Метод анализа иерархий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство культуры Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Санкт-Петербургский государственный институт кино и телевидения"

Кафедра кинофотоматериалов и регистрирующих систем

Курсовая работа

на тему: "Метод анализа иерархий"

Выполнила:

студентка 131группы ФФиТД

Кребс Я. А.

Проверила:

Чураева Л. А.

Санкт-Петербург2015

Содержание

Введение

1. Иерархии и приоритеты: предварительное обсуждение

1.1 Измерения и суждения

1.2 Иерархии

1.3 Приоритеты в иерархиях

2. Аналогии

3. Возможности метода анализа иерархий

4. Преимущества и недостатки метода

5. Условия обоснованного применения метода

6. Шкала Саати

7. Применение МАИ на конкретном примере

Введение

В процессе мышления мы определяем объекты или идеи и отношения между ними. При определении чего-либо человек производит декомпозицию сложного события, с которым сталкивается, а выявив отношения, тем самым осуществляет синтез. Фундаментальный процесс, лежащий в основе познания, включает в себя декомпозицию и синтез. Для нас интерес представляют разработка этой концепции и ее практические применения.

Хотя проводимые разными людьми декомпозиции могут отличаться одна от другой, непосредственный опыт общения с реальностью позволяет получить достаточно близкие оценки на операционном уровне, особенно, когда эти оценки подтверждаются успешным опытом достижения общих целей. Поэтому можно моделировать действительность различным образом, и вместе с тем придавать суждениям смысл, который включает общее понимание. Необходимо использовать это проявление суждений и знаний.

Наша цель - разработка теории и методологии для моделирования неструктурированных задач в экономике, науке управления и социальных науках.

Иногда мы забываем, как много времени потребовалось человечеству для развития измерительных шкал, которыми пользуются в повседневной жизни. Эволюция монетарных единиц потребовала тысячи лет меновой торговли и законодательной деятельности в процессе последовательного приближения к созданию средства для обмена, которое мы называем деньгами. Деньги также служат в качестве основы измерения всех видов товаров и услуг. Эта эволюция шкалы измерения, т. е. денег, помогла построить экономические теории, поддающиеся эмпирическим проверкам. Развитие денег - интерактивный процесс, усовершенствующий человеческие суждения и опыт, с одной стороны, и средства измерения - с другой. Этот процесс также создал структуру, объединяющую философию и математику в экономической науке. Экономические теории в настоящее время очень тесно связаны со своими единицами измерения, однако возникают проблемы, связанные с политическими и социальными величинами, которые, не имеют экономических эквивалентов.

Социальные величины в нашем сложном обществе требуют удобного метода шкалирования, который позволил бы на практической повседневной основе получить разумные соотношения между деньгами, качеством окружающей среды, здоровьем, счастьем и подобными реальностями. Такой подход облегчил бы взаимодействие между суждениями и социальными феноменами, к которым они применены. Нам нужен такой подход именно из-за того, что не существует шкал измерения социальных величин, которые завоевали бы популярность, хотя и известны попытки заложить основу теории измерений в социальных науках.

Пробным камнем для нового инструментария является то, насколько он естественен и прост в употреблении и насколько гармонично он составляет единое целое в рамках существующей теории, принят ли он теми, кто его должен использовать, и как хорошо он работает при решении возникающих проблем.

Наша теория создавалась для решения определенной задачи планирования при непредвиденных обстоятельствах и позднее при построении будущих альтернатив для развивающейся страны - Судана [1]. В результате были получены приоритеты и план капиталовложений для проектов, осуществление которых намечено на конец 80-х годов. Идеи постепенно развивались, находя применение во многих других приложениях, таких, как распределение энергии [2], капиталовложения в 11 различные технологии в условиях неопределенности, борьба с терроризмом, покупка автомобиля, выбор работы и выбор школы.

Используя парные сравнения на входе, мы можем справиться с факторами, которые обычно в приложениях не поддаются эффективной количественной оценке. Естественно, у некоторых людей вызывает сомнение неопределенность, заключающаяся в том, что числа ассоциируются с суждениями; иначе говоря, можно попасть в капкан поговорки: «мусор на входе - мусор на выходе». С суждениями трудно работать, кроме того, они меняются в широком диапазоне. Но можно исследовать согласованность суждений и тем самым обосновать их.

Различные приложения теории осуществлялись при участии юристов, инженеров, ученых, работающих в области политических и социальных наук, физиков, математиков и даже детей. Все ощущали удобства легкого и естественного способа проведения парных сравнений в пределах индивидуального опыта и легко воспринимали изложение метода, которое обычно велось без технических подробностей.

Однако почему возникла такая навязчивая идея с числами и измерениями? Каким образом она поможет нам, и как она будет работать? Нам постоянно предлагают методику, позволяющую справиться с любым феноменом, с которым мы сталкиваемся. Однако она не может справиться с вещами, для которых не существует мер. Здесь предлагается эффективный способ построения мер для таких вещей и их использования для принятия решений.

Для лучшей оценки предлагаемого нами подхода, достаточно общего для применения как к известным измерениям, так и к суждениям, приведем следующую цитату:

«...Кажется почти очевидным, что мы не можем решать современные значительные политические и организационные проблемы простым перемалыванием ряда доступных входных данных с помощью математических моделей или вычислительной техники. Кроме того, нам требуется более усовершенствованная схема размышления и суждения. Когда мы начнем постигать процесс размышления и суждения, мы сможем прийти к лучшему объективному методу, т. е. к некоторому оптимальному пути обдумывания в точной и достоверной форме».

Обычно процесс принятия решений включает в себя следующие составляющие: планирование, генерирование ряда альтернатив, установление приоритетов, выбор наилучшей линии поведения после нахождения ряда альтернатив, распределение ресурсов, определение потребностей, предсказание исходов, построение систем, измерение характеристик, обеспечение устойчивости системы, оптимизация и разрешение конфликтов.

Ответы на задачи по принятию решений страдают от избыточности техники «патентованной медицины», исключающей лечение в целом. Рекомендации к решению одной задачи могут привести всю систему в более возмущенное состояние чем то, в котором она была сначала.

В последние десятилетия в задачах социальных и поведенческих наук нашел свое место «системный подход» наряду со старыми редукционистскими методами, которые, по-видимому, более приемлемы для физических наук. По существу, система является абстрактной моделью имеющейся в реальности структуры, как, например, нервная система человека, управление городом, транспортная сеть штата или экосистема болотистых местностей в Нью-Джерси. Говоря системным языком, мы оцениваем воздействие различных компонент системы на всю систему и находим приоритеты этих компонент.

Некоторые определяют систему в терминах взаимодействий ее частей. Однако гораздо более богатое определение системы может быть дано в терминах ее структуры, её функций, целей, заложенных в ее конструкцию с точки зрения перспективы отдельного индивидуума или группы (отсюда и возможность конфликта), и, наконец, окружающей среды (большей окружающей системы), для которой она представляет собой подсистему.

Для практических целей система часто рассматривается в терминах ее:

1) структуры в соответствии с физической, биологической социальной или даже психологической классификацией ее частей и в соответствии с потоком материалов и людей, которые определяют отношения и динамику структуры;

2) функций в соответствии с тем, каковы функции одушевленных или неодушевленных компонент системы; какие цели они должны выполнять; частями каких целей более высокого порядка являются эти цели (ведущие к общей цели системы); чьи цели удовлетворяются; какие конфликты между индивидуумами могут быть разрешены.

В действительности структура и функции системы не могут быть разделены. Они представляют собой реальность, которую мы осознаем на основании опыта. Нам следует рассматривать их одновременно. В таком плане структура служит средством для анализа функций. Функционирование изменяет динамику структуры.

Иерархия является некоторой абстракцией структуры системы, предназначенной для изучения функциональных взаимодействий ее компонент и их воздействий на систему в целом. Эта абстракция может принимать различные родственные формы, в каждой из которых, по существу, производится спуск с вершины (общей цели) вниз к подцелям, далее к силам, которые влияют на эти подцели, к людям, влияющим на эти силы, к целям отдельных людей, к их политикам, еще дальше к стратегиям, и, наконец, к исходам, являющимся результатами этих стратегий. Стоит отметить, что существует некоторая степень инвариантности этой структуры, высшие уровни которой представляют ограничения и силы окружающей среды, спускающиеся к уровням действующих лиц, их целей, функциям системы, и, наконец, к ее структуре, которая может быть модифицирована или управляема.

При построении иерархической структуры системы возникают два вопроса:

Как мы строим функции системы иерархически?

Как мы измеряем воздействия любого элемента в иерархии?

Есть также важные вопросы по оптимизации, которыми следовало бы заняться. Они приобретут смысл после того, как будут получены ответы на приведенные выше вопросы. Позже мы обсудим и структуру иерархий.

1. Иерархии и приоритеты: предварительное обсуждение

1.1 Измерения и суждения

Рассмотрим три родственные задачи, имеющие интересные приложения. Первая касается измерений. Предположим, что имеется некоторое множество предметов, каждый из которых достаточно легок и может быть поднят рукой. В отсутствии взвешивающего прибора мы хотим оценить их относительные веса. Один способ оценки заключается в том, чтобы угадать вес каждого предмета, взяв за единицу измерения самый легкий, таким образом сравнить все предметы, а потом разделить веса отдельных предметов на суммарный вес всех предметов, чтобы получить относительный вес каждого. Другой метод, использующий большее количество имеющейся в эксперименте информации, представляет собой попарное сравнение предметов, заключающееся в том, что мы поднимаем один предмет, затем другой, и вновь возвращаемся к первому и затем к следующему и т. д., пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении) каждой пары объектов. Затем задача заключается в получении удобной шкалы для попарных сравнений. Преимущество второго способа состоит в том, что одновременно рассматриваются только два предмета и выясняется, как они соотносятся друг с другом. Отметим также, что при этом используется избыточная информация, так как каждый предмет методично сравнивается со всеми остальными.

В задачах, где нет шкалы, по которой фиксируется количественная характеристика результатов, процесс попарных сравнений, как можно показать, обладает тем ценным качеством, что, несмотря на большее число этапов, каждый из этапов проще, чем при первом способе взвешивания.

Отметим, что при любом способе измерений их согласованность -- это не нечто само собой разумеющееся. Всем измерениям, включая измерения с использованием приборов, присущи как экспериментальные ошибки, так и ошибки измерительного прибора. Серьезным следствием ошибки является то, что она может привести и часто приводит к несогласованным выводам. Простым примером следствия ошибок при взвешивании предметов может служить следующая ситуация: А тяжелее Б, Б тяжелее В, однако В тяжелее А. Это может произойти, в частности, в том случае, когда веса предметов А, Б и В близки, а измерительный прибор недостаточно точен. Отсутствие согласованности может быть существенным для одних задач и не столь существенным для других. Например, если предметами являются два химических препарата, путем смешивания которых в точной пропорции изготовляют лекарство, то несогласованность в данном случае может означать, что непропорционально большее количество одного препарата смешивается с меньшим количеством второго, что может привести к пагубным результатам.

Однако совершенной согласованности в измерениях на практике трудно достигнуть даже при помощи точнейших приборов, поэтому нужен способ оценки согласованности для отдельной задачи.

Под согласованностью здесь подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений (если яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов), а фактическая степень предпочтения, которая проходит через всю последовательность сравниваемых предметов. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсинов, а те, в свою очередь, в 3 раза предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это мы называем числовой (кардинальной) согласованностью по степени предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может вызвать нарушение транзитивности, а может и не вызвать его. Наш метод исследования согласованности не только показывает несогласованность при отдельных сравнениях, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи. Точное определение численного показателя для согласованности будет дано позднее.

Отметим, что зависимость между согласованностью и тестами, показывающими близость измерений к воспроизводимой реальности, необязательна. Так, у индивидуума может быть отличная согласованность в суждениях, однако он может мало что знать о реальной ситуации. Хотя обычно, чем лучше человек знаком с ситуацией, тем более последовательным в своих суждениях он должен быть при ее воспроизведении. Попарные сравнения позволяют повысить согласованность путем использования всей возможной информации.

Для того чтобы измерения воспроизводили реальность, делаются следующие предположения:

1. Физическая «реальность» согласованна и при контролируемых условиях от опыта к опыту можно рассчитывать на получение одинаковых результатов.

2. Суждения должны стремиться к согласованности, являющейся желаемой целью. Необходимо «схватить» реальность, но этого еще не достаточно. У индивидуума могут быть весьма согласованные мысли, которые не соответствуют реальным ситуациям в мире. Согласованность является центральной проблемой в конкретных измерениях, в суждениях и в мыслительном процессе.

3. Для получения лучших оценок реальности, при проведении суждений следует систематически направлять наши впечатления, ощущения и мнения. Нашей целью является повышение объективности и понижение слишком большой субъективности.

4. Для получения хороших результатов (соответствующих реальности) из наших ощущений требуется:

а) применить математику для построения правильной теории, 14 которая предоставит численные шкалы суждений и других сравнительных измерений;

б) найти шкалу, которая будет различать наши ощущения так, чтобы мы легко могли доверять соответствию между качественными суждениями и числами этой шкалы;

в) иметь возможность воспроизводить измерения реальности, которые уже нам известны из физики и экономики;

г) иметь возможность определить величину нашей несогласованности.

Между прочим, отметим, что измерительные приборы не только не являются и не могут быть средством абсолютных измерений, но и сами стали объектом научных исследований и анализа. Если эти приборы в каком-либо смысле неадекватны (а можно всегда придумать эксперимент, для которого нет удовлетворительного измерительного прибора), то нужно создать новые приборы. Нетрудно представить себе какой-нибудь важный эксперимент, для которого нельзя найти достаточно точных приборов, всегда дающих непротиворечивые ответы. В этом случае задача в целом смещается в плоскость изучения согласованности и оценки степени несогласованности. Предлагаемый подход к оценке шкал отношений, основанный на максимальном собственном значении; позволяет измерить отклонение от согласованности. При этом обеспечивается сравнение суждений, полученных на основе информированности, с разобщёнными или случайными суждениями, что служит средством оценки отклонения от основной шкалы отношений.

При измерениях физических величин обычно можно установить размерность или характеристику, например для длины, которая остается одной и той же во времени и пространстве, и создать приборы для измерения этой характеристики. В действительности гораздо труднее создать прибор, который перед проведением измерения приспосабливает свою шкалу к изменяющимся обстоятельствам. К примеру, расстояние и масса меняются при скоростях, близких к скорости света, и поэтому прибор, который непосредственно измерял бы эти характеристики при скоростях, близких к скорости света, потребовал бы некую разновидность переменной шкалы.

Такая проблема возникает и в общественных науках. Речь идет о характеристиках, которые изменяются не только в пространстве и во времени, но, что гораздо важнее, изменяют также свое значение в сочетании с другими характеристиками. Мы не можем изобрести универсальные шкалы для социальных событий. Социальные явления сложнее физических, поскольку их труднее воспроизвести в достаточном количестве. Кроме того, при этом необходимо осуществлять строгий контроль, сам по себе часто нарушающий именно то социальное поведение, которое и пытаются измерить. Наши суждения должны быть достаточно гибкими и учитывать ситуацию, при которой происходит измерение интересующей нас характеристики.

Рассмотрим задачу измерения успеха и счастья. Оба понятия можно назвать относительными свойствами в том смысле, что можно приспособить единицу измерения для сравнения, скажем, степени счастья в одной обстановке со степенью счастья в другой обстановке. Как будет показано далее, это можно сделать с помощью техники попарных сравнений. Мощным прибором, меняющим свою шкалу в соответствии с обстоятельствами, может быть сам человеческий ум, особенно если оказывается, что измерения, проводимые им, достаточно согласованы, чтобы удовлетворить требованиям отдельной задачи. Интенсивность наших ощущений служит в качестве устройства, подстраивающего шкалу для измерения некоторых объектов по соразмерной другим объектам шкале. Фактически, с повышением точности мышление становится необходимым средством относительных измерений, так как ни один прибор, за исключением нашего ума, не может быть сконструирован так, чтобы соответствовать нашему собственному опыту и точке зрения. Некоторая группа должна скоординировать точки зрения своих членов для получения приемлемых для них (в определенном смысле) результатов.

Обратимся теперь к нашей второй задаче, которая касается обеспечения большей устойчивости и инвариантности в социальных измерениях. Допуская, что размерности или характеристики являются переменными, зададимся вопросом, как измерять воздействия этой изменчивости на характеристики другого, более высокого уровня, и, в свою очередь, как измерять воздействия последних на еще более высокий уровень и т. д. Получается, что для очень большого класса задач обычно можно определить общие характеристики (или одну характеристику), которые остаются неизменными достаточно долго, т. е. на время эксперимента. Такой подход ведет к измерению и анализу воздействий в иерархиях, обсуждавшихся ранее. Затем можно исследовать инвариантность полученных результатов преобразованием иерархии различными способами. Результаты измерений могут быть использованы для придания системе устойчивости или для построения систем, ориентированных на новые цели, а также (в качестве приоритетов) для распределения ресурсов. Здесь вновь, как и в монетарной системе, описанной ранее, измерения получаются из суждений, основанных на опыте и понимании, причем только из относительных, а не абсолютных сравнений.

Наша третья задача заключается в установлении правильных условий, при которых люди определили бы структуру своих задач и представили бы необходимые суждения для оценки приоритетов. Предполагается, что попарные сравнения получаются непосредственным опросом лиц (или отдельного лица, если задача касается только его одного), которые могут быть, а могут и не быть экспертами, но знакомы с проблемой. Центральным моментом нашего подхода является то, что суждения людей часто не согласованы, но несмотря на это приоритеты должны быть установлены.

Предполагается также, что все альтернативы определены заранее, и что не все переменные контролируются каждой из групп, влияющей на исходы альтернатив. Желательно знать, является ли приоритет альтернативы результатом влияния более сильной внешней группы. Целью здесь может быть импровизация политик и установление связей для оказания влияния на эту группу и получения более подходящего исхода для участников. Представляет интерес также и устойчивость результатов по отношению к изменениям оценок суждений.

Предполагается, что выраженные предпочтения являются детерминистическими, а не вероятностными. Поэтому предпочтение остается постоянным и независимым от других факторов, не включенных в задачу.

Если в процессе участвуют несколько лиц, то они могут помогать друг другу в уточнении своих суждений, а также разделить задачу так, чтобы произвести суждения в тех сферах, где они достаточно компетентны, таким образом дополняя друг друга. Они могут попытаться достигнуть консенсуса. В случае неудачи процесс заключения сделки, особенно для спорящих лиц, позволяет одной группе уступить, если сравниваемая пара не имеет особого значения для нее, и, в свою очередь, попросить о подобных уступках у противоположной группы. Когда оценку производит каждый из нескольких лиц, отдельные результаты могут сравниваться с точки зрения их индивидуальных полезностей для синтеза, осуществляемого внешней группой.

Еще одним способом применения метода было бы получение решения посредством использования своих суждений каждым членом группы с конфликтующими интересами, запись результата и сравнение его (возможно, с помощью ЭВМ) с результатами, полученными другими. Данный процесс обнаруживает, на достижение какого исхода оказывает давление каждая группа. Важным результатом этого является стимулирование сотрудничества.

1.2 Иерархии

Очень часто при анализе интересующей нас структуры число элементов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы, почти так же, как схема ЭВМ, состоящая из блоков и их взаимосвязей, причем у каждого блока есть собственная схема.

Рис. 1.1

На рис. 1.1 весьма грубо представлены различные подсистемы, которые вместе с взаимосвязями составляют современную систему производства в стране.

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы (в отдельной главе мы изучим взаимодействия и между несколькими группами). Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Ниже дан элементарный пример иерархии. Благосостояние полисов (городов-государств) в средневековой Европе зависело в основном от силы и способностей их правителей. Общая структура полиса может быть воспроизведена в иерархической форме, показанной на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Мы сгруппировали сельское хозяйство, торговлю, численность населения и ремесла в одно множество, или уровень, так как в этой модели они обладают свойствами наиболее фундаментальных факторов экономической силы полиса. Эти факторы определяют способность функционирования гражданского правительства и силу армии, которые, в свою очередь, влияют на благосостояние полиса.

Приведем некоторые замечания. Во-первых, очевидно, что модель слишком проста. Здесь можно было бы определить намного больше элементов и больше уровней в зависимости от вопроса, на который мы пытаемся ответить. Модель быстро усложняется и становится трудно воспринимаемой. Поэтому следует тщательно строить иерархию с учетом соответствия действительности и нашего понимания ситуации. Опыт показал, что даже весьма грубая на вид идеализация может позволить глубже вникнуть в суть проблемы.

Во-вторых, в модель не включен тот очевидный факт, что не только торговля влияет на гражданское правительство, но и гражданское правительство также воздействует на торговлю. Это «реверсивное» воздействие, или обратная связь, будучи зачастую важным, все же не так существенно, как это может показаться вначале. Анализ нескольких задач проведен сначала без учета обратной связи, а затем с ее учетом. Первые результаты были достаточно близки, и это позволяет допустить, что правильно построенная иерархия будет в большинстве случаев хорошей моделью реальности, даже если возможные обратные связи игнорируются. Тем не менее, как показывает первый пример этого раздела, некоторые ситуации могут быть настолько сложными, что их представление в виде иерархии окажется упрощенным, вводящим в заблуждение.

Возможно, следующий пример сделает понятие иерархии более ясным. Вопрос, который нас интересует, связан с колледжем; мы стремимся определить сценарий, согласно которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Назовем благосостояние колледжа общей целью. На нее влияют следующие силы: обучение, общественная жизнь, дух (атмосфера), наличие оборудования и внешкольная деятельность. Эти силы определяются следующими акторами (действующими лицами): академической администрацией, неакадемической администрацией, профессорско-преподавательским составом, студентами, попечителями. Мы опускаем очевидную обратную связь между силами и акторами. Различные акторы имеют определенные цели: профессорско-преподавательский состав может хотеть сохранить свою работу, расти профессионально, качественно проводить обучение; студенты могут быть заинтересованы в получении работы, в женитьбе, в получении хорошего образования и т. д. Наконец, имеется несколько возможных сценариев, таких как: статус-кво, акцент на профессиональное обучение, дальнейшее образование, или превращение в религиозную школу. Сценарии определяют вероятность достижения целей, цели влияют на акторов, акторы направляют силы, которые, наконец, воздействуют на благосостояние колледжа. Таким образом, мы получаем иерархию (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Рассмотрим это понятие иерархии более внимательно. Многие склонны полагать, что иерархии были изобретены в корпорациях и правительствах для решения собственных проблем. Это не так. Иерархии являются основным способом, с помощью которого человек подразделяет реальность на кластеры и подкластеры. Красноречивым подтверждением этой точки зрения служит следующая цитата:

«Очевидна огромная сфера приложений иерархической классификации. Это наиболее мощный метод классификации, используемый человеком для приведения в порядок опыта, наблюдений и информации. Хотя нейрофизиологией и психологией определенно это еще не установлено, однако иерархическая классификация, возможно, воспроизводит первичную форму координации или организации: 1) корковых процессов, 2) их психических соотносительных понятий и 3) их выражения в символах и языках. Использование иерархического упорядочивания, по-видимому, так же старо, как и человеческое мышление, сознательное и бессознательное...» [3]

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. Точные методы построения систем в виде иерархий постепенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных систем. Путем иерархической композиции, по существу, уклоняются от непосредственного сопоставления большого и малого. Концептуально, наиболее простая иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируемый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации). В математической теории иерархий разрабатывается метод оценки воздействия уровня на соседний верхний уровень посредством композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов нижнего уровня по отношению к элементу верхнего уровня. Эта композиция может распространяться вверх по иерархии.

Каждый элемент иерархии функционально может принадлежать к нескольким другим различным иерархиям. Например, ложку можно расположить вместе с другими ложками различного размера в одной иерархии, или вместе с ножами и вилками в другой иерархии. Элемент может являться управляющей компонентой на некотором уровне одной иерархии или может просто быть элементом, раскрывающим функции нижнего или высшего порядка в другой иерархии.

Преимущества иерархий:

1. Иерархическое представление системы можно использовать для описания того, как влияют изменения приоритетов на верхних уровнях на приоритеты элементов нижних уровней.

2. Иерархии предоставляют более подробную информацию о структуре и функции системы на нижних уровнях и обеспечивают рассмотрение акторов и их целей на высших уровнях. Для удовлетворения ограничений на элементы уровня их лучше всего воспроизводить на следующем более высоком уровне. Например, природу можно рассматривать как актор, цель которого - использовать определенный материал, который подчиняется определенным законам в качестве ограничений.

3. Естественные системы, составленные иерархически, т. е. посредством модульного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем системы, собранные в целом.

4. Иерархии устойчивы и гибки; они устойчивы в том смысле, что малые изменения вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик.

Как построить иерархию. На практике не существует установленной процедуры генерирования целей, критериев и видов деятельности для включения в иерархию или даже в более общую систему. Это зависит от тех целей, которые мы выбираем для декомпозиции сложной системы.

Обычно эта процедура начинается с изучения литературы для обогащения мыслями, и часто, знакомясь с чужими работами, мы как бы проходим через стадию мозгового штурма для составления перечня всех концепций, существенных для задачи, независимо от их соотношения или порядка. Следует помнить, что основные цели устанавливаются на вершине иерархии; их подцели - непосредственно ниже вершины; силы, ограничивающие акторов, - еще ниже. Силы доминируют над уровнем самих акторов, которые, в свою очередь, доминируют над уровнем своих целей, ниже которых будет уровень их возможных действий, и в самом низу находится уровень различных возможных исходов (сценариев) (см. рис. 1.3). Это естественная форма, которую принимают иерархии, связанные с планированием и конфликтами. В иерархии, предназначенной для физической системы, возможные действия могут быть заменены методами конструирования. За ними должны следовать несколько промежуточных уровней. Прежде чем будет сформирован хорошо определенный план, могут потребоваться значительные критические замечания и перепроверки.

Существует достаточное сходство между проблемами, так что мы не всегда сталкиваемся с совершенно новой задачей при построении иерархии. Задачей для опытного исследователя в некотором смысле становится отождествление различных классов проблем, возникающих в реальных системах. Существует такое разнообразие этих систем, что исследователю необходимо знание идей и концепций, которыми оперируют специалисты. Это требует интеллекта, терпения и способности взаимодействовать с другими людьми, чтобы извлечь выгоду из их опыта и знаний.

Наше чувственное восприятие действует специфически, а именно, служит потребностям выживания. Поэтому, хотя мы и стараемся быть объективными при интерпретации опыта, наша способность понимать и абстрагировать - очень субъективна и обычно служит нашим нуждам! Выживание, по-видимому, является основой для выработки целей. В действительности, то, что мы подразумеваем под объективностью, есть разделённая субъективность. Поэтому формируемые нами иерархии объективны в соответствии с нашим собственным определением, так как они отражают коллективный опыт.

Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то, что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц, однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных действий, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характеристик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных маршрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик может включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т. д. В табл. 1.1 показаны уровни иерархий различных типов, однако лицо, формирующее иерархию, должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно удален.

1.3 Приоритеты в иерархиях

Иерархия, в том виде, в каком она представлена в предыдущем разделе, является более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она отражает проведенный нами анализ наиболее важных элементов и их взаимоотношений, однако она - не достаточно мощное средство в процессе принятия решений пли планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель.

Таблица 1.1 Общее построение иерархий и декомпозиция

Для большей ясности возвратимся к иерархии колледжа из предыдущего раздела. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей цели. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий.

Определим «степень влияния», или приоритеты, элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и математические основы метода будут изложены позже.

Введем некоторые понятия. Матрица - это массив чисел в виде прямоугольной таблицы, например

Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вертикальная - столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного столбца, называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов - квадратной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные векторы и соответствующие собственные значения. Пусть читателя не обескураживают эти понятия, поскольку подробное их объяснение будет дано в последующих главах.

Наш метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы одного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент I следующего более высокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их влияния на е, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Определим шкалу приоритетов для следующего примера. Пусть A, B, С и D обозначают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Создадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения производит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашивают: «Насколько сильнее освещенность стула B по сравнению с C?» Он отвечает одним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в позицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке. Мы имеем матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (матрица 4х4).

Условимся, что это следующие числа. Пусть заданы элементы A и B; если:

* A и B одинаково важны, заносим 1;

* A незначительно важнее, чем B, заносим 3;

* A значительно важнее B, заносим 5;

* A явно важнее B, заносим 7;

* A по своей значительности абсолютно превосходит B, заносим 9 в позицию (А, В), где пересекаются строка A и столбец В.

При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки A со столбцом A в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, ..., или 1/9 на пересечениях столбца A и строки B, т. е. в позицию (В, A) для обратного сравнения B с A. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины используются для облегчения компромиссов между слегка отличающимися от основных чисел суждениями. Используем также рациональные числа для получения от23 ношений из описанных выше значений шкалы, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее n ?1).

В матрице для наших чисел имеется 16 полей. Четыре из них уже определены, а именно те, что находятся на диагонали, (А, А), (В, В), (C, C), (D, D) и равны единице, так как, например, стул A имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнений, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть обратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что интенсивность освещенности стула B по сравнению со стулом C находится между слабой и сильной. Тогда в позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина, т. е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально. После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей матрицы получим

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. В математических терминах это - вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. В следующей главе будет показано, что относительная освещенность стульев, выраженная этим вектором, удовлетворяет закону обратного квадрата в оптике. В отсутствие ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок.

1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т. д.

2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т. е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это - процесс усреднения по нормализованным столбцам.

4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

Для простой иллюстрации того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным (К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6. Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4 дает такой же результат.

Отметим, что в общем случае, когда матрица не согласована, эти методы дают различные результаты. Применим различные методы оценки решения в примере со стульями. Метод 1 дает сумму строк этой матрицы в виде вектора-столбца, который для экономии места напишем в виде строки (19,00; 11,20; 5,42; 1,56). Сумма всех элементов матрицы получается путем сложения компонент этого вектора и равна 37,18. Разделив каждую компоненту вектора на это число, получим записанный в виде строки (0,51; 0,30; 0,15; 0,04) вектор-столбец приоритетов относительной освещенности стульев A, В, С и D соответственно.

Метод 2 дает сумму столбцов этой матрицы в виде вектора-строки (1,51; 6,43; 11,25; 18,00). Обратными величинами этих сумм являются (0,66; 0,16; 0,09; 0,06), а после нормализации становятся (0,68; 0,16; 0,09; 0,06).

Методом 3 нормализуем каждый столбец (складываем компоненты и делим каждую компоненту на эту сумму) и получаем матрицу

Сумма строк является вектором-столбцом (2,36; 0,98; 0,46; 0,20), который после деления на размерность столбцов 4 позволяет получить вектор-столбец приоритетов (0,590; 0,245; 0,115; 0,050).

Метод 4 дает (0,61; 0,24; 0,10; 0,04).

Точное решение задачи, которое изложено далее, получается путем возведения матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. С точностью до одной сотой это решение будет (0,61; 0,24; 0,10; 0,05).

Сравнивая полученные результаты, отметим, что точность повышается от 1 к 2 и далее к 3, однако одновременно усложняются вычисления. Если матрица согласова25 на, то во всех четырех случаях векторы приоритетов будут одинаковыми.

В случае несогласованности очень хорошее приближение можно получить только с помощью метода 4.

Полагая, что читателю известен способ умножения матрицы на вектор, приведём метод получения грубой оценки согласованности.

Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу лmax (называемому максимальным или главным собственным значением), используемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочтений. Чем ближе лmax к n (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат.

Как будет ясно из теоретического обсуждения в последующих главах, отклонение от согласованности может быть выражено величиной (лmax - n ) ( n - 1) , которую назовем индексом согласованности (ИС).

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа коллеги сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статистические флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому. Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие результаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше:

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, будем считать приемлемым.

Чтобы проиллюстрировать на примере наши приближенные вычисления ИС, для нахождения лmax используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец, полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов (0,59; 0,25; 0,11; 0,05) имеем вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; 0,20). Разделив компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, получим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних - 4,39. Отсюда ИС=(4,39--4)/3=0,13. Для определения того, насколько хорош этот результат, разделим его на соответствующий СИ=0,90. Отношение согласованности 0,13/0,90=0,14, что, пожалуй, не так уж близко к 0,10.

Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов некоторого уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в матрицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приоритетов для нижнего уровня.



2. Аналогии

1) Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией вероятностей

Приоритеты альтернатив (это положительные числа, их сумма равна единице) можно отождествить с вероятностями выбора альтернатив. Приоритеты факторов, влияющих на рейтинг альтернатив, можно считать вероятностями гипотез. При таком подходе способ вычисления приоритетов альтернатив аналогичен применению формулы полной вероятности.

При работе с моделями, учитывающими наличие обратных связей, можно установить многочисленные терминологические и идеологические соответствия между методом анализа иерархий и марковскими случайными процессами с дискретным набором состояний и дискретным временем (марковскими цепями).

2) Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией графов

Структура ситуации принятия решения представляется в методе анализа иерархий в виде направленного графа. Узлами графа служат: альтернативы, главный критерий рейтингования альтернатив, факторы, влияющие на рейтинг альтернатив. Направленными дугами графа являются связи, указывающие на влияния одних узлов, на приоритеты других узлов.

3) Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией неотрицательных матриц

Расчеты рейтингов, проводимые в методе анализа иерархий, математически основываются на методах расчетов собственных векторов для неотрицательных (и в частности, для стохастических) матриц.

4) Метод анализа иерархий имеет аналогии с экспертными системами

Технологии принятия решения с помощью экспертных систем, основанных на байесовском способе логического вывода, являются частным случаем применения метода анализа иерархий.



5) Метод анализа иерархий имеет аналогии с идеологией искусственных нейронных сетей

В частности, обратная задача в методе анализа иерархий по способу решения и проведение процедуры согласования аналогичны обучению нейронной сети.

6) Метод анализа иерархий имеет аналогии с синергетикой

Модели, строящиеся в методе анализа иерархий, имеют кластерную структуру. Кластеры, по сути, являются элементарными иерархическими структурами. В пределах кластеров метод оперирует понятием вектора приоритетов. При соединении кластеров в систему рейтинг альтернатив конструируется на основе векторов приоритетов в отдельных кластерах. Сложные модели часто демонстрируют «голографический» эффект. Даже при удалении части структуры итоговый рейтинг в целом сохраняется.



3. Возможности метода анализа иерархий

Метод анализа иерархий - методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования.

Метод анализа иерархий создан американским ученым Т. Саати и вырос в настоящее время в обширный междисциплинарный раздел науки, имеющий строгие математические и психологические обоснования и многочисленные приложения.

Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, перечислим возможности метода.

1) Метод позволяет провести анализ проблемы. При этом проблема принятия решения представляется в виде иерархически упорядоченных:

а) главной цели (главного критерия) рейтингования возможных решений;

б) нескольких групп (уровней) однотипных факторов, так или иначе влияющих на рейтинг;

в) группы возможных решений;

г) системы связей, указывающих на взаимное влияние факторов и решений.

Предполагается, так же, что для всех перечисленных «узлов» проблемы указаны их взаимные влияния друг на друга (связи друг с другом). (См. структуры)

2) Метод позволяет провести сбор данных по проблеме.

В соответствие с результатами иерархической декомпозиции модель ситуации принятия решения имеет кластерную структуру. Набор возможных решений и все факторы, влияющие на приоритеты решений, разбиваются на относительно небольшие группы - кластеры. Разработанная в методе анализа иерархий процедура парных сравнений позволяет определить приоритеты объектов, входящих в каждый кластер. Для этого используется метод собственного вектора. Итак, сложная проблема сбора данных разбивается на ряд более простых, решающихся для кластеров.

3) Метод позволяет оценить противоречивость данных и минимизировать ее.

С этой целью в методе анализа иерархий разработаны процедуры согласования. В частности, имеется возможность определять наиболее противоречивые данные, что позволяет выявить наименее ясные участки проблемы и организовать более тщательное выборочное обдумывание проблемы.

4) Метод позволяет провести синтез проблемы принятия решения.

После того, как проведен анализ проблемы и собраны данные по всем кластерам, по специальному алгоритму рассчитывается итоговый рейтинг - набор приоритетов альтернативных решений. Свойства этого рейтинга позволяют осуществлять поддержку принятия решений. Например, принимается решение с наибольшим приоритетом. Кроме того, метод позволяет построить рейтинги для групп факторов, что позволяет оценивать важность каждого фактора.

...