Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение моделирования. Понятие оригинала и модели. Условия существования модели и ее основные функции

Существо моделирования состоит в том, что в процессе изучения некоторых объектов он заменяется подобным ему вспомогательным представлением, которое называется моделью объекта.

Под моделированием понимается изучение объекта-оригинала, базирующееся на соответствии определенной части его свойств и свойств замещающего его объекта, включающее в себя построение модели, изучение ее и перенос полученных сведений на объект-оригинал.

Под объектом моделирования можно понимать любой объект реального мира, а также представление и знание о таком объекте.

Оригиналом называется объект, определенные свойства которого подлежат изучению методом моделирования.

Модель - это явление, технологическое устройство, знаковое определение или иной условный образ, который находится в определенном соответствии с объектом оригиналом.

Условия существования модели.

1. Должна существовать возможность отображения некоторой объективно-реальной или потенциально-реализуемой ситуации.

2. Наличие определенных правил установления взаимооднозначных соответствий между моделью и оригиналом

3. Простота и наглядность модели при отображении с необходимой полнотой и достоверностью той определенной части свойств оригинала, которая существенна именно в данном исследовании и при данной постановке задачи.

Функции модели.

В процессе создания модель выполняет, прежде всего, отражающую функцию, а при проведении исследований может выполнять функцию предсказания.

2. Понятие системы и компонента системы, системный подход в моделировании, принципы системного подхода

Системой называется совокупность сущностей и связей между ними, выделенных из окружающей среды на определенное время и с определенной целью.

Окружающей средой называется множество сущностей элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящуюся под взаимодействием системы.

Под компонентом понимают любо неделимую часть, либо какой-то агрегат, состоящий из частей и называющийся подсистемой.

В основе системного подхода лежит рассмотрение оригинала как интегрированного целого. При этом рассмотрение начинается с формулирования цели моделирования, на основе имеющихся критериев выбора, осуществляется выбор тех составляющих, которые будут входить в модель. В данном случае необходимо обеспечить эффективность модели, как некоторую разность между результатом моделирования и затратами на создание модели.

Принципы системного подхода:

1) Пропорциональное продвижение по этапам и направлениям создания модели.

2) Согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик.

3) Правильное соотношение отдельных уровней иерархий в системе моделирования

4) Целостность отдельных обособленных стадий построения модели.

матричный системный детерминированный стохастический



3. Подходы к исследованию систем

Структура системы может изучаться извне с точки зрения состава отдельных подсистем и отношений между ними, а также изнутри, когда анализируются отдельные свойства, позволяющие системе достигать заданной цели, т. е. когда изучаются функции системы. В соответствии с этим наметился ряд подходов к исследованию структуры системы с ее свойствами, к которым следует прежде всего отнести структурный и функциональный.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы S и связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о структуре системы. Наиболее общее описание структуры -- это топологическое описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и хорошо формализуемое на базе теории графов.

Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы, и реализуется функциональный подход, оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается свойство, приводящее к достижению цели. Поскольку функция отображает свойство, а свойство отображает взаимодействие системы S с внешней средой Е, то свойства могут быть выражены в виде либо некоторых характеристик элементов SiV) и подсистем Si систе-мы, либо системы S в целом.

Простой подход предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели.

Системный подход означает, что каждая система S является интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщенных подсистем. Рассмотрение при разработке начинается с главного -- формулировки цели функционирования. Формируются ориентировочно некоторые подсистемы, элементы и осуществляется наиболее сложный этап синтеза -- выбор составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора.

При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы, которая определяется как некоторая разность между какими-то показателями результатов, полученных в итоге эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание.

4. Стадии разработки модели

На базе системного подхода последовательность разработки модели можно разделить на две основные стадии: макропроектирование и микропроектирование.

1. Макропроектирование

На данной стадии на основе данных о реальной системе S и внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S. Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможности модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы S.

2. Микропроектирование

Данная стадия в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений системы моделирования. На этой стадии можно установить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы S.

При построение модели М любого типа необходимо руководствоваться следующими принципами системного подхода:

1. пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;

2. согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

3. правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования;

4. целостность отдельных обособленных стадий построения модели.

Модель М должна отвечать заданной цели ее создания, поэтому отдельные части должны компоноваться взаимно, исходя из единой системной задачи. Цель может быть сформулирована качественно, тогда она будет обладать большей содержательностью и длительное время может отображать объективные возможности данной системы моделирования. При количественной формулировке цели возникает целевая функция, которая точно отображает наиболее существенные факторы, влияющие на достижение цели.

5. Классификация видов моделирования

1. По степени полноты модели

1.1. Полные - в основе лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве.

1.2. Неполные - характерно неполное подобие модели изучаемому объекту.

1.3. Приближенные - в основе лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

2. По характеру изучаемых процессов в системе S

2.1. Детерминированное и стохастическое

2.1.1. Детерминированное - отображает детерминированные процессы (процессы, в которых предполагается отсутствие любых случайных воздействий)

2.1.2. Стохастическое - отображает вероятностные процессы и события. Анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т.е. набор однородных реализаций.

2.2. Статическое и динамическое

2.2.1. Статическое - описания поведения объекта в какой-либо момент времени.

2.2.2. Динамическое - отражает поведение объекта во времени.

2.3. Дискретное, дискретно-непрерывное и непрерывное

2.3.1. Дискретное - для описание процессов, которые предполагаются дискретными.

2.3.2. Дискретно-непрерывное - используется, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

2.3.3. Непрерывное - для описание процессов, которые предполагаются непрерывными.

3. По форме представления объектов

3.1. Мысленное - часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Разделяется на наглядное, символическое и математическое.

3.1.1. Наглядное - на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Разделяется на гипотетическое, аналоговое и макетирование.

3.1.1.1. Гипотетическое - в основу закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

3.1.1.2. Аналоговое - основывается на применение аналогий различных уровней. Наивысший уровень - полная аналогия (применимо только для простых объектов). С усложнением объекта используются аналогии следующих уровней.

3.1.1.3. Макетирование - основывается на создании мысленного макета. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения лежат аналогии, базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

3.1.2. Символическое - заключается в создании логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов. Разделяется на языковое и знаковое.

3.1.2.1. Языковое - в основе лежит некоторый тезаурус, образованный из фиксированного набора входящих понятий. В отличие от словаря, тезаурус очищен от неоднозначности.

3.1.2.2. Знаковое - вводятся знаки - условные обозначения отдельных понятий и операции между этими знаками. Затем с помощью знаков отображается набор понятий - составляются цепочки слов и предложений. С помощью операций теории множеств можно в отдельных символах дать описание реального объекта.

3.1.3. Математическое - процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Разделяется на аналитическое, имитационное и комбинированное.

3.1.3.1. Аналитическое - характерно, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде функциональных соотношений или логических условий. Может быть исследована аналитическими, численными и качественными методами.

3.1.3.2. Имитационное - реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S. Основное преимущество - возможность решения более сложных задач. В настоящее время - наиболее эффективный метод исследования больших систем.

3.1.3.3. Комбинированное - при построение модели проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели.

3.2. Реальное - возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик Является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Разделяется на натурное и физическое.

3.2.1. Натурное - проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Разделяется на научный эксперимент, производственный эксперимент и комплексные испытания

3.2.1.1. Научный эксперимент - характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента.

3.2.1.2. Производственный эксперимент - реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса

3.2.1.3. Комплексные испытания - моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений, проходящих в группе однородных явлений.

3.2.2. Физическое - исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Разделяется на моделирование в реальном масштабе времени и в нереальном масштабе времени.

6. Математическое моделирование, его виды

Математическое моделирование - процесс установления соответствия реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики реального объекта. Вид модели зависит от природы реального объекта и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения.

Виды математического моделирования:

1. Аналитическое - характерно, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.д.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) Аналитическим - стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик

б) Численным - не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных

в) Качественным - не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения)

Аналитический метод эффективен для простых систем. Численный метод эффективен для сложных систем при условии его реализации средствами ЭВМ. В некоторых случаях бывает достаточно качественной оценки средствами качественного метода.

2. Имитационное - реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S.

Основное преимущество по сравнение с аналитическим - возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать большее кол-во факторов, трудных для аналитического моделирования. В настоящее время - наиболее эффективный (зачастую - единственно возможный) метод исследования больших систем.

Когда результаты, полученные при работе имитационной модели, являются реализациями случайных величин и функций, требуется многократное повторение процесса с последующими сбором и анализом статистической информации.

Для этого первоначально был разработан численный метод (метод Монте-Карло) - применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач. Затем его стали применять для машинной реализации имитационной модели.

Т.о. имитационное моделирование делится на два метода:

· Машинной реализации имитационной модели - метод статистического моделирования.

· Численный метод решения аналитической задачи - метод Монте-Карло

Имитационно моделирование позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки. Также может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза.

3. Комбинированное - при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построение комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных - имитационные. Такой подход позволяет хватить новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только одного метода математического моделирования.



7. Преимущества и недостатки математического моделирования, случаи его применения

Преимущества:

· Высокая универсальность

· Простота перехода от одной задачи к другой

· Возможность моделирования по частям

· Экономичность

· Возможность применения ЭВМ

Недостатки:

· Сложность математического аппарата

· Трудность перевода с математического языка на реальный

· искажения, которые можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует новым фактам

Примеры использования:

1. теория автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления

2. Математическое моделирование справилось с такими задачами: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно "осуществлены" в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике

3. Остальное что-то в этом духе, короче, математически можно моделировать практически все что угодно =)

8. Основные этапы математического моделирования

Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов

Основные этапы построения математической модели:

1. составляется описание функционирования системы в целом;

2. составляется перечень подсистем и элементов с описанием их функционирования, характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;

3. определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их характеристик;

4. выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;

5. составляется формальная математическая модель системы;

составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы на ЭВМ.

Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования: макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования на основе данных о реальной системе S и внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений систем моделирования.

Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

3) правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования;

4) целостность отдельных обособленных стадий построения модели.

Общесистемная и системные модели обладают исключительно высокой степенью общности. Они, безусловно, необходимы для теоретических исследований и полезны, так как выявляют общие закономерности, присущие весьма широкому классу систем. Но в повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели - гораздо менее общие, но позволяющие производить конкретные вычисления. Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных. Однако между системными и конструктивными моделями нет.

Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель системная модель конструктивная модель машинная модель».

Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3), определения их содержательного смысла и областей изменения. Согласно модели (2.3), необходимо определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы; множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений; множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.

Классификация системных моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.

КМ - алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных.

КМ - может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств.

При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы:

1) непрерывно-детерминированный подход (дифференцированные уравнения);

2) дискретно-детерминированный (конечные автоматы);

3) дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);

4) непрерывно-стохастический подход (системы СМО)

5) обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)

9. Требования к модели. Задачи моделирования

Требования к математической модели:

Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером поставленной задачи:

"Хорошая" модель должна быть:

1. целенаправленной;

2. простой и понятной пользователю;

3. достаточной с точки зрения возможностей решения поставленной задачи;

4. удобной в обращении и управлении;

5. надежной в смысле защиты от абсурдных ответов;

6. допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она при взаимодействии с пользователями может становиться более сложной.

Цели моделирования:

1) оценка - оценить действительные характеристики проектируемой или существующей системы, определить насколько система предлагаемой структуры будут соответствовать предъявляемым требованиям.

2) сравнение - произвести сравнение конкурирующих систем одного функционального назначения или сопоставить несколько вариантов построения одной и той же системы.

3) прогноз - оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий.

4) анализ чувствительности - выявить из большого числа факторов, действующих на систему тем, которое в большей степени влияют на ее поведение и определяют ее показатели эффективности.

5) оптимизация - найти или установить такое сочетание действующих факторов и их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в целом.

1-4 задачи анализа, 5 - задача синтеза.

10. Этапы моделирования, их взаимодействие

Первый этап -- постановка задачи включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта. Описание задачи - Задача формулируется на обычном языке. Определение цели моделирования позволяет четко установить, какие данные являются исходными, что требуется получить на выходе и какими свойствами объекта можно пренебречь. Анализ объекта подразумевает четкое выделение моделируемого объекта и его основных свойств.

Второй этап -- формализация задачи связан с созданием формализованной модели, то есть модели, записанной на каком-либо формальном языке. В общем смысле формализация -- это приведение существенных свойств и признаков объекта моделирования к выбранной форме.

Третий этап -- разработка компьютерной модели начинается с выбора инструмента моделирования, другими словами, программной среды, в которой будет создаваться и исследоваться модель.

От этого выбора зависит алгоритм построения компьютерной модели, а также форма его представления. В среде программирования это программа, написанная на соответствующем языке. В прикладных средах (электронные таблицы, СУБД, графических редакторах и т. д.) это последовательность технологических приемов, приводящих к решению задачи.

Четвертый этап -- компьютерный эксперимент включает две стадии: тестирование модели и проведение исследования. Тестирование модели -- процесс проверки правильности построения модели. На этой стадии проверяется разработанный алгоритм построения модели и адекватность полученной модели объекту и цели моделирования.

Для проверки правильности алгоритма построения модели используется тестовые данные, для которых конечный результат заранее известен. Тестирование должно быть целенаправленным и систематизированным, а усложнение тестовых данных должно происходить постепенно.

Исследование модели. К этой стадии компьютерного эксперимента можно переходить только после того, как тестирование модели прошло успешно, и вы уверены, что создана именно та модель, которую необходимо исследовать.

Пятый этап -- анализ результатов является ключевым для процесса моделирования. Именно по итогам этого этапа принимается решение: продолжать исследование или закончить.

11. Понятие физической модели. Примеры. Для исследования каких систем целесообразно использовать физическое моделирование

Физическая модель -- это модель, создаваемая путем замены объектов моделирующими устройствами, которые имитируют определённые характеристики либо свойства этих объектов. При этом моделирующее устройство имеет ту же качественную природу, что и моделируемый объект.

Физические модели используют эффект масштаба в случае возможности пропорционального применения всего комплекса изучаемых свойств.

Физическая модель представляет собой аналоговую модель, в которой между параметрами объекта и модели одинаковой физической природы существует однозначное соответствие. В этом случае элементом системы ставятся в соответствие физические эквиваленты, воспроизводящие структуру, основные свойства и соотношения изучаемого объекта. При физическом моделировании, основой которого является теория подобия, сохраняются особенности проведения эксперимента в натуре с соблюдением оптимального диапазона изменения соответствующих физических параметров.

Простейшей физической моделью в классической механике является материальная точка.

12. Понятие имитационного моделирования (ИМ), имитационного эксперимента, особенности имитационных систем. Случаи применения ИМ, преимущества и недостатки

Имитационное моделирование (ИМ) применяется для исследования и проектирования таких сложных систем и процессов, как предприятия, информационные сети, мировые динамики в экономике или экологии и т.д.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S.

Выполнение имитационной модели называется имитационным экспериментом (ИЭ). В ходе ИЭ компьютер имитирует функционирование системы и вычисляет все необходимые характеристики свойств, проявляемых системой.

ИЭ подобен натурному эксперименту. Однако он позволяет, в отличие от натурного метода, экспериментировать с системами, которых еще или уже нет, позволяет предсказывать поведение существующих систем в будущем, изучать их поведение в чрезвычайных условиях. Он дешевле и быстрее натурных экспериментов.

Особенности:

· Способность генерировать случайные возбуждения с требуемыми характеристиками

· Способность управлять модельным временем

· Способность накапливать и обрабатывать статистические данные

Случаи применения:

· Как средство изучения моделей

· В случае сложности реализации аналитической модели

· Если существует необходимость наблюдения системы в течение определенного периода времени, когда нет возможности наблюдать процесс в реальном времени; когда необходимо контролировать процесс путем ускорения или замедления

· При подготовке специалистов в тренинговых целях

· Как средство изучения новых ситуаций

Преимущества:

· Большие возможности примениния различных видов математического аппарата

· Динамический характер отображения поведения системы

· Учет случайных факторов

· Простота модификации модели

· Возможность исследования на множестве реализаций

· Высокий уровень детализации

· Отсутствие ограничений между параметрами имитационной модели, входными воздействиями и параметрами внешней среды

· Возможность исследования динамики взаимодействия компонентов системы

Недостатки:

· Большие трудовые и ресурсные затраты

· Принципиальная точность модели, измерить которую нет возможности

· Подобие модели и оригинала достигается только в характере протекания процесса

· Полученные результаты носят частный характер => для достоверности необходимо большое количество экспериментов => большие затраты

13. Этапы имитационного моделирования

1. выбор вычислительных факторов

2. выбор ПО моделирования (критерии)

- имеющиеся средства генерации случайных чисел и переменных,

- возможности отладки программной реализации модели,

- организация сбора статистических данных о работе модели,

- возможности отображения структуры моделируемой системы,

- возможности редактирования модели,

- наличие средств автоматизации создания программ,

- стоимость.

3. проверка достоверности схемы модели

4. кодировка программы модели

5. отладка отдельных частей и программы в целом

6. комплексная отладка и документирование (описание имитации модели)

14. Существующие подходы к построению ИМ

1. Событийный (процесс моделируется путем идентификации изменений, происходящих в системе в момент совершения событий). Основные события являются главными объектами, их планируют, реализуют, собирают о них информацию, и они определяют ход модельного времени.

Задача исследователя: зафиксировать изменения в системе и определить взаимосвязи между ними.

Имитация осуществляется путем выполнения упорядоченной во времени последовательности логических взаимосвязанных событий. Вслед за обработкой любого события производится проверка условий завершения прогона: а) кончилось ли время, отведенное на прогон; б) есть ли еще события в календаре.

Пример: банк с одним кассиром. Клиенты заходят, ожидают, обслуживаются, выходят. Состояние модели остается неизменным, кроме тех моментов, когда клиенты прибывают в систему. Становятся в очередь, обслуживаются, покидают очередь. Для имитации необходимо воспроизвести хронологию, т.е. необходимо определить календарь событий и причины, вызывающие эти события. Модельное время продвигается при этом от одного события к другому.

2. Ориентированный на действия (сканирование активности).

Разработчик описывает действия, в которых принимают участие элементы системы. Разработчик задает условия начала и окончания этих действий. События, которые начинают или завершают действия, инициируются условиями, определенными для данного действия, а не планируются разработчиком.

Условия начала или окончания действия проверяются после продвижения времени имитации (в каждый момент модельного времени). Если условие выполнено, то действие осуществлено. При каждом продвижении модели проверка условий производится для всего множества действий. Этот подход эффективен для тех ситуаций, в которых продолжительность действий определяется условиями и тем, насколько состояние системы этим условиям удовлетворяет. Сканирование активности не имеет самостоятельного значения и является встроенной частью других моделей.

3. Процессно-ориентированный.

Основан на анализе поведения активных элементов, т.е. транзактов, с которыми в модели происходят любые известные события. Этот подход подобен событийному, но акцент на активно действующие элементы делает модель более приближенной к жизни. В данном случае важнейшим моментом являются атрибуты транзакта, основным из которых является время вхождения в систему, а все остальные зависят от задач исследования.

15. Формализованные подходы к моделированию систем, математические схемы

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические схемы. Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель -- математическая схема -- математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель». Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S -- среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

совокупность воздействий внешней среды

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае хi, vl, hk, yj являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

16. Математические модели для статических и динамических систем

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Статические модели (модели статики) отражают функцию системы - конкретное состояние реальной или проектируемой системы (своего рода его «мгновенную фотографию»)

Примеры. Закон Ома, описание показателей эффективности организацией в некоторый момент времени.

Математическая модель статической системы имеет вид Y = F(X).

Расширением математической модели статической системы является математическая модель динамической системы.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы -- это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора:

Как известно, функция аналитическая, и ее разложение в ряд Тейлора выглядит так

При малых

С увеличением x требуется учет второго, третьего и т.д. членов ряда, чтобы с заданной точностью аппроксимировать . Поэтому в случае мы получаем самую простую модель математического маятника:

Следующим приближением будет модель нелинейного маятника:

и т.д. Для каждого конкретного значения n будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника.

17. Детерминированные и стохастические математические модели. Типовые математические схемы

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций.

Детерминированные математические модели.

Статические системы, описываемые алгебраическими уравнениями исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены метод определителей и метод итераций. К приближенным методам могут быть отнесены графический метод, метод хорд, и метод касательных.

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями также исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены: метод разделения переменных, метод подстановки, и метод интегрирующего множителя. К приближенным методам могут быть отнесены метод последовательных приближений, метод функциональных рядов, метод Рунга - Кутта, и численные методы интегрирования.

Громоздкость математических моделей и систем и прямых методов решения дифференциальных уравнений делает весьма затруднительным для исследователя получение конечных решений. Поэтому для решения практических задач нашли широкое применение методы преобразования исходных уравнений. Пример одного из таких преобразований является преобразование Лапласа. Смысл преобразования Лапласа заключается в переводе исходной функции времени f(t) из пространства оригинала в пространство изображений при помощи интеграла.

F(p) = 0c+??f(t)e-ptdt, где p=d/dt

Перевод F(p) из пространства изображений в пространство оригиналов осуществляется при помощи следующего интеграла

f(t)=(1/2?)*(c+?c-??F(p)e-ptdp)

величина выбирается чтобы обеспечить сходимость интеграла. Преобразование Лапласа широко используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, поскольку при переходе из области оригиналов в область изображений эти виды уравнений преобразуются в алгебраический вид.

Например:

y(t)=kx(t) -> Y(p)=K*X(p)

y(t)= ?x(t)dt -> Y(p)=(1/p)*X(p)

y(t)=x'(t) => Y(p)=pX(p)

В процессе решения более сложных уравнений используются таблицы преобразования функций. Основываясь на методе преобразования функций решает задачи анализа система, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями. При этом используется понятие придаточной функции системы.

Придаточная функция система - это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала линейной системы к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. W(p)=Y(p)/X(p);

Придаточная функция системы может быть получена из дифференциальных уравнений системы, заменой операции дифференцирования по времени аппаратным p.

Пример. Система описывается следующим дифференциальным уравнением.

dy(t)/dt+ay(t)=kx(t)

где x(t) входной сигнал системы, y(t) выходной сигнал системы, a,k- параметры системы.

Уравнение системы переводиться в пространство изображений следующим образом

Y(p) +aY(p)=kX(p)

Придаточная функция будет равна следующему:

Wp=Y(p)/X(p)=k/(p+a)

Алгебраический вид придаточной функции системы позволяет достаточно просто исследовать пространство изображений, динамические свойства систем и определять зависимость выходных сигналов систем от входных сигналов и параметров систем.

Стохастические математические модели.

Во многих случаях при исследовании систем анализу подвергаются не детерминированные, а случайные, стохастические процессы. Причиной этого является случайные воздействия, действующие на систему, а также случайные изменения параметров систем.

В качестве примера можно привести изменение скорости ветра, температуры и давления воздуха, действующих на ЛА, случайные изменения тяги двигателя и параметров систем управления ЛА в полете. Несмотря на случайный характер событий они подчиняются вполне определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей.

Теория вероятностей это раздел математики, изучающий случайные величины и случайные процессы, а также закономерности, возникающие при взаимодействии случайных величин.

Вероятность случайной величины - это количественная оценка возможностей её появления.

Форма вероятностей события x P(x)=N(x)/N, где P(x) - вероятность события х, а N(x) - число случаев появления события х и N - общее число возможных случаев. Пример. общее число изготовленных систем равно 100. Число забракованных систем 3. вероятность появления брака есть 0,03 .

Достоверные события имеют вероятность p=1. Невозможное событие имеет вероятность 0.

Все остальные события являются вероятными и вероятность их появления находится в пределах 0<P<1.

Наиболее часто встречающиеся числовыми характеристиками случайных величин является: 1)математическое ожидание;

2) дисперсия случайной величины;

3) СКО (среднее квадратическое отклонение);

Динамику систем управления со случайными входными сигналами и случайными параметрами изучает наука называемая Статической Динамикой.

Статическая Динамика Управления - это наука, изучающая динамику процесса управления при случайных входных сигналов и случайных или неслучайных динамических свойств систем управления.

Два основных метода статистической динамики, используемой для исследования систем управления - статистический анализ систем управления и статистический синтез.

Статистический анализ системы - заключается в определении и исследовании статических характеристик выходных сигналов систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов и статистическим характеристикам параметров систем управления.

Статистический синтез оптимальных систем управления заключается в определении в некотором смысле оптимальных статистических характеристик параметров систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов.

Пример Рассмотрим последовательность действий при статистическом анализе и синтезе простейшей стационарной линейной системы.

Стационарная процесс - такой процесс у которого величины не меняют свои статистические величины.

Общий вид уравнения, связывающего выходной сигнал системы с входных сигналом, возмущающим моментом и параметром системы имеет вид:

y(t)=F1(x(t),Mвн(t),Ксу)

Выражение случайной ошибки системы является разностью реального и идеального (желаемого) выходных сигналов систем. В общем виде может быть записано следующим образом:

?су(t)=F2[(x(t),Mвн(t),Ксу]

Полагаем для простоты что математическое ожидание ощибки системы равно нулю. M?су=0

Общее выражение средне квадратического отклонения ошибки системы может быть записано следующим образом

??су=F3(?x, ?Mвн, Ксу)

где ?x - среднеквадратическое отклонение входного сигнала

?Mвн - среднеквадратическое отклонение возмущающего момента

Условие оптимальности обобщенного параметра системы Ксу по критерию минимума среднеквадратического отклонения ошибки системы равно

???су/?Ксу=0

Решение этого уравнения относительно Ксу дает оптимальное значение обобщенного параметра Ксу opt.

Типовые математические схемы.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей. Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

18. Непрерывные детерминированные системы, D­схемы. Типы непрерывных детерминированных систем

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве ММ дифференциальные уравнения.

...