Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Казанский государственный технологический университет

Курсовая работа

На тему: «Моделирование социально-экономических процессов с применением теории игр»

Выполнил студент 5 курса.

Брагин Д.В.

Проверила:

Гадельшина Г.А.

Казань 2013



Содержание

Введение

Раздел 1. Понятие, основные этапы и цели моделирования социально-экономических процессов

1.1 Понятие модели и моделирования

1.2 Моделирование как метод научного познания

1.3 Понятие, виды социально-экономических процессов

1.4 Применение математических методов моделирования социально-экономических процессов и явлений в России

Раздел 2. Теория игр: определение, предмет, цели и задачи

2.1 Предмет и задачи теории игр

2.2 Классификация игр

Раздел 3. Практическое применение теории игр

3.1 Практическое применение теории игр в моделировании экономических процессов

3.2 Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях

3.3 Решение игр в смешанных стратегиях

Заключение

Список источников и используемой литературы



Введение

В настоящее время особое значение приобретают научные разработки в области прогнозирования и управления в сфере материального производства, в области финансового обращения, в области общественного развития.

Разработка экономико-математических моделей и методов решения конкретных задач производства на основе использования вычислительной техники (компьютеров) позволили создать автоматизированные системы управления для получения оптимальных управленческих решений. Одним из современных экономико-математических методов является применение теории игр в экономических исследованиях и выработке и принятия управленческих решений.

В теории игр рассматриваются процессы, в которых требуется найти лучшее решение для поведения участников при столкновении интересов различных групп. Особое значение для совершенствования образования хозяйственных работников приобретают деловые игры.

Использование теории игр в международных экономических отношениях позволяет оказать помощь в получении лучших стратегий поведения стран при решении конкретных вопросов торговли и размещения заказов. Применение деловых игр в учебном процессе и в практике хозяйственной деятельности дает возможность выработать навыки оптимального поведения человека в коллективе при выработке оптимальных решений в сложных условиях.

В самых различных сферах деятельности человека возникает много ситуаций, которые формализуются в виде игры и затем становятся возможными их исследования. Можно так же рассматривать и несколько упрощенные модели конфликтных ситуаций, учитывая лишь самые главные аспекты, и получить приемлемые решения.

Теория игр начала активно развиваться в первой половине ХХ века в трудах Оскара Моргенштерна - американского математика и экономиста и Джона Неймана - американского математика.

Цель данной курсовой работы изучить моделирование социально-экономических процессов с применением теории игр.

Задачей курсовой работы является:

1. Рассмотреть цели моделирования социально-экономических процессов.

2. Изучить применение теории игр.

Структура курсовой работы: введение, раздел 1 - Понятие, основные этапы и цели моделирования социально-экономических процессов, раздел 2 -Теория игр: определение, предмет, цели и задачи, применение, заключение, перечень источников и литературы.

При написании курсовой работы был использован широкий круг источников и научной литературы.



Раздел 1. Понятие, основные этапы и цели моделирования социально-экономических процессов

1.1 Понятие модели и моделирования

моделирование игра экономический стратегия

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. П. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой, иногда такая копия служит лишь только для того чтобы запомнить и при следующей встрече узнать нужное явление. Иногда построенная схема отражает какие-то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Иногда, бывает, что объект доступен, но эксперименты с ним дорогостоящи или привести к серьезным экологическим последствиям. Знания о таких процессах получают с помощью моделей.

Важный момент - сам характер науки предполагает изучение не одного конкретного явления, а широкого класса родственных явлений. Предполагает необходимость формулировки каких - то общих категорических утверждений, которые называются законами. Естественно, что при такой формулировке многими подробностями пренебрегают. Чтобы более четко выявить закономерность сознательно идут на огрубление, идеализацию, схематичность, то есть изучают не само явление, а более или менее точную ее копию или модель. Все законы - это законы о моделях, а поэтому нет ничего удивительного в том, что с течением времени некоторые научные теории признаются непригодными. Это не приводит к краху науки, поскольку одна модель заменилась другой более современной.

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течение тысячелетий. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

1.2 Моделирование как метод научного познания

Под моделированием понимается процесс разработки, построения абстракций и умозаключений по аналогии и конструирования научных гипотез относительно природы исследуемого явления. Совокупность абстракций и умозаключений о природе исследуемого объекта называется моделью. Модель представляет собой материальный объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Необходимость использования метода моделирования определяется тем обстоятельством, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать затруднительно или вовсе невозможно. Главная особенность моделирования как метода исследования состоит в том, что это метод опосредованного познания посредством объектов-заместителей. Модель служит инструментом познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Процесс моделирования включает: субъекта исследования - исследователя; объект исследования - интересующий объект-оригинал; предмет исследования - модель. Процессу моделирования присуще течение циклического характера. При этом на каждом последующем этапе знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная, модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные в результате первого цикла моделирования, исправляются в течение последующих циклов.

Первый этап построения модели заключается в установлении сходства и различия между объектом-моделью и объектом - оригиналом. Этот этап предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели А обуславливаются тем, что она отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала В. Задача необходимости и достаточной меры сходства оригинала и модели решается на основе конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае полного тождества с оригиналом (тогда он перестает быть оригиналом), так и в случае его отсутствия. Любая модель представляет, оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Поэтому для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе модель выступает в качестве самостоятельного объекта исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели, и проводится системный анализ ее «поведения». Так складываются знания о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос по определенным правилам полученных данных о модели в отношении оригинала - в знания об объекте. Данные о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта - оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. На четвертом этапе осуществляются практическая проверка получаемых посредством моделирования знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. При этом необходимо помнить, что моделирование - это лишь вид процесса познания и не может служить единственным источником знаний об объекте.

1.3 Понятие, виды социально-экономических процессов

В экономике как общественной сфере трудовой и хозяйственной деятельности постоянно происходят два типа процессов, которые по своему характеру делятся на естественные и общественные. Естественные процессы осуществляются человеком при его взаимодействии или соприкосновении с природой с помощью средств труда для создания материальных (вещественных) или интеллектуальных продуктов. Общественные процессы характеризуют взаимоотношения между людьми, связанные с производством и/или распределением указанных продуктов и их потреблением. Оба процесса протекают в теснейшем взаимодействии. Социально-экономические процессы классифицируются по типам и видам в зависимости от критерия, лежащего в основе классификации:

* по степени управляемости - стихийные и управляемые;

* по направленности распространения - внешне- и внутриэкономические, в рамках которых могут развиваться процессы международной интеграции, кооперации;

* по масштабу влияния на жизнедеятельность социума - макроэкономические, региональные, локальные, микроэкономические;

* по структуре функционального проявления - производственные, трудовые, организационные, технологические, информационные процессы.

С точки зрения устойчивости взаимосвязей экономических и других социальных структур можно говорить о стабильных и нестабильных социально-экономических процессах. Процесс - последовательность действий, осуществляемых во времени или пространстве, обеспечивающая достижение поставленных целей. Системный подход для любой системы выделяет 2а вида процессов: функционирования и развития. Процесс функционирования - процесс выполнения функций системы, обеспечивающий достижение ее цели. Процесс развития - улучшение процесса функционирования за счет приращения структуры, либо улучшения ее параметров. Основным для системы является процесс функционирования, состоящий в обмене ресурсами и обеспечивающий достижение цели системы. Административно-территориальные социальные эколого-экономические системы. В данном понятии ключевым является слово «административно-территориальные», т.е. мезосистемы в иерархии экономических систем (макросистемы - системы на уровне государства, мезосистемы - территория субъектов, микросистемы - предприятия и учреждения). Территориальные системы, значит системы, располагающиеся на определенной территории. Объектами территориального компонента являются - земельные участки, речь идет о твердой поверхности земли, на которой располагаются природные ресурсы. Совокупность этих природных ресурсов представляет экологический компонент системы. Социальный компонент - это население и объекты муниципальной деятельности, к-е оно (население) образует: домашние хозяйства - совокупность семьи и имущества. Экономические системы, значит включающие имущественный комплекс хозяйственного назначения (систему жизнеобеспечения населения). Объекты экономической составляющей - предприятия (выпускают продукцию), учреждения (оказывают услуги), организации (выполняют работы). Системный подход предполагает, что вся внешняя среда и выделенная в ней рассматриваемая система - есть бесконечная иерархия сложных систем, вложенных друг в друга. Особенностью социально-экономических процессов является их тесная привязка к деятельности предприятий (хозяйствующих субъектов), крупных национально-государственных систем, регионов, которая определяет масштабы, уровень, темпы и цели происходящих в русле этих объектов изменений. В основе социально-экономических процессов лежит цикл «инновации-инвестиции», предопределяющий логику развертывания волн экономической конъюнктуры на каждом из рассматриваемых уровней. Достигая максимума, тенденция роста производства сменяется его снижением. Вместе с тем снижается объем инвестиций, что, в конечном счете, неизбежно приводит к сдерживанию инновационных процессов. Снижение инновационной активности, вызывая сокращение эффективности производства, способствует возникновению масштабных войн за передел ресурсов. Непременным атрибутом политических процессов является изменение целеполагающего вектора социальных преобразований, заключающееся во внедрении в общественную жизнь мероприятий, составляющих программную установку одной из влиятельных и организованных сил общества, какой является политическая партия или общественное движение. Если основу социально-экономических процессов составляет цикл «инновации-инвестиции», то политических -- оппозиция «вызов-реакция».

1.4 Применение математических методов моделирования социально-экономических процессов и явлений в России

К сожалению, метод математического моделирования социально-экономических процессов до сих пор применялся в нашей стране преимущественно в научных разработках, а рекомендации экономической науки зачастую попросту игнорировались (и игнорируются) на всех уровнях управления. Это в большой степени связано с тем, что до недавнего времени применение количественных методов в управлении изучалось в вузах России достаточно формально, а методы высшей математики в экономических дисциплинах вообще практически не использовались, поскольку экономическое образование было сведено, по существу, к догматическому толкованию классиков марксизма, а опыт анализа социально-экономических процессов на основе других подходов практически не рассматривался. Например, вплоть до конца 80-х годов длинные волны в экономике были в нашей стране запретной темой, т.к. это не вписывалось в концепцию «неуклонного роста народного хозяйства» (показательно, что первая монография на русском языке С.М. Меньшиков и Л.А. Клименко, посвященная этому вопросу, вышла в свет лишь в 1989 г.). При этом попытки (весьма редкие) публикации результатов, полученных западными учеными на основе использования математических методов, обязательно предварялись идеологическими клише такого рода: «…стараясь затушевать эксплуататорскую природу капиталистического способа производства», «…теория равновесия, враждебная марксизму-ленинизму…», «…на эконометрику была возложена задача поднять престиж буржуазной политической экономии» и т.п. Причины пренебрежительного отношения к научному анализу последствий управленческих решений имеют глубокие корни, а сопротивление, которое встречает метод математического моделирования при анализе социально-экономических проблем, - более чем вековую историю. Например, против намерения Л. Вальраса в 1890-х годах ввести в курс политической экономии математические методы выступало подавляющее большинство его коллег по Лозаннскому университету.

Одним из основных доводов, который служит препятствием для использования метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов, является сложность объекта моделирования, поскольку применяемая теоретическая модель может оказаться слишком упрощенной по сравнению с объектом-оригиналом. Однако рекомендации и выводы, полученные на основе анализа адекватной имитационной модели, также могут оказаться невостребованными, поскольку управленец может предпочесть опереться на интуицию и даже иметь нерешенную проблему, чем использовать модели, в которых он ничего не понимает, и стать, таким образом, заложником разработчика-математика. Недооценке метода моделирования при принятии решений служит также и «пренебрежение академической экономической наукой упорным, систематическим, эмпирическим анализом и увлечение изящными, но пустыми, формальными, главным образом математическими, теоретическими «упражнениями» (В. Леонтьев, 1972 г.).

Полностью принимая как необходимость развития аксиоматической теоретической математической экономики, так и большое значение прикладных социально-экономических исследований, отметим, что в основе этих полярных направлений математического моделирования должно лежать глубокое понимание базовых теоретических моделей и, прежде всего, допущений, используемых при построении этих моделей, которые и определяют пределы их применимости.

Как видим, наряду с субъективными трудностями существуют и вполне объективные проблемы, ограничивающие эффективность применения метода математического моделирования при анализе социально-экономических процессов.

К ним, прежде всего, следует отнести исключительное разнообразие и разнородность объектов моделирования, поскольку в этой области имеют место элементы управляемости и стихийности, детерминированности и существенной неоднозначности, сочетание процессов технического и социального характера.

Однако основные преграды, стоящие на пути развития формализованных методов в социально-экономических науках, носят, по-видимому, субъективный характер. О главной из них сказал П.Л. Капица на Международном симпозиуме по планированию науки еще в 1959 г. Размышляя о развитии общественных наук, он использовал аналогию с положением естественных наук в средние века, когда «…церковь брала на себя монополию схоластически-догматического толкования всех явлений природы, решительно отметая все, что хоть в малейшей мере противоречило каноническим писаниям. …Сейчас существует большое разнообразие государственных структур, которые признают за истину только то в общественных науках, что доказывает целесообразность этих структур. Естественно, что при таких условиях развитие общественных наук сильно стеснено» П.Л. Капица.

К сожалению, за сорок без малого лет эти слова не утратили своей актуальности. Слабое представление о существе метода моделирования и его возможностях приводит к тому, что зачастую реакцией на несоответствие ожиданий и конкретных результатов социально-экономической политики, основанной на использовании неадекватных моделей, служат эмоциональные выводы о том, что «экономические законы в России не действуют», что «умом Россию не понять», что «моделирование в наших условиях бессмысленно» и т.д. Но ведь это все равно, что рассчитывать траекторию движения той же баллистической ракеты по формуле из известной школьной задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, а потом возмущаться расхождением теории и практики. Однако математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику.

Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира. Одним из самых перспективным направлений в математических методах в экономике на данный момент является экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных, направление, разрабатываемое в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.



Раздел 2. Теория игр: определение, предмет, цели и задачи

2.1 Предмет и задачи теории игр

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают.

Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях- отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными. Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях.

В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей.

Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции. Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Игра - это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры.

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего «победой» (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр.

2.2 Классификация игр

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем.

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.

По характеру взаимодействия игры делятся на:

- бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

- коалиционные (кооперативные) могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции наперёд определены.

По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.

Матричная игра - это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.



Раздел 3. Практическое применение теории игр

3.1 Практическое применение теории игр в моделировании экономических процессов

Пример №1. На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток .Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок -- магазин, второй игрок -- покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара -- i-я. стратегия первого игрока, спрос на j-й товар -- j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка.

Пример №2. Матрица игры имеет вид: Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй -- 5, третьей -- 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальный элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго -- 10; третьего -- 5, четвертого -- 14, пятого -- 12; минимальное значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии j = 2 и j = 3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.

Пример №3. Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия ) увеличить это количество на 5 (стратегия Р₂) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Р₃). Возможны два состояния погоды: --Q₁ плохая погода,Q₂ - хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть, на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в виде матрицы игры А (Р_i,Q_i), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные - потери:

Q₁ Q₂

Если нет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Р₂. По критерию Гурвица при “коэффициенте пессимизма” q=1 оптимальной окажется стратегия Р₂, а при q=0 -- стратегия Р₁.

Пример №4. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но данным прошлых наблюдений предприятие в течении апреля -- мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А -- в расчете на теплую погоду и стратегия Б -- в расчете на холодную погоду. Природу будим рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г).

Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит:

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб.,

а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход равен:

600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход:

1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб.,

а в условиях теплой погоды:

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800

Следовательно, матрица данной игры (платежная матица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800.

Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400.

Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то А, то стратегию Б.

Такая стратегия называется смешанной.

Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х).

В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800х + 26 000(1 - х) = 28 400х + 6800(1 - х).

Отсюда можно найти, что х -- 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме:

6800-8/17 + 26000-9/17 16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев)*8/17 + (1000 костюмов + 625 платьев)*9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключи в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит три любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб.



3.2 Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях

Рассмотрим парную конечную игру.

Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A₁, A₂, …, A_m. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B₁, B₂, …, B_n. В этом случае игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий A_i,B_j ( ) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( - a_ij) игрока В.

Предположим, что значения a_ij известны для любой пары стратегий (A_i,B_j).

Матрица А = (a_ij), , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j, называется платежной матрицей или матрицей игры.

Общий вид платежной матрицы приведен ниже:

A =		a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn	.

Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 1).



Таблица 1 - Общий вид платежной матрицы

	B1	B2	...	Bn
A1	a11	a12	...	A1n
A2	a21	a22	...	A2n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	Amn

Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго.

Эти стратегии называются чистыми.

Пример 1. Составьте платежную матрицу для следующей игры (игра "Поиск").

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок B ищет игрока A, и если найдет, то получает штраф 1 денежную единицу от А, в противном случае - платит игроку А 1 денежную единицу.

Решение.

Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через A₁, или в убежище II - стратегия A₂.

Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через A₁, или в убежище II - стратегия A₂.

Игрок B может искать первого игрока в убежище I - стратегия B₁, либо в убежище II - стратегия B₂. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок B, т.е. осуществляется пара стратегий (A₁, B₁), то игрок А платит штраф, т.е. a₁₁ = -1. Аналогично a₂₂ = -1.

Очевидно, что комбинации стратегий (A₁, B₂) и (A₂, B₁) дают игроку А выигрыш, равный единице, поэтому a₁₂= a₂₁ = 1.

Таким образом, для игры "Поиск" размера 2x2 получаем следующую платежную матрицу:

A =		-1 1 1 -1	.

Рассмотрим игру размера mxn c матрицей А = (a_ij), и определим лучшую среди стратегий A₁, A₂, …, A_m.

Выбирая стратегию A_i, игрок А должен рассчитывать , что игрок В ответит на нее той из стратегий B_j, для которой выигрыш игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).

Обозначим - наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-ой строке платежной матрицы), т.е.

.

Среди чисел ( ) выберем наибольшее . Назовем нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.

Итоговую формулу можно записать следующим образом:

.

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Аналогичные рассуждения могут быть выполнены и в отношении игрока B.

Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А.

Выбирая стратегию B_j, он учитывает, что игрок A будет стремиться к максимальному выигрышу.

Обозначим - наибольший проигрыш игрока B при выборе им стратегии B_j для всех возможных стратегий игрока A (наибольшее число в j-ой строке платежной матрицы).

Среди чисел ( ) выберем наименьшее и назовем верхней ценой игры или минимаксом. Это минимальный гарантированный проигрыш игрока В.

Таким образом:

.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Вернемся к примеру 1 и определим нижнюю и верхнюю цену игры в задаче "Поиск".

Рассмотрим платежную матрицу:



A =		-1 1 1 -1	.

При выборе стратегии A₁ (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ₁ = min (-1; 1) = -1 и соответствует стратегии B₁ игрока B. При выборе стратегии A₂ (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ₂ = min (-1; 1) = -1, он достигается при использовании игроком B стратегии B₂.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока B, т.е. нижнюю цену игры = max (₁; ₂) = max (-1; -1) = -1, игрок А может выбрать любую стратегию: A₁ или A₂, т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию B₁ (первый столбец), игрок B понимает, что игрок А ответит стратегией A₂, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш игрока B). Следовательно, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B₁ равен ₁ = max (-1; 1) = 1.

Аналогично, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B₂ (второй столбец) равен ₂ = max (1; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока B равен = min (₁, ₂) = min (1, 1) = 1 - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока B является минимаксной.

Результаты наших рассуждений сведем в таблицу 2, которая представляет собой платежную матрицу с дополнительной строкой _j и столбцом _i. На их пересечении будем записывать верхнюю и нижнюю цену игры.



Таблица 2 - Платежная матрица игры "Поиск" с дополнительными строкой и столбцом

	B1	B2	i
A1	-1	1	-1
A2	1	-1	-1
j	1	1

Таким образом, в рассматриваемой задаче нижняя и верхняя цены игры различны: ? .

Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены v = = называется чистой ценой игры, или просто ценой игры. Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность - оптимальным решением, или просто решением игры.

В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (не зависящего от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е., если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными.

Далее рассмотрим пример.

Пример 2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры, которая задана следующей платежной матрицей:

A =		0,5 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,6 0,6	.

Решение.

Выясним, имеет ли игра седловую точку. Решение удобно проводить в таблице. Таблица 3 включает платежную матрицу игры, а также дополнительные строку и столбец, которые иллюстрируют процесс поиска оптимальных стратегий.

Таблица 3 - Платежная матрица примера 2 с дополнительными строкой и столбцом

	B1	B2	B3	i
A1	0,5	0,6	0,8	0,5
A2	0,9	0,7	0,8	0,7
A3	0,7	0,6	0,6	0,6
j	0,9	0,7	0,8	= = 0,7

Приведем некоторые пояснения.

Столбец _i заполнен на основе анализа строк матрицы (стратегии игрока A): ₁ = 0,5; ₂ = 0,7; ₃ = 0,6 - минимальные числа в строках.

Аналогично, ₁ = 0,9; ₂ = 0,7; ₃ = 0,8 - максимальные числа в столбцах.

Нижняя цена игры = _i = max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольший элемент в столбце _i).

Верхняя цена игры = _j = min (0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьший элемент в строке _j). Эти значения равны, т.е. = , и достигаются на паре стратегий (A₂,B₂). Цена игры v = 0,7.

Таким образом, оптимальное решение состоит в выборе игроками А и В стратегий А₂ и В₂ соответственно.

Пример 5.2 наглядно демонстрирует свойство устойчивости решения. Можно убедиться, что если любой из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому заведомо невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии.

3.3 Решение игр в смешанных стратегиях

Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые и являются оптимальными.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 1) седловая точка отсутствует.

В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂, …, А_m c вероятностями u₁, u₂, …, u_m.

Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: U = (u₁, u₂, …, u_m), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z₁, z₂, …, z_m).

Очевидно, что:



ui ? 0, , zj ? 0, , ui = 1, zj = 1.

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать вектором, в котором единица соответствует чистой стратегии.

Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) - это пара оптимальных стратегий U^*, Z^*, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:

? v ? ,

Справедлива следующая основная теорема теории игр.

Теорема Неймана. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях .

Пусть U^* = (, , ..., ) и Z^* = (, , ..., ) - пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели для нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2x2.

Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка в соответствии с теоремой Неймана, оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий U^* = (, ) и Z^* = (, ).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии U^*, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка.

Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) - случайная величина, математическое ожидание которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (при использовании оптимальной стратегии) будет равен v и для первой, и для второй стратегии противника.

Пусть игра задача платежной матрицей:

A =		a11 a12 a21 a22	.

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию U^* = (, ), а игрок В - чистую стратегию B₁ (что соответствует первому столбцу платежной матрицы), равен цене игры v, т.е.:



a11 + a21 = v.

Тот же средний выигрыш получает игрок А, если противник применяет стратегию B₂, т.е. a₁₂ + a₂₂ = v. Учитывая, что + = 1, получим систему уравнений:

	a11+ a12= v, a21+ a22= v, += 1. (1)

Решая систему(1), можно найти оптимальную стратегию U_* и цену игры v.

...