Принятие решения в условиях риска и неопределенности

Размещено на http://allbest.ru

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет»

Кафедра математических методов в экономике

Методические указания

Принятие решения в условиях риска и неопределенности

Челябинск

2007



1. Основные понятия и определения

математический экономический риск неопределенность

Теория исследования операций (ИО) как самостоятельная дисциплина сложилась в период Второй мировой войны. Работы Е.С. Вентцель, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогорова, В.С. Пугачева н многих других авторов заложили основы понимания смысла терминов «операция», «эффективность», «неопределенность». Уже в предвоенные годы было положено начало исследованиям в задачах массового обслуживания, оценки эффективности стрелкового оружия, распределения ресурсов, были созданы основы анализа конфликтных ситуаций.

Что же такое ИО? Под ИО понимается применение математических, количественных методов для обоснования принимаемых решений в тех областях целенаправленной деятельности, где существуют различные пути достижения цели.

Особую значимость ИО приобрело в экономике в связи с необходимостью исследования математических моделей сложных экономических систем. В рамках теории ИО возникли новые дисциплины: системный анализ, теория экспертных систем, финансовая математика и др.

Дальнейшее изложение материала основано на работах [2 - 4]. Приведем основные определения.

Определение 1. Операция - совокупность действий, направленных на достижение определенной цели.

Пусть, например, человек выбирает, каким образом добраться от дома до работы. Цель операции - не опоздать на работу и сэкономить деньги на проезд. Совокупность действий: поехать на автобусе, поехать на троллейбусе, поехать на такси, пойти пешком.

Цель операции, как видно из примера, может включать несколько составляющих (время, деньги). Цели операции или их составляющие могут быть двух видов:

1) качественные, их сущность состоит в том, что или выполняется некоторое условие, или нет;

2) количественные, их сущность состоит в увеличении или уменьшении некоторого показателя - количественной меры степени достижения цели.

Так, в рассматриваемом примере цель не опоздать на работу является качественной: опоздал - условие не выполнено, не опоздал - выполнено. Если же поставить цель минимизировать время поездки, то цель будет количественной.

Определение 2. Оперирующей стороной (ОС) называются участники операции, стремящиеся к достижению цели операции.

В нашем примере это человек, решающий для себя вопрос о выборе способа добраться до работы. Однако оперирующая сторона может быть представлена и несколькими участниками. Так, все члены акционерного общества, заинтересованные в увеличении прибыли от предприятий своего общества, являются одной оперирующей стороной в соответствующей операции.

Определение 3. Контролируемые факторы - множество возможных действий ОС.

В первом примере контролируемые факторы - это выбор конкретного вида городского транспорта.

Множество контролируемых факторов будем обозначать буквой X. ОС выбирает некоторое действие - «точку» х Х. Например:

X = {«поехать на автобусе», «поехать на троллейбусе», «поехать на такси»; «пойти пешком»},

х = «поехать на такси».

Определение 4. Неконтролируемые факторы - факторы операции, которые не контролируются ОС.

В нашем примере это: время ожидания выбранного транспорта (например, автобуса) на остановке, погодные условия (соответственно, скорость движения), авария во время поездки и т.д.

Неконтролируемые факторы бывают двух типов.

Неопределенные факторы: ОС известно лишь множество значений Y неопределенных факторов у (у Y). Например, известно, что автобусы нужного маршрута ходят с интервалом 10 мин.

Случайные факторы: ОС известно множество значений Z и (z) - функция распределения вероятностей случайной величины z, где z - неконтролируемый фактор.

Таким образом, о случайном факторе z имеется больше информации, чем о неопределенном факторе. Например, статистическое исследование ГИБДД позволило установить функцию распределения вероятностей аварий в зависимости от времени года, погоды и времени суток. Тогда неконтролируемый фактор - «авария во время поездки» является случайным фактором.

Определение 6. Целевая функция - это математический эквивалент цели операции, позволяющий количественно оценивать степень достижения этой цели. То есть, критерий операции - это функция

f : XYZ R^m,

которая любому набору (х,y,z)XYZ (хX, yY, zZ) ставит в соответствие набор из чисел (f₁(x, y, z),..., f_m(x, y, z)), m - число составляющих цели. Если m> 1, то модель является многокритериальной.

Так в примере с поездкой на работу f₁ отвечает качественной цели «не опоздать на работу», а f₂ - количественной «стоимость поездки».

В соответствии с двумя видами целей можно выделить два вида целевой функции:

- качественная функция, в нашем примере f₁(x,y,z). Для качественной цели можно положить f₁(x,y,z)=1, если цель выполнена (не опоздал на работу) и f₁(x,y,z)=0, если цель не выполнена (опоздал на работу);

- количественная функция, в нашем примере f₂(x,y,z) - стоимость поездки.

ОС обычно сталкивается с необходимостью выбора конкретного способа действий из некоторого множества вариантов. Когда цель определена, оптимальным считается такой способ действий, который в большей степени способствует достижению этой цели. Для целевой функции операции это будет выбор такого значения xX, которое доставляет наибольшее (например, в случае прибыли) или наименьшее (например, в случае затрат) значение из всех возможных.

Итак, операция предполагает наличие цели, множества контролируемых факторов и множества неконтролируемых факторов.

Определение 7. Математической моделью операции называется набор

(1)

Отсутствие тех или иных неконтролируемых факторов будем обозначать пустотой соответствующего множества (например ).

В модели операции множество X не может быть пустым, более того, оно должно содержать не меньше двух элементов, в противном случае, у ОС не будет выбора и, следовательно, не будет необходимости в привлечении математического аппарата для принятия решения. Также обязательным в модели операции является наличие целевой функции.

В теории принятия решений различают следующие варианты наличия различных неконтролируемых факторов:

1) = - принятие решения в условиях определенности;

2) , - принятие решения в условиях неопределенности;

3) , - принятие решения в условиях риска;

4) , - принятие решения в условиях риска и неопределенности.

Нужно иметь в виду, что математическая модель, как и всякая модель, огрубляет действительность, выделяя существенные факторы и основные зависимости. Соответственно, и получаемое решение учитывает только эти факторы и зависимости.

Определение 8. Информация, которой располагает ОС к моменту принятия решения, называется информационной гипотезой (ИГ).

Так, ОС может быть известно только множество значений неконтролируемых факторов. В общем случае ИГ сужает множество значений неконтролируемых факторов до некоторого подмножества множества . Возможно, что к началу операции ОС становится известно, что неконтролируемый фактор примет конкретное значение . В этом случае множество состоит из единственной точки .

Определение 9. Стратегиями ОС называются способы действия, соответствующие информационной гипотезе.

Определение 10. Стратегией-константой ОС называется любой элемент x из множества X.

Такие стратегии применяются, например, когда отсутствует какая-либо дополнительная информация о неконтролируемых факторах кроме самого множества .

Определение 11. Позиционной стратегией ОС является функция

, (2)

которая каждому значению неконтролируемых факторов из множества ставит в соответствие контролируемый фактор .

Применение позиционной стратегии допустимо, когда ОС перед началом операции становится известно значение неконтролируемых факторов.

Рассмотрим следующий пример. Пусть фермер приехал на оптовый рынок с некоторым набором товаров. Операция состоит в продаже товаров с целью получения максимальной выручки. Контролируемые факторы - цены на свои товары (x - вектор цен). Неконтролируемые факторы - цены на аналогичные товары у конкурентов (y - вектор цен конкурентов).

Рассмотрим далее две из всех возможных ИГ:

1) фермер не имеет информации о ценах конкурентов;

2) фермер предполагает, что узнает цены на интересующие его товары.

В первом случае он выбирает стратегии-константы, независящие от неконтролируемых факторов. Во втором он определяет функцию , которая каждому значению цен конкурентов y ставить в соответствие свои цены . В этом случае его стратегии позиционные, то есть являются функциями от неконтролируемых факторов. Отметим, что среди всех функций вида (2) есть и функции константы

В общем случае ИГ сужает область значений неконтролируемых факторов. Так, например, могли быть известны только интервалы цен на аналогичные товары, а не сами цены.

Определение 12. Смешанной стратегией ОС является распределение вероятностей на множестве X стратегий-констант.

Другие смешанные стратегии здесь рассматриваться не будут. Если X={x₁,…x_n} - конечное множество, то смешанная стратегия есть вектор p=(p₁,…, p_n), где p_i вероятность выбора стратегии x_i, i.Так как p_i вероятности, то p_i 0, i.

На множествах X, например отрезке, где невозможно задать вероятность выбора каждой стратегии хX, смешанная стратегия задается функцией распределения вероятностей. Например,

F(x) = O xa, F(x) =, F(x)=l xb

закон равномерного распределения на отрезке [a;b].

Итак, смешанная стратегия - это стратегия, которая строится ОС с привлечением механизма случайного выбора. Например, человек бросает монету, чтобы определить, каким видом транспорта (троллейбус или автобус) он поедет. В данном случае смешанная стратегия есть задание вероятности (по 0.5) на двух стратегиях-константах («поехать на троллейбусе», «поехать на автобусе»).

Применение смешанных стратегий при многократном повторении операции обосновывается двумя положениями, Во-первых, математическое ожидание выигрыша ОС будет не меньше, чем при использовании стратегий-констант, так как любую стратегию-константу можно представить смешанной стратегией, при которой вероятность выбора х равна 1, а вероятность выбора других стратегий хX равна нулю. Во-вторых, на множестве смешанных стратегий оптимальная стратегия существует чаще, чем на множестве стратегий-констант.

Стратегии, не являющиеся смешанными, будем называть чистыми, то есть в чистых стратегиях не участвует механизм случайного выбора. В частности, чистыми стратегиями являются стратегии-константы и позиционные стратегии. Смешанные стратегии, как и чистые, соответствуют ИГ операции.

Обычно применение смешанных стратегий ОС может быть реализовано, например в случае конечного числа стратегий, при многократном повторении операции в виде частоты выбора той или иной чистой стратегии. В этом случае частота выбора чистой стратегии заменяет вероятность выбора этой стратегии.

Пример 1. В течение одного месяца колхоз (далее ОС) может продавать на рынке коз и капусту. Для перевозки товара на рынок имеется один грузовик. В один рейс он может взять либо коз, либо капусту. Покупательский спрос ОС неизвестен, однако известно, что он может принимать только два значения: в первом случае требуется две козы и три тонны капусты; во втором случае - восемь коз и одна тонна капусты. У ОС имеются только две чистые стратегии: первая - везти коз, вторая - везти капусту. Прибыль ОС в условных денежных единицах в зависимости от выбранной стратегии и покупательского спроса представлена в матрице А, где первая и вторая строки соответствуют первой и второй стратегиям ОС, а первый и второй столбцы - первому и второму значениям покупательского спроса. Так, величина а₁₂=2 есть прибыль ОС в случае применения им первой стратегии, т. е. везти коз, и при втором значении покупательского спроса. Примером смешанной стратегии ОС

А=

Одним из способов реализации этой смешанной стратегии при р=3/4 в течение 28 дней может быть следующий: 21 день возят капусту и 7 дней возят коз.

Еще одним примером реализации смешанной стратегии является «интенсивность производства».

Пример 2. Оперирующая сторона (ОС) - руководство швейной фабрики решает зимой проблему: шить к лету длинные юбки (первая стратегия) или короткие (вторая стратегия). Если сошьют длинные юбки, и они будут модными, то прибыль составит 10 ед. Если сошьют длинные, а модными окажутся короткие юбки, то убытки составят 8 ед. Аналогично при выборе второй стратегии: мода на длинные юбки приведет к убытку в 9 ед., а мода на короткие приведет к прибыли в 15 ед. Как и в предыдущем примере, результаты деятельности могут быть представлены в виде матрицы

А=

длинные юбки, а второй - на короткие. Реализуя смешанную стратегию, ОС может принять решение шить долю р от общего количества длинных юбок и долю (1-р) коротких.



2. Оценка эффективности стратегий

Для выбора некоторой стратегии ОС должна иметь возможность оценить насколько она хороша или плоха. Так как результаты операции оцениваются критерием операции, то и оценка эффективности основывается на этой функции. Оценки эффективности могут быть различными в зависимости как от информации, которой обладает ОС, так и от субъективных решений ОС.

В случае принятия решения в условиях определенности критерий операции имеет вид f: XR, т.е. зависит только от контролируемых факторов, характеризует достижение цели одним числом, и при этом наибольшему достижению цели соответствует максимальное (минимальное) значение функции f. Тогда оптимальной будет такая стратегия x_*Х, которая доставляет максимум (минимум) функции f;

f(x_*)= .

В случае, когда в операции присутствуют неконтролируемые факторы (Y, Z) ОС оценить свою стратегию становится значительно труднее. Существует несколько разумных способов оценки стратегий и ОС необходимо выбрать один из них, либо некоторую комбинацию критериев.

2.1 Оценка эффективности стратегий в условиях неопределенности

Рассмотрим случай, когда Z , то есть нет случайных факторов, и m= 1

f: XYR.



Тогда наиболее распространенными являются следующие способы оценки эффективности стратегий.

Принцип наилучшего гарантированного результата (критерий Вальда). Предполагается, что для каждой стратегии хX ОС будет реализовываться наиболее плохой для ОС неопределенный фактор уY. Так, если цель ОС максимизировать «выигрыш» f(x,y), то любая стратегия хX оценивается величиной

(3)

Оценку W₁(х) (3) называют еще оценкой крайнего пессимизма. Таким образом, в рассматриваемом случае величина W₁(x) оценивает «выигрыш» ОС снизу, то есть, выбрав стратегию хX, ОС получит «выигрыш» f(x,y) не меньший, чем W₁(x), какое бы уY не реализовалось. Иными словами, при применении стратегии х ОС гарантировано получит выигрыш не меньший величины W₁(х). Оптимальной по этому критерию будет стратегия x₀, доставляющая максимум функции W₁(х) на множестве X.

.

Применение принципа наилучшего гарантированного результата обосновано, когда выбор неопределенного фактора уY осуществляет разумный противник, ставящий своей целью уменьшение «выигрыша» ОС.

В случае, когда ОС стремится минимизировать величину f(x,y), вместо оценки W₁(x) (3) применяется аналогичная оценка



Соответственно

.

Если ОС не противостоит разумный противник, применение принципа наилучшего гарантированного результата может показаться сильно «пессимистичным». В этих случаях говорят об «играх с природой». Неконтролируемые факторы выбирает «природа», основываясь на своих, неизвестных ОС, целях. Однако, нет оснований предполагать, что «природа» старается навредить ОС. Наиболее известными в данной ситуации являются критерии Лапласа, Сэвиджа и Гурвица.

Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на следующем принципе недостаточного обоснования. Поскольку распределение вероятностей на неопределенных факторах неизвестно, то принимаем, что это распределение является распределением равномерного закона.

Еще раз напомним, что в рассматриваемых случаях ОС не противостоит разумный противник, который выбирает неконтролируемый фактор с целью максимально ухудшить результат операции для ОС.

Критерий Лапласа оценивает стратегию хX величиной математического ожидания выигрыша ОС при равномерном законе распределения вероятностей неконтролируемых факторов. Оптимальной по этому критерию считается стратегия, доставляющая максимум (если нужно максимизировать целевую функцию) математическому ожиданию целевой функции

, . (4)



Здесь - функция плотности распределения вероятностей равномерного закона; p_i - вероятность того, что неконтролируемый фактор примет значение y_i. При этом

p_i=1/i.

Первая формула применяется в случае непрерывной случайной величины y. Вторая формула для конечного множества Y={y₁,…,y_m}.

Пример 3. Предприятие должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребность клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но оно может принимать одно из четырех значений: y₁=200, y₂=250, y₃=300, y₄=350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (x_1,…,x₄) с точки зрения минимизации затрат. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса (дополнительные расходы из-за необходимости срочных закупок, упущенная прибыль).

Стратегию x₁, то при худшем для него варианте y=y₁ затраты возрастут по сравнению с гарантированным результатом на 1%, а при благоприятном варианте затраты составят только 0.9% от гарантированных затрат, т.е. уменьшатся на 99.1%.

Учесть подобные ситуации и реализовать выбор стратегии, дающей возможно небольшой проигрыш, но и возможно существенный выигрыш по сравнению со стратегией гарантированного результата, позволяет критерий Сэвиджа. Пусть целевая функция f(x,y) есть функция выигрыша ОС. Следовательно, ОС стремится максимизировать целевую функцию. Составим функцию сожаления:



(5)

Величина выражает «сожаление» ОС в том, что она для данного неопределенного фактора y выбрала стратегию x, а не лучшую стратегию

.

Функцию называют также функцией риска. Затем для функции применяется критерий наилучшего гарантированного результата, то есть оптимальное х₀ ищется следующим образом. Для каждого контролируемого фактора хX

. (6)

В случае, когда в модели операции задана функция потерь (проигрыша), функция сожаления будет иметь вид

(7)

и опять выражает «сожаление» ОС о том, что она для данного неопределенного фактора yY применила стратегию x, a не лучшую стратегию :



.

Далее, оптимальная по данному критерию стратегия х₀ ищется из критерия наилучшего гарантированного результата для ₂(х, у):

.

Функция сожаления и в случае функции выигрыша f (формула (5)) и в случае функции потерь f (формула (7)) выражает величину потерь ОС от неприменения лучшей стратегии. Поэтому критерий наилучшего гарантированного результата в обоих случаях является минимаксным:

(8)

Составим матрицу сожаления для приведенного в начале пункта примера. Так как функция f(i, j) в данном примере есть функция потерь, то

Функцию ₂(i, j) запишем в виде матрицы S сожалений:



Теперь из критерия наилучшего гарантированного результата для матрицы S получаем, что оптимальной будет стратегия х_1.

Рассмотрим пример 3. Так как в этом примере задана функция потерь, то функция сожаления (i, j) вычисляется по формуле (7).

, ₂(1,3)=21-5=16 и т. д.

Результаты вычислений запишем в виде матрицы S:

Для нахождения оптимальной по критерию Сэвиджа стратегии ОС найдем по матрице сожалений S стратегию х₀, удовлетворяющую принципу наилучшего гарантированного результата. Для этого в силу (8) нужно найти максимальный элемент в каждой строке матрицы S. Обозначим его b₁, b₂, b₃, b₄, соответственно. Затем необходимо найти наименьшее из чисел b_i. Тогда номер i^*: b_i*= min{b_j}- определит оптимальную стратегию. В примере 3 b₁=10, b₂=8, b₃=16, b₄=25. Соответственно, i₀ =2, так как b₂=min{b₁;b₂;b₃;b₄}. Следовательно, стратегия х₂ является оптимальной по критерию Сэвиджа в данном примере. Этот ответ совпадает с ответом, полученным по критерию Лапласа.

Таким образом, для приведенной в примере 3 функции потерь оптимальной и по критерию Лапласа, и по критерию Сэвиджа является стратегия х₂. Однако из приведенного примера не стоит делать вывод, что такое совпадение будет всегда выполняться. Можно привести пример, когда эти два критерия будут считать оптимальными различные стратегии.

Критерий Гурвица. Для определения следующего критерия нам понадобится понятие выпуклой комбинации.

Определение 13. Число с называется выпуклой комбинацией чисел a и b, если существует число [О;1] такое, что

c= a +(1 - )b.

Отметим, что множество всех таких чисел образует отрезок [a ; b]. Критерий Гурвица является выпуклой комбинацией критериев крайнего пессимизма W₁(x, у) и крайнего оптимизма:

. (9)

Здесь мы считаем, что задана функция выигрыша f(x, y). Критерий крайнего оптимизма предполагает, что неопределенный фактор yY - максимально содействует ОС в ее стремлении увеличить свой выигрыш. Итак, в случае, когда задана функция выигрыша f(x, y) ОС критерий Гурвица имеет вид:

=. (10)

Оптимальной в этом случае считается стратегия х₀X, доставляющая максимум функции W₅(x), т.е.

W₅(х₀)=W₅(x).



Для функции потерь (х, у) критерий Гурвица задается равенством:

W₆ (x)=. (11)

Оптимальной при этом считается стратегия х₀X, на которой достигается минимум функции W₆(х), т. е.

W₆ (x₀)=W₆ (x).

Параметр называется показателем оптимизма: при =1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма, при =0 - в критерий крайнего пессимизма. Выбор параметра осуществляется ОС, исходя из ее взглядов на данную операцию, то есть является субъективным.

Найдем решение задачи из примера 3 по критерию Гурвица в случае = 0.2. Имеем соответственно:

W₆(x₂) = [0.27 + 0.823] =19.8, W₆(x₃) = [0.212 + 0.821] = 19.2,

W₆ (х₄) = [0.215 + 0.830] = 27.

Анализируя зависимость выбора оптимальной стратегии от значения , получим:

(0.5; 1] - оптимальная стратегия х₁;

=0.5 - оптимальные стратегии х₁ и х₂;

(2/7; 0.5) - оптимальная стратегия x₂;

= 2/7 - оптимальные стратегии x₂ и х₃;

[0; 2/7) - оптимальная стратегия х₃.

Таким образом, в зависимости от выбранной величины оптимизма ОС может получить различные ответы об оптимальности стратегии.



2.2 Оценка эффективности в условиях риска

Рассмотрим случай, когда Y=, Z=, то есть неконтролируемые факторы являются только случайными. При этом будет предполагаться, что известна либо функция (z) распределения вероятностей случайной величины z (в случае непрерывной случайной величины z), либо для конечного множества Z={z₁,...,z_m} значений случайной величины известна p_i - вероятность того, что случайная величина z примет значение z_j, i.

Критерий ожидаемого значения (математическое ожидание) «выигрыша». В критерии ожидаемого значения в качестве оценки эффективности стратегии х принимается математическое ожидание случайной величины выигрыша. Критерий имеет вид:

(12)

в случае непрерывной случайной величины z , и

W₇(x)=f(x, z_i)q_j (13)

для дискретной случайной величины z. Здесь q_j - вероятность того, что случайная величина z примет значение z_j, Z={z₁,…,z_m}.

Отметим, что применение осреднения по случайной величине (12) или (13) может быть обосновано только при многократном повторении операции. Действительно, в этом случае средний выигрыш (т. е. сумма выигрышей в проведенных операциях деленная на количество операций) будет достаточно близок к математическому ожиданию выигрыша (12) или (13). Если число повторений операции невелико, то математическое ожидание целевой функции может сильно отличаться от ее среднего значения.

Пример 4. Пусть ОС имеет три стратегии X={x₁, x₂, x₃}, множество неконтролируемых факторов состоит из трех возможных значений Z={z₁, z₂, z₃}. Обозначим - значение целевой функции для контролируемого и случайного факторов соответственно. Пусть матрица A этих значений целевой функции имеет вид:

Пусть вероятности, с которыми выбирается один из трех неконтролируемых факторов: q₁=9/24; q₂=8/24; q₃=7/24. Тогда математические ожидания выигрыша для различных стратегий задаются величинами

Таким образом, по критерию ожидаемого значения наилучшей для ОС является вторая стратегия. Однако отметим, что в случае выбора второй стратегии величина выигрыша с вероятностью q=2/3 не превзойдет 4, в то время как при первой стратегии ОС величина выигрыша не опустится ниже 6. При однократном проведении игры ОС, выбирая вторую стратегию, рискует с большой вероятностью получить выигрыш меньший, чем в случае применения первой стратегии.

Критерий математического ожидания - дисперсии. Выбор стратегии по математическому ожиданию, оказывается, связан с большим риском. Одним из способов оценки риска служит математическое ожидание отклонения случайной величины выигрыша от своего математического ожидания, т. е. дисперсия случайной величины выигрыша. Действительно, из неравенства Чебышева (при конечной дисперсии) имеем

(14)

где

,

,

дисперсия выигрыша ОС при его стратегии х в случае непрерывной и дискретной случайной величине z соответственно. Таким образом. ²(f(x, М)) оценивает вероятность отклонения от математического ожидания выигрыша W(х) при той же стратегии. С целью уменьшить «риск» сильного отклонения случайной величины выигрыша от математического ожидания используют критерий математического ожидания - дисперсии. В этом критерии отражено стремление увеличить математическое ожидание выигрыша и уменьшить вероятность отклонения от него случайной величины выигрыша. Критерий имеет вид

W₈(x)=W₇(x) - K (f(x, М)). (15)

Здесь К 0 - коэффициент не склонности к риску. В случае минимизации проигрыша ОС соответственно

W₉(x)=W₇(x) + K(f(x, М)). (16)



При значении К = 0 ОС ориентируется только на математическое ожидание выигрыша и не интересуется риском отклонения величины выигрыша от математического ожидания W₇(х). Если К>0, то максимизируя W₈, ОС стремиться к максимизации W₇ и минимизации среднеквадратичного отклонения . Чем больше К, тем большее значение для ОС имеет минимизация и меньшее значение имеет максимизация W₇. Из (15) следует, что при росте величины К ОС все больше стремиться уменьшить вероятность отклонения выигрыша от величины математического ожидания. Тем самым ОС становится все менее склонной к риску. Величина коэффициента К определяется ОС субъективно в зависимости от сложившейся ситуации, т.е. нет четких правил определения величины К. В рассмотренном примере можно отметить, что при малых значениях К (K<k₁, k₁ 0.15) оптимальной остается вторая стратегия, при k₁<K< оптимальной станет первая стратегия, а при К> оптимальной по критерию W₉ - третья стратегия. Однако при использовании третьей стратегии в случае любой реализации z ОС получит выигрыш не больший, чем при применении первой стратегии. Таким образом, необоснованное увеличение коэффициента К в (15) может привести к неправильным выводам.

Пример 5. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине может принимать одно из следующих значений: {100; 150; 200; 250; 300}. Булочки обходятся магазину по 25 ден. ед. Свежие булочки продаются по цене 49 ден. ед., а не проданные в тот же день, продаются в конце дня по 15 ден. ед. Какое число булочек нужно заказывать с тем, чтобы ежедневная валовая прибыль (выручка от продажи минус затраты на закупку) была максимальной. При этом нужно учитывать следующие условия:

а) булочки продаются поддонами по 50 шт. на одном поддоне;

б) по цене 15 ден. ед. продаются все булочки;

в) известны вероятности каждой величины спроса: P(100)=0.2;

P(150)=0.25; P(200)=0.3; P(250)=0.15; P(300)=0.1.

Решение. Контролируемым фактором х является количество заказываемых магазином булочек. Величина х может принимать одно из следующих значений х{0; 50; 100; 150; 200; 250; 300;…}.

Неконтролируемым фактором является спрос на булочки. По условию задачи спрос является случайной величиной, принимающей конечное число значений Z={100;150;200:250; 300}. Неопределенных факторов нет (Y=).

Критерием операции является количество денег, полученных от продажи булочек за вычетом суммы, которую магазин заплатил за них. Если магазин закупил х булочек, а спрос в этот день составил z булочек, то магазин продает будочки по цене 49 ден. ед. в количестве min{x,z}. Действительно, нельзя продать больше, чем имеется, и нельзя продать больше, чем спрашивают покупатели. По цене 15 ден. ед. будет продано (x - min{x,z}) булочек. Если количество х закупленных магазином булочек превосходит спрос z (x - z>0), то z булочек будет продано по цене 49 ден. ед. и (x - z) булочек - по цене 15 ден. ед. Если же спрос z превышает х, то х булочек будет продано по цене 49 ден. ед., а по цене 15 ден. ед. булочки продаваться не будут.

Таким образом, математическая модель операции { Х, (Z,), f } определена. Исходя из вида целевой функции, можно сократить множество X, на котором следует искать максимум целевой функции по x. Действительно, следует закупать не менее 100 булочек, так как спрашиваться будет не менее 100 булочек и каждая такая булочка приносит прибыль в 24 ден. ед. Каждая булочка сверх 300 не будет продана днем и принесет убытки в 10 ден. ед., следовательно, закупать булочки в количестве более 300 не выгодно. Итак, множество X следует уменьшить до X={100; 150; 200; 250; 300}.Так как множества X и Z конечны, целевую функцию удобно представить в виде таблицы



Таблица 1. Значений целевой функции F(x, z)

	Значения z
x	z = 100	z = 150	z = 200	z = 250	z = 300
100	2400	2400	2400	2400	2400
150	1900	3600	3600	3600	3600
200	1400	3100	4800	4800	4800
250	900	2600	4300	6000	6000
300	400	2100	3800	5500	7200

Здесь строка соответствует значению x, а столбец - значению z. Так значение F(200;150) находится на пересечении третьей строки (x=200) и второго столбца (z=150).

Oценим эффективность произвольной стратегии х. Оценивать будем по критериям «ожидаемое значение» и «ожидаемое значение - дисперсия».

По критерию «ожидаемое значение» (13) имеем

=1900

+;

=(

;

Аналогично получаем

=3495; =3040.

Итак, по критерию «ожидаемое значение» лучшей является стратегия х*= 200.

Найдем теперь решение по критерию (см.(15)) при K=1

W₉(100)=W₇(100) - ;

W₉(150)=W₇(150) - =

=3260-680=2580;

Аналогично получаем

W₉(250) 2023; W₉(300)1437.

Итак, в этом случае лучшей оказалась более осторожная стратегия закупки - 150 булочек ежедневно.

Критерий предельного уровня. Этот критерий соответствует не понятию оптимальности, а приемлемому способу действия. Данный критерий применяется, когда трудно оценить выигрыш (проигрыш) при той или иной стратегии ОС. Рассмотрим пример.

Пример 6. Предположим, что величина спроса z в единицу времени на товар является случайной величиной с непрерывной функцией плотности распределения (z), т. е. d((z)) = (z)dz или (z) = '(z). Если запасы товара в начальный момент невелики, то в некоторый момент возможен дефицит товара. Если запасы очень велики, то к концу рассматриваемого периода (день, неделя, месяц и т. д.) может оказаться большой запас нереализованного товара. В случае дефицита товара появляются потери в связи с уменьшением потенциальной прибыли и потери клиентов, не купивших нужный товар. В случае излишков товара появляются потери, связанные с его закупкой и хранением. Затраты на хранение можно трактовать как плату за то, что денежные средства «лежат» на складе, а не приносят прибыль другим способом.

Определить потери от дефицита товара в полном объеме очень трудно, поэтому ОС может принять решение исходя из критерия предельного уровня, добиваясь, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А₂ единиц. Математически это можно записать в данном примере следующим образом. Пусть I - определяемый уровень запасов, тогда

,



При произвольном выборе А₁ и А₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо увеличить одно или оба ограничения, чтобы обеспечить существование решения.

Приведенный пример не единственная ситуация, когда используется этот критерий. Критерий предельного уровня имеет смысл применять, когда в момент решения нет полного представления о множестве возможных альтернатив либо трудности для ОС по определению всего множества альтернатив и вычислению на этом множестве значений критерия операции превосходят потери от неточного решения.

Пусть, например, владелец предприятия сферы услуг, которое может работать с различной скоростью обслуживания (прачечная, ресторан, парикмахерская), рассматривает вопрос о скорости обслуживания. Быстрое обслуживание, удовлетворяя интересы клиентов, может оказаться невыгодным для владельца, т.к. требует дополнительных затрат на новое оборудование и количество обслуживающего персонала. Медленное обслуживание требует меньших затрат, но может привести к потере клиентов, не желающих долго ждать.

Пусть в данной ситуации можно задать или определить из эксперимента распределение вероятностей потока клиентов и времени их обслуживания. В силу многократного проведения операции по оказанию услуг представляется приемлемым определение оптимального уровня скорости обслуживания исходя из минимизации общих ожидаемых потерь в единицу времени. Общие потери складываются из затрат на оказание услуг и потери ожидаемой прибыли в случае отказа клиента дожидаться обслуживания. Обе составляющие потерь зависят от уровня скорости обслуживания, при этом, чем больше значение первой, тем меньше значение второй и наоборот. Однако рассматриваемый критерий практически неприменим из-за трудности оценивания приемлемого времени ожидания для различных клиентов.



2.3 Оценка эффективности в условиях риска и неопределенности

В случае, когда Z и Y, для оценки эффективности стратегии ОС xX обычно применяется суперпозиция оценок из пунктов 2.1, 2.2. Например, оценка эффективности

является суперпозицией критерия наилучшего гарантированного результата по неопределенным факторам и критерия ожидаемого значения по случайным факторам.

Пример 7. Пусть руководство фабрики решает, какой объем x продукции нужно производить, если известно:

- максимальный объем не может превосходить величину V;

- цена единицы продукции - случайная величина z, функция распределения вероятностей которой (z) установлена на основе статистических исследований;

- себестоимость единицы продукции зависит от величины объема выпускаемой продукции s(x);

- величина налога y (в процентах) может быть изменена правительством перед началом анализируемого года в пределах от Nmin до Nmax.

Цель операции максимизировать сумму, оставшуюся после продажи и уплаты налогов. Предполагается, что реализуется вся продукция.

В рассматриваемом примере контролируемым фактором является величина объема производства продукции xX, где X=[0;V]. Неконтролируемые факторы: y - налог, и z - цена. При этом Y=[Nmin; Nmax], Z=[0; ?).

Валовая прибыль от продажи равна x(z-s(x)), а после уплаты налогов останется сумма равная

(1 - y/100)(z - s(x))x.

Если руководство фабрики будет оценивать свою стратегию исходя из суперпозиции критериев Лапласа и ожидаемого значения, то произвольная стратегия х будет оцениваться величиной

x(z - s(x))d(z) dy

В случае использования суперпозиции критериев гарантированного результата и ожидаемого значения соответствующая оценка будет иметь вид

W(x) = min x(z - s(x))d(z)

2.4 Пример использования «дерева решений»

Пусть операция имеет несколько этапов, на каждом из которых, множество возможных действий ОС зависит от того, какое действие было использовано на предыдущем этапе. В этом случае для поиска решения часто используют так называемое «дерево решений». «Дерево решений» представляет собой граф, в вершинах которого либо происходит выбор одного из возможных действий ОС, либо реализуется одно из возможных значений неконтролируемого фактора. Возможные действия ОС или возможные реализации неконтролируемого фактора изображаются дугами этого графа. Рассмотрим процедуру принятия решения на следующем примере [1]. В научном центре некоторой компании была разработана технология выпуска новой продукции. Руководство компании (далее ОС) решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер дохода, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (таблица 1). Руководство кампании оценивает вероятность благоприятного состояния рынка величиной 0.55, а и неблагоприятного - 0.45

Таблица 2.

Номер стратегии	Действия компании	Выигрыш, дол., при состоянии рынка
		благоприятном	неблагоприятном
1	Строительство крупного предприятия	200000	-180000
2	Строительство малого предприятия	100000	-20000
3	Продажа патента	10000	10000

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждого из возможных действий ОС математического ожидания выигрыша, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальная величина ожидаемого значения выигрыша.

- для вершины 1 ОВ = 0.55200000 + 0.45( -180000) = 29000 долл.;

- для вершины 2 ОВ = 0.55100000 + 0.45( -20000) = 46000 долл.;

- для вершины 3 ОВ = 10000 долл.

Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию строительства малого предприятия, а остальные стратегии дерева решений можно отбросить. ОВ наилучшего решения равен 46000 долл.

Усложним рассмотренную выше задачу.

Пусть перед принятием решения о строительстве руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

Фирма, которой заказывается прогноз, способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного состояния рынка. При этом известно:

- если фирма делает прогноз, что рынок будет благоприятным, то он будет благоприятным с вероятностью 0.78, а неблагоприятным - 0.22;

- если фирма делает прогноз, что рынок будет неблагоприятным, то он будет неблагоприятным с вероятностью 0.73, а благоприятным - 0.27.

На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений (рис. 2), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным. Определим ожидаемый выигрыш в этом случае. Если прогноз конъюнктуры рынка не заказывается, результат уже был получен: нужно строить малое предприятие, ожидаемый выигрыш - 46 000 долл. В случае, когда прогноз заказывается, действия ОС и, соответственно результаты, зависят от прогноза. Если будет получен прогноз о благоприятной конъюнктуре рынка, то вероятность благоприятной конъюнктуры рынка будет 0.78, а неблагоприятной - 0.22. Тогда:

При строительстве большого предприятия ОВ = 2000000.78 + (-1800000.22)= 116 400 долл.;

При строительстве малого предприятия ОВ = 1000000.78 +(-200000.22)= 73 600 долл.;

при продаже патента ОВ = 10 000 долл.

Следовательно, при благоприятном прогнозе нужно строить большое предприятие, при этом ОВ = 116 400 долл.

Если будет получен прогноз о неблагоприятной конъюнктуре рынка, то вероятность благоприятной конъюнктуры рынка будет 0.27, а неблагоприятной - 0.73. Тогда:

при строительстве большого предприятия ОВ=2000000.27 + (-1800000.73)= -77 400 долл.;

при строительстве малого предприятия ОВ = 1000000.27 + (-200000.73)= 12 400 долл.;

при продаже патента ОВ = 10 000 долл.

В случае неблагоприятного прогноза необходимо строить малое предприятие, при этом ОВ = 12 400 долл.

Так как руководство компании принимает решение заказывать,

или не заказывать прогноз до того как прогноз будет получен, то для оценки возможного результата оно может воспользоваться своими предварительными данными о вероятности благоприятной и неблагоприятной конъюнктуре рынка. Таким образом, если прогноз будет заказан, ожидаемый выигрыш составит ОВ = 1164000.55 + 124000.45 = =59200долл. После уплаты за прогноз 10000долл. остается 49200 долл., что больше, чем в случае, когда прогноз не заказывается.



Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:

- необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение и увеличить ожидаемую прибыль;

- если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 долл.), если прогноз неблагоприятный - малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 долл.).

Руководство компании может определить для себя ожидаемую ценность информации. Это величина равна разности между ожидаемым выигрышем в случае, когда прогноз будет заказываться и ожидаемым выигрышем без прогноза. В примере эта величина равна 59200 - 46000 = 13200, что больше платы за информацию. Если бы плата была больше ожидаемой ценности информации, то по такой цене эту информацию не имело бы смысла покупать.



3. Примеры решения задач

Здесь будут рассмотрены задачи на составление модели операции и оценку эффективности стратегии.

Составление модели операции состоит в определении множества Х- стратегий ОС, множества Y- неопределенных факторов, множества Z и функции распределения (z) случайных факторов z и в определении критерия операции f(x, у, z) исходя из цели операции.

Задача 1

Скорость движения машин в автомобильном туннеле не превышает 50 км/ч и связана с плотностью потока ( количеством машин на километр дороги ) Р следующим эмпирическим соотношением

Р =,

где v₀ = 60 км/ч, a z- случайная величина, которая в любой момент определяется отношением грузовых и легковых машин, проходящих через туннель. Известно, что величина z распределена равномерно на отрезке [0.5;1]. Регулировка движения в туннеле производится выбором скорости движения v.

За проезд по туннелю с легковой машины взимается плата денежных единиц, а с грузовой - (0<<). Цель операции состоит в получении максимальной платы за 1 час работы туннеля. Требуется составить математическую модель операции и определить оценку эффективности произвольной стратегии ОС.

Решение. Контролируемым фактором х является скорость движения v по туннелю. Множество X контролируемых факторов по условию задачи определяется соотношением



X={x: 0x50}.

Неконтролируемым фактором является случайная величина zZ =[0.5;1] с равномерным законом распределения:

Неопределенных неконтролируемых факторов нет (Y= ).

Критерием операции является количество денег, полученных в течение часа. Так как плата взимается при въезде в туннель, то для определения этой величины найдем количество С(x,z) машин, въезжающих в туннель за один час, при заданных величинах (х, z).

С(x, z)=xP=

Найдем, сколько среди них грузовых и легковых. Так как

z=,

где - количество грузовых машин, a g- количество легковых машин, то

g=; =



Следовательно:

f(x,z) = .

Итак, все компоненты математической модели {X, Y, (Z,(z)), f} определены.

Оценим эффективность произвольной стратегии х. Рассмотрим только два критерия эффективности:

1) критерий ожидаемого значения, т. е. ОС допускает осреднение;

2)критерий наилучшего гарантированного результата, то есть ОС предполагает, что величина z будет реализовываться наихудшим для нее образом.

В случае 1) по формуле (11) получаем

Дифференцируя по x и приравнивая к нулю, получаем, что по этой оценке лучший результат достигается при x⁰=30км/ч.

В случае 2) ОС считает z неопределенным фактором и никак не использует информацию о случайном его характере (о функции распределения вероятностей).

Полагая в формуле (3) y=z, Y=Z получаем

Так как функция

монотонно убывает при z 0, то на отрезке [0.5; 1] она принимает минимальное значение в точке x=1, следовательно,

.

Максимум этой функции достигается в точке x⁰=30км/ч.

Задача 2

В мэрии рассматриваются три проекта строительства теплопунктов в новом микрорайоне. Затраты по строительству, обслуживанию и развитию в соответствии с четырьмя возможными вариантами развития микрорайона.

Решение. Контролируемым фактором является выбор того или иного проекта. Обозначим x_i - выбор i-го проекта, тогда X={x₁, x₂, x₃,} - множество контролируемых факторов. Неконтролируемым фактором будет вариант развития микрорайона. Обозначим y_j - j-й вариант развития микрорайона, тогда Y={y₁, y₂, y₃, y₄} - множество неконтролируемых факторов. Так как не задано вероятностей наступления y_j , то это неопределенный фактор. Целевая функция задана в виде таблицы. Найдем решения по четырем критериям в условиях неопределенности. Напомним, что по условиям задачи ОС необходимо минимизировать затраты.

В соответствии с критерием Вальда (3)



W₁(x₁)=max{10; 15; 17; 9}=17;

W₁(x₂)=max{14; 12; 10; 16}=16;

W₁(x₃)=max{12; 13; 14; 15}=15.

Следовательно, оптимальным по этому критерию является третий проект x₃ , так как при этом проекте оценка W₁(x) принимает наименьшее значение. Найдем решение по критерию Лапласа. Так как неопределенный фактор принимает четыре значения, то каждому из них припишем вероятность 0.25. В соответствии с (4) получаем

W₂(x₁)=110.25+150.25+170.25+120.25=13.75;

W₂(x₂)=140.25+120.25+100.25+160.25=13;

W₂(x₃)=120.25+130.25+140.25+150.25=13.5.

Минимальные ожидаемые затраты получаются при x₂, следовательно, второй проект является оптимальным по критерию Лапласа.

3.Для нахождения наилучшего проекта по критерию Сэвиджа необходимо записать функцию сожаления (x,y). Так как необходимо минимизировать затраты, применим формулу (6). Функцию сожаления так же удобно записать в виде матрицы

Применяя к функции сожаления критерий наилучшего гарантированного результата, получим

W₃(x₁)=max{0; 3; 7; 0}=7;

W₃(x₂)=max{3; 0; 0; 4}=4;

W₃(x₃)=max{1; 1; 4; 3}=4.



Наименьшее значение критерия достигается на x₂, x₃. Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальными будут второй и третий проекты.

4. При применении критерия Гурвица ОС должна определить коэффициент [0; 1] - показатель оптимизма. Пусть =0.4. Так как в этой задаче требуется минимизировать целевую функцию, то критерий крайнего оптимизма будет задаваться как минимальное из возможных значений при данном значении x:

W₄(x₁)=min{10; 15; 17; 9}=10;

W₄(x₂)=min{14; 12; 10; 16}=10;

W₄(x₃)=min{12; 13; 14; 15}=12.

По формуле (10) получаем

W₆(x₁)= W₄(x₁) + (1-) W₁(x₁)=0.410 + (1 - 0.4)17=14.2;

W₆(x₂)= W₄(x₂) + (1-) W₁(x₂)= 0.410 + (1 - 0.4)16=13.6;

W₆(x₃)= W₄(x₃) + (1-) W₁(x₃)= 0.412 + (1 - 0.4)15=13.8.

При выбранном значении =0.4 лучшим оказался второй проект, так как значение критерия Гурвица при x₂ наименьшее из возможных.

Задача 3

Пусть две фирмы конкурируют на рынке. Первая фирма имеет четыре стратегии, вторая - три. Если первая фирма применяет стратегию i, i= {1,2,3,4}, а вторая - стратегию j, j={1,2,3}, то первая получит выигрыш в размере f(i, j), а вторая проиграет ту же величину. Если выигрыш первой фирмы - отрицательное число, то это означает, что она проиграет такое количество условных денежных единиц, а вторая выиграет их. Функция f(i, j) задана в виде таблицы



Если первая фирма применяет смешанную стратегию и допускает осреднение критерия, то оценкой эффективности () этой стратегии в случае, когда стратегия у второй фирмы является неопределенным фактором, будет наименьшее (по у) из математических ожиданий (y_j), i= выигрыша первой фирмы при фиксированном неопределенном факторе y_i;. Имеем

(y₁)=,

(y₂) =

(y₃)=

Следовательно,

()=min

Пусть теперь и первая, и вторая фирмы применяют смешанные стратегии, и первая фирма допускает осреднение при оценке критерия. Тогда оценка стратегии будет следующей:



Задача 4.

Пусть снова две фирмы конкурируют на рынке, первая фирма имеет три стратегии, а вторая - шесть. Если первая фирма применила i-ю стратегию, а вторая - j-ю стратегию, то первая фирма получает выигрыш F⁽¹⁾(i,j), а вторая - F⁽²⁾(i, j). Эти величины могут быть разные, и необязательно противоположные. Таким образом, в отличие от предыдущей задачи вторая фирма стремится максимизировать свою функцию выигрыша, а не минимизировать функцию выигрыша первой. Пусть функции выигрышей каждой из фирм заданы в виде матриц.

...