совокупность имущественных и неимущественных

прав;

размещается выпусками;

имеет равные объем и сроки осуществления прав внутри одного

выпуска вне зависимости от времени приобретения ценой бумаги.

В зависимости от того, в какой форме инвестор предоставляет капитал эмитенту и как эти средства отражаются в имущественном комплексе предприятия, различают долевые и долговые ценные бумаги.

Долевая ценная бумага закрепляет права владельца на часть имущества предприятия при его ликвидации, подтверждает участие владельца в формировании уставного капитала, дает право на получение части прибыли и на участие в управлении предприятием. К долевым ценным бумагам относятся акции, сертификаты акций, инвестиционные паи.

Долговая ценная бумага отражает отношения займа между ее владельцем и эмитентом, который обязуется ее выкупить в установленный срок и выплатить определенный процент. Примером долговых ценных бумаг являются облигации.

По форме выпуска различают:

-- документарная (наличная) форма выпуска, при которой ценные бумаги выпускаются в наличной форме в виде бланков ценных бумаг;

-- бездокументарные ценные бумаги, которые выпускаются в безналичной форме. В этом случае фиксация прав по данным ценным бумагам производится эмитентом или специальной фирмой путем ведения реестра. Реестр позволяет вести учет и движение ценных бумаг в бездокументарной форме.

По стадиям обращения различаются:

-- ценные бумаги первичного рынка, на котором ценные бумаги продаются (передаются) эмитентом их первым владельцам;

-- ценные бумаги вторичного рынка, на котором совершаются сделки купли-продажи ценных бумаг, прошедших первичное размещение. [фонд рынок]

По уровню риска ценные бумаги условно подразделяются на безрисковые и рисковые. Безрисковые - это бумаги, по которым риск практически отсутствует. В мировой практике эго краткосрочные (срок 1-3 месяца) государственные долговые обязательства (казначейские векселя). Все остальные ценные бумаги по уровню риска принято делить на низкорисковые (это обычно государственные бумаги), среднерисковые (это обычно корпоративные облигации) и высокорисковые (это обычно акции). Существуют и более высокорисковые, чем акции, ценные бумаги и другие инструменты рынка.

Графически место основных видов доходных ценных бумаг с точки зрения соотношения в них риска и уровня доходности принято изображать следующим образом:

Рисунок 1.1 Зависимость дохода от риска

Объектом исследования в данной работе являются акции. Следующий раздел посвящен рассмотрению этого вида ценных бумаг.

Акция - эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее владельца (акционера) на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества, остающегося после его ликвидации. Данное определение дано в Федеральном законе «О рынке ценных бумаг».

Термин «акция» произошел от латинского aktio - распоряжение, позволение, претензия.

Акции - это титулы собственности (документ, подтверждающий право собственности) на имущество акционерного общества (АО). Акции не имеют конечного срока погашения (являются бессрочными ценными бумагами).

По объему прав владельцев данного вида ценных бумаг, акции делятся на обыкновенные и привилегированные. Акционерное общество размещает обыкновенные акции, а также вправе разместить один или несколько типов привилегированных акций. Согласно Гражданскому кодексу (ст. 102) и ФЗ «Об акционерных обществах» (ст.25 п.2) номинальная стоимость размещенных привилегированных акций не должна превышать 25 процентов от уставного капитала общества.

Обыкновенная акция дает права в полном объеме:

участия в общем собрании акционеров с правом голоса;

получения дивиденда;

получения части имущества в случае ликвидации АО.

Привилегированная акция дает право:

участие в общем собрании акционеров с правом голоса только в случае решения вопросов о реорганизации и ликвидации АО, о внесении изменений или дополнений в устав АО, ограничивающих или изменяющих права акционеров-владельцев привилегированных акций;

на получение дивиденда, указанного в уставе, определенного в твердой денежной сумме, в процентах к номинальной стоимости, либо по иной методике расчета;

на получение ликвидационной стоимости в случае ликвидации АО, определенной в твердой денежной сумме, в процентах к номинальной стоимости, либо по иной методике расчета, при этом выплата ликвидационной стоимости в первую очередь осуществляется владельцам привилегированных, а затем уже обыкновенных акций.

Различают кумулятивные (невыплаченный или не полностью выплаченный дивиденд по привилегированным акциям накапливается и выплачивается впоследствии) и конвертируемые (возможность конвертации привилегированных акций в обыкновенные акции или привилегированные акции иных типов) привилегированные акции.

Преимущества выпуска акций эмитентом:

АО не обязано возвращать инвесторам их капитал, вложенный в покупку акций АО;

Выплата дивидендов по акциям не гарантируется;

Размер дивидендов может устанавливаться произвольно, независимо от прибыли;

В случае публичного размещения (массовой продажи широкому кругу инвесторов) акций повышается доверие эмитенту.

Недостатки выпуска акций эмитентом:

Размывается структура собственности, появляются новые акционеры;

Существует риск размещения (продажи) акций по цене ниже, чем ожидалось;

Обычно выпуск акций связан с необходимостью раскрытия информации потенциальным инвесторам, в том числе финансовой, что ведет к снижению конфиденциальности.

Преимущества покупки акций для инвесторов:

Право голоса (управления обществом) в обмен на вложенный в акции капитал;

Прирост капитала, связанный с возможным ростом цены акции на рынке;

Дополнительные льготы, которые может предоставить АО своим акционерам;

Право преимущественного приобретения вновь выпущенных акций;

Право на часть имущества АО, остающегося после его ликвидации.

Недостатки акций как объекта инвестирования:

Для акций характерен высокий риск обесценения (падения котировок после покупки);

Выплата дивидендов не гарантируется, размер дивидендов заранее не известен;

Право акционера на часть имущества при ликвидации реализуется в последнюю очередь;

Влияние на принятие решений в процессе управления АО имеет только держатель крупного пакета акций.

Приобретая акции того или иного эмитента, инвестор предполагает получить доход от своих вложений. При определении дохода, который приносит акция, необходимо различать текущую доходность и полную доходность. Текущая доходность (ДТ) характеризуется размером годовых дивидендных выплат, отнесенных к цене акции, и определяется по формуле:

(1.1)

где - текущая доходность;

- размер годового дивиденда;

- текущая рыночная цена акции.

Получаемые дивиденды -- это только часть дохода от владения акциями, причем зачастую не самая большая. Бьльшую часть дохода составляет прирост курсовой стоимости акций. В отличие от облигаций, за акциями стоят реальные активы фирмы, что отражается на их рыночной цене. В случае успешного развития предприятия увеличиваются его активы, и растет стоимость акций. Поэтому инвестор, вкладывая свои средства в акции, рассчитывает не столько на получение текущего дохода, сколько на получение совокупного дохода, учитывающего рост курсовой стоимости акций.

Полная доходность характеризуется размером выплачиваемых дивидендов и приростом цены акций по отношению к вложенному капиталу. Годовая полная доходность (Дп) по акциям определяется по формуле:

(1.2)

где - годовая полная доходность;

- годовые дивидендные выплаты в году i;

- рыночная цена акций в году t;

- цена приобретения акции;

- число лет владения акциями;

i- год владения акциями.

Вложения в акции имеют, как правило, долгосрочный характер, так как извлечение дохода главным образом связано с приростом курсовой стоимости акций. Те инвесторы, которые ориентированы на получение регулярного текущего дохода, вкладывают свои средства в облигации, приносящие стабильный и гарантированный доход.

Фундаментальным свойством акций является высокая подвижность их курсовой стоимости, которая может многократно меняться в течение одного дня. Это свойство акций привлекает профессиональных участников фондового рынка, которые проводят краткосрочные спекулятивные операции с акциями с целью извлечения значительного дохода в результате постоянных колебаний их курсовой стоимости.

Полная доходность от краткосрочных операций (Дпк) определяется по формуле:

(1.3)

где - полная доходность от краткосрочных операций;

- дивидендные выплаты за период владения акциями;

- цена продажи акций;

- цена приобретения акций;

- число дней владения акциями.

В приведенной формуле учитываются суммы, полученные инвестором в виде дивидендов, так как дивидендные выплаты могут быть осуществлены в период его владения акциями.

При определении доходности по акциям необходимо различать номинальную и реальную доходность. Номинальная доходность определяется на основе реально полученного дохода за счет дивидендных выплат и прироста курсовой стоимости акций. При расчете номинальной доходности не учитывается инфляционная составляющая, которая «съедает» часть дохода. Поэтому, чтобы определить действительную доходность, рассчитывают реальную доходность по акциям как разницу между номинальной доходностью и темпами инфляции. Этот показатель характеризует действительный прирост капитала от владения акциями.

Доходностью акции за один период времени (день, неделю, месяц, год) называется отношение дохода от владения акциейк ее начальной стоимости

Где - цена акции в момент t.

Часто для удобства вычислений рассматривают «ставку непрерывных процентов», или «логарифмическую доходность»:

(1.4)

Где - логарифм цены, Для коротких периодов времени и поэтому простая доходность приблизительно совпадает с логарифмической .

В данной работе для расчета доходности будет использована формула 1.4, так как предполагается, что динамика цен есть непрерывная функция.



1.3 Рыночный риск и диверсификация портфеля

Деятельность на рынке ценных бумаг всегда сопряжена с определенными рисками.

Рыночный риск -- это возможность несоответствия характеристик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым лицами, принимающими решения под действием рыночных факторов.

Например, инвестор ожидает, что доходность портфеля ценных бумаг будет находиться в пределах некоторого диапазона. Возможность отклонения рыночного уровня доходности за пределы этого интервала является рыночным риском.

Среди многообразия рисков выделяют две большие группы: во-первых, систематический риск, во-вторых, несистематический риск.

Систематический риск -- это риск падения рынка ценных бумаг в целом. Систематический риск связан с общей экономической и политической ситуацией в стране и мире, ростом цен на ресурсы, общерыночным падением цен на финансовые активы. Этот риск присущ всем видам ценных бумаг. Данный риск нельзя устранить диверсификацией, т.е. распределением инвестиций между ценными бумагами различных компаний и отраслей. [подшиваленко]

Несистематический риск -- это риск владения конкретной ценной бумагой того или иного эмитента. Специфический (несистематический) риск возникает под воздействием уникальных, специфических для отдельной компании или отрасли факторов и влияет на доходы отдельных ценных бумаг. Этот риск является диверсифицируемым, и его можно понизить за счет формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Инвестиции распределяются между ценными бумагами различных компаний или отраслей, по-разному реагирующих на экономические события.

Под портфелем ценных бумагпонимают наборактивов, которыми располагает инвестор.

Основной принцип портфельного инвестирования - диверсификация вложений. Идея этого принципа хорошо проявляется в английской поговорке: donotputalleggsinonebasket. На русском языке это звучит так - не вкладывайте все деньги в одни бумаги, какими бы выгодными эти вложения вам не казались. Только такая сдержанность позволит избежать катастрофических ущербов в случае ошибки.

Диверсификация уменьшает риск за счет того, что возможные невысокие доходы по одним ценным бумагам будут компенсироваться высокими доходами по другим. Минимизация риска достигается за счет включения в портфель ценных бумаг широкого круга отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежать синхронности колебаний их деловой активности. [старцев, 64]

Наиболее распространенный подход к формированию портфеля основывается на описании портфеля характеристиками средней доходности и дисперсии доходности (mean-varianceanalysis). Оптимальными являются портфели, которые имеют наивысшую доходность при заданном уровне дисперсии и наименьшую дисперсию доходности при заданном уровне риска. Основоположником рассматриваемого подхода к оптимизации портфелей является нобелевский лауреат Г. Марковиц.

Именно модель Марковица взята мной за основной инструмент диверсификации портфеля.

1.4 Проблема эффективности рынка

Рассмотрим гипотезу эффективного рынка: её допущения и применимость.

Под абсолютно эффективным рынком понимается финансовый рынок, на котором цены немедленно и точно отражают всю доступную участникам рынка информацию о влияющих на цены факторах.

Условия абсолютной эффективности:

полное отсутствие транзакционных издержек, в том числе и комиссионных вознаграждений посредникам. В любой момент времени в отношении каждого финансового инструмента должна существовать единая рыночная цена.

бесплатность и общедоступность всей информации, относящейся к рынку.

одинаковая оценка информации различными инвесторами (применение всеми участниками стандартных формализованных методик оценки и прогнозирования).

любые действия одного из участников на рынок в целом повлиять не могут.

Не одно из перечисленных условий невыполнимо в реальности, то есть в чистом виде эффективного рынка не существует и не может существовать, хотя при сопоставлении рынков различных стран или различных секторов рынка можно говорить о большей или меньшей их эффективности по отношению друг к другу.

С точки зрения инвестиционного анализа уровень эффективности финансового рынка является важнейшим показателем, поскольку, чем эффективнее рынок, тем более реалистичной и ценной для анализа является используемая информация. Эффективность рынка также во многом предопределяем точность прогнозирования, поскольку эффективный рынок движется преимущественно под воздействием именно известных, открытых, постоянных, предсказуемых, численно оцениваемых факторов.

В практической деятельности участники финансового рынка должны в обязательном порядке осуществлять учет факторов, которые игнорируются в случае признания финансового рынка эффективным.

Таким образом, при аналитическом обосновании инвестиционных решений, связанных с формированием портфеля ценных бумаг, необходимо корректировать оценки, полученные исходя из предположения об эффективности рынка, с учетом фактического уровня отклонения реального поведения рынка от его идеального поведения. [кох]

1.5 Российский рынок акций

Принято считать, что уровень развития национального рынка ценных бумаг характеризуется, прежде всего, такими показателями как:

Капитализация рынка

Оборот торговли акциями

Количество эмитентов, прошедших процедуру листинга (допуска к биржевым торгам).

Капитализация - совокупная рыночная стоимость акций, обращающихся на биржах.

Рисунок 1.2 Капитализация мировых рынков

По состоянию на конец 2010 года по абсолютному объему капитализации Россия занимает, предположительно, 15-е место, уступая семи странам с развитыми финансовыми рынками и четырем странам (Китай, Гонконг, Индия, Бразилия) с развивающимся финансовым рынком. Такой вывод можно сделать на основании данных по капитализации компаний-резидентов на крупнейших фондовых биржах мира (см. рис. 1.2).

Российский рынок акций отличается высокой концентрацией как по капитализации, так и по оборотам. Как видно из рисунка 1.3, на 13 наиболее капитализированных эмитентов по состоянию на конец 2010 года приходится около80% общей капитализации. На 20 крупнейших эмитентов приходится более 90 % национальной капитализации.

В структуре совокупных вторичных торгов на трех российских фондовых биржах (ФБ ММВБ, РТС (Классический рынок), Санкт-Петербургской бирже) с 01.09.2009 по 31.08.2010 основной объем операций приходился на акции 10 крупнейших компаний телекоммуникации и связи, нефтегазового, металлургического и электроэнергетического секторов, а также кредитных организаций. Доля акций этих эмитентов составила 92% суммарного торгового оборота (см. рис. 1.4).

Рисунок 1.3 Структура капитализации российских компаний в IV квартале 2010 года



Рисунок 1.4 Структура совокупных вторичных торгов акциями на российских биржах в период с 01.09.09 по 31.08.10

Исходя из данных о капитализации и торговом обороте можно сделать вывод о том, что значимую роль в общей структуре российского фондового рынка играютнефть и газ, финансовый сектор, черная и цветная металлургия, связь. Крайне слабо в отраслевой структуре фондового рынка представлены машиностроение, транспорт, химическая промышленность, торговля, строительство, сфера услуг.

Российский фондовый рынок характеризуется как низколиквидный и очень волатильный. Также следует отметить диспропорциональность развития российского фондового рынка, связанную с тем, что основной объем операций осуществляется с ценными бумагами нескольких крупнейших компаний-эмитентов нефтегазового, металлургического, электроэнергетического секторов, а также кредитных организаций. Это, в свою очередь, не в полной степени отражает реальную структуру российской экономики и способствует манипулирования ценами, обуславливая тем самым спекулятивный характер российского рынка ценных бумаг.

Один из принципов портфельного инвестирования - это принцип достаточной ликвидности, в соответствии с которым в портфеле обязательно должны присутствовать активы высокой ликвидности.

Поддержание достаточной ликвидности портфеля позволяет при необходимости без затруднений выводить средства из портфеля и направлять их на текущее потребление. [кох, 41]. Именно поэтому в данной работе портфель будет сформирован из наиболее ликвидных акций - «голубых фишек».

Сам термин «голубая фишка» пришел на фондовый рынок из казино - фишки этого цвета обладают наибольшей стоимостью при игре в покер. На бирже «голубые фишки» - это наиболее ликвидные акции. Ликвидность определяется объемом торгов и количеством заключаемых сделок с акцией в течение сессии.

«Голубые фишки» можно легко купить или продать, потому что всегда найдутся желающие совершить с ними сделку. Кроме того, они считаются надежными - это определяется особым статусом компаний в экономике страны. Это акции крупнейших и наиболее успешно развивающихся компаний. Как правило, они являются лидерами своих отраслей. Именно этим объясняется относительно небольшое количество «голубых фишек» в каждой из стран. В России это фактические монополисты в своих отраслях - ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк России», ОАО ГМК «Норильский никель», ОАО «ЛУКОЙЛ» - они, как правило, занимают верхние строчки в индексах РТС и ММВБ.

Таким образом, исходя из критерия наибольшей ликвидности акций, стабильности и надежности эмитентовв данной работе для формирования портфеля были выбраны девять «голубых фишек» российского фондового рынка (см. табл. 1.3).

Таблица 1.3 «Голубые фишки» российского фондового рынка

Компания	Отрасль
ОАО "Сбербанк России"	банки
ОАО "Банк ВТБ"	банки
ОАО "Газпром"	нефтяная и нефтегазовая промышленность
ОАО "Лукойл"	нефтяная и нефтегазовая промышленность
ОАО "Сургутнефтегаз"	нефтяная и нефтегазовая промышленность
ОАО "Северсталь"	черная металлургия
ОАО "ГМК Норильский Никель"	цветная металлургия
ОАО "РусГидро"	электроэнергетика
ОАО "ФСК ЕЭС"	электроэнергетика

Выбранные компании являются представителями пяти различных отраслей. Включение в портфель ценных бумаг из различных отраслей поможет избежать синхронности колебания цен. Это позволит лучшим способом диверсифицировать риск при формировании портфеля, чем, если бы в портфель были включены акции представителей одной отрасли. Диверсификация снижает риск вложений за счет того, что невысокие доходы по одним бумагам могут быть компенсированы более высокими доходами по другим.

Как было отмечено ранее, «голубые фишки» считаются надежными - это определяется особым статусом компаний в экономике страны. Данные компании имеют более, чем 10 - летнюю историю. Кроме того, крупнейшим акционером большинства выбранных эмитентов является государство. Даже в период кризиса 2008 года структура объема торгов сохранилась для 10 крупнейших эмитентов (см. рис. 1.5).

Рисунок 1.5 Структура совокупных вторичных торгов акциями на биржах в декабре 2008 года

Более подробная информация о рассматриваемых компаниях приведена в приложении.



2. Методологический аппарат исследования

Цель исследования - формирования портфеля ценных бумаг. Поэтому в данной главе рассматриваются портфельная теория Гарри Марковица и Джеймса Тобина. Марковиц предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, составленного из рисковых активов. Тобин же предложил включить в портфель еще и безрисковый актив.

Портфель формируется исходя из оценок ожидаемой доходности активов. Чтобы их получить используютсямодель построенияпрогнозов временного ряда - модель Бокса-Дженкинса. Прогнозирование выполняется путем анализа информации, которая содержится в предыстории временного ряда. Временным рядом в данном случае являются данные о доходности акций, упорядоченные во времени.

2.1 Портфельная теория Марковица

Современная теория портфельных инвестиций берет свое начало из небольшой статьи Гарри Марковица «Выбор портфеля». В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, ученый показал, как инвестор может снизить его риск путем выбора некоррелируемых акций.

Основной заслугой Гарри Марковица является предложенная им в этой статье теоретико-вероятностная формализация понятий «доходность» и «риск». В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Идея заключалась в том, что с помощью портфельного инвестирования можно улучшить условия инвестирования, придав совокупности бумаг такие характеристики, которые недостижимы для включённых активов по отдельности.

Портфельная теория Марковица основана на следующих базовых предположениях:

В отношении финансового рынка в целом предполагается, что:

- ни один из участников рынка не может оказывать влияния на рынок в целом, и все инвесторы совершают сделки только по рыночным ценам.

- отсутствуют транзакционные издержки и налоги.

Таким образом, Марковиц предполагает наличие абсолютно эффективного рынка.

В отношении рассматриваемых инвестиционных активов делаются следующие предположения:

- активы абсолютно ликвидны, то есть могут быть в любой момент времени куплены или проданы по единой рыночной цене, и неограниченно делимы.

- каждый инвестиционный актив или портфель оценивается только по двум параметрам, характеризующим его доходность и рискованность, причем оценки этих параметров для всех инвесторов одинаковы.

В отношении портфельного инвестора предполагается следующее:

- инвестор обладает некоторым известным (ограниченным) объемом собственных финансовых ресурсов.

- инвестиционный портфель формируется на ограниченный срок, в течение которого портфель не пересматривается, то есть инвестор не осуществляет никаких действий, направленных на изменение его состава и структуры до окончания заранее определенного горизонта инвестирования или периода владения. [кох, 57]

Математическая постановка задачи:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых считаются случайными величинами.

2. Мерилом риска служит величина стандартного отклонения (или дисперсии).

3. Параметрическая модель рынка состоит из следующих компонент:

- конечный набор активов, составляющих рынок;

-векторожидаемых доходностей;

- ковариационная матрица порядка ;

- ковариации случайных величин и

4. Инвестиционная стратегия инвестора сводится к выбору портфеля. Каждый портфель описывается своим вектором-столбцом долей капитала, вложенных в соответствующие активы

Естественно, сумма долей должна равняться единице:

5. Доходность портфеля определяется по следующей формуле



В силу свойств математического ожидания, ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенному ожидаемых доходностей отдельных активов:

Соответственно, дисперсия портфеля имеет вид:

6. В модели Марковица накладывается ограничение на отрицательность долей, входящих в состав портфеля:

7. Оценкой портфеля называется пара чисел (.

8. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях: математическом ожидании доходности и риске. Портфель называется эффективным, если не существует другого допустимого портфеля с меньшим риском или большей доходностью, чем у .

Эффективные портфели для множества допустимых портфелей составляют эффективную границу этого множества. На вышеприведенном графике оценки эффективных портфелей принадлежат границе BC (выделена жирным).



9. Цель инвестора - выбрать оптимальный, то есть наилучший по своим инвестиционным характеристикам, портфель из активов класса. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Изменяя удельные веса активов, можно построить множество возможных портфелей. Следует отметить особую роль количества входящих в состав портфеля активов: чем больше число активов, тем ниже величина риска. Если рассмотреть ситуацию с несколькими активами, обладающими одинаковой дисперсией (), то дисперсия портфеля () будет равна дисперсии исходных активов, только в случае положительной единичной корреляции.

При отрицательной единичной корреляции есть шанс сформировать безрисковый портфель.

Один из методов определения множества эффективных портфелей - нахождение портфелей, оптимальных по одному их критериев при заданном значении другого критерия. Зафиксировав уровень доходности, можно искать портфели с этим уровнем доходности и с минимальным риском. Такие портфели называют минимальными по риску, а их оценки составляют минимальную границу множества. Такую задачу можно записать следующим образом:

(2.1)

Портфели, доставляющие максимум полезности принадлежит множеству таких допустимых портфелей задачи (2.1), которые не могут быть улучшены сразу по двум критериям - . В теории многокритериальной оптимизации такиерешения называются Парето-оптимальными, или эффективными.

Однако можно поставить обратную задачу - максимизация ожидаемой доходности при заданной величине среднеквадратического отклонения портфеля:

Стоит повторить, что основным предварительным результатом для Марковица было в том, что он доказал выпуклость части критической кривой - эффективного фронта, что при заданном уровне доходности обеспечивает единственность решения задачи на минимизацию риска. Поиск портфеля с заданной доходностью и минимальным риском или, наоборот, с заданным уровня риска и максимальной доходностью - вот чем является инвестиционный подход по Марковицу (то есть портфель рассматривается как единое целое, а не набор отдельных активов (perse)).

При формировании портфеля Марковица рассматривается идеальный рынок (все ценные бумаги абсолютно ликвидны и бесконечно делимы, отсутствие налогов и трансакционных издержек). Эти предположения слишком далеки от реальной жизни. Однако, теория, построенная на данных предположениях, является базовой. Изменение в той или иной форме этих предположений приводит к усложнению теории и к приближению ее к реальной жизни.

Преимуществом подхода, при котором риск моделируется одним числом (ско), является простота и наглядность. Впервые использованный Марковицем этот подход оказался весьма продуктивным. Но нельзя забывать о том, что при сведении всей неопределенности к одному числу значительная часть информации оказывается потерянной. Это обусловлено самим применением математических моделей, которые, конечно, не могут передать все многообразие окружающей жизни.

Портфели и сами рынки описываются только двумя характеристиками - ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость именно от этих двух характеристик оправдана, только в том случае, если доходность ценных бумаг как случайная величина описывается нормальным распределением, которое, как известно, идентифицируется с помощью двух параметров. [давнис]Однако предположение о нормальности распределения доходности акций не подтверждается реальными данными. Несмотря на то, что фактическое распределение доходности наиболее ликвидных акций, обращающихся на российском фондовом рынке, достаточно близко к нормальному по общей конфигурации, но значительно отличается от нормального с точки зрения остроконечности и не всегда является достаточно симметричным. Именно поэтому в данной работе при построении прогноза доходности будут использоваться другие распределения (наилучшим образом описывающие доходность).

2.2 Портфель Тобина

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Джеймс Тобин (D.Tobin - также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги, то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает новое качество. Задача Тобина отличается от постановки Марковица тем, что инвестор кроме рисковых ценных бумаг учитывает также возможность безрисковых вложений с гарантированной доходностью. Обозначив долю таких вложений через, придем к следующему расширению задачи Марковица:

Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.

ДжеймсТобин показал, чтовсе портфели, сформированные из рисковых активов и безрискового актива, лежат на прямой (см. рис. 2.1) (в координатах риск - доходность):



Рисунок 2.1 Эффективная траектория портфеля с безрисковой составляющей

Рисунок 2.2 Допустимое и эффективное множества (жирная линия) при возможности безрискового кредитования

Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске), т.е. ту, которая проходит через точку (0,) и точку касания T к эффективной границе портфеля Марковица (см. рис. 2.2).

Две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу. Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и портфелю с набольшим риском и доходностью. Поэтому она представляет портфели, являющееся комбинациями этого портфеля и безрискового актива.

Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной T). Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель T заслуживает особого внимания. Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т. Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки T представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.

Анализ может быть расширен за счет введения возможности заимствования. Это означает, что теперь инвестор не ограничен своим начальным капиталом при принятии решения о том, сколько денег инвестировать в рискованные активы. Однако если инвестор занимает деньги, то он должен платить процент по займу. Если процентная ставка известна и неопределенность с выплатой займа отсутствует, то это часто называется безрисковым заимствованием. Предполагается, что процентная ставка по займу равна ставке, которая может быть заработана инвестированием в безрисковые активы.

Рисунок 2.3 Допустимое и эффективное множества в случае возможности безрискового заимствования и кредитования.

Рисунок 2.3 изображает, как изменяется допустимое множество, если введена возможность как предоставления, так и получения займа по одной и той же безрисковой процентной ставке. Множество достижимости представлено областью, расположенной между двумя лучами, выходящими из точки, соответствующей безрисковой ставке, и проходящими через точки, соответствующие наиболее доходному портфелю и портфелю, обозначенному через Т. Эти два луча уходят в бесконечность при условии, что нет ограничений на величину получаемого займа. Луч, идущий через портфель Т, является особенно важным, поскольку он представляет эффективное множество. Как и прежде, линия, идущая через T, является касательной к эффективному множеству модели Марковица. Кроме портфеля T ни один из портфелей, которые находились в эффективном множестве модели Марковица, не является эффективным после введения возможности предоставления и получения безрисковых займов.

В данной работе не будет рассматриваться случай с возможностью безрискового заимствования.

Таким образом, решая оптимизационную задачу формирования портфеля Тобина, получаем границу эффективных портфелей, состоящую из прямого и искривленного отрезка (см. рис. 2.2).

При возможности безрисковых вложений задача инвестора сводится к поиску оптимального по полезности распределения капитала между безрисковым активом и рисковым портфелем Т. При данном значении доходности портфель Т определяется единственным образом и будет один и тот же для всех вкладчиков, независимо от их оценок полезности.

Более того, «касательный» портфель Т по результату смешивания его с безрисковым активом оказывается наилучшим по сравнению с прочими рисковыми портфелями эффективной траектории. Имея это в виду, будем называть портфель, который соответствует точке касания Т, оптимальным рисковым или, кратко, оптимальным портфелем.

2.3 Распределения

2.3.1 Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением, задается функцией плотности распределения:

где параметр м -- среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а уІ -- дисперсия.

График плотности вероятности представлен на рисунке 2.4

Рисунок 2.4 График плотности вероятности нормального распределения

Характеристики распределения представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 Характеристики нормального распределения

Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии	0
Коэффициент эксцесса	0

Нормальное распределение часто встречается в природе, нормально распределёнными являются следующие случайные величины:

отклонение при стрельбе;

ошибки при измерениях;

рост человека.

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие.

Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием центральной предельной теоремы.

2.3.2 Логистическое распределение

Распределение вероятностей случайной величины о называется логистическимс параметрами (m,у2), если оно имеет плотность вероятности вида

Альтернативная параметризация задается следующей подстановкой:

Данное распределение формой напоминает нормальное распределение (см. рис. 2.5), но имеет более тяжелые концы и больший коэффициент эксцесса.

Рисунок 2.5 График плотности вероятности логистического распределения

Характеристики распределения представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 Характеристики логистического распределения

Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии	0
Коэффициент эксцесса

2.3.3 t - распределение Стьюдента

t-распределение Стьюдента - это непрерывное одномерное распределение с одним параметром - количеством степеней свободы. Форма распределения Стьюдента похожа на форму нормального распределения (чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение к нормальному). Отличием является то, что хвосты распределения Стьюдента медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Пусть -- независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где называется распределением Стьюдента сстепенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

Где -- гамма-функцияЭйлера.

График плотности вероятности представлен на рисунке 2.6, характеристики распределения - таблице 2.3.



Рисунок 2.6 График плотности вероятности t-распределенияСтьюдента

Таблица 2.3 Характеристики t-распределенияСтьюдента

Функция распределения
Математическое ожидание	, если
Медиана
Мода
Дисперсия	, если
Коэффициент асимметрии	, если
Коэффициент эксцесса	, если

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пустьнезависимые случайные величины, такие что. Обозначим выборочное среднееэтой выборки, аS2её выборочную дисперсию. Тогда

2.3.4 Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение-- втеории вероятностейраспределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Cлучайная величинаоимеетравномерное распределениена отрезке[a,b](a<b), если

График плотности вероятности представлен на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 График плотности вероятности равномерного распределения

акция диверсификация портфельный марковиц

Характеристики распределения представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4 Характеристики равномерного распределения

Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода	любое число из отрезка
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса



2.3.5 Треугольное распределение

Треугольное распределение (распределение Симпсона) задается функцией плотности распределения с нижней границей a, верхней границей bи модойc:

График плотности вероятности представлен на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 График плотности вероятности треугольного распределения

Характеристики распределения представлены в таблице 2.5.

Таблица 2.5 Характеристики треугольного распределения

Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса	- 3/5

2.4 Эконометрические методы моделирования и прогнозирования временных рядов

Исходными данными в работе являются динамика курса акций, образующие временной ряд.

В каждой сфере экономики встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии, т.к. они изменяются во времени. С течением времени изменяются цены, экономические условия, режим протекания того или иного производственного процесса. Совокупность измерений подобного рода показателей в течение некоторого периода времени и представляет временной ряд.

Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и по какому-либо другому параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения.

Введем понятие стационарного процесса.

Статистический процесс называется строго стационарным, если взаимное распределение вероятностей наблюдений инвариантно по отношению к общему сдвигу временного аргумента, т.е. совместная плотность распределения случайных величинтакая же, как для величин прилюбых целых значениях сдвига . Когда= 1, из предположения стационарностиследует, что безусловное распределение величины одинаково для всех и может быть записано как .

Требование стационарности, определенное этими условиями, является достаточно жестким. На практике ограничиваютсямоментами первого и второго порядка, и тогда говорят о слабой стационарности или стационарности второго порядка. В этом случае процесс моменты первого и второго порядков не зависят от момента времени :

среднее значение

дисперсия

автоковариация

В дальнейшем будем везде под «стационарностью» понимать слабую стационарность.

2.4.1 Линейные стохастические модели

2.4.1.1 Процессы авторегрессии

В модели авторегрессии текущее значение процесса представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений процесса и белого шума :

(2.1)

при этом предполагается, что текущее значение не коррелировано с лагами .

Белый шум - это неавтокоррелированные слабо стационарный процесс {} с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

Модель (2.1) называется авторегрессией p-го порядка и обозначается AR(p) (от английского autoregression).

Используя лаговый оператор L предствим уравнение авторегрессии в виде:

Или кратко через лаговый многочлен: .

Убодным и полезным инструментом для изучения процессов авторегрессии является характеристический многочлен:

И связанное с ним характеристическое уравнение

Условием стационарности процесса AR(p) является то, что корни характеристического уравнения лежат вне единичного круга на комплексной плоскости.

2.4.1.2 Процессы скользящего среднего

Модель скользящего среднего, когда линейно зависит от конечного числа q предыдущих значений е:

(2.2)

Модель скользящего среднего q-го порядка обозначают MA(q) (от английского movingaverage).

Данную модель можно записать и более сжато:

Через оператор скользящего среднего:

процесс MA(q) является стационарным без каких-либо ограничений на параметры

2.4.1.3 Смешанные процессы авторегрессии--скользящего среднего ARMA(модель Бокса--Дженкинса)

На практике иногда бывает целесообразно ввести в модель как элементы авторегрессии, так и элементы скользящего среднего. Это делается для того, чтобы с использованием как можно меньшего числа параметров уловить характеристики исследуемого эмпирического ряда. Такой процесс называется смешанным процессом авторегрессии--скользящего среднего и обозначается ARMA(p, q):

(2.3)

или, с использованием оператора лага,

В операторной форме смешанная модель выглядит так:

где ?(L) --оператор авторегрессии, и(L) --оператор скользящего среднего.

Модель (2.3) получила название модели Бокса--Дженкинса, поскольку была популяризирована Дж. Боксом и Г. Дженкинсом в их известной книге «Анализвременных рядов». Методология моделирования с помощью (2.3) получиланазвание методологии Бокса--Дженкинса.

2.4.1.4 Модель авторегрессии--проинтегрированного скользящего среднего ARIMA

Характерной особенностью стационарных процессов типа ARMA(p, q) является то, что корни характеристического уравнения ?(L) = 0 находятся вне единичного круга.

Если один или несколько корней лежат на единичной окружности или внутри нее, то процесс нестационарен.

Теоретически можно предложить много различных типов нестационарных моделей ARMA(p, q), однако, как показывает практика, наиболее распространеннымтипом нестационарных стохастических процессов являются интегрированные процессы или, как их еще называют, процессы с единичным корнем.

Единичным называют корень характеристического уравнения, равный действительной единице: лi = 1.

Если характеристическое уравнение процесса ARMA(p+d, q) содержит d единичных корней, а все остальные корни по модулю больше единицы, то d-я разность этого временного ряда

может быть представлена как стационарный процесс ARMA(p, q):



Процесс называет интегрированным порядка d, если его d-тая разность является стационарным процессом.

В развернутой форме модель 14.55 выглядит как

(14.56)

Из-за практического значения такую разновидность моделей ARMA выделяют в отдельный класс моделей авторегрессии--проинтегрированного скользящего среднего и обозначают ARIMA(p, d, q). При d = 0 модель описывает стационарный процесс. Как и исходную модель ARMA, модель ARIMA также называют моделью Бокса--Дженкинса.

2.4.1.5 Оценивание и диагностика модели ARIMA

Если исходный ряд не является стационарным, то вычисляются разности исходного ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными, и отсюда получают оценку d.

...