Розвиток теорії і практика математичного моделювання сигналів у часо-частотній області

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет „Львівська політехніка”

УДК 681.3.01+681.325

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ І ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ СИГНАЛІВ У ЧАСО-ЧАСТОТНІЙ ОБЛАСТІ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

НАКОНЕЧНИЙ АДРІАН ЙОСИФОВИЧ

Львів - 2005



Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному університеті „Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор, Самотий Володимир Васильович, Національний університет „Львівська політехніка” професор кафедри „Автоматика та телемеханіка”

Офіційні опоненти - доктор технічних наук, професор Щербак Леонід Миколайович, Національний авіаційний університет, м. Київ завідувач кафедри комп'ютеризованих систем захисту інформації доктор технічних наук, професор, Кожем'яко Володимир Прокопович Вінницький національний технічний університет, завідувач кафедри лазерної та оптоелектронної техніки доктор фізико-математичних наук, професор Яворський Ігор Миколайович, Фізико-механічний інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділом відбору і обробки стохастичних сигналів

Провідна установа - Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

Захист дисертації відбудеться „_9_” __червня__ 2005 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті „Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул.С.Бандери,12).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету „Львівська політехніка” за адресою: 79013, Львів, вул.Професорська,1

Автореферат розісланий „ 5 ” травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, д.т.н., проф. Федасюк Д.В



АНОТАЦІЯ

Наконечний А.Й. Розвиток теорії і практика математичного моделювання сигналів у часо-частотній області. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. зображення малохвильовий квантування цифровий

Національний університет „Львівська політехніка”, Львів, 2005р.

Дисертацію присвячено розвитку теоретичних положень подання широкосмугових сигналів у часо-частотній області, яке забезпечує порівняно з існуючими ряд переваг. Введено поняття базового оператора відображення, що дозволило підвищити ефективність вибору базової функції для даного типу сигналу. Розвинуто окремі положення теорії часо-частотного подання зображень та просторово-частотного квантування малохвильових коефіцієнтів у напрямку підвищення якості і ступеня компресії таких сигналів. Удосконалено методи нанесення цифрових підписів на чорно-білі та кольорові зображення в малохвильовій області. Результати досліджень підтверджують високу стійкість підписаних зображень до компресії, фільтрування та геометричних спотворень. Розроблено нові методи і математичні моделі процесів вимірювання енергетичних параметрів сигналів на основі їх часо-частотного перетворення, високу точність і завадостійкість яких підтверджено результатами досліджень. Результати роботи використано для побудови нових програмно-апаратних засобів систем збору і оброблення цифрової інформації.

Ключові слова: часо-частотне перетворення, малохвильове перетворення, хвильове перетворення, вейвлет перетворення, завадостійкість, цифрова фільтрація, компресія зображень, цифрове оброблення сигналів.



АННОТАЦИЯ

Наконечный А.И. Развитие теории и практика математического моделирования сигналов в время-частотной области. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05 02 - математическое моделирование и вычислительные методы.

Национальный университет “Львівська політехніка”, г. Львов, 2005г.

Диссертация посвящена развитию теоретических основ и разработке новых методов представления сигналов во время-частотной области и создания на этой основе новых математических моделей и алгоритмов быстрых преобразований, которые находят широкое применение в различных областях обработки сигналов.

Проведенный сравнительный анализ известных ортогональных преобразований, в первую очередь преобразования Фурье, и вэйвлет преобразования, позволил истолковать отдельные свойства последнего и установить определенные аналогии и связи между ними, а также подтвердить возможность использования время-частотного преобразования для анализа широкополосных сигналов. Для реализации дискретного вэйвлет преобразования обоснована целесообразность использования алгоритма поэтапного преобразования, с целью улучшения характеристик которого разработан усовершенствованный алгоритм, позволяющий уменьшить объем необходимой памяти, а также ускорить процесс преобразования одно- и двухмерных сигналов.

Получены математические модели широкополосных сигналов во время-частотной области, которые позволяют получить постоянную разрешающую способность в широком диапазоне частот, устранить искажения амплитудной и фазовых составляющих и увеличить помехоустойчивость. Одновременно получена математическая модель представления широкополосной взаимной функции двух переменных во время-частотной области, использование которой дает ряд положительных свойств. К ним, в первую очередь, относятся определение степени и локализации источников корреляции, представление через пространственные параметры, а также существенное улучшение разрешающей способности. Для быстрого поиска наиболее подходящей базовой вэйвлет-функции, в процессе преобразования определенного типа входной функции, впервые предложено и обосновано понятие базового оператора отображения.

Получила дальнейшее развитие теория время-частотного представления сигналов изображений и пространственно-частотного квантования вэйвлет коэффициентов в аспекте повышения качества и степени компрессии сигналов. Разработана оптимизация поиска наилучшего соотношения “степень компресии - уровень искажения” для пространственно-частотного квантования вэйвлет коэффициентов, что дало возможность определить необходимое пространственное подмножество вэйвлет коэффициентов и шаг квантования частотного скалярного квантователя и таким образом, уменьшить объем передаваемой информации. На основе этого разработаны алгоритмы пространственно-частотного квантования вэйвлет коэффициентов. Для устранения краевых эффектов восстановленных изображений проведен анализ метода экстраполяции данных на границах. Показано, что такой подход хотя и является довольно эффективным, однако он сравнительно сложен в процессе реализации. Исходя из этого предложен иной способ, который базируется на симметричном расширении сигнала путем установления зеркальных его отображений.

Для восстановления низкочастотной информации (низкочастотных коэффициентов) изображений путем оценки высокочастотных вэйвлет коэффициентов предложено использовать существующие взаимозависимости между вэйвлет коэффициентами разных масштабов, которые отвечают одной пространственной области, и определяются с помощью вэйвлет коэффициента корреляции.

Усовершенствован процесс видимой и невидимой вставки цифровой подписи (ЦП) в черно-белые и цветные изображения путем непосредственного интегрирования вэйвлет коэффициентов ЦП с соответствующими вэйвлет коэффициентами оригинального изображения. Для повышения качества выделения ЦП после фильтрования и компрессии сигналов, а также повышения помехоустойчивости и уменьшения чувствительности к влиянию атак, предложено осуществлять мультипликативную вставку в высшие уровни вэйвлет разложения. Экспериментальные исследования подтверждают высокий уровень уникальности такой ЦП и возможность использования ее для реализации многоразовой подписи.

Заложено новое направление в теории измерения интегральных характеристик, с использованием вэйвлет преобразования мгновенных значений периодических и непериодических сигналов. Предложена классификация и анализ таких методов оценки. Получены математические модели для оценки энергетических характеристик сигналов непосредственно во время-частотной области. Результаты исследований показали, что в сочетании с эффективным квантованием и энтропийным кодированием (или огрничением) полученных вэйвлет коэффициентов, обеспечивается существенное повышение помехоустойчивости, особенно когда существует корреляция помех, и точности преобразования.

Основные результаты работы нашли применение в проектировании новых типов проблемно-ориентированных преобразователей информации, а также при разработке программно-аппаратных средств цифровой обработки сигналов бортовых систем.

Ключевые слова: время-частотное преобразование, вэйвлет преобразование, помехоустойчивость, цифровая фильтрация, компрессия изображений, цифровая обработка сигналов.



ANNOTATION

Nakonechny A.J. Development of Theory and Practice of Mathematical Modelling of Signals in Time-frequency Domain. - Manuscript.

Thesis for a doctor of technical sciences degree in speciality 01.05.02 - mathematics modelling and computing methods.

National University “Lvivska Politechnica”, Lviv, 2005.

The thesis is dedicated to the development of theoretical statements of signals representation in time-frequency domain. The new direction of wideband signals representation in wavelet domain, which provides a number of advantages over existent representations, is generalized and developed. There have been developed separate theses of theory of time-frequency representation of images signals and space-frequency quantization of wavelet coefficients that allowed to improve quality and compression ratio of such signals. The methods of embedding image watermarking into black-and-white and color images in wavelet domain are improved. The research results confirm high tolerance of watermarked signals of compression, filtering and geometric distortions. There have been elaborated the new methods and mathematical models of processes of signals power parameters measurement on the basis of their time-frequency transform, high accuracy and noise immunity of which are confirmed by research results. The results of work are used for construction of new firmware means of data acquisition and processing systems of digital information.

Keywords: time-frequency transform, wavelet transform, noise immunity, digital filtration, image compression, digital signal processing.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку систем оброблення сигналів широко застосовуються методи, які використовують різні області їх подання. Саме від них суттєво залежать ефективність аналізу і оброблення самих сигналів, покращання ряду характеристик і отримання багатограннішої інформації про сигнал. До таких областей відносяться: часова область, частотна область - Фур'є, область косинусного та синусного представлень, коротко-часова область Фур'є (за Габором), область Гільбертового представлення та ін. На їх основі будуються алгоритми кореляційного аналізу, фільтрації, кодування сигналів та зображень, а також алгоритми зворотних відтворень.

Характеристики цілого ряду сучасних систем суттєво погіршуються у випадку перетворення і оброблення ними неперіодичних сигналів, як швидкоплинних, перехідних, так і повільних з високим вмістом різного типу завад. Крім того використання існуючих методів подання стримується складністю математичних моделей та алгоритмів їх реалізації, зменшенням рівня чутливості інформативних параметрів, швидкодії та високою вартістю розробок. Радикальним шляхом підвищення ефективності таких систем є розроблення нових методів подання, які б повніше інтерпретували вхідні сигнали і базувалися на одночасній локалізації сигналів в різних областях. Моделі перетворень, які створюватимуться на їх основі, не повинні бути складними і мають враховувати особливості архітектури обчислювальних засобів. Тому на сучасному етапі розвитку теорії швидких алгоритмів перетворення і оброблення сигналів спостерігається велике зацікавлення різними новими типами подання інформації і методами перетворень, які базуються на їх основі. Зокрема, як альтернативи до дискретного перетворення Фур'є використовуються коротко-часове перетворення Фур'є за Габором, різні спеціальні випадки швидкого перетворення Фур'є, різні варіанти косинусного та синусного перетворень, алгоритми швидкого перетворення Хартлі та ін.

Відомі окремі спеціальні підходи до побудови вказаних засобів оброблення сигналів зменшують кількість обчислень, однак потребують більшої апріорної інформації про вхідні сигнали, значного збільшення кількості алгоритмів і часових затрат на апаратурну реалізацію, особливо за наявності широкого спектра завад.

Суттєвим недоліком відомих методів подання сигналів є те, що вони локалізують їх лише в одній із областей, що приводить з однієї сторони до їх надлишковості, а з іншої сторони - до втрати інформації про сигнал. Такий підхід ускладнює математичні моделі, структуру і реалізацію алгоритмів перетворення та оброблення сигналів на їх основі.

Таким чином, актуальною є наукова проблема, яка полягає в необхідності розроблення нових методів подання сигналів і створення на їх основі ефективних математичних моделей та алгоритмів перетворення і цифрового оброблення даних, які можуть знайти практичне застосування при розв'язанні широкого кола прикладних задач.

Розробка теорії і практика подання сигналів у часо-частотній області має особливе значення для розвитку науки і виробництва в Україні. Прикладом може служити розв'язання проблеми компресії зображень та аудіосигналів, які є обов'язковими елементами усіх існуючих систем збереження та передачі баз даних, зображень і аудіосигналів. Використання часо-частотного перетворення відкриває широкі можливості для фільтрування сигналів, нанесення цифрових підписів, прогнозування показників у економіці та банківській справі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась в рамках пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки в Україні відповідно до плану науково-дослідних робіт Національного університету „Львівська політехніка” за держбюджетною темою „Проблемно-орієнтовані перетворювачі інформації” (ДБ/ЧІП) Міністерства освіти і науки України номер державної реєстрації 0102U001206, тісно пов'язана з планами дослідно-конструкторських робіт з розробки уніфікованої бортової системи збору інформації (відділ №121) Львівського центру Інституту космічних досліджень НАНУ та НКАУ, з планами дослідно-конструкторських робіт НВП „Електронні системи” з розробки системи компресії зображень та відеоінформації на космічному апараті „EgyptSat”.

Мета і задачі досліджень. Мета роботи полягає у розвитку теоретичних положень подання сигналів у часо-частотній області і створенні на цій основі нових математичних моделей і алгоритмів швидких малохвильових перетворень, орієнтованих на програмно-апаратну реалізацію засобів цифрової обробки сигналів і зображень з підвищеною інформативністю.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:

1. Провести порівняльний аналіз основних характеристик і властивостей найуживанішого перетворення Фур'є і його похідних та часо-частотного перетворення. Обґрунтувати вибір базових малохвильових функцій.

2. Дослідити основні види малохвильових перетворень на основі чого обґрунтувати практичну цінність дискретного малохвильового перетворення та можливі алгоритми обчислення і їх удосконалення.

3. Обгрунтувати критерії визначення класу широкосмугових сигналів і на їх основі розробити нові математичні моделі подання широкосмугових сигналів у часо-частотній області.

4. Розробити основні підходи для швидкого пошуку найбільш прийнятної базової малохвильової функції в залежності від виду вхідного сигналу.

5. Розвинути окремі положення теорії компресії сигналів зображень на основі їх малохвильового перетворення.

6. Розвинути окремі засади нанесення цифрових підписів на зображення в малохвильовій області.

7. Розробити нові принципи і математичні моделі процесів вимірювання енергетичних характеристик сигналів на основі їх малохвильового перетворення.

Об'єкт дослідження - процеси перетворення і оброблення широкосмугових сигналів.

Предмет дослідження - математичні моделі, методи та засоби перетворення і оброблення широкосмугових сигналів у часо-частотній області.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач використовувались методи математичного аналізу, теорії рядів і цифрової фільтрації, теорії сигналів, теорії малохвильового (wavelet) перетворення, теорії похибок, теоретичних засад вимірювальної техніки, комп'ютерне моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Дістали подальший розвиток теоретичні засади аналізу сигналів щодо класифікації перетворень залежно від виду перетворюваних сигналів, базових функцій і напрямків перетворень, що дозволило використати моделі часо-частотного перетворення цифрових еквівалентів вхідних сигналів для розроблення нових математичних моделей, орієнтованих на реалізацію у різних програмно-апаратних засобах розв'язання ряду прикладних задач.

2. Вдосконалено алгоритм поетапного малохвильового перетворення, який дозволяє зменшити об'єм необхідної пам'яті та прискорити процес подання одно- та двовимірних сигналів у часо-частотній області.

3. Розвинуто теорію аналізу широкосмугових сигналів в аспекті забезпечення постійної роздільної здатності та підвищення завадостійкості, розроблено математичні моделі широкосмугового сигналу, що базуються на малохвильовому перетворенні, запропоновано інтерпретацію взаємного малохвильового спектра, на основі якого можна здійснювати оцінку спорідненості двох систем.

4. Введено і обґрунтовано поняття базового оператора відображення, за допомогою якого виконується ефективна оцінка кількох перетворень однієї функції відносно різних базових малохвильових функцій і таким чином, встановлюється ефективність вибраної базової функції в даному типі перетворень.

5. Розвинуто окремі положення теорії просторово-частотного квантування малохвильових коефіцієнтів, які використовуються при компресії інформації нерухомих зображень, в результаті чого запропоновано підхід до визначення необхідної просторової підмножини малохвильових коефіцієнтів і кроку квантування частотного квантувача.

6. Одержали подальший розвиток методи усунення крайових ефектів зображень, та методи покращання візуальної якості зображень, сигнали яких подаються в малохвильовій області.

7. Розвинуто теорію нанесення цифрових підписів на зображення в аспекті підвищення стійкості підписаного зображення до компресії, впливу фільтрування, геометричних спотворень та зміни глибини зображень.

8. Вперше розроблено принципи і математичні моделі процесів вимірювання енергетичних параметрів сигналів на основі малохвильового перетворення, що забезпечують суттєве підвищення їх завадостійкості і точності.

Практичне значення одержаних результатів:

- запропоновано математичні моделі та алгоритми перетворення широкосмугових сигналів, що дозволяють розширити час дійсного оброблення, підвищити роздільну здатність і завадостійкість сигналів акустичних систем;

- розроблено методику знаходження оптимальної підмножини малохвильових коефіцієнтів і кроку квантування частотного квантувача при компресії нерухомих зображень;

- практичне впровадження розроблених методів усунення крайових ефектів та методів покращання візуальної якості зображень дозволило підвищити якість і стійкість зображень;

- створені придатні для використання у інженерній практиці методи нанесення цифрових підписів на зображення, що дозволило підвищити стійкість підписаного зображення до компресії, впливу фільтрування та геометричних спотворень;

- запропоновані математичні моделі процесів оцінки енергетичних параметрів сигналів дозволили шляхом квантування і кодування або порогування малохвильових коефіцієнтів суттєво підвищити завадостійкість і точність вимірювання.

Проведені автором дослідження та розробки використовувались як математично-алгоритмічна основа завадостійких логарифмічних перетворювачів, що розроблялися в рамках теми ДБ/ЧІП НУ „Львівська політехніка”.

На основі проведених досліджень автором розроблені курси лекцій „Прикладний аналіз даних” та „Цифрова обробка сигналів та зображень”, які протягом багатьох років читаються студентам старших курсів Національного університету „Львівська політехніка”. Результати досліджень також використовуються при виконанні дипломних проектів, магістерських робіт та наукових досліджень аспірантів.

Проведені автором дослідження та розробки використовувались: як математично-алгоритмічна основа програмно-апаратних засобів уніфікованої бортової системи збору і обробки цифрової інформації, що розроблялась в рамках ДКР Львівського центру Інституту космічних досліджень НАНУ та НКАУ; при розробці системи компресії зображень та відеоінформації на космічному апараті „EgyptSat”у НВП „Електронні системи”.

Публікації. За тематикою дисертаційної роботи опубліковано 35 наукових праць, серед яких одна монографія, 22 статті у фахових виданнях з них 9 одноосібних, 10 публікацій в працях республіканських і міжнародних конференцій, 1 авторське свідоцтво і 2 патенти на винаходи.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати отримані автором самостійно. В друкованих працях, опублікованих у співавторстві, автору належать: [2] -розроблення та аналіз методу комутаційного інвертування для підвищення точності перетворення; [3] - обґрунтування використання дії радіоімпульсу на зміни термопружного стану пластини; [4] - розроблення структури і функціональних перетворень та аналіз похибок; [6, 11] - теоретичне обґрунтування використання малохвильового перетворення для компресії двовимірних сигналів, розроблення узагальненої математичної моделі перетворення, обґрунтування застосування пірамідального алгоритму; [7,12, 26] - аналіз та розроблення структури компресора двовимірних сигналів з використанням ПЧК малохвильових коефіцієнтів, обґрунтування основних напрямків можливої модифікації; [13, 16, 21, 23] - постановка задачі, розроблення та обґрунтування малохвильових математичних моделей для аналізу широкосмугових сигналів, основні математичні викладки, постановка експериментів; [19] - обґрунтування методу та розроблення структури адаптації алгоритму відеокомпресії для реалізації на VLIW процесорі; [20] - аналіз просторової масштабованості 3D малохвильового кодера; [22] - аналіз та розроблення математичних моделей для оцінки енергетичних характеристик сигналів; [25] - розроблення структури цифрового вимірювального приладу з безпосередньою оцінкою енергетичних характеристик у малохвильовій області; [27] - обґрунтування удосконалення прогресуючого малохвильового кодування коефіцієнтів на різних масштабах.

Апробація результатів. Основні положення і результати роботи доповідалися на 10 науково-технічних конференціях, симпозіумах, семінарах, в тому числі на 5 міжнародних.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків. Загальний обсяг дисертації - 392 сторінки, з яких основний зміст викладено на 321 сторінках друкованого тексту і в тому числі містить 115 рисунків і 7 таблиць. Список використаних джерел складається з 124 найменувань на 12 сторінках. Шість додатків на 58 сторінках містять окремі фрагменти теоретичних досліджень, результати досліджень та акти впровадження результатів роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі відображено актуальність проблеми, обґрунтовано мету та основні задачі дослідження. Показано зв'язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Сформульовано наукову новизну і положення, що виносяться на захист. Розглядаються практична цінність, реалізація і впровадження результатів роботи. Наводяться дані про особистий внесок здобувача, апробацію роботи і публікації.

У першому розділі коротко подано основні положення ортогональних перетворень (ОП). Відзначається, що серед існуючих ОП найбільшого поширення набули ортогональні тригонометричні перетворення на основі прямого і оберненого перетворень Фур'є. Показано, що у випадку аналізу дійсних періодичних сигналів доцільно використовувати перетворення Хартлі, в якому пряме та обернене перетворення дійсних функцій виконується над полем дійсних чисел. Такі перетворення є симетричними, тобто в них використовуються однакові фазові множники, що сприяє спрощенню алгоритмів їх обчислень. Для спрощення вказаних перетворень запропоновано використовувати косинус- та синус-перетворення Фур'є, які є симетричними і визначеними для вужчого класу парних і непарних функцій і дають можливість скоротити число операцій при їх виконанні. Показано, що найбільше практичне використання мають дискретні форми згаданих перетворень, які аналізуються як для обмежених, так і необмежених в часі сигналів.

На основі аналізу двовимірних і багатовимірних перетворень Фур'є показано, що основною особливістю таких перетворень є можливість приведення їх до системи одновимірних перетворень, що сприяє спрощенню їх апаратної реалізації, однак збільшує час процесу перетворення.

Для аналізу несинусоїдальних сигналів, зокрема зображень та відеосигналів, в роботі розглядаються широковживані перетворення Уолша-Адамара та Хаара. Оскільки дані перетворення мають певну аналогію з ДПФ, то для них існують алгоритми швидкого обчислення.

В результаті порівняння розглянутих перетворень з базовим перетворенням Фур'є можна зробити висновок, що усі вони мають різні базові функції з різними модифікаціями спектральних компонент, відрізняються ваговими функціями і використовуються залежно від типів вхідних сигналів та поставлених завдань щодо їх обробки.

З метою більш повного вивчення поведінки сигналу в часовому просторі і визначення його спектру шляхом застосування до нього перетворення Фур'є в роботі розглядаються перетворення Габора з часовим вікном у вигляді Гауссівської функції та короткочасове перетворення Фур'є (КЧПФ). В результаті аналізу показано, що для перетворення Габора та КЧПФ часо-частотне вікно є жорстким (ширина часо-частотного вікна не змінюється при спостереженні спектра на усіх частотах) і, таким чином, малопридатним для дослідження сигналів з широким спектральним вмістом. В такому випадку для аналізу та обробки сигналів запропонований більш перспективний метод, який базується на малохвильовому перетворенні сигналів.

Для підтвердження можливості використання малохвильового перетворення для аналізу широкосмугових неперіодичних процесів, а також тлумачення окремих його властивостей та встановлення певних аналогій і можливих зв'язків з різними відомими видами перетворень, в першу чергу з перетворенням Фур'є, в роботі проведений порівняльний аналіз таких перетворень. В результаті чого встановлено, що малохвильове перетворення має аналогію з перетворенням Фур'є і рядами Фур'є, модель малохвильового перетворення подібно до перетворення Фур'є представляє функцію як зважену суму масштабованої і зміщеної базової малохвильової функції.

Обґрунтовано перспективність використання малохвильового перетворення для вирішення низки прикладних задач. Успішне розв'язання зазначеної наукової проблеми потребує попереднього розроблення принципів та математичного моделювання відповідних сигналів у часо-частотній області.

Другий розділ присвячено аналізу теоретичних засад та вибору основних алгоритмів подання сигналів у часо-частотній області. Переосмислення і узагальнення основних принципів подання сигналів у різних областях дозволило запропонувати концепцію оброблення сигналів з проміжним їх прямим або прямим і оберненим малохвильовим перетворенням та оцінкою безпосередньо у часо-частотній області, що забезпечує найбільшу інформативність про характеристики сигналу і може ефективно використовуватись при вирішенні широкого кола прикладних задач.

Важливою структурною складовою в малохвильовому аналізі є вибір базових функцій, який пов'язаний лише з забезпеченням оптимального режиму в різних практичних застосуваннях та суттєво впливає на ефективність самого малохвильового перетворення. Оскільки роздільні здатності сигналів у часовій і частотній областях взаємозв'язані і визначаються нерівністю Гайзенберга ДxДf ?1/2, де Дx і Дf роздільні здатності в часовій і частотній областях відповідно, то найбільш повну інформацію про сигнал дають саме базові малохвильові функції. Сформульовані основні вимоги, які ставляться до таких функцій. Показано, що множина базових функцій {ш_i} отримується як змасштабовані і зміщені версії однієї материнської базової функції ш.

У випадку неперервного малохвильового перетворення (НМП) здійснюється подання сигналу f(t)L²(R) в масштабно-зміщувальній області:

, (1)

де W_ш(a,b) - малохвильове зображення; a,b - параметри масштабування і зміщення відповідно; * - операція комплексного спряження. Розгляд НМП супроводжується аналізом часового, частотного та часо-частотного вікон. Відзначається, що НМП та алгоритми його обчислень переважно використовуються для тлумачення певних властивостей часо-частотного перетворення та його дискретних форм.

В роботі проведено розділення малохвильових функцій на ортогональні, напівортогональні та біортогональні. Оскільки ортогональні і біортогональні малохвильові перетворення, незважаючи на деякі обмеження, мають ряд позитивних властивостей, до яких в першу чергу відносяться: можливість достатньо точного представлення сигналів на низькому рівні відтворення, реалізація алгоритмів швидких малохвильових перетворень, норма енергії ортогональних базових малохвильових функцій пов'язана з нормою її коефіцієнтів, ідентичність аналізуючого і синтезуючого фільтрів, то в роботі проаналізовані можливості їх застосування на практиці для ефективних перетворень сигналів. Відзначено, що отримані І. Добеші ортогональні малохвильові функції мають добре локалізований спектр і за допомогою них можна досягнути певних якісних показників. В першу чергу це стосується спрощення апаратної реалізації і можливості точної оцінки характеристик сигналів складної форми безпосередньо у малохвильовій області. Оскільки при біортогональному малохвильовому перетворенні практично не втрачається інформація про сигнал, то воно може бути використаним для якісного відтворення компресованих сигналів та сигналів цифрових підписів, а накладання певних функціональних умов дозволяє оптимізувати процес розробки самих біортогональних малохвильових функцій.

Серед усіх існуючих форм малохвильового перетворення сигналів найбільше практичне значення має дискретне малохвильове перетворення (ДМП). Таке перетворення є визначеним стосовно “дискретної базової малохвильової функції” h(k) і може бути представлене у вигляді

де m і n кількості кроків дискретизації масштабу і зміщення відповідно. Масштаб a і зміщення b представляються відповідно як a=a₀^m, b=n b₀ a₀^m, де a₀ і b₀ є відповідно розмірами кроків дискретного масштабування і зміщення.

Обчислення прямого ДМП полягає в обчисленні масштабних b_J,k і малохвильових коефіцієнтів c_J,k:

, (3)

де x[n] - миттєві значення вибірок сигналу; h_j^*[n-2 ^j k] - аналізуюча дискретна малохвильова функція; g_J^*[n-2 ^J k] - аналізуюча масштабна функція; j = 1,, J.

Відповідно обернене ДМП (ОДМП) буде мати вигляд:

(4)

ДМП повністю описує алгоритм малохвильового перетворення у випадку коли малохвильові і масштабні функції приводяться від одної октави до іншої. Відзначається, що проаналізовані алгоритми дискретного малохвильового розкладу і відтворення є аналогічними, мають високу швидкодію, а операції в них виконуються у протилежних напрямках.

Обчислення ортогональних дискретних малохвильових функцій пропонується виконувати за допомогою швидкого малохвильового перетворення або так званого пірамідального алгоритму Маллата. В роботі показано, що функції блока обчислення ДМП досить точно описуються особливим набором фільтрових коефіцієнтів, через які остаточно визначаються малохвильові коефіцієнти. Фільтрові коефіцієнти різних порядків були отримані І. Добеші. Відзначається, що одними з найпростіших та найбільш локалізованих фільтрових коефіцієнтів є D4, які мають чотири коефіцієнти С₀,...,С₃. Пряма матриця перетворення містить дві комбінації таких коефіцієнтів. Крім фільтрових коефіцієнтів D4 на практиці широко використовують коефіцієнти D6 і D8.

Крім розглянутого пірамідального алгоритму Маллата в роботі аналізуються удосконалений алгоритм Койфмана-Викерхаузера та алгоритм поетапного перетворення. Останній алгоритм запропоновано використовувати для обчислення ДМП оскільки він забезпечує перетворення без втрат і зменшує складність арифметичних обчислень.

З метою підвищення ефективності алгоритму поетапного перетворення для подання двовимірних сигналів, автором запропонована організація заміщеного малохвильового перетворення, яка дозволяє, шляхом заміни початкових даних обчисленими значеннями на стадії прогнозування і обновлення, зменшити об'єм необхідної пам'яті та прискорити процес перетворення. Так у випадку, коли довжина фільтра прогнозування є більшою ніж фільтра обновлення (M_p^F>M_u^F), що відповідає організації обчислень, яка наведена на рис.1, виникають ускладнення з перезаписом обчислених даних. Для усунення такого вузького місця запропоновано використовувати проміжний буфер, що значно покращує використання пам'яті в архітектурі стрічково-стовпцевого малохвильового перетворення.

З метою оптимізації алгоритму заміщеного перетворення проводиться об'єднання елементів пам'яті початкових даних і даних малохвильвого перетворення, обчислення об'ємів пам'яті окремих елементів, а також дослідження окремих потоків пересилання даних між елементами пам'яті. Результати досліджень показують високу ефективність такого підходу, причому використання додаткової пам'яті дозволяє більше як у два рази збільшити число передач між регістрами процесора і буферною пам'яттю.

Оскільки в теорії перетворення і обробки сигналів приведена концепція аналізу і синтезу належить до високоякісного, точного і швидкодіючого двоканального підсмугового кодування системи, розглянуті ДМП і ОДМП можуть широко використовуватися для перетворення цифрових еквівалентів вхідних сигналів під час компресії різних типів сигналів, нанесенні цифрових підписів, при фільтруванні та оцінці характеристик сигналів в реальному масштабі часу.

Таким чином, у світлі розглянутих теоретичних положень і проведеного аналізу алгоритмів перетворення задача побудови моделей в основному зводиться до фізичного моделювання процесів, сигнали яких попередньо представлені у малохвильовій області. В залежності від конкретних задач результати таких перетворень можуть подаватися безпосередньо як у часо-частотній області, так і у якісь іншій з областей.

У третьому розділі приводиться дослідження подання широкосмугових сигналів у малохвильовій області. Першочергово проводиться розділення сигналів на вузько- і широкосмугові, на основі чого аналізуються широкосмугові взаємні функції двох змінних (ШВФДЗ) і малохвильове перетворення. З метою забезпечення ефективного оброблення сигналів, які є функціями двох змінних, запропоновано виконувати формування ШВФДЗ двох сигналів, кожний з яких представлений у малохвильовій області.

Широкосмугові сигнали існують в багатьох прикладних задачах, однак їх переважно аналізують як певні обмеження, які накладаються на вузькосмугову обробку, а не як елемент моделі або характеристики, тому включення широкосмугових нестаціонарних особливостей в процес моделювання (завдяки малохвильовій теорії) дозволяє отримати суттєві переваги при розв'язанні низки прикладних задач.

Оскільки вигляд моделей і способів оброблення сигналів залежать від коректного їх розділення на вузько і широкосмугові, в роботі першочергово сформульовані основні критерії для такого розділення в статичних системах. Пропонується розглядати сигнали як широкосмугові, якщо для них виконується наступна нерівність [1]:

коли _c 0 (5)

де BW - частинна ширина смуги; _c - центральна частота. Якщо _c = 0, то сигнал сам по собі розглядається як широкосмуговий.

У випадку динамічних систем з наявним рухом та біжучими хвилями критерій розділення сигналів на вузько- і широкосмугові базується на визначенні максимального інтервалу процесу дійсного оброблення [14]

, (6)

де T_об-ШС - тривалість дійсного оброблення широкосмугового сигналу; V_ф - швидкість з якою просувається фронт хвилі; A - прискорення між будь-якими елементами в системі; L - середньоквадратична ширина смуги сигналу. Таким чином, широкосмугова модель має безмежний дійсний інтервал оброблення, для систем, що мають постійні швидкості, в той час як вузькосмугова модель буде дійсною лише для деякого обмеженого інтервалу, який залежить від швидкостей в системі (або середовищі) і ширини смуги сигналу.

Перетворення, які здійснюються в біомедицині, синтезі та розпізнаванні мови, геофізиці, океанографії, системах зондування та інших акустично чутливих системах вимагають широкосмугового, багатооктавного сигнального оброблення. Використання кореляційного або когерентного оброблення цих сигналів протягом інтервалів спостереження суттєво покращує коефіцієнт передачі всієї системи оброблення сигналів, однак тривалі інтервали спостереження, з іншого боку, приводять до нестаціонарності або часозмінного спектра сигналів, що спостерігаються.

Для вищезгаданих прикладних задач аналіз сигналів можна ефективно здійснювати на основі малохвильового перетворення.

Здебільшого малохвильове перетворення визначають як ШВФДЗ, що фізично представляє кореляцію між одним сигналом і масштабованою та зміщеною версією другого сигналу і відображає два одновимірні сигнали скінченої енергії на двовимірну площину скінченої енергії. Широкосмугова модель використовується в системах, коли вони мають значні зміни протягом інтервалу спостереження; відбитий імпульс (або відповідна характеристика) змінюється в часі.

Проведений в роботі аналіз ШВФДЗ вказує на можливість існування двох її форм. Перша, початкова форма неперервної в часі ШВФДЗ між r(t) і s(t) має вигляд

, (7)

де R(a, b) - ШВФДЗ, r(t)- прийнятий сигнал, а s(t) - інший, можливо, той самий сигнал, a- часовий масштаб, а b- часова затримка або зміщення. Друга форма виглядає так:

(8)



З виразів (7) і (8) випливає, що обидві форми відрізняються порядком виконання операцій масштабування і часової затримки, причому друга форма є ідентичною до малохвильового перетворення. Хоча ШВФДЗ трактуються як малохвильове перетворення і навпаки, однак ШВФДЗ представляють просторові параметри, а малохвильові перетворення діють лише на параметри часової області. Таким чином, використовуються поняття як ШВФДЗ, так і малохвильового перетворення, замість того, щоб користуватися лише одним із них. Дана визначна властивість є аналогічною до вузькосмугового трактування, де перетворення Фур'є діє на сигнали часової області, а вузькосмугова взаємна функція двох змінних (ВВФДЗ) представляє просторові параметри.

Для забезпечення ефективного оброблення функцій двох змінних, а також більш повного відображення характеристик сигналів в роботі запропоновано виконувати формування ШВФДЗ сигналів, кожний з яких також представлений у малохвильовій області. При цьому ШВФДЗ трактуються як малохвильове перетворення, що представляє просторові параметри. ШВФДЗ двох невідомих сигналів в області малохвильових перетворень обчислюється наступним чином:

(9)

де R”(S, ) - ШВФДЗ двох сигналів; r₁ і r₂ - два незалежних (можливо навіть невідомих) сигнали; S і - параметри масштабу і зміщення відповідно; c_g - постійна інтегрування. Якщо r₂ задовольняє вимоги, встановлені для базових функцій, то ШВФДЗ представлятиме малохвильове перетворення відносно нової базової малохвильової функції r₂ і одночасно виражатиметься як дія деякого інтегрального оператора на два сигнали малохвильових перетворень.

В наведеній структурі обидва сигнали, які представлені в часовій області r₁(t) і r₂(t), зазнають малохвильового перетворення відносно деякої базової малохвильової функції, g(t). Далі здійснюється масштабування (s) і зміщення () одного з перетворень, що розглядається як базове в малохвильовій області. Завершуються перетворення перемноженнями і підсумовуваннями в двовимірному просторі. Результат обчислення при цьому отримується повністю в малохвильовій області.

Істотною перевагою запропонованого окремого малохвильового перетворення є те, що воно підтримує нестаціонарні короткотривалі (перехідні) характеристики сигналу і дозволяє використовувати їх для оцінки просторових нестаціонарних систем. Отже, часові і просторові виміри є невіддільні в даній структурі, і при цьому будується багатовимірне просторовочасове малохвильове перетворення, яке може характеризувати як короткотривалі зміни сигналу (дві функції в (a, b) плані), так і просторову структуру (ШВФДЗ в (S і ) плані). Важливим для нового багатовимірного малохвильового перетворення є те, що воно представляє дві двовимірні функції через одну двовимірну і розмірність при цьому не збільшується. Кожна оцінка ШВФДЗ через значення S, визначає ступінь подібності (кореляції) між масштабованою і зміщеною версією одного прийнятого сигналу і немодифікованою версією іншого прийнятого сигналу. Наведена структура може мати широке застосування. Так вона може бути використана для визначення ступеня кореляції між двома малохвильовими перетвореннями або сигналами у випадку, коли два приймачі приймають спільне джерело сигналу. Величина взаємного малохвильового перетворення може мати пік, який буде вказувати на цю спорідненість. Можуть спостерігатися багатократні частини сигналів, що є спільними для обох прийнятих сигналів, які будуть формувати піки при взаємному малохвильовому перетворенні. Необхідно зазначити, що в цьому випадку також покращуються як роздільна здатність, так і коефіцієнт передачі сигналу. Взаємне перетворення може також представляти спорідненість (або відмінність) між двома системами. Такі подібності можуть бути використані при виділенні особливостей аналізованих структур або при розробленні схем моделювання.

Відзначимо, що формування ШВФДЗ може бути інтерпретоване як взаємний малохвильовий спектр.

Більшість початкових досліджень в малохвильовій теорії зосереджували свою увагу на ортогональних та біортогональних малохвильових функціях. Такі малохвильові функції мають ряд бажаних властивостей, які ефективно використовуються, зокрема при обробці зображень. Проте ортогонально- біортогональні базові малохвильові функції створюються особливими фільтровими структурами за умови дотримання жорстких обмежень. Такі функції становлять лише малу частину допустимих базових малохвильових функцій, а ті функції, що залишаються, представляють собою ядра “необмежених” малохвильових перетворень. Багатьох бажаних характеристик подання функцій можна також досягти при використанні необмежених базових малохвильових функцій. Такі бажані характеристики обумовлюються конкретними застосуваннями.

З метою підвищення ефективності ортогонально-біортогональних та необмежених малохвильових перетворень, а також характеристик систем автором запропоновано доповнити малохвильову теорію поняттям базового оператора відображення (БОВ). Відомо, що характеристика області малохвильового перетворення сигналу (або системи) суттєво залежить від базової малохвильової функції, яку вибрано в якості ядра перетворення. Новий БОВ вводиться для ефективної оцінки кількох перетворень тієї самої функції відносно різних базових малохвильових функцій. БОВ приводить до представлення сигналу (системи), яке може включати багатократні малохвильові функції (або тільки “найкращу” базову малохвильову функцію), замість лише оригінальної базової малохвильової функції. Даний оператор дозволяє здійснювати розгляд кількох базових малохвильових функцій без суттєвого збільшення обсягу потрібних для цього обчислень. Оператор також можна застосовувати для формування ШВФДЗ з метою підвищення ефективності та структурної перебудови процесора ШВФДЗ.

Таким чином, БОВ відображає малохвильове перетворення функції f стосовно базової функції g в нове малохвильове перетворення f відносно базової малохвильової функції g₂. Оператор визначається як [1]

(10)

де W_gf(a,b) - малохвильове перетворення деякої функції f стосовно базової малохвильової функції g; a, b і a, b масштаб та зміщення нової і старої малохвильових функцій відповідно. В частковому випадку, коли g₂(t)=g(t), виникає певна властивість “ядра відтворення”, яка показує, що роздільна здатність малохвильового перетворення може бути лише роздільною здатністю його широкосмугової авто функції або його відтворюючого ядра. Таким чином, широкосмугова авто функція базової малохвильової функції є доброю мірою знаходження найкращих характеристик роздільної здатності, яких може досягнути малохвильове перетворення.

З допомогою БОВ здійснюється пошук базових малохвильових функцій, які забезпечують компактну підтримку малохвильового перетворення. Таким чином, у випадку передачі, будуть передаватися максимальні значення найбільш концентрованого представлення області малохвильового перетворення. Важливою перевагою використання БОВ є те, що оператор уникає запам'ятовування даних оригінальної функції або відтворення цих даних з попереднього малохвильового перетворення, що суттєво скорочує об'єм необхідної пам'яті. Якщо сигнали, що перетворюються подібні до базової малохвильової функції, то подання у області перетворення буде більш ефективним та точніше відобразить визначальні властивості сигналу.

Нові представлення відносно різних базових функцій будуть включати ряди, які містять вагомі значення малохвильових коефіцієнтів, з кожним рядом коефіцієнтів буде асоціюватися своя базова малохвильова функція. Базова малохвильова функція ефективно виділяє тільки ту частину сигналу, яку вона може ефективно представити і це дозволяє обробляти решту сигналу за допомогою іншої базової малохвильової функції. Ряд базових малохвильових функцій і пов'язаних з ними коефіцієнтів (число яких ймовірно є невелике) є новим представленням сигналу. Отже, новий розклад може бути визначеним не тільки на основі малохвильових коефіцієнтів, але і на основі базових малохвильових функцій.

Дослідження узагальнених базових малохвильових функцій і створення більш ефективних реалізацій та відображень з цими загальними малохвильовими функціями, дає можливість розробляти адаптивні або більш стійкі схеми базових малохвильових функцій.

Таким чином, включення нового поняття - БОВ розширило можливості малохвильового перетворення, наділивши його адаптивними властивостями щодо виду досліджуваних сигналів.

Нова малохвильова, широкосмугова модель може бути використана для моделювання процесів випромінювання, поглинання, відбивання, заломлення або обмеження. В роботі розглядається практичне використання нової моделі у випадку відбивання широкосмугових сигналів від повільних (масштабування на рівні 1,001) та порівняно швидких рухомих об'єктів. Дослідження підтверджують, що запропонована модель нової системи не тільки дає можливість враховувати певні зміни, які відбуваються упродовж інтервалу спостереження, але і змоделювати зміни на короткому інтервалі цієї оцінки. Така модель розширяє тривалість дійсної обробки, яка обмежується лише шириною смуги та прискоренням і дозволяє досягати збільшення енергії, підвищення коефіцієнта передачі, покращання роздільної здатності і підвищення стійкості моделювання.

В роботі розглядається алгоритм оброблення сигналу, який використовується при широкосмуговому зондуванні і базується на використанні малохвильової моделі. Розроблені швидкі алгоритми оброблення широкосмугової кореляції відповідно активного і пасивного зондування. Наведено результати експериментальних досліджень, які підтверджують стійкість і ефективність розробленого алгоритму.

Четвертий розділ присвячений підвищенню ефективності компресії одно- та двовимірних сигналів на основі малохвильового перетворення. У цьому ж розділі викладені основні теоретичні положення побудови компресорів зображень на базі малохвильового перетворення сигналів та алгоритми їх функціонування.

Початково розглядається компресія одновимірних аудіосигналів на основі їх малохвильового перетворення, в результаті чого показано, що малохвильовий аналіз порівняно з традиційним аналізом Фур'є має ряд суттєвих переваг при поданні таких сигналів.

З метою порівняння існуючих методів компресій зображень та виявлення найбільш ефективних серед них, в роботі використовуються два основних параметри: ступінь компресії (СК) та пікове відношення сигналшум (peak signal-to-noise ratio (PSNR)). Для характеристики СК використовується значення відношення біт/піксел (bits per pixel (BPP)). Саме це відношення використовується надалі для встановлення залежностей BPP від PSNR при оцінці різних методів компресії.

В результаті проведеного аналізу показано, що найвищих СК при використанні малохвильового перетворення можна досягти у випадку компресії з втратами шляхом ефективного квантування малохвильових коефіцієнтів та наступного їх ентропійного кодування. На прикладі одного рівня двовимірного прямого малохвильового перетворення аналізується структура розкладу звичайного нерухомого зображення. Показано, що в даному випадку використовується одновимірна модель перетворення сигналу, а структура складається з двох окремих одновимірних перетворень.

Згідно з наведеною структурою, двовимірне фільтрування розкладає зображення на один усереднений сигнал (f_ll) та три деталізуючі сигнали f_lh, f_hl, f_hh, які мають свої особливості. Залежні від напрямку фільтрування властивості деталізуючих сигналів є наслідком вмісту в них відповідних частотних діапазонів.

Зазвичай над усередненим сигналом повторно здійснюється малохвильове перетворення. Число таких перетворень залежить від багатьох факторів, серед них вимоги до компресії, розмір оригінального зображення, порядок фільтрів. Переважно, чим вищі вимоги до якості та СК, тим більше потрібно перетворень усередненого сигналу [7,11].

Враховуючи, що на основі методів компресії зображень з малохвильовим перетворенням, при правильному виборі технологій квантування та кодування, можна досягти вражаючих результатів, в роботі приводиться порівняльна характеристика систем компресії, які використовують різні методи кодування та окремі базові малохвильові функції.

...