Розвиток теорії і практика математичного моделювання сигналів у часо-частотній області

Оскільки при визначенні малохвильових і масштабних коефіцієнтів прямого і оберненого малохвильових перетворень зроблено припущення, що вони мають нескінченні довжини, то застосування їх до множин скінченої довжини приводить до появи небажаних крайових ефектів на зображеннях. З метою усунення крайових ефектів з трансформованого зображення, в роботі досліджується метод, який базується на поліноміальній екстраполяції даних. Екстрапольоване дискретне малохвильове перетворення має досконалу обернену форму. При досліджені компактно використовуються визначені ортогональні малохвильові функції Добеші, хоча метод легко може бути розширений і на біортогональний малохвильовий базис. Метод полягає в знаходженні зовнішніх масштабуючих функцій за правими та лівими межами зображень шляхом екстраполяції послідовностей s_m[n]. При цьому математичні моделі для визначення масштабуючих s_m-1[n] та малохвильових d_m-1[n] коефіцієнтів з врахуванням внутрішніх та зовнішніх масштабуючих функцій мають вигляд

(11)

(12)

де - _l,i та Д _l,i відповідні поліноміальні коефіцієнти, що виступають в матриці екстрапольованого ДМП у вигляді локалізованих блоків. Таке екстрапольоване ДМП перетворює послідовність довжиною L з масштабом m у дві послідовності (m-1) -го масштабу загальною довжиною L+N-2. Послідовності (m-1) -го масштабу містять всю необхідну інформацію для здійснення відтворення первісної послідовності m-го масштабу, використовуючи стандартне обернене малохвильове перетворення, при умові, що екстраполяційний параметр M достатньо великий (в загальному випадку рекомендується використовувати значення M=N).

Таким чином, при оптимальному виборі екстраполяційного параметра існує N-2 вибірок надлишкових даних. Крім очевидної неефективності зберігання надлишкових даних, існує ще один недолік, який полягає в тому, що дана послідовність s_m[n], довжина якої L є кратною 2, буде перетворена в послідовності, довжини яких не є кратними двом. Це означає, що екстрапольоване ДМП в такій формі не може бути рекурсивно застосоване до послідовностей s_m[n], s_m-1[n], s_m-2[n],… як це, зазвичай, здійснюється в розподілах зі змінною роздільною здатністю. З огляду на це, в роботі сформульовані критерії, якими потрібно користуватися при виборі L вибірок.

Для підтвердження ефективності наведеного методу приведені конкретні зображення з використанням екстрапольованого ДМП.

Оскільки такий метод усунення крайових ефектів достатньо складний з точки зору практичного виконання і потребує додаткової пам'яті для збереження коефіцієнтів екстраполяції, на практиці часто використовують більш простий метод, що ґрунтується на розширенні сигналу за межі зображення шляхом періодичного його повторення. Недоліком такого методу є те, що коли вибірки сигналу на початку та в кінці інтервалу значно відрізняються, виникають сплески на межах оригінального сигналу, що приводить до локального збільшення малохвильових коефіцієнтів і утруднює процес квантування та кодування.

В роботі запропоновано значно кращий метод, який базується на симетричному розширенні сигналу шляхом встановлення дзеркальних відображень сигналу. Математичні моделі для обчислення малохвильових коефіцієнтів одного рівня розкладу для послідовності s_m[n], з врахуванням дзеркальних відображень сигналу до інтервалу, в його межах та поза ним, мають наступний вигляд:

Такий підхід усуває небажані стрибки значень малохвильових коефіцієнтів на межах інтервалу. В даному випадку після фільтрації необхідно зберігати двічі більшу кількість коефіцієнтів. Однак половину з них можна відкинути, якщо використовувати симетричні фільтри, отримуючи, таким чином, кількість коефіцієнтів, яка дорівнює довжині оригінального сигналу. В таких випадках, із-за симетричності, запропоновано використовувати біортогональні малохвильові функції замість ортогональних.

В роботі відзначається, що високих показників компресії зображень можна досягнути за допомогою алгоритмів, що базуються на простій моделі зображення, яка використовує просторово-частотне квантування малохвильових коефіцієнтів. Оригінальні зображення добре характеризуються як лінійна комбінація елементів, енергія яких сконцентрована в частотній області та в просторі. Найбільше енергії типового зображення зосереджено в низькочастотній області, в той час у просторі вона концентрується навколо контурів зображення. Саме тому в роботі пропонується використовувати методи квантування малохвильових коефіцієнтів, які використовують властивості як частотної, так і просторової локалізації коефіцієнтів, до яких, в першу чергу, відносяться квантування нуль-дерева та просторово-частотне квантування (ПЧК). Подальші дослідження пропонується проводити в напрямку вдосконалення саме цих методів.

Оскільки квантування нуль-дерева використане в багатьох сучасних малохвильових компресорах, то автором зосереджена увага не тільки на дослідженні цього методу, але і на питанні оптимізації спільного використання просторового квантування та скалярного квантування частотних смуг коефіцієнтів. Спрощений алгоритм роботи квантувача полягає у відкиданні, тобто зведенні до нуля, деякої підмножини малохвильових коефіцієнтів при квантуванні нуль-дерева і подальшому застосуванні одного простого частотного скалярного однорідного квантувача стосовно решти коефіцієнтів.

Визначення необхідної просторової підмножини малохвильових коефіцієнтів і кроку квантування скалярного квантувача може бути вирішене шляхом знаходження оптимального співвідношення СК - рівень спотворення. Оскільки згадані фактори є взаємозалежними, то для оптимізації співвідношення між ними автором запропоновано використовувати метод множника Лагранжа.

Таким чином, при запропонованому підході розв'язується наступний вираз

, (13)

де J(q,S) - змінна Лагранжа, D(q,S) - ступінь спотворення, R(q,S) - СК, S - просторове піддерево, q - крок скалярного квантувача, - множник Лагранжа. Отже, розв'язок (^*,q^*,S^*) виразу (13) отримується за три послідовних оптимізаційних етапи.

Оскільки в результаті проведення ПЧК отримуються дані у вигляді проквантованих малохвильових коефіцієнтів та інформації про карту нуль-дерева і між ними існує тісний зв'язок, то в роботі пропонується алгоритм покращання ефективності кодування, який базується на використанні стратегії прогнозування бітів карти вузлів даної смуги на основі інформації про дані (малохвильові коефіцієнти) відповідної породжуючої смуги, що дозволяє на декодуючій стороні отримати з поля даних більшість інформації про карту дерева.

Експериментальні дослідження наведеного ПЧК-алгоритму проводились на стандартних чорно-білих зображеннях. При цьому застосовувався 4-масштабний малохвильовий розклад з використанням біортогонального набору фільтрів В97. Результати досліджень стверджують, що компресори з використанням ПЧК-алгоритму можуть впевнено конкурувати з найкращими відомими компресорами. Крім того, на відміну від більшості відомих квантувачів малохвильових коефіцієнтів, в даному методі, внаслідок значного зменшення ймовірності малозначимих коефіцієнтів у всіх смугах, після скорочення дерева можна застосовувати скалярний квантувач з однаковим розміром кроку для усіх смуг. Відзначається, що хоча квантувач ПЧК є дещо повільнішим за деякі типи квантувачів, його декомпресор працює значно швидше (завдяки існуванню схеми прогнозування). Тому компресор, побудований на основі ПЧК, може бути придатний для формування бібліотеки зображень, централізованих або збережених на CD базах, де перевагу має асиметрична складність кодування.

Враховуючи, що спотворення малої кількості коефіцієнтів з кореневої смуги приводить до погіршення візуальної якості зображення більше, ніж аналогічне спотворення високочастотних коефіцієнтів, а також існування взаємозв'язку між малохвильовими коефіцієнтами на різних масштабах, що відповідають одній просторовій області зображення, запропоновано здійснювати відтворення низькочастотної інформації шляхом оцінки високочастотних коефіцієнтів. Алгоритм прогнозування дерева при цьому може реалізуватися не лише визначенням максимумів малохвильових коефіцієнтів для великої кількості проміжних масштабів, але і запропонованим наближеним швидкодіючим методом: аналізу розташування максимумів масштабу 2^j і масштабу 2^j+1, або більш ефективним запропонованим методом - знаходженням взаємозалежностей малохвильових коефіцієнтів на різних масштабних рівнях шляхом обчислення їх взаємного малохвильового перетворення. Такий підхід дозволяє усувати не тільки білий шум, але і інші типи завад, а також може бути використаний при відновленні втраченої інформації.

На основі результатів практичних досліджень використання різних типів малохвильових функцій, квантувачів та кодерів, а також синтезованих на їх основі компресорів показано, що більшість з них мають практичне застосування. Ряд комбінацій згаданих елементів вважаються кращими з точки зору забезпечення певних конкретних характеристик компресора, і їх вибір переважно визначається поставленими конкретними завданнями.

П'ятий розділ присвячений розгляду основних особливостей та переваг нанесення цифрових підписів (ЦП) (цифрових водяних знаків) на основі малохвильового перетворення сигналів. Наводяться основні моделі та алгоритми нанесення ЦП на чорно-білі та кольорові зображення, а також результати експериментальних досліджень, які підтверджують високу ефективність запропонованого методу нанесення ЦП.

З метою захисту документів і цінних паперів, а також захисту авторських прав та легального розповсюдження мультимедійних продуктів використовуються різні методи нанесення ЦП. Усі методи захисту прагнуть задовольнити дві основні вимоги: невидимість ЦП і його стійкість при модифікації зображення з одночасним збереженням його бажаної якості.

Найбільш поширені методи нанесення ЦП просторового кодування, а також частотного кодування та спектральної дисперсії, які базуються на використанні дискретного косинусного перетворення (ДКП), так чи інакше не задовольняють споживача відносно стійкості і якості ЦП при компресії, фільтруванні, обрізанні країв і впливі завад на закодовані дані, а також області встановлення ЦП та можливості його виділення. Порівняно із згаданими методами, нанесення ЦП в малохвильовій області має ряд переваг, зокрема можливість кращої локалізації особливостей країв зображення, менші обчислювальні затрати, можливість локалізації інформації у просторі і частоті, що робить ЦП більш стійким до геометричних змін, компресії та фільтрування.

Залежно від області представлення зображення ЦП, а також його видів і параметрів, можна виділити ряд типів нанесення ЦП на оригінальні зображення, що базуються на малохвильовому перетворенні.

Перший базується на модифікації схеми, яка використовує ДКП оригінального сигналу та ЦП. Оригінальне зображення в даному випадку розкладається за допомогою пірамідального алгоритму на декілька рівнів, а ЦП вставляється в значущу область оригінального зображення, наносячи, таким чином, ЦП на середньо- і низькочастотні коефіцієнти. Якщо виконуються чотири рівні розкладу, то підпис вставляється в частоти, які вибрані всередині другої і третьої смуг. За допомогою деякого параметра може здійснюватися регулювання стійкості і чутливості зображення.

Основним недоліком даного типу нанесення ЦП є те, що при ілюстрації зображень з однорідними ділянками, ЦП в них досить помітні, тоді як дуже деталізовані зображення можуть допускати більш виразний підпис. З метою пристосування процесу кодування до різних видів зображень доводиться виконувати доволі складну оцінку параметра за допомогою локальної дисперсії. Відзначається, що такий метод найбільше підходить для видимого ЦП зображень, наприклад, державних цінних паперів і грошей.

Для усунення згаданих недоліків автором пропонується алгоритм, який включає додаткове m-рівневе малохвильове перетворення ЦП. При цьому відбувається паралельне одночасне подання оригінального зображення D(x) і ЦП W(y) (можливе попереднє його ДКП) у малохвильовій області, в результаті чого отримуються відповідно DW(x) і WDC(y) перетворення.

У цьому випадку в отриманому підписаному зображенні D(x) може здійснюватися регулювання розміщення між оригінальним зображенням D(x) і ЦП W(y) за допомогою деякого параметра . Необхідно зазначити, що наведений варіант нанесення ЦП досконаліший ніж попередній, оскільки в ньому здійснюється безпосереднє інтегрування малохвильових коефіцієнтів ЦП з відповідними малохвильовими коефіцієнтами оригінального зображення на відповідних частотних рівнях.

Різновидністю представлених методів є метод вставки самоподібних ЦП у виділені піддіапазони малохвильового перетворення, що приводить до неявного візуального маскування, а значить невидимості ЦП.

Нанесення ЦП здійснюється у малохвильовій області адитивним способом. Зображення розкладається за допомогою малохвильового перетворення, наприклад, на чотири рівні, використовуючи при цьому типові базові функції. ЦП W_M(n₁,n₂) накладається на деталі підсмуг найвищого та інших найвищих рівнів розкладеного оригінального зображення I(n₁,n₂). Аналітично зображення з ЦП представляється наступним чином:

(14)

де W_ розкладений ЦП, - розкладене оригінальне зображення, - оператор суперпозиції, f- індекс піддіапазону, а l- індекс рівня малохвильового розкладу де виконується накладання.

Для здійснення вставки в другий найвищий рівень малохвильового розкладу виконують першочергово масштабування ЦП з коефіцієнтом Ѕ, використовуючи лінійну інтерполяцію. Вставка в нижні рівні розкладу ДМП не виконується, оскільки вони розглядаються як особливо ненадійні при дослідженні виділення помилкових ЦП. Після нанесення ЦП виконується обернене ДМП і отримується при цьому підписане зображення I(n₁,n₂). Завдяки наявній просторовій локалізації і частотному розповсюдженню ДМП відбувається неявне візуальне маскування невидимого ЦП.

З метою забезпечення виділення ЦП після таких спотворень як фільтрування або компресія, що мають схильність до усунення високочастотних компонент зображення (перший рівень ДМП), автором запропоновано здійснювати вставку також в другий найвищий рівень перетворення. Мультиплікативна вставка, звичайно, приводить до покращання характеристик ЦП.

Виділення ЦП відбувається статистичним способом без використання оригінального зображення. Спочатку підписане зображення I(n₁,n₂) перетворюється за допомогою малохвильового перетворення і обчислюються кореляції між ЦП (або масштабованим ЦП) і деталізованими частотними компонентами 1-го і 2-го рівнів. Нормалізовані кореляційні вирази оцінюються наступним чином [18]:

l{1,2}, f{LH, HL, HH}, (15)

де розкладений ЦП підписаного зображення. Для кожної частотної орієнтації f (компоненти підсмуги) і кожного рівня l вказується внутрішній добуток. Оскільки і W статистично незалежні і некорельовані, (l,f) буде рівним 1 при наявності ЦП і рівним 0 при його відсутності. З метою оцінки повної кореляційної характеристики автором запропоновано спочатку оцінювати середнє значення по кожній частотній орієнтації f, а потім оцінювавти максимальне значення з усіх частотноорієнтованих f:

=max_f {E_l [(l,f)]} (16)

Як показують експериментальні дослідження, визначення середніх значень по кожній частотній орієнтації допомагає підвищити кореляційні значення, особливо після фільтрування або компресії, де вищі рівні розкладу мають схильність до більшого впливу. Кінцевий кореляційний відгук вибирається як максимальне значення усіх підсмуг. Детектування виконується шляхом порівняння кінцевого нормалізованого корельованого відгуку відносно визначеного порогу.

Нанесення ЦП на кольорове зображення дещо складніше однак і в цьому випадку в запропонованому автором алгоритмі нанесення ЦП застосовується малохвильове перетворення оригінального сигналу та сигналу ЦП, що дозволяє підвищити стійкість ЦП до геометричних спотворень та впливу завад.

В процесі експериментальних досліджень проводились випробування на відповідність за трьома основними тестами: аналіз стійкості, унікальність підпису, можливість багаторазового підписування.

Аналіз стійкості ЦП виконувався відносно JPEG компресії, фільтрування, геометричних спотворень (обрізання країв зображення) та інших перетворень, яким може піддаватися наведений метод вставки. Для оцінки стійкості ЦП використовувався кореляційний аналіз, а саме статистична функція нормалізованої кореляції.

Експериментальні дослідження збереження стійкості ЦП при зміні коефіцієнта в JPEG компресії (найбільш вживаний на сьогодні вид компресії нерухомих зображень з втратами) до рівня 5% показали, що коефіцієнт кореляції при цьому становив 0,62 і ЦП, вставлений за допомогою малохвильового перетворення, візуально розпізнавався. Рис. 6 свідчить про можливість детектування підпису навіть при максимально можливих спотвореннях, що постають внаслідок найвищого ступеня компресії. Лише при компресії з ступінню 20 відбувається значна деградація зображення, що унеможливлює подальше його використання.

Оскільки кольорові зображення на приймальній стороні переважно проходять фільтрування, в роботі проводились дослідження на визначення стійкості ЦП після низькочастотного і високочастотного фільтрування. Для аналізу стійкості до спотворень використовувалися найбільш вживані цифрові фільтри та графічні ефекти. Зокрема, фільтри графічного редактора Adobe Photoshop® 5.5: цифровий фільтр гаусівського розмиття зображення (Gaussian Blur) та медіанний фільтр. В процесі дослідження також використовувався переглядач ACDSee® 3.1 (JPEG компресія, зміна глибини кольору зображення) та цифрові фільтри його модуля Photo Enhance. Результати вказують на те, що низькочастотне та високочастотне фільтрування суттєво не впливають на ЦП проте рівень кореляції на високих частотах дещо менший, що обумовлюється нанесенням зображень ЦП переважно на високочастотні рівні.

Тому що основним недоліком багатьох методів нанесення ЦП є їх чутливість до геометричних спотворень зображення, проводились дослідження з встановлення величини залишків ЦП у найбільш важливій центральній частині кольорового зображення після здійснення обрізання його країв. Результати досліджень показали, що при рівномірному відсіканні країв кольорового зображення з ЦП шляхом зменшенням його розміру з 149x102мм до 127x88мм рівень кореляції становив 59,34%. Таким чином, підтверджується можливість успішного виділення ЦП після обрізання країв зображення. Для підвищення ймовірності виявлення ЦП після геометричних спотворень, використовується самоподібність в структурі ЦП і його мультиплікативна вставка.

Тест на унікальність підпису полягає в нанесенні унікального підпису на рівень L₀ (або L₁) і спробі детектування 1000 інших, випадково генерованих підписів. В результаті тестування детектувався лише один нанесений підпис.

Тест на можливість багаторазового підписування виконувався шляхом нанесення 9 унікальних підписів на рівень L1 і надалі проводилось їх дететектування. Крім цих підписів також детектувалась 1000 випадково генерованих підписів.

Отже, результати експериментальних випробувань запропонованого методу нанесення ЦП показали, що даний метод відзначається високою стійкістю до компресії підписаного зображення, впливу високочастотного та низькочастотного фільтрування, геометричних спотворень та зміни глибини зображення. Одночасно доведено високий рівень унікальності такого ЦП та можливість використання його для реалізації багаторазового підпису.

У шостому розділі розглядаються особливості та переваги використання малохвильового аналізу для оцінки інтегральних параметрів періодичних і неперіодичних сигналів за наявності різних типів завад. Розроблені окремі математичні моделі та проведені їх експериментальні дослідження. Отримані результати підтверджують високу ефективність такого методу вимірювань.

В процесі розроблення різних видів електронної апаратури, в тому числі систем зв'язку, комунікації, ехо-локації, а особливо силових енергетичних систем, виникає особлива потреба вимірювання параметрів сигналів як в усталених режимах, так і в перехідних, що виникають в результаті аварій або наявності перемикань. Ефективність оцінки таких характеристик часто суттєво залежить від вибору області подання сигналів, а значить їх математичної моделі. До цього часу для розв'язання таких задач переважно використовувалися моделі, які базуються на відомих видах перетворень, в першу чергу на перетвореннях Фур'є. Однак їх використання вимагає знання деякої апріорної інформації про вхідний сигнал (частоту, період, характер зміни), тип завад і потребує розробки конкретних алгоритмів і апаратури для кожного із випадків, які переважно відзначаються великою складністю і не забезпечують необхідну точність і швидкодію перетворення. В даній роботі запропоновано для рішення вказаних питань використовувати моделі, які базуються на використанні малохвильових перетворень, що дозволяє суттєво послаблювати впливи різних видів завад на інформативні сигнали, а також подавати їх з високою роздільною здатністю. Використання таких моделей особливо актуальне при вимірюванні енергетичних характеристик сигналів, оскільки вони складніші для оцінки.

З врахуванням сказаного в роботі проведений вибір областей подання і відповідно методів та моделей оцінки енергетичних характеристик залежно від типу вхідних сигналів. Так зокрема, розглядаються математичні моделі подання енергії синусоїдального сигналу, а також активної потужності та енергії першої і вищих гармонік сигналу в часовій та частотній областях.

Відзначається, що у випадку нестаціонарних сигналів існують обмеження подання енергії в частотній області. У цьому випадку використовують КЧПФ або перетворення Габора, згідно з якими сигнал розглядається як умовно стаціонарний в деякому вікні. Однак, в обох випадках ширина часо-частотного вікна незмінна для спостереження спектра на всіх частотах. Таким чином, використання КЧПФ і перетворення Габора обмежене для вивчення сигналів з високим і низьким вмістом частот.

У випадку малохвильового перетворення вхідний сигнал локалізується в обох областях: часовій і частотній одночасно. Зазначимо, що модель, отримана в даному випадку суттєво простіша, ніж при використанні перетворення Фур'є. Розподіл енергії в малохвильовій області, який можна назвати шкалограмою, визначається як квадрат величини малохвильового перетворення з відповідними різницевими межами в обох областях. Результуюча енергія при малохвильовому перетворенні визначається як

(17)

де a і b - масштаб і зміщення відповідно, C_ш - деяка стала.

У шкалограмі або малохвильовій області розподіл енергії залежить від базової малохвильової функції. Для кожної іншої базової малохвильової функції шкалограма інша і вона не є унікальним розподілом енергії для особливих сигналів. Таким чином, кожна базова малохвильова функція буде по-різному розподіляти енергію в часо-частотній області.

Оскільки переважна більшість шумів інформативних сигналів (у тому числі зображень) мають малий рівень енергії (а отже, вони відповідають малим значенням малохвильових коефіцієнтів), то вони можуть бути усунені при відтворенні даних.

При аналізі гладких, повільних процесів доцільно використовувати малохвильове перетворення Габора [8], в якому застосований набір базових функцій, що мають вигляд Гаусівських огинаючих. Результуюча енергія визначається при цьому як

. (18)

Отриманий вираз можна використовувати для оцінки енергетичних характеристик сигналів у геофізиці.

З наведеного аналізу можна зробити висновок, що у випадку оцінки енергетичних характеристик періодичних сигналів найкраще використовувати частотну область подання сигналів, тобто застосовувати перетворення Фур'є, а для вимірювання вказаних характеристик нестаціонарних сигналів з невисоким вмістом високих і низьких частот доцільно використовувати обмежену часову область в межах деякого вікна, тобто використовуючи короткочасове перетворення Фур'є або перетворення Габора. Нарешті, при оцінці енергетичних характеристик швидкоплинних, нестаціонарних, неперіодичних сигналів найефективніше використовувати часо-частотну область подання, тобто застосовувати малохвильове перетворення сигналів.

Оцінка інтегральних характеристик сигналів кінцево може подаватись у часовій чи частотній областях на основі проміжного прямого і оберненого малохвильових перетворень або безпосередньо у малохвильовій області.

В процесі оцінки інтегральних характеристик сигналів з проміжним прямим і оберненим перетворенням відбувається ефективне фільтрування сигналів у малохвильовій області. При цьому можуть бути використані два способи фільтрування: без втрати деякої інформації і з втратою інформації. Відзначається, що суттєвого ефекту фільтрування можна досягнути при використанні способу фільтрування з втратами, який може бути реалізований шляхом квантування і наступного кодування коефіцієнтів. Таким чином, залишається або передається незначна кількість даних і після оберненого перетворення отримується результат лінійного фільтрування. При цьому спотворення можна уникнути, якщо фільтр лінійний або принаймні має лінійну узагальнену фазу.

Відзначається, що саме такі методи фільтрування з втратами на даний час найбільш ефективні і перспективні, оскільки при правильному виборі в них технологій квантування і кодування можна досягнути суттєвих результатів фільтрування. Одночасно, в таких методах найповніше і найефективніше використовуються переваги та особливості малохвильового перетворення порівняно з іншими відомими методами перетворення.

Таким чином, при ДМП вимірювальних сигналів здійснюється деяке особливе енергетичне представлення (енергетична модель) таких сигналів, яке має також суттєву надлишковість. Енергетичний характер такого подання дає суттєвий позитивний перерозподіл між співвідношенням сигнал - шум в сигналі, тому що енергія завад набагато менша, ніж енергія оригінального сигналу. Енергетична інваріантність малохвильового перетворення дозволяє відкинути малохвильові коефіцієнти з малими значеннями енергії (шляхом порогування або квантування з відповідним кодуванням), не вносячи при цьому помітних спотворень у відновлений сигнал. Обернене малохвильове перетворення здійснюється аналогічно. В результаті такого перетворення отримується відтворений сигнал, звільнений від завад.

В процесі оцінки сигналів безпосередньо у малохвильовій області не використовується обернене малохвильове перетворення, а результат вимірювання подається в часо-частотній області.

У випадку вимірювання енергії або потужності через окремо взяті миттєві значення напруги u(t) та струму i(t) можливі декілька алгоритмів такої оцінки.

Оцінка потужності з виконанням основних функціональних перетворень у часо-частотній області передбачає початкове окреме виконання малохвильових перетворень вибірок сигналів пропорційних напрузі та струму відносно спільної базової малохвильової функції і наступні функціональні перетворення та оцінку в часо-частотній області. Алгоритм отримання результату можна показати такими маршрутами перетворення:

W_шp(j,k)Np

де k₁ і k₂ - коефіцієнти масштабування сигналів напруги та струму відповідно; u(t_k) і i(t_k) - миттєві значення напруги і струму k-го перетворення відповідно; W_ш u(j,k), W_ш i(j,k), W_ш p(j,k) - цифрові еквіваленти напруги, струму та потужності у малохвильовій області відповідно.

В результаті аналізу автором отримані математичні моделі для оцінки середньоквадратичних значень напруги і струму, енергії та активної потужності сигналу безпосередньо у часо-частотній області. Так, математична модель для оцінки енергії сигналу в малохвильовій області має наступний вигляд

(19)

і ; і

масштабні і малохвильові коефіцієнти відповідно сигналу струму і напруги.

На основі виразу (19) можна зробити висновок, що енергія сигналу залежить від величини масштабних коефіцієнтів найнижчої частотної підсмуги та малохвильових коефіцієнтів усіх підсмуг сигналів напруги та струму. Основною особливістю даного подання є те, що воно має енергетичний зміст і, таким чином, дає можливість як легко фільтрувати завади, рівень енергії яких, переважно, набагато нижчий, ніж у корисного сигналу, так і виконувати основні функціональні перетворення над сигналами, очищеними від завад, а також оцінювати значення енергії безпосередньо в часо-частотній області.

Фільтрація при часо-частотному перетворенні полягає в обмеженні малохвильових коефіцієнтів. З цією метою можна виконувати жорстке, м'яке, кількісне або універсальне порогування, однак для досягнення високої точності пропонується використовувати ефективне квантування малохвильових коефіцієнтів та наступне їх ентропійне кодування.

З метою отримання певних якісних характеристик, в роботі проведене комп'ютерне моделювання процесу оцінки активної потужності з використанням часо-частотного перетворення сигналів на основі прикладного пакету MATLAB 6.0.

Результати досліджень процесу вимірювання активної потужності з малохвильовим перетворенням періодичних сигналів та без нього і накладанням завад наведені на рис. 8. Дослідження показують, що запропонований спосіб оцінки активної потужності має набагато вищу завадостійкість, порівняно з традиційним способом, особливо в тих випадках, коли завади корельовані. Результати вимірювань практично не залежать від типу завад в усьому динамічному діапазоні зміни вхідних періодичних сигналів, а лише залежать від рівня порогування малохвильових коефіцієнтів. Оскільки при порогуванні відкидається значна частина інформативного сигналу, то кількість обчислень суттєво зменшується і, таким чином, збільшується швидкодія вимірювання і можливість застосування ефективної компресії сигналів.

Моделювання процесу вимірювання енергії неперіодичних сигналів з накладанням завад показали, що для підвищення точності оцінки даної характеристики у малохвильовій області необхідно знати лише незначну апріорну інформацію про заваду (можливий її спектр і амплітуда). Дослідження проводились при накладанні на неперіодичний сигнал високочастотного шуму з гауссівським розподілом і при накладанні низькочастотної завади з частотою 50 Гц. Результати досліджень показали, що в даному випадку різний рівень порогування приводить до різних значень похибки, рівень якої можна досягнути 0,2%. Однак, в більшості випадків рівень порогування зменшується на низьких частотах (вищих рівнях) і на найнижчих частотах порогування може бути відсутнім.

Таким чином, на основі проведених теоретичних і експериментальних досліджень можна стверджувати, що даний спосіб вимірювання з використанням малохвильового перетворення може бути також ефективно використаний для оцінки енергії неперіодичних, нестаціонарних швидкоплинних сигналів.

Оцінка потужності з виконанням основних функціональних перетворень у часовій області і поданням результату у часо-частотній області передбачає виконання алгоритму, який можна показати наступними маршрутами

W_шp(j,k)Np

Наведений алгоритм може мати практичне використання у випадку відсутності завад у вхідних сигналах, або коли рівень завади незначний. Так, результати моделювання процесу вимірювання активної потужності за даним алгоритмом показують, що похибка вимірювання вже при 3% корельованому шумі з гауссівським розподілом у максимальних періодичних вхідних сигналах і 93%-ому порогуванні перевищує похибку вимірювання за алгоритмом, коли основні функціональні перетворення виконуються у часо-частотній області.

З метою прогнозування, відтворення і оцінки інтегральних характеристик сигналів, що мають високий рівень завад, автором запропоновано використовувати відповідний коефіцієнт кореляції між сигналами струму та напруги у часо-частотній області. Так, у випадку, коли малохвильові перетворення сигналів струму та напруги реалізовані відносно однієї і тієї самої малохвильової функції, то взаємне малохвильове перетворення вказує на рівень спорідненості між двома малохвильовими перетвореннями або сигналами. Малохвильовий коефіцієнт кореляції має наступний вигляд:

(20)

У цьому випадку i повинно задовольняти допустимі вимоги. Такий коефіцієнт кореляції виражає дію деякого інтегрального оператора на два сигнали малохвильових перетворень. Величина коефіцієнта кореляції має пік при спорідненості обох сигналів. В процесі вимірювання потужності або енергії можуть спостерігатися багатократні спорідненості сигналів, які будуть формувати піки при взаємному малохвильовому перетворенні. Побудова відповідних графічних залежностей пікових значень може служити інструментом для прогнозування, а також можливого відтворення спотворених сигналів, що піддаються суттєвому впливу завад.

З наведеного аналізу можна зробити висновок, що одночасного зменшення апаратурних затрат і суттєвого збільшення рівня завадостійкості та ступеня фільтрації (а при необхідності і ступеня компресії), а значить підвищення точності вимірювань характеристик сигналів можна досягнути при безпосередній оцінці параметрів сигналів у часо-частотній області і виконанні основних функціональних перетворень у даній області. Для відтворення сильно спотворених сигналів напруги або струму доцільно використовувати малохвильовий коефіцієнт кореляціії.

ОСНОВНІ ВИСНОВКИ РОБОТИ

В дисертаційній роботі на основі виконаних автором досліджень започатковано нові та розвинуто відомі теоретичні та практичні засади одночасного подання сигналів у часо-частотній області, завдяки чому вирішена науково-прикладна проблема, яка полягає у створенні нових математичних моделей і алгоритмів швидких перетворень, орієнтованих на реалізацію в різних програмно-апаратних засобах цифрового оброблення сигналів і зображень з метою підвищення їх якісних характеристик, забезпечення ефективної компресії та відтворення спотворених сигналів.

1. Проаналізовано відомі математичні моделі ортогональних перетворень та швидкі алгоритми їх обчислень, в результаті чого встановлено, що вони можуть ефективно використовуватися для аналізу періодичних сигналів, що змінюються в широкому діапазоні частот, однак їх використання для аналізу широкосмугових сигналів відзначається низькою ефективністю. Обґрунтовано використання малохвильового перетворення на противагу перетворенням Габора і КЧПФ, які на даний час переважно використовуються для аналізу широкосмугових сигналів.

2. Вдосконалено алгоритм поетапного малохвильового перетворення шляхом заміни початкових даних обчисленими значеннями на стадіях прогнозування та обновлення, що дозволило зменшити об'єм необхідної пам'яті та прискорити процес подання одно- та двовимірних сигналів у часо-частотній області.

3. Узагальнено і розвинуто теорію широкосмугових сигналів у напрямі створення математичної моделі такого сигналу в часо-частотній області, яка забезпечує постійну роздільну здатність в широкому діапазоні частот, дозволяє уникнути спотворення амплітудної і фазової складових сигналу та підвищує завадостійкість інформативних параметрів сигналу. На основі цього розроблено математичну модель подання ШВФДЗ в малохвильовій області, використання якої підвищує ступінь і точність локалізації джерел кореляції, забезпечує представлення через просторові параметри та суттєво покращує роздільну здатність і коефіцієнт передачі. На цій основі можуть створюватися високоефективні системи зондування об'єктів зокрема акустичних систем.

4. Вперше введено і обґрунтовано поняття і модель базового оператора відображення, використання якого для оцінки перетворень вхідного сигналу відносно різних базових малохвильових функцій дозволило здійснювати швидкий пошук найбільш прийнятної базової малохвильової функції для даного типу вхідного сигналу і таким чином, суттєво підвищити ефективність малохвильового перетворення.

5. Проаналізовано метод усунення крайових ефектів зображень шляхом екстраполяції даних на його межах, в результаті чого підтверджена його висока ефективність. Оскільки такий підхід є достатньо складним з точки зору практичного виконання і потребує додаткової пам'яті, розроблено інший метод, який базується на симетричному розширенні сигналу шляхом встановлення дзеркальних відображень сигналу до та після меж інтервалу, що усуває небажані стрибки значень малохвильових коефіцієнтів на межах.

6. Розроблено оптимізацію алгоритму пошуку найкращого співвідношення „степінь компресії - рівень спотворення” для просторово-частотного квантування малохвильових коефіцієнтів, що дало можливість визначити необхідну просторову підмножину малохвильових коефіцієнтів і крок квантування частотного скалярного квантувача та суттєво зменшити об'єм передаваної інформації. На основі цього розроблені алгоритми просторово-частотного квантування малохвильових коефіцієнтів.

7. Запропоновано метод відтворення низькочастотної інформації зображень шляхом оцінки високочастотних малохвильових коефіцієнтів, що дозволило коректувати спотворені значення низькочастотних коефіцієнтів кореневої смуги дерева і покращати візуальну якість зображення. Для прогнозування дерева вперше запропоновано використовувати взаємозалежності між малохвильовими коефіцієнтами на різних масштабах, що відповідають одній просторовій області, які визначають за допомогою малохвильового коефіцієнта кореляції.

8. Удосконалено процес видимого і невидимого вставлення ЦП у чорно-білі та кольорові зображення, що дало можливість здійснювати безпосереднє інтегрування малохвильових коефіцієнтів ЦП з відповідними малохвильовими коефіцієнтами оригінального зображення на відповідних частотних рівнях і сприяло суттєвому підвищенню стійкості підписаного зображення до впливу компресії, фільтрування, геометричних спотворень та зміни глибини зображень.

9. Обґрунтовано здійснення мультиплікативної вставки ЦП у вищі рівні малохвильового розкладу, що дозволило підвищити якість виділення ЦП після фільтрування та компресії сигналів (при зміні рівня компресії до 5% коефіцієнт кореляції між виділеним ЦП і підписаним зображенням становить 0,62), а також підвищити завадостійкість та зменшити чутливість до впливу атак. Одночасно доведено високий рівень унікальності такого ЦП (з 1000 випадково генерованих ЦП детектований лише 1 унікальний підпис) та можливість використання його для реалізації багаторазового підпису.

10. Дістав подальший розвиток метод оцінки енергетичних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів з використанням малохвильового перетворення, в результаті чого отримані математичні моделі для оцінки енергетичних характеристик сигналів безпосередньо у малохвильовій області, які в поєднанні з ефективним квантуванням та ентропійним кодуванням або порогуванням забезпечують значне підвищення завадостійкості, особливо коли завади корельовані, а їх похибка не перевищує сотих часток відсотка у всьому динамічному діапазоні зміни вхідних сигналів, причому зміна рівня вищих гармонічних складових у вхідних сигналах (амплітуда сягає 100% для п'ятої і 50% для сьомої гармонік) мало впливає на точність вимірювання.

СПИСОК ОСНОВНИХ НАУКОВИХ ПРАЦЬ ОПУБЛІКЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Наконечний А.Й. Теорія малохвильового (wavelet) перетворення та її застосування. Львів, Фенікс, 2001. - 278 с.

2. Наконечный А.И., Чайковский О.И. Применение коммутационного инвертирования для повышения точности перемножителей аналоговых сигналов // Научно-прикладной журнал „Техническая электродинамика” 1989, №3. -С.102-106.

3. Мусій Р.С., Наконечний А.Й. Термопружний стан електропровідної пластини при дії електромагнітного радіоімпульсу на поверхнях // Вісник ДУ ”Львівська політехніка” ,Автоматика, вимірювання та керування, №283, 1994. - С.39-43.

4. Гордійчук Р.А., Наконечний А.Й., Пархуць Л.Т. Вимірювач потужності імпульсів інфрачервоного випромінювання // Вісник ДУ ”Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування, №292, 1995. -С.80-82.

5. Наконечний А.Й. Похибка АЦП потужності періодичних сигналів з стохастичною дискретизацією // Вимірювальна техніка та метрологія, Львів.: Вища школа, вип.51, 1995. -C14-16.

6. Наконечний А.Й., Наконечний Р.А. Пірамідальний алгоритм як основа дискретного малохвильового (wavelet) перетворення сигналів // Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія”. 1998. №53. -С.26-32.

7. Кіренко І.О., Наконечний А.Й. Компресія зображень при малохвильовому перетворенні сигналів. // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп'ютерні технології друкарства” -Львів. 1998. -С.101-102.

8. Наконечний А.Й. Енергетичні характеристики сигналів і області їх представлення // Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. 1998. № 324. -С.110-113.

9. Наконечний А.Й. Малохвильове перетворення і широкосмугові взаємні двозначні функції // Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування, 1998. № 356. -С.21-31.

10. Наконечний А.Й. Зображення широкосмугових взаємних двозначних функцій в малохвильовій області // Міжвідомчий збірник наукових праць Національної АН України “Відбір і обробка інформації”. 1999. Вип. 13. -С.178-184.

11. Кіренко І.О., Наконечний А.Й. Використання малохвильового перетворення в системах компресії зображень // Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. 1999. № 366. -С.21-31.

12. Кіренко І.О., Наконечний А.Й. Компресори зображення на основі просторово-частотного малохвильового перетворення // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп'ютерні технології друкарства” -Львів. 1999. № 3. -С.222-235.

13. Наконечний А.Й., Тишик І.Я. Широкосмугове моделювання систем // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп'ютерні технології друкарства” - Львів. 2000. № 5. -С.29-33.

14. Наконечний А.Й. Інтерпретація широкосмугових вимог у динамічних системах // Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. 2000. № 389. -С.38-45.

15. Наконечний А.Й. Інтерпретація вимог широкосмугових сигналів // Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія”. 2000. №56. -С.12-17.

16. Наконечний А.Й., Тишик І.Я. Покращення точності приладів вимірювання параметрів руху на основі малохвильового перетворення сигналів // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп'ютерні технології друкарства” -Львів. 2002. №8. -С.145-149.

17. Наконечний А.Й. Нанесення цифрових підписів на основі малохвильового перетворення сигналів // Міжвідомчий збірник наукових праць Національної АН України “Відбір і обробка інформації”. 2002. Вип.17. -С.111-115.

18. Наконечний А.Й. Нанесення самоподібних цифрових підписів на основі малохвильового перетворення сигналів // Вісник НУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. 2002. № 445.- С.135 - 140.

19. Кіренко І.О., Наконечний А.Й. Адаптація алгоритму відеокодування для реалізації на медіапроцесорі // Міжвідомчий збірник наукових праць Національної АН України “Відбір і обробка інформації”. 2003. Вип.18. -С.69-74.

20. KirenkoI.O., NakonechnyA.Y. Analysis of spatial scalability in a 3D wavelet video coder // Міжвідомчий збірник наукових праць Національної АН України “Відбір і обробка інформації” 2003. Вип.19. -С.120-125.

21. Наконечний А.Й., Самотий В.В. Моделювання широкосмугового сигналу і його кореляційне оброблення на основі малохвильового перетворення // Науково-прикладний журнал „Технічна електродинаміка” 2004, №5. - С70-74.

22. Наконечний А.Й., Наконечний Р.А., Гудим В.І. Використання малохвильових функцій для аналізу коливних процесів у системах електропостачання різкозмінних споживачів // Науково-прикладний журнал „Технічна електродинаміка” 2004, №6. - С65-68.

23. Наконечний А.Й., Тишик І.Я. Наближення масштабним перетворенням для ідентифікації імпульсних відгуків // Вісник НУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. 2004. №500. -С.154-159.

24. Наконечний А.Й. Цифровой измеритель активной мощности // А.с. №1368793. - Б.И.№3. -1988. -10 с.

25. Наконечний Р.А., Наконечний А.Й. Завадостійкий швидкодіючий цифровий вимірювальний прилад енергетичних характеристик // Патент на винахід №2001042258 від 05.04.2001.

26. Kirenko I., Nakonechny A., Modification of Space-Frequency Quantization mode of Z. Xiong and K. Ramchandran for Embedded Wavelet Image Coding, Central European III Conference “Numerical Methods and Computer Systems in Automatic Control and Electrical Engineering. September 1999. Part 1. pp. 75-77.

27. Кіренко І.О., Наконечний А.Й. Удосконалення прогресуючого малохвильового кодування зображення з врахуванням особливостей системи зору людини // Праці міжнародної конференції з управління “Автоматика-2000”. Львів. 2000. Част.1. -С 244-248.

28. Наконечний А.Й. Аналіз методів компресії нерухомих зображень на основі малохвильового перетворення // Праці міжнародної конференції з індуктивного моделювання „МКІМ-2002”.Львів. 20 - 25 травня 2002. Праці в 4-х томах, - Т.1., Ч.2, - С.320 - 325.

Размещено на Allbest.ru