Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський нацiональний унiверситет

iменi Тараса Шевченка

УДК 517.956: 517.977: 517.983

Чисельнi та аналiтичнi методи оптимiзацiї сингулярних лiнiйних

систем

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальнi методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора фiзико-математичних наук

Номiровський Дмитро Анатолiйович

Київ - 2005



Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана на кафедрi обчислювальної математики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка

Науковий консультант Член-кореспондент НАН України, доктор фiзико-математичних наук, професор ЛЯШКО Сергiй Iванович, Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, завiдувач кафедри.

Офiцiйнi опоненти: Доктор фiзико-математичних наук, професор ЛАДIКОВ-РОЄВ Юрiй Павлович, Iнститут космiчних дослiджень НАН та НКА України, провiдний науковий спiвробiтник.

Доктор фiзико-математичних наук, професор ОСТАПЕНКО Валентин Володимирович, Iнститут прикладного та системного аналiзу НАН та МОН України, завiдувач вiддiлу.

Доктор фiзико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Валерiй Григорович, Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, завiдувач кафедри.

Провiдна установа Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова НАН України, вiддiл оптимiзацiї керованих процесiв, м. Київ.

Захист вiдбудеться "9" червня 2005 року о 14 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, Київ, 03127, пр. акад. Глушкова, 2, корп. 6, факультет кiбернетики, ауд. 40.

З дисертацiєю можна ознайомитися у Науковiй бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий "4" травня 2005 року

Учений секретар

спецiалiзованої вченої ради П.М. Зiнько



АНОТАЦIЯ

Номiровський Д.А. Чисельнi та аналiтичнi методиоптимiзацiї сингулярних лiнiйних систем. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальнi методи. - Київський нацiональний унiверситетiменi Тараса Шевченка, Київ, 2005. лінійний фізика математичний параболiчний

Розроблено загальну теорiю чисельного та аналiтичного аналiзу задач моделювання i оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем, що знаходяться пiд впливами зосередженого характеру. Створено теорiю узагальненої розв'язностi лiнiйних систем, яку застосовано для встановлення оптимiзацiйних властивостей та керованостi некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики (пседопараболiчнi, псевдогiперболiчнi, С.Л. Соболєва, загальнi хвильовi, параболiчнi системи з умовамиспряження). Розроблено та дослiджено комплекс чисельних процедурдля наближеного розв'язання задач оптимального керування лiнiйними системами з узагальненими впливами.

Ключовi слова: лiнiйнi рiвняння, оптимiзацiя, керованiсть, моделювання, чисельнi методи, узагальненi функцiї, спряження.



НОМИРОВСКИЙ Д.А. Численные и аналитические методы оптимизации сингулярных линейных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Целью диссертационной работы является разработка численных ианалитических методов для комплексного решения задач оптимизациилинейных распределенных систем, допускающих обобщенные воздействия. А именно методов: анализа неклассических линейных моделейматематической физики з обобщенными воздействиями (построение общей теории обобщенной разрешимости линейных систем и ее применение к важным прикладным моделям, допускающим сосредоточенныевоздействия, разработка и изучение необходимых численных процедур); решение задач оптимизации таких моделей (траекторная и финальная управляемость, оптимальное управление, управление с обратной связью, построение и изучение методов оптимизации, применениек прикладным задачам импульсного, точечного и других обобщенныхуправлений); оптимизация линейных распределенных систем в неоднородных средах (изучение математических моделей физических процессов в областях с включениями, решение задач оптимизации таких моделей, построение необходимых численных алгоритмов).Диссертационное исследование проводилось с использованием следующих теорий и методов: разработка теории обобщенной разрешимости линейных систем проведена методами функционального анализа итопологии; качественное изучение неклассических систем математической физики производилось в рамках теории оснащенных гильбертовыхпространств с помощью метода доказательства априорных неравенствв негативных нормах; для изучения параболических моделей в неоднородных средах была использована неклассическая постановка (системадифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами); исследования оптимизационных проблем производились методами школы С.И. Ляшко (разработанные численные методы решения неклассических линейных систем относятся к проекционным методам типа Галеркина, а оптимизационные - к классу градиентных схем.В диссертации предложен и изучен новый подход построения теорииобобщенной разрешимости линейных систем в абстрактных локально-выпуклых линейных топологических пространствах. Получены результаты относительно качественного и количественного анализа неклассических линейных систем математической физики. Установленные свойства таких моделей применены для комплексного решения проблемоптимизации. Предложен новый подход для моделирования параболических процессов с условиями сопряжения, в рамках которого проведенанализ таких моделей.Построение общего метода изучения обобщенной разрешимости линейных систем позволило выйти за рамки классической схемы В.П. Ди-

денко. Для многих линейных моделей математической физики построена шкала теорем единственной разрешимости, обобщающих известныерезультаты как с точки зрения свойств решений, так и в смысле общности изучаемых моделей. При этом для доказательства ключевыхаприорных неравенств в негативных нормах были найдены новые вспомогательные интегро-дифференциальные операторы.Это позволило сформулировать и доказать теоремы траекторнойуправляемости, существования оптимального управления и построения численных методов оптимизации, а также получить новые сведения относительно оптимальных свойств моделей в финальный момент времени. Предложены численные методы для приближенного решения неклассических линейных систем математической физики и доказана сходимость этих методов. Найдена удобная постановка для изучения задач оптимального управления с обратной связью линейнымираспределенными системами, находящихся под сингулярными воздействиями. Доказана устойчивость численных методов оптимизации градиентного типа относительно возмущения начальных данных. Обоснована корректность процедуры параметризации управления. Предложена схема поиска начального приближения для численного методаоптимизации. Изучен вопрос существования обобщенных экстремальных элементов для линейных непрерывных функционалов в банаховомпространстве.Предложенные в диссертационной работе математически корректные формализации идей В.Ф. Демченко для моделирования параболических процессов с условиями сопряжения типа неидеального контакта (однородных и неоднородных) позволили получить новые результаты о единственной разрешимости таких систем, изучить вопросы оптимизации, построить и установить сходимость численных методов для приближенного решения.

Ключевые слова: линейные уравнения, оптимизация, управляемость, моделирование, численные методи, обобщенные функции, сопряжение.



NOMIROVSKII D.A. Numerical and analytical optimizationmethods of singular linear systems. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.02 - mathematical simulation and numerical methods. - Kyiv TarasShevchenko national university, Kyiv, 2005.

A general theory for numerical and analytical analysis of simulation andoptimization problems of linear distributed systems being under singular

influences is developed. An approach for generalized solvability of the linearsystems is originated. To prove optimization and controllability properties of the nonclassical linear systems (pseudoparabolic, pseudohyperbolic,Sobolev's, general wave systems, parabolical systems with insertions), theapproach is applied. A complex of numerical algorithms for approximatesolution of optimal control problem of the linear systems with singularinfluences is elaborated and studied.Key words: linear equations, optimization, controllability, simulation,numerical algorithms, distributions, insertion.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Розв'язання проблем якiсного та кiлькiсногоаналiзу лiнiйних моделей є прiоритетним напрямком розвитку багатьохроздiлiв математики, кiбернетики, фiзики та iнших прикладних галузейзнань. В останнi часи особливе значення набувають дослiдження складних лiнiйних моделей, що безпосередньо пов'язанi з реальними фiзичними i технологiчними процесами та допускають сингулярнi впливи(застосування лазерної та iмпульсної технiки, корекцiя рухiв космiчнихапаратiв, проектування та використання систем мiкрозрошення грунту,розповсюдження забруднень з мiсця екологiчних катастроф, задачi стабiлiзацiї плазми, поверхневого загартування металу та багато iнших).Наявнiсть зосереджених особливостей у просторi та часi унеможливлюєзастосування до аналiзу таких моделей ефективних класичних методiвтеорiї оптимального керування лiнiйними системами, що були розробленi в класичних роботах Л.С. Понтрягiна, Р. Беллмана, Ж.-Л. Лiонсата iнших вчених. З iншого боку, при моделюваннi складних процесiввиникає необхiднiсть розглядати системи, що не описуються в межахтрадицiйних моделей математичної фiзики. Такi складнi рiвняння часто отримують на шляху узагальнення чи уточнення вiдомих моделейматематичної фiзики. Доцiльнiсть розгляду саме цих складних рiвняньобумовлюється, з одного боку, бажанням одержати бiльш точнi результати стосовно важливих прикладних фiзичних процесiв та явищ, а зiншого, можливiстю використовувати для цих дослiджень сучаснi ресурси обчислювальної технiки.

Значний внесок у розвиток методiв розв'язання задач оптимального керування зосередженими системами та системами, що описуютьсядиференцiальними рiвняннями з частинними похiдними, зробили дослiдження українських вчених, зокрема, Б.М. Бублика, Ю.М. Данiлiна, О.I. Єгорова, Ю.М. Єрмольєва, В.О. Капустяна, М.Ф. Кириченка,В.М. Кунцевича, Ю.П. Ладiкова-Роєва, С.I. Ляшка, В.С. Мельника,О.Г. Наконечного, В.В. Остапенка, Ю.I. Самойленка, Б.М. Пшеничного, А.О. Чикрiя, Н.З. Шора та багатьох iнших. Так, для якiсного аналiзу (проблеми iснування та єдиностi) багатьох лiнiйних моделей iз сингулярними впливами продуктивним виявився метод апрiорних нерiвностей (Ю.М. Березанський, А.В. Бiцадзе, В.П. Дiденко, С.I. Ляшко,С.Г. Крейн та iншi), який часто використовувався в межах теорiї оснащених гiльбертових просторiв. Цей метод було застосовано до кiлькiсного аналiзу (задачi оптимального керування, керованостi тощо) деякихлiнiйних розподiлених систем iз певними узагальненими впливами, щодало можливiсть розв'язати низку оптимiзацiйних задач. Проте багато задач й досi залишаються актуальними. Такi проблеми пов'язанi як iзпобудовою досить загальної та зручної технологiї чисельного та аналiтичного дослiдження лiнiйних моделей, що знаходяться пiд впливомзосередженого характеру, так i з проблемою застосувань таких методiвдо розв'язання важливих практичних задач моделювання та оптимiзацiїлiнiйних систем (зокрема, некласичних моделей математичної фiзики).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконувалась у вiдповiдностi до плану наукових дослiджень кафедри обчислювальної математики факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi ТарасаШевченка в межах наступних науково-дослiдних тем: "Узагальненеоптимальне керування лiнiйними системами в екологiї", НДР №97066;"Моделювання та оптимiзацiя iнформацiйних систем", НДР №01БФ015-06; "Неопукла оптимiзацiя некласичних систем iз сингулярним керуванням", НДР №01ДФ015-02; "Система пiдтримки прийняття оптимальних рiшень для захисту пiдземних вод вiд забруднень" та "Чисельнi методи оптимiзацiї та моделювання лiнiйних розподiлених систем",НДР №04ДФ015-07.

Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи єрозробка чисельних та аналiтичних методiв для комплексного розв'язання задач оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем, що допускають узагальненi впливи. А саме, методiв:

аналiзу некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики загального виду iз сингулярними впливами (побудова загальної теорiї узагальненої розв'язностi лiнiйних систем та її застосування доважливих прикладних моделей, що допускають зосередженi впливи, розробка та дослiдження необхiдних чисельних методiв);

2) розв'язання проблем оптимiзацiї таких моделей (траєкторна та фiнальна керованостi, якiсне дослiдження оптимальних керувань,побудова та вивчення чисельних методiв оптимiзацiї, застосування до прикладних задач iмпульсного, точкового узагальненогокерування тощо);

3) оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем в неоднорiдних областях(вивчення математичних моделей фiзичних процесiв в областяхiз включеннями, розв'язання проблем оптимiзацiї таких моделей,розробка необхiдних чисельних процедур).

Наукова новизна одержаних результатiв. Всi основнi результати дисертацiйної роботи є новими. Вперше знайдено загальний пiдхiд для встановлення узагальненої розв'язностi лiнiйних систем, що далозмогу вийти за межi класичної схеми В.П. Дiденка. Для багатьох лiнiйних моделей математичної фiзики в дисертацiйнiй роботi побудованошкалу теорем iснування та єдиностi, що узагальнює вiдомi результатияк з точки зору властивостей розв'язку, так i у сенсi загальностi дослiджуваних моделей. При цьому для доведення ключових апрiорнихнерiвностей було знайдено новi допомiжнi iнтегро-диференцiальнi оператори. Це дозволило надати подальшого розвитку вiдомим пiдходамдо вивчення траєкторної керованостi, iснування оптимального керування та побудови чисельних методiв оптимiзацiї, а також одержати новiзнання про оптимальнi властивостi систем у фiнальний момент часу.Крiм цього, побудовано чисельнi методи (типу методу Гальоркiна) длярозв'язання таких лiнiйних систем та одержано новi теореми збiжностi. Знайдено та вивчено постановку для дослiдження задач пошукукоректуючого оптимального керування лiнiйними розподiленими системами. Удосконалено методику побудови чисельних методiв оптимiзацiїшколи С.I. Ляшка (показано стiйкiсть градiєнтних методiв, обгрунтовано коректнiсть процедури параметризацiї, дослiджено задачу пошукупочаткового наближення тощо). Вперше знайдено коректнi формалiзацiї iдеї В.Ф. Демченка для дослiдження систем в неоднорiдних середовищах, що дало можливiсть довести iснування та єдинiсть узагальненого розв'язку, дослiдити питання оптимiзацiї, побудувати та встановитизбiжнiсть чисельних методiв.

Практичне значення одержаних результатiв. Запропонованоконструкцiю дослiдження узагальненої розв'язностi лiнiйних моделей,що дозволяє вивчати класичнi та некласичнi лiнiйнi розподiленi системи. Апаратом для такого дослiдження можуть виступати апрiорнiнерiвностi, ефективним методом доведення яких є знайденi у дисертацiйнiй роботi допомiжнi iнтегро-диференцiальнi оператори. Виконанiдослiдження моделей, що описують практичнi фiзичнi процеси, дозволяють безпосередньо застосовувати наявнi результати для проектування та оптимального використання цих складних систем разом з сучасними iмпульсними, лазерними та iншими сингулярними технологiями. Запропонованi чисельнi методи оптимiзацiї та розв'язання систем можутьвикористовуватися для побудови програмних комплексiв проектування, розрахунку та керування складними процесами. Деякi результатироботи знайшли вiдображення в курсах з оптимального керування, якiчитаються на факультетi кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi положення та результати наукових дослiджень, що увiйшли до дисертацiї, доповiдали-ся на таких наукових конференцiях, симпозiумах та семiнарах: Мiж-народнiй конференцiї "Сучаснi проблеми теорiї фiльтрацiї" пам'ятiП.Ф. Фiльчакова (Рiвне, 1998); Мiжнароднiй конференцiї "Оптимiза-цiя обчислень" (Київ, 1999); Мiжнародних школах-семiнарах "Recentadvances in non-differentiable optimization" (Київ, 2000 та 2001); Мiж-народнiй конференцiї "Моделювання та оптимiзацiя складних систем"(Київ, 2001); Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical systems modellingand stability investigation" (Київ, 2001); Мiжнародних конференцiях"Обчислювальна та прикладна математика" (Київ, 2002 та 2004);Мiжнароднiй конференцiї "Problems of decision making under uncer-tainties" (Алушта, 2003); X Мiжнароднiй науковiй конференцiї iменiакад. М. Кравчука (Київ, 2004); Мiжнароднiй конференцiї з 125-рiччяГ. Гана (Чернiвцi, 2004).

Матерiали дисертацiйного дослiдження доповiдалися та обговорю-валися на наукових семiнарах Київського нацiонального унiверсите-ту iменi Тараса Шевченка (керiвники С.I. Ляшко, Ф.Г. Гаращенко,О.Г. Наконечний), Iнституту прикладного i системного аналiзу (ке-рiвник В.В. Остапенко), Iнституту кiбернетики iменi В.М. Глушковата iнституту космiчних дослiджень НАН та НКА України (керiвникВ.M. Кунцевич) та iнших установ.

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи викладено в 24 роботах, що надрукованi у наукових провiдних фахових виданняхУкраїни (якi входять до перелiку ВАК) та iнших країн.

Структура та обсяг роботи. Дисертацiйна робота складається iзвступу, шести роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, щомiстить 276 посилань. Кожний роздiл розбито на параграфи, якi, в своючергу, подiляються на пункти. Кожний роздiл має власну нумерацiюформул. Нумерацiя ж теорем, лем, зауважень тощо загальна для всiєїроботи. Загальний обсяг дисертацiї становить 302 сторiнки, основнийтекст роботи викладено на 276 сторiнках.



ОСНОВНИЙ ЗМIСТ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть роботи, сформульовано тему, задачi та об'єкт дослiдження, вiдзначається наукова новизна. Першийроздiл присвячено огляду лiтератури за темою роботи та вибору на-прямкiв дослiджень.У другому роздiлi дослiджуються задачi узагальненої розв'язностi лiнiйних систем та розглядаються найважливiшi застосування. Прикладом необхiдностi введення узагальнених розв'язкiв може бути задача керування системою iз зосередженими впливами. Нехай стан деякої системи визначається з рiвняння

Lu = f(h), u E, f(h) F, (1)

де L: E F - оператор системи, f: C F - керуюче вiдображення, h - керування з допустимої множини U простору керувань C. Задача керування полягає в мiнiмiзацiї функцiоналу

(u(h), h) - h

min, h U, (2)

де - функцiонал якостi, що залежить вiд розв'язкiв u(h) рiвняння

Lu = f(h).

Для коректного визначення оптимiзацiйної задачi (2) необхiдно забезпечити включення f(U) R(L), де R(L) - область значень оператора L. Але опис множин R(L), f(U) у багатьох випадках є дуже складною задачею, тому перевiрити умову f(U) R(L) буває вкрай важко. Крiм цього, часто це включення взагалi не має мiсця, хоча фiзична iнтерпретацiя рiвняння Lu = f(h) з такою правої частиною є природною i важливою для застосувань. Наприклад, коли система попадає пiд зовнiшнi керуючi впливи зосередженого характеру, вiдображення f приймає значення iз простору узагальнених функцiй, але "природна" множина значень оператора L не мiстить узагальнених функцiй.

Отже, виникає проблема побудови зручної теорiї узагальненої розв'язностi рiвняння Lu = f(h) для довiльного f F (зокрема, i у випадку f R(L)). Слiд зауважити, що вимога введення "природних" означень узагальнених розв'язкiв означає збереження основних властивостей оператора L (лiнiйнiсть, неперервнiсть, iн'єктивнiсть тощо) при його розширеннi на клас узагальнених розв'язкiв, що суттєво вiдрiзняє запропоновану проблему вiд рiзноманiтних означень наближених розв'язкiв, псевдорозв'язкiв, квазiрозв'язкiв тощо.

Введемо на E топологiю TE рiвномiрної збiжностi, що задається системою напiвнорм:

p (u) = sup |(L )(u)|, u E, U,

де L - спряжений до L оператор.

Аналогiчно на F розглянемо топологiю TF:

P (f) = sup |(f)|, f F, U.

Тодi E T = (E, TE ), F T = (F, TF ) - вiддiльнi локально-опуклi лiнiйнi топологiчнi простори. Нехай E T, F T - поповнення E T та F T, а R T - замикання R(L) в F T.

Оператор L здiйснює iзоморфiзм мiж E T i R T i допускає розширення за неперервнiстю до L: E T F T.

Означення 1. Узагальненим розв'язком рiвняння Lu = f будемо називати такий елемент u E T, що Lu = f.

Теорема 1. Для довiльного f F R T iснує єдиний узагальнений розв'язок рiвняння Lu = f.

Розширення функцiоналу N на F T будемо позначати, а множину всiх таких - [N]. Аналогiчно розширенi на E T функцiонали l M = L (N) позначимо l, а множину - [M].

Означення 2. Узагальненим розв'язком Lu = f називається такий елемент u E T, що для всiх l M виконується рiвнiсть

l(u) = (f), L = l.

Можна показати, що таке означення природно узагальнює класичне поняття слабкого розв'язку диференцiального рiвняння.

Теорема 2. Для довiльного f F R T iснує узагальнений розв'язок u E T рiвняння Lu = f у сенсi означення 2.

Для доведення єдиностi узагальненого розв'язку важливе значення має умова ). Нагадаємо вiдповiдне твердження.

Твердження. Нехай L - лiнiйна множина на якiй задано такi двi норми 1, 2, що для всiх u L має мiсце u 1 cu 2, де c - додатна стала. Позначимо E 1, E 2 - поповнення множини L за нормами 1, 2 вiдповiдно. Тодi простiр E 2 щiльно та неперервно вкладається в простiр E 1 тодi i лише тодi, коли виконується умова) довiльна фундаментальна за нормою 2 послiдовнiсть u n L, що збiгається до нуля в E 1, збiгається до нуля i за нормою 2.

Iснують аналоги цiєї умови для метричних та локально-опуклих лiнiйних топологiчних просторiв (якi теж називають умовами )).

Лема 1. Узагальнений розв'язок за означенням 2 єдиний тодi i лише тодi, коли [M] тотальна у двоїстостi (( E T ), E T ).

Зауваження 1. Якщо L () - компактнi множини в M у топологiї (M,E), то узагальнений розв'язок у сенсi означення 2 єдиний.

Теорема 3. Нехай для множини E i топологiй TE та (E, M) виконується умова ). Тодi узагальнений розв'язок єдиний.

Зауваження 2. Замiсть (E, M) можна брати довiльну топологiю, що узгоджується iз двоїстiстю (E, M) та зв'язана умовою ) з TE.

У роботi наведено ще декiлька можливих означень узагальнених розв'язкiв та встановлено зв'язки мiж ними.

Далi припускаємо, що E, F - банаховi простори, L: E F - iн'єктивний лiнiйний неперервний оператор, D(L) = E, R(L) - щiльна в F множина, E та F - спряженi простори.

Наведемо приклади конкретних структур U, що задають вiдомi визначення розв'язностi лiнiйних систем.

1 (класична розв'язнiсть). Нехай R(L ) має ненульову характеристику. 1 Покладемо

U = { | = (L ) -1 (S (E ) R(L )), R+ },

де S (E ) - замкнена куля радiуса простору E.

1 R(L ) має ненульову характеристику, наприклад, коли E - рефлексивний або квазiрефлексивний простiр.

2 (узагальнена сильна розв'язнiсть). Нехай U = { = S (F )}. Топологiя TE задається нормою

u 1 = sup lL (S1 (F )) |l(u)| = sup F |(Lu)| F = LuF,

а топологiя TF - нормою fF. Отже, E T - поповнення E за нормою

LuF. Простiр F = F T є повним та R T = F.

3 (узагальнена слабка розв'язнiсть). Нехай U = {}, де - скiнченнi пiдмножини F. Топологiя TE спiвпадає з (E, R(L )).

4 (апрiорнi нерiвностi). Нехай M - довiльна врiвноважена опукла обмежена в F (за нормою) множина, яка є тотальною у двоїстостi (F, F ) i U = {M | R+ }. Топологiя TE задається нормою uM = sup lL (M) |l(u)|, для якої має мiсце оцiнка

uM = sup M |(L )(u)| sup S c (F ) |(Lu)| = cLuF, c > 0.

Має мiсце i зворотне твердження. Для даної апрiорної оцiнки iснує вiдповiдна множина M.

Як приклад застосування розробленої теорiї розглянемо рiвняння Гiльберта-Шмiдта.

Нехай L 2 (-, ) - гiльбертiв простiр вимiрних iнтегровних з квадратом комплекснозначних функцiй зi стандартним скалярним добутком (, ), {e k } - ортонормований базис (k Z), що складається з власних векторiв самоспряженого оператора Гiльберта-Шмiдта

Lu k=- k (u, e k )e k = f, k=- 2 k < +, L: L 2 L 2. (3)

Нехай E - простiр нескiнченну кiлькiсть разiв диференцiйовних на (-, ) функцiй iз топологiєю, що задається системою напiвнорм

pm (f) = sup t[-,] |f (m) (t)|

де m 0 - цiле число, f (m) - похiдна порядку m.

Позначимо E= - пiдпростiр функцiй f E:

f (m) (-) = f (m) (), m Z +.

Пiд E = будемо розумiти простiр спряжений до E= з топологiєю (E =, E= ).

Теорема 4. Нехай e k = e ikt, k Z i власнi числа k задовольняють умову | k | > c/k s при фiксованому c > 0, s 1. Тодi f L 2 (-, ) iснує та єдиний узагальнений розв'язок u E = рiвняння (3) в одному з наступних еквiвалентних сенсах.

1. L, u = (, f) для всiх L 2 (-, ): L E=,

2. u n L 2 (-, ), що u n u в E = та Lu n f в L 2 (-, ), де , - розширення за неперервнiстю (, ) на E= Ч E =.

Також розглянуто застосування одержаних результатiв до узагальненої розв'язностi iнтегральних рiвнянь Вольтерра першого роду.

У третьому та четвертому роздiлах розглядаються проблеми повної траєкторної та фiнальної керованостi некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики, зокрема:

u tt +A(u t ) +B(u) = f - псевдогiперболiчнi,

Au t +Bu = f, Au tt +Bu t + Cu = f,... - моделi Соболєва,

Au tt +B 2 u t +DCu = f - загальнi хвильовi моделi,

що розглядаються в цилiндричнiй областi (t, ) Q = (0, T ) Ч, де R n - обмежена однозв'язна область iз регулярною межею, A, B, C, D - диференцiальнi оператори за просторовими змiнними (другого порядку).

Для кожної iз систем наведеного вигляду встановлено шкалу апрiор-

них нерiвностей, доведено теореми iснування та єдиностi узагальненого розв'язку, а також одержано умови траєкторної та фiнальної керованостi. Як приклад, наведемо деякi результати, отриманi для псевдопараболiчної системи Lu = f.

Нехай u(t, ) - функцiя стану, що визначається з псевдопараболiчного рiвняння

Au t +Bu = f

та задовольняє крайовi умови



u| = 0, u| t=0 = u t | t=0 =... = 0. (4)

Оператор A не залежить вiд змiнної t i задається диференцiальним виразом другого порядку

A(u) = - n i,j=1 a ij ()u j i + n i=1 a i ()u i + a()u, (5)

B - аналогiчний оператор.

Нехай L 0 - множина нескiнченно диференцiйовних в областi Q функцiй, якi задовольняють умови (4), L T - аналогiчна множина, але функцiї задовольняють спряженi умови

v| = 0, v| t=T = v t | t=T =... = 0. (6)

Нехай W k 0 (W k T ) - поповнення множини L 0 (L T вiдповiдно) за нормами

u 2 W k 0 = n i=1 Q (u (k) ) 2 + (u (k) i ) 2 dQ, k N {0}. (7)

Розглядаючи похiднi вiд'ємного порядку як iнтеграл, означення просторiв W k 0, W k T природно поширити для всiх k Z. Наприклад, для просторiв W -k 0, k N пiд u (-1) слiд розумiти u (-1) = t 0 u() d, а для

W -k T - u (-1) = t T u() d.

Через (W k 0 ), (W k T ) позначимо спряженi простори.

На коефiцiєнти операторiв A, B накладемо умови: a ij = a ji, b ij = b ji, a i, b i, a, b - функцiї класу L (. Нехай коефiцiєнти задовольняють умову:



n i,j=1 a ij () i j n i=1 2 i, > 0, (8)

де стала не залежить вiд = ( 1,..., n ) R n i вiд.

Крiм цього, будемо припускати, що в областi виконуються нерiвностi

inf a() > n i=1 1 c f,i sup |a i ()| - c f,i, 2 > c f, |a i ()|, (9)

для кожного i 1, n, де c f,i - сталi Фрiдрiхса.

Зауваження 3. Якщо a i = 0 i a 0, то (9) виконується.

Доведено, що оператор L можна неперервно розширити з множини L 0 до оператора L: W k 0 (W 1-k T ).

Лема 2. Для всiх u W k 0 мають мiсце нерiвностi

c -1 u W k 0 Lu (W 1-k T ) cu W k 0, c > 0. (10)

Аналогiчнi нерiвностi доводяться i для спряженого оператора L.

Теорема 5. Для довiльної функцiї f (W 1-k T ) iснує єдиний розв'язок u W k 0 рiвняння Lu = f.

Означення 3. Систему Lu = f(h) називають керованою в банаховому просторi E множиною U (h U ), коли для довiльного u E iснує таке h U, що u - розв'язок Lu = f(h ).

Означення 4. Систему Lu = f(h) називають -керованою в банаховому просторi E множиною U (h U ), коли для довiльного u E iснує така послiдовнiсть h i U, що u(h i ) - u E 0 при i 0, де u(h i ) -розв'язок Lu = f(h i ).

Теорема 6. Система Lu = f керована в просторi W k 0 множиною U тодi i лише тодi, коли f(U) = (W 1-k T ). Система Lu = f -керована в W k 0 множиною U тодi i лише тодi, коли множина f(U) щiльна в (W 1-k T ).

Подiбнi результати щодо траєкторної керованостi отримано i для iнших некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики. Зазначимо, що пiд керованiстю розумiлася можливiсть досягнення потрiбного режиму функцiонування системи на всьому часовому промiжку t [0, T ] (траєкторна керованiсть). З iншого боку, часто потрiбно досягти потрiбного режиму лише в точцi t = T (фiнальна керованiсть), а поведiнка системи при t < T може не мати iстотного значення. Можлива наявнiсть зосереджених впливiв у правiй частинi рiвняння стану системи робить розгляд цього питання доволi важким, бо розв'язок такого рiвняння часто не є функцiєю точки (наприклад, належить простору L 2 (Q) або взагалi є узагальненою функцiєю). У четвертому роздiлi цю задачу розв'язано для гiперболiчної, псевдогiперболiчної та загальної хвильової моделi. Далi на прикладi гiперболiчної системи наведемо вiдповiднi результати.

Розглянемо гiперболiчну систему

Lu 2 u t 2 +A(u) = f, (11)

де оператор A задається виразом (5), u(t, ) - функцiя стану, що задовольняє початковi та крайовi умови

u| t=0 = u t | t=0 = u| 1 = u µ 2 = a 0 ()u + u µ A | 3 = 0, (12)

де i = (0, T ) Ч i, межа складається iз регулярних частин 1, 2, 3, µA = An - вектор конормалi, A = {a ij } - матриця коефiцiєнтiв оператора A, n - вектор зовнiшньої нормалi до.

Позначимо L 0 - множина функцiй u(t, ) C (Q), що задовольняють крайовi умови (12) i u| t=0 = u t | t=0 =... = 0, L T - множина функцiй v(t, ) C (Q), що задовольняють умови v| 1 = 0, v| t=T = v t | t=T =... = 0.

Нехай H k 0, V k 0, S k 0, k Z - поповнення множини L 0 за нормами

u 2 H k 0 = Q u (k) 2 + n T, V k



T - аналогiчнi простори, що вiдповiдають спряженiй задачi.

Незважаючи на наявнiсть нерiвностей u V k 0 u S k 0 для довiльного u L 0, вкладення S k 0 V k 0 вiдсутнє, бо для цiєї пари не виконується умова ).

Лема 3. Простiр S 0 0 є iзометрично iзоморфним V 0 0 Ч L 2 (. Оператор iзометрiї O: S 0 0 V 0 0 Ч L 2 ( є неперервним розширенням O(u(t, )) = {u(t, ), u(T, )}, що дiє на пiдмножинi L 0.

Зауваження 4. Елементи простору S 0 0 слiд розглядати як функцiї класу V 0 0, у яких має сенс значення u(T, ) L 2(. Аналогiчно описуються i решта просторiв S k 0, S k T, k Z.

Позначимо (H k 0 ), (V k 0 ), (S k 0 ), (H k T ), (V k T ), (S k T ) - вiдповiднi спряженi простори.

Будемо вважати, що a ij, a i, a L (, а a 0 0 належить простору L ( 3 ). Припускаємо також, що a ij = a ji i оператор A задовольняє (8).

Доведено, що оператор L можна неперервно розширити з множини L 0 до оператора L: H k 0 (H 2-k T ).

Теорема 7. Для всiх u H k 0, v H k T мають мiсце нерiвностi u S k-1 0 c 1

Lu (V 2-k T ) c 2 Lu (H 2-k T ) u H k 0, (13)

c 1 L v (V 2-k 0 ) c 2 L v (H 2-k 0 ) H k T. (14)

Теорема 8. Для довiльних f (V 2-k T ) (H 3-k T ) iснує єдиний розв'язок u V k-1 0 рiвняння Lu = f.

Означення 5. Узагальненим розв'язком рiвняння Lu = f будемо на-зивати елемент u S k-1 0, для якого iснує така послiдовнiсть u i L 0, що u i - u S k-1 0 0, Lu i - f (V 2-k T ) 0, i.

Теорема 9. Для всiх f (V 2-k T ) iснує єдиний узагальнений розв'язок u S k-1 0 рiвняння Lu = f у сенсi означення 5.

Теорема 10. Якщо f(U) = (H 2-k T ), то система Lu = f керована в H k 0 множиною керуючих впливiв U.

Теорема 11. Нехай множина f(U) (V 2-k T ) щiльна у просторi (V 2-k T ). Тодi система (11) -керована в S k-1 0 множиною керуючих впливiв U.

Зауваження 5. Множина функцiй s i=1 (t - t i ) i (), t i [0, T ], i L 2 (є щiльною в просторах узагальнених функцiй скiнченного порядку. Аналогiчне твердження має мiсце i для точкових, iмпульсно-точкових, рухомих та iнших зосереджених впливiв.

П'ятий роздiл присвячено комплексному аналiзу чисельних методiв оптимiзацiї лiнiйних систем iз зосередженими впливами.

У параграфi 5.1 на прикладi псевдогiперболiчної системи вивчено задачу iснування оптимального керування лiнiйними моделями iз сингулярними впливами. Для лiнiйного оператора псевдогiперболiчного типу розглянемо задачу оптимiзацiї:

Lu u tt +A(u t ) +B(u) = f(t, ; h), (t, ) (0, T ) Ч, (15)

u| t=0 = u t | t=0 = 0, (16)

u| 1 = µ B | 2 = a 0 ()u + u t µ A + u µ B | 3 = 0, (17)

J(h) = (u(h), h) --- hU min, (18)

де L: H 1 0 (W 1 T ), u(t, ; h) - розв'язок рiвняння (15), h - керування системою iз допустимої множини U, µA, µB - вектори конормалi, що визначаються аналогiчно (12),= i, i = (0, T ) Ч i, i = 1; 3, J - функцiонал якостi, що залежить вiд розв'язку u(h) рiвняння Lu = f(h).

Покладемо P k 0 - поповнення множини L 0 (гладкi функцiї, що задовольняють однорiднi початковi та крайовi умови) за нормою

u 2 P k 0 = u 2 W k 0 + u (k) 2 | t=T d,

де простiр W k 0 визначається в (7).

Нехай в задачi (15)-(18) керування h U обирається з топологiчного простору C. Функцiонал (u(h), h) визначений у просторi P 0 0 Ч C.

Пiд u(h) P 0 0 розумiємо узагальнений розв'язок рiвняння (15) у сенсi аналога означення 5 (його iснування та єдинiсть доведено в четвертому роздiлi).

Теорема 12. Нехай стан системи визначається з рiвняння (15) i в просторi C iснує така топологiя T C, що

1) секвенцiально напiвнеперервний знизу в P 0 0 Ч C з топологiєю, що породжується слабкою топологiєю P 0 0 i T C,

2) множина U секвенцiально компактна в (C, T C ),

3) f: C (W 1 T ) секвенцiально слабко неперервне (h k h в (C, T C ) f(h k ) f(h) в слабкiй топологiї (W 1 T ) ).

Тодi оптимальне керування системою (15)-(18) iснує.

Зауваження 6. Припустимо, що C - лiнiйний нормований простiр, C - спряжений простiр. Топологiю T C обирають настiльки слабкою, щоб множина U виявилася секвенцiально компактною, але вiдображення, f зберiгали необхiднi властивостi гладкостi.

Наприклад, якщо топологiя T C узгоджується з двоїстiстю (C, C ), то функцiонал

(u, h) = w u W 0 0, u| t=T L2(, h C

задовольняє умови теореми, де w: R 3 + R - неперервна, зростаюча за кожною змiнною функцiя. Наприклад,

(u, h) = 3u W 0 0 + 2u| t=T 2 L2( + h 3 C.

Вiдображення f: C (W 1 T ), що задають iмпульснi (t - t i ) i (), точковi ( 1 - i 1 ) i (t, 2,...), рухомi ( 1 - s i (t)) i (t, 2,...) та iншi подiбнi сингулярнi впливи, задовольняють вимоги слабкої неперервностi.

Якщо T C = (C, C ), то за допустиму множину U C можна брати довiльнi опуклi замкненi (за нормою) обмеженi множини.

Зауваження 7. Оскiльки вiдображення f, можуть бути нелiнiйними, то функцiонал якостi J може виявитися неопуклим, а оптимальне керування - не єдиним.

У параграфi 5.2 на прикладi псевдопараболiчної системи дослiджено диференцiальнi властивостi функцiоналу J (за умови наявностi вiдповiдних властивостей гладкостi функцiоналу i вiдображення f ), що дозволяє побудувати чисельнi методи оптимiзацiї градiєнтного типу. Отже, нехай L: W k 0 (W 1-k T ) - псевдопараболiчний оператор.

Теорема 13. Нехай: W k 0 Ч C - диференцiйовний за Фреше функцiонал ( u (u(h), h), h (u(h), h) - частиннi похiднi), вiдображення f: C (W 1-k T ) має похiдну Фреше f (h). Тодi iснує похiдна Фреше J (h) функцiоналу J, яка обчислюється за формулою

J (h)(h) = f (h)(h), v(h) W 1-k T + h (u(h), h)(h), (19)

де функцiї u(h) W k 0, v(h) W 1-k T - розв'язки операторних рiвнянь Lu = f(h), L v = G(u(h), h), функцiя G(u(h), h) (W k 0 ) задається похiдною u (u(h), h) за формулою (теорема Рiсса) u (u(h), h)(u) = G(u(h), h), u W k 0.

На основi спiввiдношень (19) i апрiорних нерiвностей можна дослiдити рiзнi властивостi гладкостi функцiоналу якостi J в залежностi вiд вiдповiдних властивостей керуючого вiдображення f i функцiоналiв u, h, а також побудувати чисельнi методи оптимiзацiї градiєнтного типу.

Як приклад, наведемо лише одну з таких теорем.

Теорема 14. Якщо в обмеженому околi U точки h похiднi Фреше f (h), u (u(h), h), h (u(h), h) задовольняють умову Гельдера з показником (0, 1] рiвномiрно в U, то i похiдна J (h) задовольняє умов Гельдера з показником рiвномiрно в U.

Встановлено, що умови цих теорем задовольняють iмпульснi, точковi, iмпульсно-точковi, рухомi та iншi керуючi функцiї f(h) сингулярного типу.

З теореми 13 випливає, що для обчислення градiєнту функцiоналу якостi необхiдно розв'язувати пряму та спряжену крайовi задачi. Майже завжди це можна зробити лише наближено. Для розв'язання цих рiвнянь в дисертацiйнiй роботi розроблено чисельний метод типу Гальоркiна i доведено його збiжнiсть (параграф 5.3). Крiм цього, оскiльки правi частини рiвнянь можуть бути елементами негативних просторiв, то при моделюваннi на ЕОМ вони замiнюються на деяке наближення з класу кусково-постiйних функцiй. Отже, виникає необхiднiсть дослiджувати збiжнiсть та стiйкiсть збурених градiєнтних процедур при чисельному розв'язаннi задач оптимального керування системами iз сингулярних впливами (параграфи 5.5 та 5.6).

Розглянемо задачу оптимiзацiї лiнiйної системи

Lu = f(h), J(h) = (u(h)) ----- hUC min, (20)

де L: W 0 W T - лiнiйний оператор, f: C W T, W 0 L 2 (Q), W T L 2 (Q), C - гiльбертiв простiр. Оператори L та його спряжений L задовольняють апрiорнi нерiвностi

c -1 u L2 (Q) LuW T cu W0, u W 0, (21)

c -1 v L2 (Q) L vW 0 cv WT, v W T. (22)

Розглянемо параметризовану задачу оптимального керування

Lu = f(t, ; h ), J(h ) = (u(h )) ------ hUC min, > 0, (23)

де h - параметризоване керування iз допустимої множини U.

Теорема 15. Нехай

1) U, U - слабко компактнi в C множини,

2) 1 > 2 > 0 U 1 U 2, U = >0 U,

3) f(h): C W T - неперервне та слабко неперервне вiдображення,

4) - напiвнеперервний зверху i слабко напiвнеперервний знизу функцiонал.

Тодi довiльна слабко збiжна при lim i i = 0 послiдовнiсть розв'язкiв h i задачi (23), що обов'язково iснує, збiгається слабко в C до h - розв'язку вихiдної оптимiзацiйної задачi (20).

Наведемо приклад збуреного градiєнтного методу оптимiзацiї лiнiйної системи Lu = f(h) та встановимо його збiжнiсть. Нехай C R n, U - компактна множина. Необхiдно мiнiмiзувати критерiй якостi

J(h) = Q (u(h) - u z ) 2 dQ,

де u z (t, ) L 2 (Q) - бажаний режим функцiонування системи.

Розглянемо систему зi збуреннями у правiй частинi

Lu = f (h), f: C L 2 (Q), ( > 0),

де L: W 0 W

T - лiнiйний оператор, для якого мають мiсце нерiвностi (21), (22).

Замiсть точного значення градiєнта маємо його оцiнку

J (h ) = f (h ), v WT, v W T,

де v - розв'язок спряженого рiвняння L v = 2(u(h) - u z ).

Вивчимо питання збiжностi наступної градiєнтної процедури

h s+1 = h s + s h s - h s, J s (h s ), h s - h s = inf hU J

s (h s ), h - h s, де h 0 - початкове наближення.

Параметр s обирається з умов

f s (h s ) - f (h s ) W T < s, f s (h s ) - f (h s ) < s, (24)

s, s - довiльнi додатнi нескiнченно малi послiдовностi, s - кроковий множник, що задовольняє умови: lim s s = 0, 0 < s < 1, s=0 s = +.

Теорема 16. Нехай f: C W T - диференцiйовне за Фреше вiдображення, похiдна якого задовольняє умову Гельдера з показником (0, 1]. Тодi, якщо функцiонал J(h) приймає на множинi

C = {h U C: inf hU (J (h ), h - h ) 0}

не бiльш нiж злiчену множину значень, то границя довiльної збiжної пiдпослiдовностi h sk належить C.

Зауваження 8. Аналогiчно можна довести збiжнiсть багатокрокових градiєнтних процедур

h s+1 = h s s 0 J s (h s ) + s 1 J s-1 (h s-1 ) + s-p (h s-p ),

де h -p = h -p+1 =... = h 0 - початковi наближення, s s p ваговi коефiцiєнти такi, що s 0 + s 1 +... + s p = 1.

Проблема пошуку початкового наближення при розв'язаннi задач оптимального керування вирiшується в параграфi 5.8. Показано, що за наявностi для лiнiйної системи апрiорних нерiвностей iснує проста оптимiзацiйна процедура для знаходження початкового наближення.

Початкове наближення слiд шукати як оптимальний (чи наближений) розв'язок задачi знаходження вiдстанi мiж множинами в гiльбертовому просторi.

У параграфi 5.4 дослiджується задача пошуку коректуючого оптимального керування лiнiйними системами iз сингулярними впливами. Нехай W 0 L 2 (Q) W 0 - гiльбертове оснащення. Покладемо 0 < < T, Q 1 = (0, ) Ч i Q 2 = (, T ) Ч. Нехай W 0 (Q i ) -такi гiльбертовi простори, що W 0 - замкнена лiнiйна пiдмножина W 0 12 = W 0 (Q 1 L 2 (Q) i uW0 = (u 1, u 2 ) W 0 12, W T 12 - аналогiчний простiр для спряженого рiвняння. Аналогiчнi простори визначено i для спряженої задачi. Кожний функцiонал f (W T 12 ) можна звузити i розглядати як f W T.

Вивчається задача оптимiзацiї

Lu = f(h), L: W 0 W T, f: C (W T 12 ), (25)

J(h; U) = (u(h), h) ----- hUC min,: L 2 (Q) Ч C R, (26)

де h - керування з множини U топологiчного простору (C, T C ).

Оператори L, L задовольняють апрiорнi нерiвностi

c 1 u L2 (Q) LuW T c 2 uW0, u W 0, (27)

c 1 v L2 (Q) L vW 0 c 2 vWT, v W T. (28)

Для f (W T 12 ) позначимо f (0,) - функцiонал над W T 12: f (0,), (v 1, v 2 ) T 12 = f, (v 1, 0) T 12, (v 1, v 2 ) W T 12.

Означення 6. Керування h 1, h 2 C називаємо подiбними на (0, ) (позначаємо h 1 (0,) h 2 ), якщо f(h 1 ) - f(h 2 ), (v 1, 0) T 12 = 0, v 1 W T (Q 1 ).

У топологiчному фактор-просторi C 1 = C/ (0,) розглянемо допустиму множину U 1 = {h} 1 C 1 |h U, h (0,) h.

Означення 7. Якщо h U i h {h 1 } 1, то керування h U називаємо продовженням класу {h 1 } 1. Множину всiх керувань h, що є продовженнями {h 1 } 1, позначаємо U 2 (h 1 ).

Нехай h U - фiксоване керування. Розглянемо задачу пошуку коректуючого оптимального керування

Lu = f(h), J(h; U 2 (h )) = (u(h), h) ------ hU2 (h ) min. (29)



При виконаннi умов накладених на U,, f теорема 12 дозволяє встановити iснування оптимального керування в задачах (25),(26) та (29).

Також доведено принцип суперпозицiї.

Теорема 17. Нехай h - оптимальне керування задачi (25), (26). Тодi h - оптимальне керування задачi (29).

Припустимо, що на промiжку t (0, ) система Lu = f(h ) замiсть впливу f(h ) (0,) знаходилася пiд впливом вiдображення g (0,). У момент часу t = необхiдно скоректувати керування h з урахуванням реального режиму функцiонування:

L”u = F (h, g) = g (0,) + f(h) (,T ) (W T 12 ), (30)

J 1 (h; U 2 (h )) = (”u(h), h) ------ hU2 (h ) min, (31)

де g (W T 12 ) - деяка (можливо невiдома) функцiя.

Теорема 12 дозволяє сформулювати умови iснування розв'язку задачi (30),(31)

Далi вважаємо, що C - банахiв простiр.

Теорема 18. Нехай f i мають похiднi Фреше f, ( u, h ) у точцi h U 2 (h ), u(h) L 2 (Q). Тодi похiдна Фреше функцiоналу (31) у точцi h iснує та має вигляд

J 1 (h) = f (h), (0, v 2 ) T 12 + h (h), h +h U 2 (h ),

де v(h) = (v 1, v 2 ) W T - розв'язок рiвняння L v = u.

Отже, задачу (30), (31) можна розв'язувати за допомогою чисельних методiв оптимiзацiї градiєнтного типу. Але часто вiдображення g (W T 12 ) не є повнiстю вiдомим, а тому невiдомими є розв'язок рiвняння (30) - функцiя u(h), а також градiєнт функцiоналу. Замiсть точного значення g можуть бути вiдомi деякi спостереження над станом системи u(h). Виникає задача побудови обчислювальної процедури коректування поточного керування h в умовах неповної iнформацiї.

Позначимо U 3 (h ) = {h U 2 (h ): ” u(h) - ” u(h ) Ker C}, де C: L 2 (Q) H - лiнiйний оператор, що задає спостереження над системою, H - лiнiйний простiр спостережень, Ker C - ядро оператора C. Нехай необхiдно мiнiмiзувати функцiонал якостi

J 2 (h; U 3 (h )) = Q (”u(h) - u z ) 2 dQ ------ hU3 (h ) min, (32)

де u z L 2 (Q) - вiдома функцiя, ” u(h) L 2 (Q) - розв'язок (30), що задовольняє Cu = q, q = C(”u(h )) - вiдомий елемент в H. Позначимо M L 2 (Q) - лiнiйна пiдмножина функцiй u L 2 (Q), що є розв'язком одного з рiвнянь Lu = g (0,), M L 2 (Q) - ортогональне доповнення до M в L 2 (Q).

Параграф 5.7 присвячено зональнiй керованостi лiнiйних розподiлених систем. У роздiлах 3 та 4 для багатьох систем математичної фiзики встановлено умови керованостi. Для доведення цих результатiв iстотне значення мала елiптичнiсть операторiв A, B,..., що входили до рiвняння системи. У випадку ж коли умова елiптичностi виконується лише на частинi областi або вiдсутня взагалi, можна отримати дещо слабшi результати. Наприклад, для хвильової моделi

Lu Au tt +B 2 u t + Cu = f

доведено, що система -керована в скiнченний момент часу в зонах. Структура областей i визначається через "степiнь елiптичностi" оператора A. В крайнiх випадках маємо таке: якщо A - елiптичний оператор в, то система керована у скiнченний момент часу в W 2 ( ; у протилежному випадку (A 0 i a > 0 в 0 ) система керована лише в L 2( 0 ). У промiжних випадках маємо керованiсть в зонах i у сенсi просторiв W 2( i ) або L 2( 0 ).

У другому роздiлi введено i дослiджено поняття узагальненого розв'язку лiнiйного операторного рiвняння. Це спонукає до запровадження означення узагальнених екстремальних елементiв функцiоналiв (параграф 5.9). Нехай E - банахiв простiр, M - обмежена, замкнена множина з E i E.

Означення 8. Узагальненим екстремальним елементом x (*x ) функцiоналу на M називається x (*x ) з "поповнення" M множини M за деякою топологiєю T, що має властивостi

1) T узгоджується зi структурою векторного простору E;

2) T є бiльш слабкою, нiж топологiя простору E;

3) функцiонал (x) є неперервним на M в топологiї T i

sup xM (x) = (*x ) ( inf xM (x) = (*x )),

де (x) - розширення (x) за неперервнiстю на множину M за топологiєю T.

Зауважимо, що у випадку нерефлексивного банахова простору E в спряженому просторi E обов'язково iснують лiнiйнi функцiонали, що не мають максимального елемента на одиничнiй кулi S 1 (E).

Вiдомо, що для розв'язання задачi про iснування узагальнених екстремальних елементiв достатньо знайти такий простiр F, щоб вкладення E F було компактним, а функцiонал залишився неперервним. У зв'язку з цим виникає проблема конструктивної побудови такого простору F. Легко навести приклад такого локально-опуклого лiнiйного топологiчного простору F, що E F - компактне вкладення.

Дiйсно, нехай F = E з топологiєю (E, E ). Як вiдомо, в довiльному спряженому просторi (зокрема, E ) кожна замкнена куля (зокрема, S 1 (E )) є компактною множиною в слабкiй топологiї (тобто в (E, E )). З iншого боку, також вiдомо, що одинична куля S 1 (E) банахова простору E є щiльною множиною в одиничнiй кулi S 1 (E ) у топологiї (E, E ) простору E.

Але слiд зауважити, що у випадку нескiнченновимiрного банахова простору E, топологiя (E, E ) не є метризованою, а для застосувань важливо, щоб простiр F був лiнiйним нормованим.

Теорема 20. Для довiльного сепарабельного банахова простору E iснує такий сепарабельний банахiв простiр F, що E щiльно i компактно вкладено в F.

Зауваження 9. З доведення теореми 20 випливає iснування такого банахова простору F, що для довiльного наперед заданого набору функцiоналiв {g 1, g 2,...} E, простiр E компактно вкладається в F i функцiонали {g 1, g 2,...} E залишаються неперервними в нормi простору F.

Крiм цього, якщо для деякого наперед заданого компактного вкладення E F функцiонал f не є неперервним в F, то iснує такий простiр F 1, що E вкладається в F 1 компактно, f є неперервним в F 1 та dim(F 1 \ F ) = 1.

Iнший пiдхiд до вивчення процесiв тепломасопереносу в неоднорiдних середовищах пов'язаний iз використанням iдеї В.Ф. Демченка зведення основного рiвняння процесу та умов контакту до системи диференцiальних рiвнянь першого порядку з узагальненими коефiцiєнтами, яка сама враховує умови спряження. Слiд вiдзначити, що такий пiдхiд має певнi переваги у порiвняннi з класичними. Наприклад, наявнiсть декiлькох рiвнянь в системi залишає бiльше свободи для доведення необхiдних нерiвностей, нiж у випадку прямого рiвняння; рiвняння системи мають простi фiзичнi iнтерпретацiї (узагальнюють деякий закон збереження та закон переносу), а тому система зручна для моделюван ня фiзичних процесiв; у деяких випадках часова та просторова змiннi входять до системи симетричним чином; процес дослiджується у зв'язнiй областi, що iнколи важливо (наприклад, для чисельних процедур).

У шостому роздiлi параболiчна система з включеннями дослiджується саме в такiй постановцi.

В областi (t, ) Q = (0, T ) Ч розглянемо дифузiйний процес iз однорiдними умовами спряження типу неiдеального контакту

u t + qu + div = f(t, ), = -K grad u, 1 2, (34)

u| t=0 = 0, u| = 0, (35)

[(, n( 0 )) R 2 ] 0 = 0, lim 0 ((), n( 0 )) R 2 = -[u] 0, 0, (36)

де = 1 2 R n - однозв'язна область, тонке включення розташоване на кривiй = ( 1 2 ) \, K = {k ij } - матриця коефiцiєнтiв, - коефiцiєнт, що характеризує розмiр i фiзичнi параметри прошарку (припускаємо, що C() i 0 < < c = const на ), n - вектор нормалi до кривої (зовнiшнiй до областi 1 ).

Введемо наступнi позначення

X = W 1,0 2 Ч (W 0,1 2 ) n, Y = W -1,0 2,T Ч (W 0,-1 2 ) n,

X 1 = W 1,0 2 Ч (L 2 (Q)) n, Y 1 = W -1,0 2,T Ч (L 2 (Q)) n,

X 2 = L 2 (Q) Ч (W -1,0 2,T ) n, Y 2 = L 2 (Q) Ч (W 1,0 2 ) n,

де W 1,0 2, W 0,1 2 - простори функцiй Соболєва, що задовольняють умови (35), W 1,0 2,T, W 0,1 2,T - аналогiчнi простори, що вiдповiдають спряженiй задачi, W 0,-1 2, W -1,0 2,T,... - вiдповiднi негативнi простори.

Показано, що систему (34)-(36) можна описувати операторним рiвнянням

Lx = F, L: X Y, (37)

де L - лiнiйний неперервний оператор, що задається символiчною матрицею

Для чисельного розв'язання параболiчної системи з умовами спряження запропоновано та дослiджено збiжнiсть наближеного методу типу методу Гальоркiна.



ВИСНОВКИ

Дисертацiйна робота є новим комплексним дослiдженням, у якому розроблено та дослiдженно чисельнi та аналiтичнi методи моделювання та оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем, що знаходяться пiд впливами зосередженого характеру.

Основнi результати дослiдження:

1. Знайдено загальну конструкцiю для встановлення узагальненої розв'язностi лiнiйних систем. Зокрема,

доведено iснування узагальненого розв'язку лiнiйної системи та знайдено умови єдиностi розв'язку;

знайдено, яким чином реалiзуються найбiльш вдалi означення узагальнених розв'язкiв лiнiйних рiвнянь, та дослiджено питання зв'язкiв цих розв'язкiв мiж собою;

у загальному випадку вивчено метод апрiорних нерiвностей для побудови узагальненої розв'язностi в банахових просторах;

розглянуто застосування розробленої теорiї до iнтегральних рiвнянь, зокрема, до рiвнянь Гiльберта-Шмiдта та Вольтерра першого роду.

2. Одержано властивостi траєкторної та фiнальної керованостi некласичних лiнiйних систем математичної фiзики. Зокрема,

для моделей псевдогiперболiчного типу, моделей С.Л. Соболєва (зокрема, псевдопараболiчних) та загальних хвильових систем встановлено злiченi шкали апрiорних нерiвностей;

для цих моделей доведено теореми iснування та єдиностi узагальненого розв'язку;

знайдено умови точної та -керованостi системи як всiєю траєкторiєю, так i в скiнченний момент часу.

3. Проведено комплексне дослiдження чисельних та аналiтичних методiв керування сингулярними лiнiйними розподiленими системами. Зокрема,

доведено теорему iснування оптимального керування та вивчено диференцiальнi властивостi функцiоналiв якостi;

побудовано чисельнi методи типу Гальоркiна наближеногорозв'язання системи та встановлено їх збiжнiсть при рiзних припущеннях про гладкiсть правої частини;

...