Экономико-математическое моделирование развития малого предпринимательства в России

В практике экономических исследований очень часто имеющиеся данные нельзя считать выборкой из многомерной нормальной совокупности, например, когда одна из рассматриваемых переменных не является случайной или, когда линия регрессии явно не прямая и т. п.

В этих случаях пытаются определить кривую (поверхность), которая даёт наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) приближение к исходным данным. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа.

Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Если расположить все виды экономической деятельности (данные в круговых диаграммах в первой главе) в порядке убывания процентного соотношения, то каждому виду деятельности можно приписать некоторый ранг, т. е., номер, который он получает в данном списке. При этом процентная численность и ранг, как правило, подчиняются простой закономерности, выражаемой формулой:

=

Где:

- количество процентов предпринимательской деятельности n-го ранга;

- количество процентов самой распространённой (самой крупной) предпринимательской деятельности.

Но не всегда в эту зависимость хорошо вписываются исследуемые данные.

В частности, было проведено исследование: подчиняется ли зависимости Ципфа распределение по численности городов разных стран?

Как оказалось, в эту зависимость хорошо вписывались данные по городам США, однако эта закономерность была выявлена чисто эмпирически, при её проверке для других стран обнаружился ряд существенных расхождений.

В связи с этим была предложена более общая форма зависимости, где вместоиспользовалась некоторая константа C, а также было предложено

Возвести знаменатель дроби в некоторую степень q:

= C *

Где:

Cи q - некоторые константы; при этом, естественно, данное равенство понимается как некоторая теоретическая модель, которая лишь приблизительно соответствует эмпирическим данным. Значения констант - q - оцениваются в обычной технике эконометрического анализа, т. е., по методу наименьших квадратов после предварительного логарифмирования исходного уравнения. Ценологический аппарат применяют, когда среднее не может быть использовано из-за большой ошибки. На практике техно-цено-логический подход за последнее время получил широкое распространение. В развитых странах в различных науках он известен как теория самоорганизации, фрактальности, бесконечно делимых распределений. Регрессия исследуемой функции является внутренне линейной. «Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к виду».

Y = C *

Данная модель не линейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры b не аддитивно. Однако её можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию eприводит его к линейному виду:

Ln y = ln C - qln n + ln

Для оценки параметров степенной функции:

Y= C *

- применяется МНК к линеаризованному уравнению:

Ln = lnC - qlnn + ln

Т. е., решается система нормальных уравнений:

Постановка задачи:

Имеется 14 отраслей предпринимательской деятельности. Изучается зависимость (или y) процентов от общего дохода от № по убыванию численности n (или x).

Таблица 12:

Решение:

Построим поле корреляции.

Расположение точек на диаграмме даёт нам право предположить, что переменные находятся в зависимости гиперболического H- распределения. Рассчитаем выборочные коэффициенты корреляции. Для этого проведём промежуточные вычисления и поместим результаты вычислений в таблицу.

Таблица 13:

Составляем систему уравнений:

И решаем её по формулам Крамера:

= = 14*(-50,3824) - (-25,1911)*25,1911 = - 70,7621

= = 12,7795*(-50,3824) - 8,2430*(-25,1911) = -436,2116

= = 14*8,2430 - 12,7795*25,1911 = - 206,5277

Тогда, согласно теореме Крамера:

С = / = -436,2116/-70,7621 = 6,1645

Q=/ = -206,5277/-70,7621 = 2,9186

Теперь найдём корни исходного уравнения:

LnC = 6,1645;

C = 475,5633;

q = 2,9186.

Получаем уравнение регрессии:

= 475,6 /

Таким образом, мы пришли к уравнению гиперболического H- распределения и подтвердили высказанное ранее предположение.

Нанесём построенную линию регрессии на диаграмму. Для этого рассчитаем значения , I = 1,…, 14, по формуле:

= 475,5633 /

Результаты вычислений запишем в таблицу.

Таблица 14:

Для оценки тесноты нелинейной зависимости рассчитаем коэффициент детерминации. Для этого необходимо провести ряд дополнительных вычислений.

Прежде всего, найдём выборочное среднее y:

Y = 1 / 14*(38,2 + 21,4 + 11,1 + 9,5 + 6,1 + 3,8 + 2,9 + 2,7 + 1,5 + 1,4 + 0,6 + 0,3 + 0,3 + 0,2) = 14,2857

Теперь произведём в таблицу расчёт остальных вспомогательных величин.

Таблица 15:

Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся формулой:

= 1 - = 1 - = - 86,6597

Значение коэффициента детерминации позволяет сделать предварительный вывод о том, что у нас не имеется оснований использовать модель нелинейной регрессии в данной задаче, поскольку не принадлежит [-1, 1]. Нанесём теперь уравнение регрессии на диаграмму, используя специальные средства Excel («Добавить линию тренда»).

Линия регрессии, построенная нами ранее, совпала с данной линией регрессии. Нетрудно убедиться, что уравнение регрессии и коэффициент детерминации тоже совпадают с полученными ранее вручную.

Найдём теперь среднюю ошибку аппроксимации для оценки погрешности модели. Для этого нам потребуется вычислить ещё ряд промежуточных величин, в табличном варианте:

Таблица16:

Просуммируем теперь элементы последнего столбца и разделим полученную сумму на 14 - общее количество исходных данных.

= (-11,4494 +(-1,9391) +(-0,7352) + 0,1244 + 0,289 + 0,3296 + 0,4399 + 0,5926 + 0,2755 + 0,5903 + 0,2762 + (-0,123) + 0,111 + (-0,074)) = (-11,2922) - 11,2922/14 = -0,8066

Итак, средняя ошибка аппроксимацииA=0,8066*100%=80,66%

Величина ошибки оказалась около 81%, что говорит о большой погрешности построенной модели.

Список использованной литературы

Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968.

Айвазян С.А., Бежаева З.И., Старовертов О.В. Классификация многомерных наблюдений.- М.: Статистика, 1974.

Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мещалкин Л.Д. Классификация и снижение размерности - М.: Финансы и статистика, 1989.

Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: основы моделирования и первичной обработки данных - М.: Финансы и статистика, 1983.

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для ВУЗов - М.: ЮНИТИ, 1998.

Архипова М.Ю., Скорик М.А., Растокин Е.В. Дискриминантный анализ в социально-экономических исследованиях на основе ППП «SPSS». Учебное пособие. - М: Издательство МЭСИ, 2004. - 54с.

Бакалягин Г.Б. Конкурентоспособность малого предпринимательства // Вопросы статистики, 8/2009.

Беляевский И.К. Статистика торгового бизнеса: малого, среднего и крупного // Вопросы статистики, 11/2008.

Блинов А.О., Шапкин И.Н. Малое предпринимательство. Теория и правктика. - М.: «Дашков и К», 2003.

Глинский В.В. Как измерить малый бизнес? // Вопросы статистики, 7/2008.

Дубров А.М. Компонентный анализ и эффективность в экономике - М.: Финансы и статистика, 2003.

Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 352 с

Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Айвазян А.С., Зехин В.А., Корнилов И.А. Многомерные статистические методы и основы эконометрики: Учебное пособие, практикум по курсу, программа по дисциплине. М.: МЭСИ, 2004.

Дуброва Т.А., Есенин М.А., Осипова Н.П. Факторный анализ с использованием «SPSS»: Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 2009. - 64с.

Иберла К. Факторный анализ. М.: Статистика, 1980.

Изряднова О., Фомина Е., Казанцев Д. Малое предпринимательство в России: состояние и проблемы // Российская экономика: тенденции и развитие, №7, 2009.

Малое и среднее предпринимательство в России. 2009: Стат. Сб. - М.: Росстат, 2009.

Мандель И.Д. Кластерный анализ. М.: Финансы и статистика, 1988.

Михалкин И.В., Карасева Л.А., Петухова О.В., Ермилова Г.А., Орхименко А.А., Лапшина Е.Ю. Подходы к определению пороговых значений выручки для определения сектора малого и среднего предпринимательства // Вопросы статистики, 1/2008.

Мурзачева Е.И. Статистический анализ кредитного риска в экономике при финансировании малого бизнеса: оценка потенциальных потерь и факторов их возникновения // Вопросы статистики, 11/2009.

Мхитарян В.С., Миронкина Ю.Н., Астафьева Е.В. Корреляционный и регрессионный анализ с использованием ППП Microsoftexcel. Учебное пособие. - М: Издательство МЭСИ, 2004 - 61 с.

Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Математическая статистика. М.: МЭСИ, 2004.

Образцова О.И., Гулеева Ю.А. Нарождающееся предпринимательство в различных типах поселений: выбор населением экономического поведения в условиях глобального кризиса // Вопросы статистики, 11/2009.

Прямые инвестиции. Информация из первоисточников, 5/2010, с. 38.

Прямые инвестиции. Информация из первоисточников, 6/2010, с. 42.

Расков Н.В. Ненаблюдаемая экономика как потенциальный ресурс развития рыночного хозяйства // Проблемы экономики, №2(30), 2009.

Регионы России. Социально- экономические показатели, 2009: Стат. Сб. - М.: Росстат, 2009.

Сабельникова М.А. Об организации статистического наблюдения за субъектами малого предпринимательства торговли // Вопросы статистики, 12/2008.

Сайдуллаев Ф.С., Шестоперов А.М. Динамика развития малого предпринимательства в России в 2009 году. М.: НИСИПП, 2010.

Сайдуллаев Ф.С., Шестоперов А.М. Динамика развития малого предпринимательства в регионах России в январе-марте 2009 года. М.: НИСИПП, 2009. эконометрический прогнозирование предпринимательство

Теория статистики: учебник для студентов экономических ВУЗов/Под ред. Шмойловой Р.А. - М.: Финансы и статистика, 2006.

Факторный, дискриминантный и кластерный анализ / Под ред. Енюкова И.С. - М.: Финансы и статистика, 1989.

Федеральный закон от 14.06.1995 №88-ФЗ (ред. от 02.02.2006) «О государственной поддержке малого предпринимательства в Российской Федерации» (принят ГД ФС РФ 12.05.1995).

Федеральный закон от 24.07.2007 №209-ФЗ (ред. от 02.08.2009) «О развитии малого и среднего предпринимательства в Российской Федерации» (принят ГД ФС РФ 06.07.2007).

Харман Г. Современный факторный анализ. М.: Статистика, 1972.

Шамрай А.А. Рейтинг регионов по уровню развития малого предпринимательства в 2008 году. М.: НИСИПП, 2009.

Шустова Е.А. Об организации статистического наблюдения за деятельностью субъектов малого и среднего предпринимательства// Вопросы статистики, 1/2008.

Размещено на Allbest.ru