Использование экономико-статистических методов прогнозирования при формировании портфеля корпоративных бумаг

Проверка на стационарность:

Первое - посмотреть на гафик наблюдений. Возможно, ряд содержит очевидный на глаз тренд или периодическую компоненту. Также возможно, что разброс наблюдений возрастает или убывает со временем. Все это может служить указанием на зависимость средненего или соответственно дисперсии от времени. В обоиз случаях ряд будет, скорее всего, нестационарным.

Рисунок 2.1 Пример нестационарного ряда (тренд среднего)

Рисунок 2.2 Пример стационарного ряда

Второе - построить график автокорреляционно функции (ACF) или коррелограммы.

Автокорреляция к-го порядка стационарного процесса :

Последовательность автокорреляций называют автокорреляционной функцией (autocorrelationfunction, ACF).

Рисунок 2.3 Автокорреляционная функция нестационарного ряда

Коррелограмма стационарного временного ряда «быстро убывает» с ростом k после нескольких превый значений. Если же график убывает достаточно медленно, то есть основания предположить нестационарность ряда.

Третье - можно использовать формальные тесты.

В настоящее время самым популярным из формальных критериев является критерий, разработанный Дики и Фуллером(DF-тест).

Базовая модель, которую использовали Дики и Фуллер--авторегрессионный процесс первого порядка AR(1):

- белый шум, который не коррелирует с .

Используя лаговый оператор L предствим уравнение авторегрессии в виде:

Или кратко через лаговый многочлен: .

Убодным и полезным инструментом для изучения процессов авторегрессии является характеристический многочлен:

И связанное с ним характеристическое уравнение

Условие стационарности AR(1) - корни характеристического уравнения лежат вне единичной окружности или.

Таким образом, наличие единичного корня, то есть , говорит о нестационарности процесса.

Проверить наличие единичных корней позволяет критерий Дики - Фуллера. с помощью этого критерия проверяется, имеет ли коэффициент в уравнении

(2.1)

Значение, равное единице или меньше единицы. Если равно единице, то данные имеют единичный корень. Если же меньше единицы, то ряд стационарен.

Нулевая гипотеза состоит в том, что ряд нестационарен (

Для получения статистики, с помощью которой можно было бы проверить нулевую гипотезу, Дики и Фуллер предложили оценить данную авторегрессионную мод ель и взять из нее обычную t-статистику для гипотезы о том, что ?= 1.

Эту статистику называют статистикой Дики--Фуллера и обозначают DF.

Поскольку статистика Дики--Фуллера имеет нестандартное распределение, для ее использования требуются специальные таблицы. Эти таблицы были составлены эмпирически методом Монте-Карло.

Чтобы удобно было использовать стандартные регрессионные пакеты, уравнения регрессии преобразуются так, чтобы зависимой переменной была перваяразность.

Где .

Тогда нулевая гипотеза может быть записана следующим образом:

(ряд имеет единичный корень).

Стандарстный критерий Дики - Фуллера, описанный выше справедлив только, когда ряд есть процесс AR(1).

Проблемы для проверки стационарности в моделях, где количество лагов больше одного, решаются применением расширенного критерия Дики - Фуллера (AugmentedDickey-Fuller (ADF) test).

При использовании этого метода прошлые значение независимой переменной включаются в уравнение регрессии с лагом, достаточным для того, чтобы избавиться от автокорреляции остатков.

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

Распределения этих критериев асимптотически совпадают с соответствующими обычными распределениями Дики--Фуллера и используют те же таблицы. Грубо говоря, роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы убрать автокорреляциюиз остатков. Процедура проверки гипотез не отличается от описанной выше.

Оценивание параметров ARIMA осуществляется с использование программы Eviews, в которой используется метод максимального правдоподобия. Суть этого метода заключается в максимизации вероятности получения в новых испытаниях исходный ряд.

Порядок модели ARMA(p,q) можно выбирать на основе информационных критериев:

информационный критерий Акаике (AIC):

байесовский информационный критерийШварца (BIC):

где T -- число наблюдений, RSS -- Сумма квадратов остатков.

Порядок (p, q) выбирается посредством перебораиз некоторого множества моделей так, чтобы информационный критерий достигалминимума. Критерий Акаике нацелен на повышение точности прогнозирования,а байесовский критерий-- на максимизацию вероятности выбора истинного порядка модели.

Диагностика:

В основе модели ARIMA лежит предположение, что ошибки еt являются белым шумом. Это предполагает отсутствие автокорреляции и гомоскедастичность ошибок.

Гомоскедастичность ошибок - однородность ошибок по дисперсии.

Отсутствие автокорреляции означает, что матрица ковариации ошибок является диагональной.

Для формальной проверки отсутствия автокорреляции ошибок можно использовать Q - статистику Льюнга - Бокса.

Статистика Льюнга--Бокса:

m -максимальное число временных лагов

n - количество наблюдений.

Здесь в качестве следует использовать выборочные коэффициенты автокорреляции, рассчитанные на основе остатков модели ARIMA:

Поскольку для вычисления используется не белый шум, а остатки, то асимптотическое распределение этих Q-статистик отличается от того, которое имеет местодля истинного белого шума, на количество параметров авторегрессии и скользящего среднего, оцененных по модели, т.е. на величину (p + q). Обе статистикиасимптотически распределены как. Как показали Льюнг и Бокс, предложенная ими модифицированная Q-статистика, которая придает меньший вес дальним автокорреляциям, имеет распределение, которое ближе аппроксимирует свой асимптотический аналог, поэтому более предпочтительно использовать именно ее.

Нулевая гипотеза состоит в том, что ошибка представляет собой белый шум (автокорреляция отсутствует). Если Q-статистика превышает заданный квантиль распределения хи-квадрат, то нулевая гипотеза отвергается и делается вывод о том, что модель некорректна. Возможная причина некорректности--неудачный выбор порядка модели (слишком малые значения p и q). Для проверки наличия гетероскедастичности используется Тест Бреуша-Пагана-Годфри (Breusch -Pagan-Godfreytest)(из магнус)

В данном тесте априорно предполагается, что дисперсии ошибок зависят от некоторых дополнительных переменных:

Где - вектор (наблюдаемых) независимых переменных, , - неизвестные параметры. В соответствии с тестом следует действовать так:

Оценить исходную модель и получить вектор остатков ;

Построить оценку дисперсии:

Провести регрессию

И найти для нее объясненную часть вариации (ESS - explainedsumofsquares).

RSS - residual sum of squares - суммаквадратовостатков

Построить статистику . Установлено авторами этого теста, что, если верна гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности, то величина асимптотически имеет распределение , где p - количество регрессоров.

2.4.2 Прогнозирование по модели Бокса--Дженкинса

Пусть для стационарного процессаARMAвмоментTделается прогноз процесса нашагов вперед, т.е. прогноз величины . Для упрощения рассуждений предположим, что при прогнозировании доступна вся информация о процессе до момента T включительно, т.е. информация, на основе которой строится прогноз, совпадает с полной предысторией процесса

Заметим, что на основе можно однозначно определить ошибкии наоборот, поэтому при сделанных предположениях ошибкифактически входят в информационное множество. Кроме того, имеяполную предысторию, можно точно вычислить параметры процесса, поэтому будем далее исходить из того, что параметры процесса нам известны.

Из теории прогнозирования известно, что прогнозом, минимизирующим средний квадрат ошибки, будет математическое ожидание , условное относительно , т.е. .

При вычислении входящих в эту формулу условных математических ожиданийиспользуют следующие правила

Дисперсия ошибки прогноза равна:

Интервальный прогноз:

где --двусторонний ()-квантиль стандартного нормального распределения. Это () ·100-процентный доверительный интервал.



3. Эмпирические результаты

В этой главе применим рассмотренные выше модели к реальным данным. При выборе ценных бумаг для формирования портфеля, как было уже отмечено в первой главе, ограничимся акциями первого эшелона («голубыми фишками»).

Свой портфель инвестор формирует исходя из значений ожидаемой доходности и риска. Данные величины оцениваются наоснове статистических данных за предыдущие периоды времени с использованием эконометрических методов. В данном случае используются модели временных рядов, объясняющие поведение временного ряда, исходя исключительно из его значений в предыдущие моменты времени (модели ARMA).

Получив оценки ожидаемой доходности, формируется множество эффективных портфелей Марковица. Портфель Марковица состоит из акций, а это рискованный актив. При добавлении в портфель безрискового актива (доходность по которому заранее известна) получим расширение задачи Марковица - задачу Тобина. В качестве безрискового актива выбран депозит Сбербанка России. Результаты формирования портфелей Марковица и Тобина приведены в данной главе.

3.1 Моделирование и прогнозирование доходности

Как уже было отмечено выше, объектом исследования в настоящей работе являются временные ряды, составленные на основе доходности акций различных компаний. Для расчета доходности использовались ежедневные данные о ценах закрытия в период с 1.10.10 по 28.02.11. Этот промежуток времени выбран как период политического и макроэкономического спокойствия, и, соответственно, свободы от влияния факторов, искажающих поведение временного ряда. Необходимо построить прогноз доходности на 1 месяц вперед (20 торговых дней), то есть на март. Затем, включив в данные о доходности в период с 01.03.2011 по 28.03.2011, построить прогноз доходности на апрель.

Расчет доходности осуществлялся по следующей формуле:

где - цена акции в момент t,

- цена акции в моментt+1.

Но прежде чем строить прогноз, необходимо смоделировать поведение исходного ряда доходности. Для этого используются модели временных рядов, описанные во второй главе.

Перечислим основные этапы моделирования и прогнозирования доходности:

Проверка временного ряда стационарность. Так как модели ARMA(p,q), использующиеся для описания поведения доходности, предполагают, что моделируемый ряд должен быть стационарен. Во второй главе описано три способа проверки временного ряда на стационарность. В данной работе использовался тест Дикки - Фуллера. Нулевая гипотеза - ряд не стационарен. Если вероятность ошибки при отклонении верной нулевой гипотезы меньше 0,05, то нулевая гипотеза отклоняется.

Оцениваются параметры ARMA(p,q) моделис помощью программы экономико-статистического анализаEviews. Модель ARMA(p,q) подбирается исходя иззначений информационных критериев с учетом отсутствия автокорреляции и гетероскедастичности остатков.

Строиться вектор остатков как разность между фактическими и расчетными значениями.

С помощью программыCrystalBallопределяется вид распределения остатков.

На основании выбранного распределения генерируется новый вектор остатков (на 20 шагов вперед).

На основе уравнения динамики доходности и сгенерированного вектора остатков строиться поведения доходности на месяц вперед.

Построение прогноза средней доходности за месяц.

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется метод Монте-Карло (метод статистических испытаний, численный метод, основанный на получении большого числа реализацийслучайного процесса, который формируется таким образом, чтобы еговероятностныехарактеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи).

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения, а, следовательно, и различные траектории поведения доходности, после чего выполняет расчет средней доходности.

Полученное значение ожидаемой доходности и будет использовано при формировании портфелей.

Как было сказано ранее, необходимо смоделировать поведение доходности акций в период с 1 октября 2010 по 28 февраля 2011 для прогнозирования доходности на март 2011 и с 1 октября 2010 по 28 марта 2011 для прогнозирования доходности на апрель 2011. В данном разделе рассматривается прогнозирование доходности на апрель 2011. Построение прогноза доходности на март осуществляется аналогичным способом.

1) ОАО «Сбербанк России»

Первое, что необходимо сделать - проверить временной ряд на стационарность. В таблице 3.1 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Сбербанк России». В данном случае, вероятность ошибки при отклонении верной нулевой гипотезы равна 0,0000. Значит, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Для проверки на стационарность остальных рядов также использовался тест Дикки - Фуллера.

Таблица 3.1 Результаты теста Дикки - Фуллера

NullHypothesis: SBERhasaunitroot
Exogenous: Constant
LagLength: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-9.259850	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Сбербанк России»:

На рис. 3.1 представлены результаты моделирования.

Рисунок 3.1 График фактических и расчетных значений

На основе полученной модели будет построен прогноз доходности на месяц вперед.

Далее рассчитывается вектор остатков, как разница между фактическими и расчетными значениями ряда. С помощью программы CrystalBallдля остатков определяется наиболее подходящий закон распределения. В данном случае это логистическое распределение (см. рис. 3.2).

Рисунок 3.2 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности. После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

На рисунке 3.3 видно, что среднее значение (mean) роста доходности за месяц равно 0,9661. Это означает, что цена акций будет падать и прирост доходности (0,9661 - 1) будет отрицательным. Следовательно, чтобы получить прибыль в размере 3,39% необходимо не покупать данные акции, а продавать (операция short-sale - это продажа ценных бумаг, которыми инвестор на момент продажи не владеет).

Рисунок 3.3 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Таким образом, средняя (ожидаемая) доходность акций ОАО «Сбербанк России» в апреле составила 3,39% (см. рис. 3.3).

Полученное значение ожидаемой доходности (3,39%) будет использовано при формировании портфеля.

2) ОАО «Банк ВТБ»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.2 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Банк ВТБ». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.2 РезультатытестаДикки - Фуллера

Null Hypothesis: VTB has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-9.177909	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Банк ВТБ»:

На рис. 3.4 представлены результаты моделирования.



Рисунок 3.4 График фактических и расчетных значений

Далее рассчитывается вектор остатков, как разница между фактическими и расчетными значениями ряда. С помощью программы CrystalBallдля остатков определяется наиболее подходящий закон распределения. В данном случае это логистическое распределение (см. рис. 3.5).

Рисунок 3.5 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности.

После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

На рисунке 3.6 видно, что среднее значение (mean) роста доходности за месяц равно 0,9687. Это означает, что цена акций будет падать и прирост доходности (0,9687 - 1) будет отрицательным.

Следовательно, чтобы получить прибыль необходимо не покупать данные акции, а продавать.

Таким образом, ожидаемая доходность акций ОАО «Банк ВТБ» в апреле составила 3,13% (см. рис. 3.6).

Рисунок 3.6 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (3,13%) будет использовано при формировании портфеля.

3) ОАО «Сургутнефнегаз»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.3 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Сургутнефтегаз».

В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.3 РезультатытестаДикки - Фуллера

Null Hypothesis: SNG has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-8.817516	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Сургутнефтегаз»:

На рис. 3.7 представлены результаты моделирования.

Рисунок 3.7 График фактических и расчетных значений

Далее рассчитывается вектор остатков. С помощью программы CrystalBallдля остатков определяется наиболее подходящий закон распределения. В данном случае это логистическое распределение (см. рис. 3.8).

Рисунок 3.8 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности.

После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц). В результате моделирования ожидаемая доходность акций ОАО «Сургутнефтегаз» в апреле составила 1,85% (см. рис. 3.6) при условии короткой продажи данных акций (операция short - sale).

Рисунок 3.9 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (1,85%) будет использовано при формировании портфеля.

4) ОАО «Лукойл»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.4 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Лукойл». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.4 РезультатытестаДикки - Фуллера

Null Hypothesis: LKOH has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-9.018689	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Лукойл»:

На рис. 3.10 представлены результаты моделирования.

Рисунок 3.10 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями подчиняются треугольному закону распределения (см. рис. 3.11).

Рисунок 3.11 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности. После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

В результате моделирования ожидаемая доходность акций ОАО «Лукойл» в апреле составила 0,84% (см. рис. 3.12) при условии продажи данных акций.

Рисунок 3.12 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (0,84%) будет использовано при формировании портфеля.

5) ОАО «РусГидро»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.5 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «РусГидро».

В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.5 РезультатытестаДикки - Фуллера

Null Hypothesis: HYD has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-9.972793	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «РусГидро»:

На рис. 3.13 представлены результаты моделирования.

Рисунок 3.13 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями подчиняются нормальному закону распределения (см. рис. 3.14).

Рисунок 3.14 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности. После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

Прирост доходности акций ОАО «РусГидро» отрицательный (см. рис. 3.15), значит инвестору следует участвовать в операции short-sale, чтобы получить доходность 1,87%.

Рисунок 3.15 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (1,87%) будет использовано при формировании портфеля.

6) ОАО «ГМК Норильский Никель»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.6 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «ГМК Норильский Никель». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.6 Результаты теста Дикки-Фуллера

Null Hypothesis: GMK has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-8.786503	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «ГМК Норильский Никель»:



На рис. 3.16 представлены результаты моделирования.

Рисунок 3.16 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями, подчиняются логистическому закону распределения (см. рис. 3.17).

Рисунок 3.17 Распределение остатков

В результате имитационного моделирования с помощью программы CrystalBall ожидаемая доходность акций ОАО «ГМК Норильский Никель» в апреле составила 0,92% (см. рис. 3.18) с учетом short-sale.



Рисунок 3.18 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

7) ОАО «Газпром»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.7 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Газпром». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.7 Результаты теста Дикки - Фуллера

Null Hypothesis: GAZ has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-8.870229	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Газпром»:

На рис. 3.19 представлены результаты моделирования поведения доходности.

Рисунок 3.19 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями, подчиняются логистическом закону распределения (см. рис. 3.20).

Рисунок 3.20 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности. После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

На рисунке 3.21 видно, что прирост средней доходности (1,0467 - 1) за месяц положительный. Значит, инвестору следует купить акции ОАО «Газпром». Средняя доходность за месяц данных акций составила 4,67%.



Рисунок 3.21 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (4,67%) будет использовано при формировании портфеля.

8) ОАО «ФСК ЕЭС»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.8 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «ФСК ЕЭС». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.8 Результаты теста Дикки - Фуллера

Null Hypothesis: FEE has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-9.920169	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «ФСК ЕЭС»:



На рис. 3.22 представлены результаты моделирования поведения доходности.

Рисунок 3.22 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями, подчиняются логистическом закону распределения (см. рис. 3.23).

Рисунок 3.23 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности. После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

На рисунке 3.24 видно, что прирост средней доходности (0,9819 - 1) за месяц отрицательный. Значит, инвестору следует продать (операция short-sale) акции ОАО «ФСК ЕЭС». Средняя доходность за месяц данных акций составила 1,81%.

Рисунок 3.24 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (1,81%) будет использовано при формировании портфеля.

9) ОАО «Северсталь»

Сначала временной ряд проверяется на стационарность. В таблице 3.9 приведены результаты теста для ряда доходностей ОАО «Северсталь». В данном случае, нулевая гипотеза отклоняется, ряд стационарен.

Таблица 3.9 Результаты теста Дикки - Фуллера

Null Hypothesis: CHM has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=11)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-8.603051	0.0000

С помощью программы Eviews определяем уравнение, описывающее поведение доходности акций ОАО «Северсталь»:



На рис. 3.25 представлены результаты моделирования поведения доходности.

Рисунок 3.25 График фактических и расчетных значений

Остатки, рассчитанные как разность между фактическими и расчетными значениями, подчиняются логистическом закону распределения (см. рис. 3.26).

Рисунок 3.26 Распределение остатков

Для расчета ожидаемой доходности за месяц используется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Программа CrystalBall многократно (около 1 000 000 итераций) генерирует различные значения остатков в рамках указанного распределения. Используя модель поведения доходности, вслед за остатками генерируются различные траектории поведения доходности.

После этого выполняет расчет средней доходности за период (в данном случае, месяц).

На рисунке 3.24 видно, что прирост средней доходности (0,9692 - 1) за месяц отрицательный.

Значит, инвестору следует продать (операция short-sale) акции ОАО «Северсталь». Средняя доходность за месяц данных акций составила 3,08%.

Рисунок 3.27 Результаты имитационного моделирования методом Монте-Карло

Полученное значение ожидаемой доходности (3,08%) будет использовано при формировании портфеля.

Сведем полученные результаты в одну таблицу. Результаты прогнозирования доходности на апрель приведены в таблице 3.10, на март - в таблице 3.11. На основании полученных оценок ожидаемой доходности формируется портфель, результаты построения которого приведены в следующем разделе.

Таблица 3.10 Ожидаемая доходность в апреле

Тикер	VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF
Ожидаемая доходность	0,0313	0,0185	0,0339	0,0084	0,0187	0,0092	0,0467	0,0181	0,0308



Таблица 3.11 Ожидаемая доходность в марте

Тикер	SBER	GMKN	GAZP	VTBR	HYDR	FEES
Ожидаемая доходность	0,0200	0,0300	0,04000	0,0400	0,0100	0,0200

3.2 Формирование портфеля

3.2.1 Формирование портфеля Марковица

После получения прогноза доходности данные подставляются в следующую оптимизационную задачу:

Процедура выбора бумаг была уже описана выше, теперь перейдём непосредственно к построению портфеля.

Как было сказано ранее, риск в портфеле Марковица снижается за счет того, что доходности разных акций имеют разную корреляцию (взаимосвязь).

В таблице 3.12 приведена матрица ковариации для выбранных акций. Видно, что наибольшую корреляцию имеют акции компаний, представляющий одну отрасль, например, Сбербанк России и Банк ВТБ, Лукойл и Сургутнефтегаз, Норильский никель и Северсталь.

И наоборот, наименьшую корреляцию имеют акции компаний из разных отраслей: ФСК ЕЭС и Лукойл, Норильский никель и ФСК ЕЭС.

Таблица 3.12 Матрица корреляции

	VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF
VTBR	1,00	0,50	0,69	0,51	0,53	0,46	0,37	0,48	0,60
SNGS	0,50	1,00	0,28	0,56	0,45	0,40	0,46	0,27	0,48
SBER	0,69	0,28	1,00	0,55	0,48	0,45	0,33	0,36	0,54
LKOH	0,51	0,56	0,55	1,00	0,44	0,42	0,59	0,18	0,51
HYDR	0,53	0,45	0,48	0,44	1,00	0,27	0,37	0,27	0,33
GMKN	0,46	0,40	0,45	0,42	0,27	1,00	0,38	0,20	0,66
GAZP	0,37	0,46	0,33	0,59	0,37	0,38	1,00	0,08	0,39
FEES	0,48	0,27	0,36	0,18	0,27	0,20	0,08	1,00	0,25
CHMF	0,60	0,48	0,54	0,51	0,33	0,66	0,39	0,25	1,00

Для расчётов необходимы данные о ковариации бумаг (см. табл. 3.13) и ожидаемых доходностях (см. табл. 3.10).

Таблица 3.13 Матрица ковариации

	VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF
VTBR	0,00026	0,00013	0,00019	0,00012	0,00012	0,00013	0,00010	0,00017	0,00019
SNGS	0,00013	0,00026	0,00008	0,00013	0,00010	0,00012	0,00012	0,00010	0,00015
SBER	0,00019	0,00008	0,00028	0,00013	0,00011	0,00014	0,00009	0,00013	0,00018
LKOH	0,00012	0,00013	0,00013	0,00021	0,00009	0,00011	0,00013	0,00006	0,00015
HYDR	0,00012	0,00010	0,00011	0,00009	0,00018	0,00007	0,00008	0,00008	0,00009
GMKN	0,00013	0,00012	0,00014	0,00011	0,00007	0,00033	0,00011	0,00008	0,00024
GAZP	0,00010	0,00012	0,00009	0,00013	0,00008	0,00011	0,00025	0,00003	0,00012
FEES	0,00017	0,00010	0,00013	0,00006	0,00008	0,00008	0,00003	0,00050	0,00011
CHMF	0,00019	0,00015	0,00018	0,00015	0,00009	0,00024	0,00012	0,00011	0,00040



Для поиска решения была использованапрограмма MicrosoftExcel.

Зафиксировав требуемую доходность на разных уровнях, получим множество портфелей отвечающих заданной доходности минимальным риском. Решая оптимизационную задачу Марковица, получим множество эффективных портфелей (см. рис. 3.28), для которых не существует другого допустимого портфеля с меньшим риском или большей доходностью. В таблице 3.14 приведены доли акций в портфелях, лежащих на эффективной границе.

Таблица 3.14 Доли акций в портфеле при различных уровнях доходности и риска

Доли	Риск	Доходность
VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF
0,0622	0,1121	0,0776	0,1608	0,2519	0,1005	0,1350	0,0803	0,0196	0,0088154	0,0220
0,0735	0,1069	0,0925	0,1281	0,2408	0,0823	0,1714	0,0765	0,0279	0,0088258	0,0240
0,0849	0,1019	0,1075	0,0954	0,2296	0,0641	0,2077	0,0728	0,0362	0,0089001	0,0260
0,0962	0,0968	0,1224	0,0629	0,2184	0,0458	0,2440	0,0691	0,0445	0,0090367	0,0280
0,1076	0,0917	0,1373	0,0301	0,2072	0,0278	0,2804	0,0653	0,0528	0,0092329	0,0300
0,1190	0,0861	0,1523	0,0000	0,1949	0,0083	0,3171	0,0612	0,0612	0,0094851	0,0320
0,1317	0,0587	0,1671	0,0000	0,1570	0,0000	0,3700	0,0508	0,0646	0,0098163	0,0340
0,1445	0,0276	0,1818	0,0000	0,1141	0,0000	0,4264	0,0390	0,0666	0,0102586	0,0360
0,1509	0,0121	0,1892	0,0000	0,0927	0,0000	0,4546	0,0331	0,0675	0,0105177	0,0370
0,1568	0,0000	0,1968	0,0000	0,0689	0,0000	0,4831	0,0265	0,0679	0,0108000	0,0380
0,1657	0,0000	0,2134	0,0000	0,0053	0,0000	0,5426	0,0086	0,0644	0,011441	0,0400
0,1129	0,0000	0,2005	0,0000	0,0000	0,0000	0,6618	0,0000	0,0248	0,012293	0,0420

Из множества эффективных портфелей инвестор отберет такой,который доставляет максимум полезности U (r, у).



Рисунок 3.28 Граница эффективных портфелей

Сравним ожидаемую доходность по полученным портфелям с фактической доходностью. Из таблицы 3.15 видно, что фактическая доходность положительная для всех портфелей (то есть инвестор получил прибыль, а не убыток). Кроме того, фактическая доходность превысила ожидаемую.

Аналогичным образом была построена граница эффективных портфелей для периода инвестирования - март 2011. Результаты приведены в таблице 3.16.

Таблица 3.15 Фактическая и ожидаемая доходность в апреле

Ожидаемая доходность	Фактическая доходность
0,0220	0,0322
0,0240	0,0334
0,0260	0,0345
0,0280	0,0357
0,0300	0,0368
0,0320	0,0381
0,0340	0,0398
0,0360	0,0412
0,0370	0,0420
0,0380	0,0427
0,0400	0,0440
0,0420	0,0418

Таблица 3.16 Результаты формирования портфеля для марта

Доля	Риск	Ожидаемая доходность	Фактическая доходность
SBER	GMKN	GAZP	VTBR	HYDR	LKOH
0,0940	0,1440	0,2109	0,0870	0,3399	0,1242	0,0088	0,0240	0,0507
0,0815	0,1516	0,2458	0,1203	0,2838	0,1170	0,0089	0,0260	0,0506
0,0690	0,1592	0,2806	0,1536	0,2277	0,1098	0,0091	0,0280	0,0505
0,0565	0,1668	0,3155	0,1869	0,1716	0,1027	0,0094	0,0300	0,0504
0,0440	0,1745	0,3503	0,2202	0,1155	0,0955	0,0097	0,0320	0,0503
0,0315	0,1821	0,3852	0,2535	0,0595	0,0883	0,0101	0,0340	0,0502
0,0190	0,1897	0,4200	0,2868	0,0034	0,0811	0,0106	0,0360	0,0501
0,0000	0,1666	0,4696	0,3471	0,0000	0,0167	0,0112	0,0380	0,0468
0,0000	0,0000	0,5633	0,4367	0,0000	0,0000	0,0123	0,0400	0,0424

Таким образом, построив прогноз доходности на март 2011 года, а затем на апрель 2011, были получены множества эффективных портфелей. Реальная доходность по портфелям оказалась не меньше ожидаемой, значит используемые методы прогнозирования позволяют получить неплохой результат (в каждом периоде инвестирования инвестор получил бы прибыль).

Сравним портфель Марковица с моделью «наивного инвестирования», когда средства вкладываются во все бумаги в равных долях (см. табл. 3.17). Риск модели «наивного инвестирования» на 5% больше риска портфеля Марковица с аналогичным уровнем доходности. Это объясняется учетом взаимной ковариации доходностей активов с целью снижения риска, что и отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии «наивного инвестирования».



Таблица 3.17 Модель «наивного инвестирования»

Доли	Риск	Доходность
VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF
0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,1111	0,0092	0,0240

Продемонстрируем эффект снижения риска от введения большего количества бумаг в портфель. Сначала сформируем портфель из трех бумаг. Затем будем увеличивать количество бумаг в портфеле. На рисунке 3.29 видно, как снижается риск портфеля при введении новых бумаг в портфель.

Данный рисунок подтверждает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но случайные отклонения независимы.

Рисунок 3.29 Влияние увеличения количества бумаг в портфеле на риск



Теперь добавим к полученному рисковому портфелю безрисковый актив, то есть перейдем к решению задачи Тобина.

3.2.2 Формирование портфеля Тобина

Задача Тобина отличается от постановки Марковица тем, что инвесторкроме рисковых ценных бумаг учитывает также возможностьбезрисковых вложений с гарантированной доходностью.

В России к безрисковым активам относятся депозиты Сбербанка России и государственные облигации РФ. Доходность по облигациям складывается из купонных выплат и дисконта (разница между ценой покупки и номинала). Если вложения в облигации рассматриваются как вложения на короткий период (портфель формируется на 1 месяц) в расчете на то что, выплат по ним не будет, то их доходность близка к нулю, так как инвестор покупает и продает по рыночной цене безрисковый актив в короткий промежуток времени, когда по нему нет выплат. То есть облигацию придется рассматривать, как обычный рисковый актив, так как в случае краткосрочных вложений вся доходность таких вложений заключается в изменчивости цен облигаций. Поэтому в данной работе в качестве безрискового актива рассматривается депозит Сбербанка России.

Доходность по депозиту Сбербанка России составляет 3% годовых. Так как портфель формируется на 1 месяц, доходность по депозиту пересчитывается и составляет 0,25%. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.

Обозначив долю депозита через, придем к следующему расширению задачи Марковица - задачи Тобина:



Данные, необходимые для расчетов приведены в таблице 3.18 и 3.13.

Таблица 3.18 Ожидаемая доходность

VTBR	SNGS	SBER	LKOH	HYDR	GMKN	GAZP	FEES	CHMF	Депозит
0,0313	0,0185	0,0339	0,0084	0,0187	0,0092	0,0467	0,0181	0,0308	0,0025

Поиск решения осуществлялся с помощью программы MicrosoftExcel. Результаты расчетов приведены в таблице 3.19.

На рисунке 3.30 представлена граница эффективных портфелей. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки T представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.



Рисунок 3.30 Граница эффективных портфелей

Таким образом, граница эффективных портфелей АТС получается сочленением касательной АТ с посл...