Понятие, предмет и задачи эконометрики

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на 2 подсовокупности (до момента времени t и после) и строить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии.

Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно писать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда.

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели снижается остаточная сумма квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Но разделение совокупности на части ведет к потере числа наблюдений, и к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого уравнения тренда позволяет сохранить число наблюдений исходной совокупности, но остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор модели зависит от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Методы исключения тенденций

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить воздействие фактора времени на формирование уравнений временного ряда. Основные методы делят на 2 группы:

- основанные на преобразовании уровней ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используем далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. 1. Метод последовательных разностей. 2. Метод отклонения от трендов.

- основанные на изучении взаимосвязей исходных уровней временных рядов при исключении воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели: включение в модель регрессии фактора времени.

Метод отклонений от тренда

Пусть имеются два временных ряда и , каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту .

Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни и соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда и при условии, что последние не содержат тенденции.

Метод последовательных разностей

В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод - метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами - первыми последовательными разностями.

Пусть где - случайная ошибка.

Тогда

Коэффициент b - константа, которая не зависит от времени. При наличии сильной линейной тенденции остатки достаточно малы и в соответствии с предпосылками МНК носят случайный характер. Поэтому первые разности уровней ряда не зависят от переменной времени, их можно использовать для дальнейшего анализа.

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение

Тогда:

Как показывает это соотношение, первые разности непосредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию.

Определим вторые разности:

Очевидно, что вторые разности не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида , относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, т. к и есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры a и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1) построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

2) использование критерия Дарбина - Уотсона и расчет величины:

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях n существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка : где

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то , следовательно, d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то и d=2. Следовательно, 0?d?4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости б. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

есть положительная автокорреляция. Принимается гипотеза H1 с вероятностью (1- б).

зона неопределенности.

автокорреляция остатков нет.

зона неопределенности.

есть отрицательная автокорреляция. Принимается гипотеза H1* с вероятностью (1-б).

Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина - Уотсона:

Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии.

Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Понятие и виды систем эконометрических уравнений

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных уравнений.

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системы так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Другой пример. При оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, тождество доходов и т. д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций.

Виды систем

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

Набор факторов xi в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или F- критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется МНК, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

2) Система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида



где у1 - производительность труда;

у2 - фондоотдача;

х1 - фондовооруженность труда;

х2 - энерговооруженность труда;

х3 - квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Система взаимосвязанных уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую часть системы:

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Структурная и приведенная формы модели

Система совместных, одновременных уравнений 9или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные y - это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные x - предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма имеет вид:

где y - эндогенные переменные, x - экзогенные переменные.

Классификация переменные на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменные выбирать такие, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части модель содержит коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели.

Все переменные модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается - , а под y - соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма - система линейных функций эндогенных переменных от экзогенных.

где коэффициенты приведенной формы модели - нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Идентификация эконометрических уравнений

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - единственность соответствия между структурной и приведенной формами модели.

Параметры структурной формы модели по оценкам приведенных коэффициентов можно определить не всегда. Для этого необходимо, чтобы модель была идентифицируемой.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

Выделяют:

Точно идентифицируемая модель - все ее уравнения точно идентифицированы. То есть все структурные коэффициенты определяются однозначно (единственным способом) по коэффициентам приведенной формы модели. И число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы.

Неидентифицируемая модель - число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов. Оценки всех структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.

Сверхидентифицируемая модель - число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов (на основе приведенной формы можно получить 2 и более значений одного структурного коэффициента). Практически решаема, но требует применения специальных методов.

На идентификацию проверяются все уравнения модели. Модель считается идентифицируемой, если все уравнения идентифицируемы; сверх - если хоть одно сверхидентифицируемо, а остальные точно идентифицируемы. Если среди всех уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель считается неидентифицированной.

Правила идентификации

Введем следующие обозначения:

М- число экзогенных (предопределенных) переменных в модели;

т- число экзогенных (предопределенных) переменных в данном уравнении;

К - число эндогенных переменных в модели;

k - число эндогенных переменных в данном уравнении.

А) Необходимое (но недостаточное) условие идентификации.

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т. е. : ;

Если, уравнение точно идентифицировано.

Если , уравнение сверхидентифицировано.

Либо D+1=H (H - число эндогенных переменных в уравнении; D - число отсутствующих экзогенных переменных).

Эти правила следует применять к структурной форме модели.

Достаточное условие идентификации. Введем обозначения: А - матрица коэффициентов при переменных не входящих в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации заключается в том, что

- определитель матрицы А должен быть не равен нулю,

- ранг матрицы А должен быть не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного .

Ранг матрицы - размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю. Пример:

a b

c d тогда ранг R=2.

Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации:

1) Если и ранг матрицы А равен , то уравнение сверхидентифицировано.

2) Если и ранг матрицы А , то уравнение точно идентифицировано.

3) Если и ранг матрицы А < то уравнение неидентифицированно.

4) Если , то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А будет меньше .

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Применение систем эконометрических уравнений

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов. Набор эндогенных и экзогенных переменных модели соответствует теоретическому представлению исследователя о моделируемом объекте, которое сложилось на данный момент и может измениться. Соответственно может меняться и вид модели с точки зрения ее идентифицируемости.

Наличие множества прикладных моделей для решения одного и того же класса задач не случайно. Наиболее ярко это проявляется при построении макроэкономических моделей, когда, например, одна и та же функция потребления может включать в себя разный набор экономических переменных.

Основные направления практического использования эконометрических систем уравнений.

Наиболее широко системы эконометрических уравнений используются для построения макроэкономических моделей функционирования той или иной страны. Большинство из них представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа с той ил иной мерой сложности.

Пример: статистическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в простом варианте имеет следующий вид:

где С - личное потребление в постоянных ценах,

у - национальный доход в постоянных ценах;

I - инвестиции;

- случайная величина.

В силу наличия тождества в модели (второе уравнение системы) структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он характеризует предельную склонность к потреблению. Если он равен 0, 65, то из каждой дополнительной тысячи дохода на потребление расходуется в среднем 650 руб., и 350руб. инвестируется, т. е. С и у выражены в тыс. руб. Если b>1, то y<C+I, т. е. на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения.

Параметр Кейнс истолковал как прирост потребления за счет др. факторов. Т. к. прирост во времени может быть не только положительным, но и отрицательным, то такой вывод возможен. Однако суждение о том, что параметр характеризует конкретный уровень потребления, обусловленный влиянием др. факторов, неправильно.

Структурный коэффициент b используется для расчета мультипликаторов. По данной функции потребления можно опр-ть 2 мультипликатора - инвестиционный мультипликатор потребления Mc и инвестиционный мультипликатор национального дохода - .

Пример: 1) эта величина означает, что дополнительные вложения в размере 1 тыс. руб. приведут при прочих равных условиях к дополнительному увеличению потребления на 1, 857 тыс. руб. 2) доп. инвестиции в размере 1 тыс. руб. на длительный срок приведут при прочих равных условиях к дополнительному национальному доходу в 2, 857 тыс. руб.

Модель Кейнса точно идентифицируема, и для получения величины структурного коэффициента b используется КМНК.

В более поздних исследованиях статистическая модель Кейнса включала уже не только функцию потребления, но и функцию сбережений r:

Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при переменной характеризует среднее абсолютное изменение уt при изменении на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат , составит усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результат через моментов времени на абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение: Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде результата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Зная величины , с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего лага и медианного лага.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг - это величина лага, для которого

Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Интерпретация параметров моделей авторегрессии.

Модели содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной называются моделями авторегрессии. Например,

Как и в модели с распределенным лагом, и в этой модели характеризует краткосрочные изменения под воздействием изменения на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочные мультипликаторы иные. К моменту времени результат изменился под воздействием изменения фактора в момент времени t на ед., а под воздействием свого изменения в непосредственно предшествующий момент времени - на ед. таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент составит ед. Аналогично в момент времени абсолютное изменение результат составит ед. и т. д.

Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

где

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличие бесконечного лага в воздействии текущего знач. зависимой переменной на ее будущее значения.

Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную . Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать , во-вторых, она не должна коррелировать с остатками . Еще один метод, который можно применять для оценки параметров моделей авторегрессии типа - это метод максимального правдоподобия.

Размещено на Allbest.ru

...